高中数学北师大版选修11教案：第1章拓展资料：充分条件与必要条件的判断方法
北师大版高中数学选修充分条件必要条件教案
《充分条件与必要条件》一、背景分析1、学习任务分析：充要条件主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。
教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。
2、学生情况分析：学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。
所以教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。
教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此“充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。
教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。
教学中，要强调先找出A、B，否则，学生可能会对必要条件难以理解。
二、教学目标设计：（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。
2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。
3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。
2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。
3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。
（三）情感目标：1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。
高中数学《充分条件与必要条件》导学案 北师大版选修11(1)
第2课时充分条件与必要条件1.理解充分条件和必要条件的含义.2.会判断两个条件间的充分必要关系.3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.函数y=x cos x+sin x的图像大致为().图像分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排除法,从解析式结合图像我们很容易找到三个角度来排除,一是利用函数是奇函数可以排除B,二是利用x=时,y=1,可以排除C,三是利用x=π时,y=-π,可以排除A,所以答案选D.问题1: 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作, 并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.根据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:(1)“图像关于原点对称”是“该图像是函数y=x cos x+sin x的图像”的条件;(2)“ y=f(x)的图像是y=x cos x+sin x的图像”是“f()>0”的条件;(3)“ f(π)>0”是“y=f(x)的图像不是y=x cos x+sin x的图像”的条件.问题2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性有何联系?(1)若,则p是q的充分不必要条件;(2)若,则p是q的必要不充分条件;(3)若,则p是q的充要条件;(4)若,则p是q的既不充分也不必要条件.问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?建立与p、q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.集合A与B的关系Venn图表示法若A⊆B,则p是q的,若A⫋B,则p是q的若B⊆A,则p是q的,若B⫋A,则p是q的若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的,也不是q的若A⊆B且B⊆A,即A=B,则p是q的1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是( ).2.在△ABC中,“sin A>”是“A>”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的条件.4.指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.(2)p:x=1,q:x2=1.充分条件、必要条件、充要条件的判断分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B.(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.充要条件的探求与证明已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>b,q:>.(2)p:a>b,q:2a>2b-1.(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sin A≠.已知命题p:1-c<x<1+c(c>0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.1.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A成立”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知平面α,β,直线m⊂平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的( ).A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设有如下三个命题:甲: m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.4.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>0且b>0, q:ab>0.(2)p:>1, q:x>y.(2013年·安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考题变式(我来改编):第2课时充分条件与必要条件知识体系梳理问题1:p⇒q (1)必要(2)充分(3)充分问题2:(1)p⇒q,且q⇒/p (2)p⇒/q,且q⇒p (3)p⇒q,且q⇒p (4)p⇒/q,且q⇒/ p问题3:充分条件充分不必要条件必要条件必要不充分条件充分条件必要条件充要条件基础学习交流1.B开关A闭合,灯泡B不一定亮,灯泡B亮,开关A一定闭合.2.A∵在△ABC中,sin A>,则A∈(,),∴“sin A>”是“A>”的充分条件.∵在△ABC 中,取A=,但不能推出sin A>,∴“sin A>”不是“A>”的必要条件.故选A.3.必要不充分由数列{a n}是递减数列可得0<q<1,因此“q<1” 是“数列{a n}是递减数列”的必要不充分条件.4.解:(1)∵p⇒/q且q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(2)∵q:x2=1⇔x=1或x=-1,∴x=1⇒x2=1,但x2=1⇒/x=1,∴p是q的充分不必要条件.