曲线回归与非线性回归资料
非线性回归模型概述
非线性回归模型概述在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的数据建模技术，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性关系。
为了更准确地描述和预测这种非线性关系，非线性回归模型应运而生。
一、什么是非线性回归模型非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不是线性的数学模型。
在非线性回归模型中，因变量的变化不是随着自变量的线性变化而变化，而是通过非线性函数的变化来描述二者之间的关系。
非线性回归模型可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测准确性。
二、非线性回归模型的形式非线性回归模型的形式可以是各种各样的，常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型、逻辑回归模型等。
这些非线性回归模型可以通过引入非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系，从而更好地拟合数据。
1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \beta_3x^3 + ... +\beta_nx^n + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1,\beta_2, ..., \beta_n$为回归系数，$n$为多项式的阶数，$\varepsilon$为误差。
2. 指数回归模型指数回归模型是描述因变量和自变量之间呈指数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1e^{\beta_2x} + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2$为回归系数，$e$为自然对数的底，$\varepsilon$为误差。
3. 对数回归模型对数回归模型是描述因变量和自变量之间呈对数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1\ln(x) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1$为回归系数，$\ln$为自然对数，$\varepsilon$为误差。
回归分析曲线拟合通用课件
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
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回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
非线性回归 方法
非线性回归方法非线性回归是机器学习中的一种重要方法，用于建立输入和输出之间的非线性关系模型。
线性回归假设输入和输出之间存在线性关系，而非线性回归则允许更复杂的模型形式，可以更好地适应现实世界中的复杂数据。
下面将介绍几种常见的非线性回归方法，并说明它们的原理、应用场景和优缺点。
1. 多项式回归多项式回归通过引入高次多项式来拟合数据。
例如，在一元情况下，一阶多项式即为线性回归，二阶多项式即为二次曲线拟合，三阶多项式即为三次曲线拟合，依此类推。
多项式回归在数据不规则变化的情况下能够提供相对灵活的拟合能力，但随着多项式次数的增加，模型的复杂度也会增加，容易出现过拟合问题。
2. 非参数回归非参数回归方法直接从数据中学习模型的形式，并不对模型的形式做出先验假设。
常见的非参数回归方法包括局部加权回归（LWLR）、核回归（Kernel Regression）等。
局部加权回归通过给予离目标点较近的样本更大的权重来进行回归，从而更注重对于特定区域的拟合能力。
核回归使用核函数对每个样本进行加权，相当于在每个样本周围放置一个核函数，并将它们叠加起来作为最终的拟合函数。
非参数回归方法的优点是具有较强的灵活性，可以适应各种不同形状的数据分布，但计算复杂度较高。
3. 支持向量回归（SVR）支持向量回归是一种基于支持向量机的非线性回归方法。
它通过寻找一个超平面，使得样本点离该超平面的距离最小，并且在一定的松弛度下允许一些样本点离超平面的距离在一定范围内。
SVR通过引入核函数，能够有效地处理高维特征空间和非线性关系。
SVR的优点是对异常点的鲁棒性较好，并且可以很好地处理小样本问题，但在处理大规模数据集时计算开销较大。
4. 决策树回归决策树回归使用决策树来进行回归问题的建模。
决策树将输入空间划分为多个子空间，并在每个子空间上拟合一个线性模型。
决策树能够处理离散特征和连续特征，并且对异常点相对较鲁棒。
决策树回归的缺点是容易过拟合，因此需要采取剪枝等策略进行降低模型复杂度。
非线性回归分析(常见曲线及方程)