重点难点探究探究一:【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sin A=sin B,反之,若sin A=sin B,因为A 与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.【小结】在判断p是q的什么条件时,准确理解和运用充分条件、必要条件、充要条件的定义是关键,而能综合、灵活地运用已学的知识是难点,故当知识点不能熟练运用时,就容易出现思维受阻的现象.探究二:【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∵p是q的充分不必要条件,∴p⇒q,即A⫋B,可知A=⌀或方程x2+ax+1=0的两根要在区间[1,2]内,∴Δ=a2-4<0或得-2≤a<2.【小结】p是q的充分不必要条件,利用真子集关系求解.本题易错的地方是解不等式组,请认真体会原因.探究三:【解析】(法一)设两根为x1, x2,则有即解得k<-1,∴所求充要条件为k<-1.(法二)由题意,设两根为x1, x2,应有即解得k<-1,∴所求充要条件为k<-1.[问题]使方程有两个大于1的根的充要条件是k<-1吗?[结论]问题的实质是确定所给方程的两根都大于1时k应满足的充要条件,而上面的解析中所列的不等式组仅是两根x1、x2都大于1的必要条件,并不充分,例如,x1=1,x2=3,有但没有x1>1,x2>1.错误的本质是没有把函数、函数图像和方程三者有机结合起来,从而找出等价关系.于是,正确解答如下:(法一)使两根x1, x2都大于1的充要条件为解得k<-2,∴所求的充要条件为k<-2.(法二)令f(x)=x2+(2k-1)x+k2.∵f(x)=0的两根都大于1,∴函数f(x)图像如图,则x1,x2都大于1的充要条件为解得k<-2,∴所求的充要条件是k<-2.【小结】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若q是p的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.思维拓展应用应用一:(1)p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(2)p⇒q,q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件.(3)p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.应用二:c>0命题p对应的集合A={x|1-c<x<1+c,c>0},同理,命题q对应的集合B={x|x>7或x<-1}.因为p是q的既不充分又不必要条件,所以A∩B=⌀或A不是B的子集且B不是A的子集,所以①或②,解①得c≤2,解②得c≥-2,又c>0,综上所述得c>0.应用三:(1)a=0适合.(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则必须满足⇒a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足⇒0<a≤1.综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.基础智能检测1.C由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,“A⊆B”是“A∩B=A成立”的充要条件.2.A因为平面α∥平面β且直线m⊂平面α,所以直线m∥平面β,反之,当直线m∥平面β时,直线m⊂平面α,也可能平面α和平面β相交.3.充要由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.4.解:(1)p是q的充分不必要条件.当a>0且b>0时,ab>0成立;反之,当ab>0时,只要求a、b同号即可.(2)p是q的既不充分也不必要条件.>1在y>0的条件下才有x>y成立.同理当x=2,y=-1时,>1不成立.全新视角拓展B由(2x-1)x=0可得x=或0,因为“x=或0”是“x=0”的必要不充分条件,故答案选B.思维导图构建充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要。
北师大版高中数学选修—学—同步教学案常用逻辑用语§ 充分条件与必要条件
§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件课时目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．1．“若p ，则q ”形式的命题为真命题是指：由条件p 可以得到结论q .通常记作：p ⇒q ，读作“p 推出q ”．此时我们称p 是q 的______________．2．如果“若p ，则q ”形式的命题为真命题，即p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时，我们称q 是p 的__________．一、选择题1．“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分又不必要条件2．“k ≠0”是“方程y ＝kx ＋b 表示直线”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分又不必要条件3．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b >1 D.ab>－1 4．命题p ：α是第二象限角；命题q ：sin α·tan α<0，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．既是充分条件也是必要条件 D二、填空题6．“lg x >lg y ”是“x >y ”的__________条件．7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．8．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．三、解答题9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．能力提升11．“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．§2充分条件与必要条件2．1充分条件2．2必要条件知识梳理1．充分条件 2.必要条件作业设计1．A[“A＝B”⇒“sin A＝sin B”，反过来不对．]2．B[k＝0时，方程y＝kx＋b也表示直线．]3．A[a<0，b<0a＋b<0，反之不对．]4．A[p：α是第二象限角⇒语句q：sin α·tan α<0，反之不能成立．]5．A6．充分不必要解析由lg x>lg y，得x>y>0，由x>y，得x>y≥0.7．充分不必要解析 ab ≠0⇒a ≠0，所以是充分条件； a ≠0，b ＝0⇒ab ＝0，不必要条件． 8．必要不充分解析 命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 无公共点，反之不对． 9．解 由f (x )＝ax 2＋bx ＋1是偶函数，得f (－x )＝ax 2－bx ＋1＝ax 2＋bx ＋1恒成立． ∴bx ＝0对任意实数x 恒成立，所以b ＝0， 同理由b ＝0也可以得出f (x )是偶函数．故“若p ，则q ”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p 既是q 的充分条件，又是必要条件．10．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1； 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8.因为N 是M 的必要条件，所以，M ⊆N .∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3a ＋1≤8，∴－2≤a ≤7. 故a 的取值范围是[－2,7]．11．A [若a >0，则|a |>0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分条件；若|a |>0，则a >0或a <0，所以“a >0”不是“|a |>0”的必要条件．]12．解 由x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0，得3a <x <a ； 由x 2＋2x －8>0或x 2－x －6≤0， 可得x <－4或x ≥－2.因为q 是p 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0.⇔解得－23≤a <0或a ≤－4.故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0.2.3 充要条件课时目标1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．1．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作__________．这时p 是q 的____________条件，简称________条件，实际上p 与q 互为________条件．如果p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的____________________条件．2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p 和命题q 互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．一、选择题1．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 4．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件二、填空题7．用符号“⇒”或“ ”填空.(1)a >b ________ac 2>bc 2；(2)a 2c ≠0________c ≠0.8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．9．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号) 三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件： (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.设x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.能力提升12．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 13．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．判断条件p 和结论q 之间的关系，可以先尝试确定p 、q 间的推出关系．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．2．3 充要条件知识梳理1．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．] 2．B [因为NM .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]3．A [若一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解， 则Δ＝1－4m ≥0，因此m ≤14.故m <14是方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a <0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1)⇒ (2)⇒8．(2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1) (－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b2a ≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立． 当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立． 总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件． 12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．13．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即a b ＝a c 或b c ＝ac， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]。
充分条件与必要条件教案北师大版选修
充分条件与必要条件教案北师大版选修一、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念。
2. 学会判断充分条件和必要条件。
3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。
二、教学内容1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
3. 充分条件和必要条件在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 充分条件和必要条件的概念。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
四、教学难点1. 理解充分条件和必要条件的区别。
2. 学会判断充分条件和必要条件。
五、教学方法1. 采用讲授法，讲解充分条件和必要条件的概念及判断方法。
2. 通过例题，让学生掌握充分条件和必要条件的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生探讨充分条件和必要条件在实际问题中的运用。
第一章：充分条件和必要条件的定义1.1 引入概念：充分条件和必要条件1.2 讲解充分条件和必要条件的定义1.3 举例说明充分条件和必要条件的区别第二章：判断充分条件和必要条件的方法2.1 引入判断方法2.2 讲解判断充分条件和必要条件的方法2.3 举例说明判断方法的应用第三章：充分条件和必要条件在实际问题中的应用3.1 引入实际问题3.2 讲解充分条件和必要条件在实际问题中的应用3.3 举例说明应用方法第四章：总结与练习4.1 总结充分条件和必要条件的概念及判断方法4.2 布置练习题，让学生巩固所学知识第五章：拓展与提高5.1 引入拓展知识：充分条件和必要条件的推广5.2 讲解拓展知识5.3 举例说明拓展知识的应用六、教学目标1. 理解充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件的区别。
2. 学会判断充分不必要条件、必要不充分条件。
3. 能够在实际问题中运用充分不必要条件、必要不充分条件。
七、教学内容1. 充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件的方法。