非线性回归剖析回归剖析中,当研讨的因果关系只涉及因变量和一个自变量时,叫做一元回归剖析;当研讨的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时,叫做多元回归剖析.此外,回归剖析中,又根据描写自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的照样非线性的,分为线性回归剖析和非线性回归剖析.平日线性回归剖析法是最根本的剖析办法,碰到非线性回归问题可以借助数学手腕化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相干关系并不是线性关系,而呈现某种非线性的曲线关系,如：双曲线.二次曲线.三次曲线.幂函数曲线.指数函数曲线(Gompertz).S型曲线(Logistic) 对数曲线.指数曲线等,以这些变量之间的曲线相干关系,拟合响应的回归曲线,树立非线性回归方程,进行回归剖析称为非线性回归剖析罕有非线性计划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x个中a>0,7. S 型曲线(Logistic)1e xy a b -=+8.对数曲线y=a+b log x,x >0 9.指数曲线y =a e bx个中参数a >01．回归：（1）肯定回归系数的敕令[beta,r,J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归敕令：nlintool （x,y,’model’, beta0,alpha ）2．猜测和猜测误差估量：[Y,DELTA]=nlpredci （’model’, x ,beta,r,J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的猜测值Y 及猜测值的明显性程度为1-alpha 的置信区间Y,DELTA.例2 不雅测物体下降的距离s 与时光t 的关系,得到数据如下表,求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模子y=a /e b x,树立M 文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); 2．输入数据： x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]'; 3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0); beta即得回归模子为： 1.064111.6036e xy -=4．猜测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J); plot(x,y,'k+',x,YY,'r') 2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y ＝＝＝u c bv +＝bxy ae＝ln ln c au y ＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y =＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y ＝＝u bv +＝a。
曲线回归
ln
k
1.3 1.3
a
b
ln
k
6.8 6.8
a
5b
ln
k
9.5 9.5
a
9b
解这一三元一次方程组，消去 a、b，得：
N0N2 k N1 2 N12 k N0 k N2
则
k1 0
k2 N1
2N0 N2 N0 N1 N1N2 N0 N2 N12
N1 2N0N2 N1 N0 N2 N0 N2 N12
其变换形式：
y kebx
y k 1 ebx
Bertalanffy 曲线：y a 1 bekx 3
在这些曲线方程中，无一例外的都有 3 个需要计算 的统计量：k、a、b
K 是当 x 趋向于 +∞时 y 所能达到的最大值，往往 是未知的，因此也是需要进行计算的
这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方
这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可
使用这一公式求得 k 值
将上式中的 N0 1.3, N1 6.8, N2 9.5代入
k2 9.78
即为 k 的解
式，得 k2
将
k=9.78
代入
Y
ln
k
N N
，可得和
t
相对应的各
个Y值
将这些 Y 值写在数据表下方对应处，用最小二乘配
置法配置直线
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
增长倍数N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5
Y
ln
k
N N
1.88
1.71
1.02
0.54
-0.82
-1.81
非线性回归分析(常见曲线及方程)
非线性返回分解之阳早格格创做返回分解中，当钻研的果果闭系只波及果变量战一个自变量时，喊干一元返回分解；当钻研的果果闭系波及果变量战二个或者二个以上自变量时，喊干多元返回分解.别的，返回分解中，又依据形貌自变量取果变量之间果果闭系的函数表白式是线性的仍旧非线性的，分为线性返回分解战非线性返回分解.常常线性返回分解法是最基原的分解要领，逢到非线性返回问题不妨借帮数教脚法化为线性返回问题处理二个局面变量之间的相闭闭系并没有是线性闭系，而浮现某种非线性的直线闭系，如：单直线、二次直线、三次直线、幂函数直线、指数函数直线(Gompertz)、S型直线(Logistic) 对于数直线、指数直线等，以那些变量之间的直线相闭闭系，拟合相映的返回直线，修坐非线性返回圆程，举止返回分解称为非线性返回分解罕睹非线性筹备直线1.单直线1bay x =+2.二次直线3.三次直线4.幂函数直线5.指数函数直线(Gompertz)6.倒指数直线y=a/e b x其中a>0，7.S型直线(Logistic)1e x ya b-=+8.对于数直线y=a+b log x,x>09.指数直线y=a e bx其中参数a>01．返回：（1）决定返回系数的下令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性返回下令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测战预测缺点预计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）供nlinfit 或者lintool所得的返回函数正在x处的预测值Y 及预测值的隐著性火仄为1-alpha的置疑区间Y，DELTA.例2 瞅测物体降降的距离s取时间t的闭系，得到数据如下表，供s闭于t的返回圆程2ˆctbtas++=.解：1. 对于将要拟合的非线性模型y=a/e b x，修坐M文献如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输进数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]'; 3．供返回系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得返回模型为： 1.064111.6036e xy -=4．预测及做图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r') 2．非线性函数的线性化直线圆程直线图形变更公式变更后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y ＝＝＝u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y ＝＝u c bv +＝b xey a ＝1ln ln x c a v u y =＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y ＝＝u bv +＝a。
非线性回归分析
非线性回归分析随着经济和社会的发展，数据分析和统计方法越来越受到重视。
在统计学中，回归分析是一种广泛应用的方法，它可以帮助我们研究两个或多个变量之间的关系，并用数学模型描述它们之间的关系。
线性回归是最基本的回归分析方法，但在实际应用中，很多现象并不是线性的，这时候就需要用到非线性回归分析。
什么是非线性回归分析？非线性回归分析是一种研究两个或多个变量之间关系的方法，但假设它们之间的关系不是线性的。
因此，在非线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以被描述为一个非线性函数，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的公式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是待估计参数，f是非线性函数，ε是随机误差项。
非线性回归模型的目的就是估计参数β，找出最佳的拟合函数f，使预测值与实际值的误差最小。
常见的非线性回归模型包括：1. 指数模型：y = αeβx + ε2. 对数模型：y = α + βln(x) + ε3. 幂函数模型：y = αxβ + ε4. S型曲线模型：y = α / (1 + e^(βx)) + ε为何要使用非线性回归分析？非线性回归模型可以更好地描述真实世界中的现象。
例如，在生态学中，物种数量和资源的关系往往是非线性的，这时候就需要用到非线性回归分析来研究它们之间的关系。
再如，在经济学中，通货膨胀率和经济增长率之间的关系也是非线性的。
此外，非线性回归还可以应用于医学、生物学、工程学、地球科学等领域，用于研究复杂的现象和关系。
如何进行非线性回归分析？1. 数据准备首先需要收集相关数据，并进行数据清洗和处理。
确保数据的准确性和完整性。
2. 模型选择根据数据的特征和研究目的，选择适合的非线性回归模型。
如果不确定，可以尝试多种模型进行比较。
3. 参数估计使用统计方法估计模型中的参数值。
常用的方法包括最小二乘法、极大似然法等。
4. 模型诊断诊断模型的拟合程度和假设是否成立。
非线性回归模型
非线性回归模型概述非线性回归模型是一种用于建模非线性关系的统计方法。
与线性回归模型不同，非线性回归模型可以更好地适应各种复杂的数据关系。
常见的非线性回归模型1. 多项式回归：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过添加多项式项来拟合非线性数据。
多项式回归可以适应曲线、弯曲或波浪形状的数据。
2. 对数回归：对数回归是一种用于建模变量之间对数关系的非线性回归方法。
对数回归常用于分析指数增长或衰减的情况。
3. Sigmoid回归：Sigmoid回归是一种常用的非线性回归模型，适用于二分类问题。
它使用Sigmoid函数将输入数据映射到0和1之间的概率值。
4. 高斯核回归：高斯核回归是一种使用高斯核函数的非线性回归方法。
它可以用于拟合非线性关系，并在一定程度上克服了多项式回归模型的过拟合问题。
模型选择和评估选择合适的非线性回归模型是关键，可以根据数据的特点和问题的要求进行选择。
一般来说，模型应具有良好的拟合能力和泛化能力。
评估非线性回归模型的常见指标包括均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R-squared）。
这些指标可以帮助我们评估模型的预测性能和拟合程度。
模型建立步骤1. 导入数据：将需要建模的数据导入到合适的工具或编程环境中。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、特征选择等预处理步骤。
3. 模型选择：根据数据的特点选择合适的非线性回归模型。
4. 模型训练：使用训练集对选定的模型进行训练。
5. 模型评估：使用测试集对模型进行评估，并计算评估指标。
6. 模型优化：根据评估结果进行模型参数调整和优化。
7. 模型应用：使用优化后的模型对新数据进行预测。
总结非线性回归模型是一种强大的建模工具，可以用于解决各种复杂的数据分析问题。
在选择和应用非线性回归模型时，需要根据具体情况进行合理选择，并对模型进行评估和优化，以提高建模的准确性和预测能力。
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实例详解
对GDP（国内生产总值）的拟合。选取GDP指 标为因变量，单位为百万美元，请根据图27-1所示 中1993-2010年GDP数据，建立t-GDP曲线。
（1）用原始数据绘制散点图，如图27-2所示。
由图27-2所示可以看出，两个变量分布曲线类 似于指数曲线y=b0b1t，由图27-3所示观测GDP与Lgt 的散点图，两者成直线趋势，可以考虑用最小二乘法 拟合GDP与Lgt的直线回归方程。
对拟合的模型进行假设检验（见结果图275所示），F值为167.361，P值为0.000，说明这 个回归模型试验统计学意义的。
结果图27-6所示中给出了包括常数项在内的参 数及检验结果，进行的是t检验，可见常数项和 Lgt均有统计学意义。 建立回归方程为：y=5.820＊1.875t
曲线回归
曲线直线化变化方法尽管有可能通过一些函数转化 方法在一定范围内将他们的关系转变为线性关系， 但这种转化有可能导致更为复杂的计算或数据关系 失真，这时我们可以通过进行曲线拟合（Curve Fitting），曲线拟合是求解反应变量间曲线关系的 曲线回归方程的过程。
实例详解
研究发现，锡克氏试验阴性率随儿童年龄增长 而升高。查得山东某地1~7岁儿童的资料如图 27-10所示，试用曲线回归分析方法拟合曲线。
（1）打开数据文件“锡克氏试验阴性率与儿童 年龄.sav”，数据库构建如图27-11所示。
（2）单击“图形”|“旧对话框”|“散点/点状 ”命令，弹出“散点/点状”对话框，如图27-12 所示。
（3）从图27-12所示看到，随着儿童年龄的增 加，阴性率呈显著的上升趋势。但是这种上升 趋势并不是线性的，而表现为非线性的关 系。 故可以考虑采用曲线拟合的方法。这里选用二 次曲线模型、三次曲线模型和对数曲线模型。 拟合三个模型，将三者拟合情况进行比较，选 择拟合度较好的模型。
计算t的指数值生成新的变量Lgt，操作部骤如下 ：在菜单中单击“转换”→计算变量，在“目 标变量”框中输入“Lgt”作为新变量名，在“ 数字表达式”中输入LG10（GDP）作为新的变 量值，单击“确定”按钮。 （2）拟合GDP与Lgt的直线回归方程结果解释 如图27-4所示为模型的拟合优度情况，显示模 型的相关系数R为0.995，决定系数R2为0.913， 说明该模型回归的贡献很大，表示回归模型拟 合结果好。
IBM-SPSS
第27章 曲线回归与非线性回归
曲线直线化变化方法
曲线直线化法，即利用变量变换的方法，使变 换后的两个变量之间呈直线关系。求出直线回归方 程后，再将方程中的变量通过逆变换还原，求得所 求的曲线回归方程。
1．多项式曲线y=a+bx+cx2 2．对数函数 y = a + blnx 3．指数函数y = aebx或y = aeb/x（a > 0）
（1）选择因变量 在“非线性回归”对话框左侧的候选变量列表 框中选择一个变量，将其添加至“自变量”列 表框中，即选择该变量作为非线性回归分析的 因变量。 （2）模式表达式选项框：用于定义非线性回归 模型的表达式。输入的模型至少应包含一个自 变量。 （3）函数组选项框：给出了各种可能用到的函 数类型。
（2）模型汇总及参数估计 图27-14所示模型描述是对进行拟合的样本例数 进行说明的信息。
图27-16所示给出了样本数据分别进行三种曲线方程 拟合的检验统计量和相应方程中的参数估计值。对于 对数拟合，它的可决系数R2为0.914，F统计量等于 52.999，概率P值小于显著性水平0.05，说明该模型 有统计学意义。 对于二次曲线方程和三次方程拟合来说，它对应的可 决系数R2分别为0.971和0.995，模型也显著有效。 虽然上述模型都有显著的统计学意义，但从可决系数 的大小可以清晰看到三种曲线函数方程较其他两种曲 线方程拟合效果更好，因此选择三种曲线方程来描述 锡克氏试验阴性率与儿童年龄的关系。
（3）拟合曲线图，如图27-17所示。 最后给出的是实际数据的散点图和三种估计曲 线方程的预测图。从图27-8所示中也进一步说 明三次曲线曲线方程的拟合效果最好。
非线性回归
因变量与自变量之间的相互关系可以用线性方程来 近似的反应。但是，在现实生活中，非线性关系大 量存在。线性回归模型要求变量之间必须是线性关 系，曲线估 计只能处理能够通过变量变换化为线性 关系的非线性问题，因此这些 方法都有一定的局限 性。相反的，非线性回归可以估计因变量和自变 量 之间具有任意关系的模型，用户根据自身需要可随 意设定估计方程的具体形式。
4．幂函数y=axb (a > 0)
5．双曲线函数 1/y = a+b/x
变量变换后实现线性回归的步骤
对于可以通过变量变换实现线性化的资料，回 归的步骤如下： （1）绘制散点图，观测散点图分布特征类似于 何种函数类型， （2）按照所选定的函数进行相应的变量转换 （3）对变换后的数据建立直线回归模型 （4）拟合多个相近的模型，然后通过比较各模 型的拟合优度挑选较为合适的模型。
实例详解
假定数据文件图27-24所示中是一家公司在8个周 期间的广告费用与公司收入。公司的老板希望建立 一个回归模型用电视广告费用和报纸广告费用来预 测公司收入。以往8周的样本数据如图27-24所示 （单 位：千美元）。请建立回归模型分析。
SPSS模块说明
1．非线性回归
单击“分析”|“回归”|“非线性”命令，弹出 单“非线性回归”对话框，如图27-18所示。
1．操作步骤 在菜单中单击“分析”|“回归”|“曲线估计” 命令，在“曲线估计”对话框选择“阴性率” 作为因变量，“儿童年龄”作为“自变量”， 从模型栏中选取“cubic”、“quadratic”、 “logarithmic”，单击“确定”按钮。
2．实例结SPSS对曲线拟合结果的初步描 述统计，例如自变量和因变量、估计方程的类 型等。