3. 充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件在实际问题中的应用。
充分条件与必要条件教案北师大版选修
充分条件与必要条件教案北师大版选修一、教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念，掌握它们之间的区别和联系。
2. 培养学生运用充分条件和必要条件判断生活中的实际问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
二、教学内容：1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 充分条件和必要条件的关系。
3. 充分条件和必要条件的判断方法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：充分条件和必要条件的定义及其关系。
2. 教学难点：如何运用充分条件和必要条件判断实际问题。
四、教学方法：1. 采用案例分析法，让学生通过实际案例理解充分条件和必要条件的概念。
2. 运用小组讨论法，引导学生探讨充分条件和必要条件的关系。
3. 采用问答法，教师提问，学生回答，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个生活中的实例，如“吃饭”和“肚子饿”的关系，引出充分条件和必要条件的概念。
2. 讲解充分条件和必要条件的定义：引导学生理解什么是充分条件，什么是必要条件。
3. 讲解充分条件和必要条件的关系：通过案例分析，让学生明白充分条件和必要条件之间的区别和联系。
4. 课堂练习：让学生运用充分条件和必要条件判断一些实际问题，如“下雨”和“路面湿滑”的关系。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，探讨充分条件和必要条件在实际生活中的应用。
6. 问答环节：教师提问，学生回答，检查学生对充分条件和必要条件的掌握程度。
8. 布置作业：让学生运用充分条件和必要条件解决一些生活中的问题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，判断其对充分条件和必要条件的理解和运用能力。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们对充分条件和必要条件的理解和运用能力。
3. 问答环节：通过学生的回答，评估他们对充分条件和必要条件的掌握程度。
七、教学拓展：1. 引导学生思考充分条件和必要条件在科学研究中的应用。
2. 让学生探索充分条件和必要条件在其他学科领域的应用。
高中数学第一章1.2充分条件与必要条件教学案北师大版选修
学习资料专题§2充分条件与必要条件[对应学生用书P5]古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件．问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．q：前年是2012年．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．[对应学生用书P6][例1](1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p ，q 间的关系．[精解详析] (1)若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，b ＝±ac ，则p ⇒/ q ；若b ＝ac ，当a ＝0，b ＝0时，a ，b ，c 不成等比数列，即q ⇒/ p ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)y ＋x >4不能得出x >1，y >3，即p ⇒/ q ，而x >1，y >3可得x ＋y >4，即q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)当a >b 时，有2a>2b，即p ⇒q ，当2a>2b时，可得a >b ，即q ⇒p ，故p 是q 的充要条件．(4)法一：若△ABC 是直角三角形不能得出△ABC 为等腰三角形，即p ⇒/ q ；若△ABC 为等腰三角形也不能得出△ABC 为直角三角形，即q ⇒/ p ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p ，q 对应集合间无包含关系，故p 是q 的既不充分也不必要条件．[一点通]充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断． (3)集合法：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若x 具有性质p ，则x ∈A ；若x 具有性质q ，则x ∈B . ①若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；④若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．1．设集合A ＝{x |xx －3≤0}，集合B ＝{x ||x －2|≤1}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：集合A ＝{x |0≤x ＜3}，集合B ＝{x |1≤x ≤3}，则由“m ∈A ”得不到“m ∈B ”，反之由“m ∈B ”也得不到“m ∈A ”，故选D.答案：D2．对任意实数a ，b ，c 给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中，真命题的序号是________．解析：①由a ＝b 可得ac ＝bc .但ac ＝bc 时不一定有a ＝b ，故①为假命题；②由“a ＋5为无理数”可得“a 为无理数”，由“a 为无理数”可得“a ＋5为无理数”，②为真命题；③由“a >b ”不能得出a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－2，③为假命题；④“由a <5”不能得“a <3”，而由“a <3”可得“a <5”，④为真命题．答案：②④3．指出下列各组命题中p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC 中，p ：sin A ＞12，q ：A ＞π6.解：(1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为0＜A ＜π时，sin A ∈(0,1]，且A ∈(0，π2]时，sin A 单调递增，A ∈[π2，π)时，sin A 单调递减，所以sin A ＞12⇒A ＞π6，但A ＞π6⇒/ sin A ＞12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.[例2] n n 求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q ＝－1推证数列{a n }为等比数列和由数列{a n }满足S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)为等比数列推证q ＝－1.[精解详析] (充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p－1)，且n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，可知等比数列{a n }的公比为p .故a 2a 1＝p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1.综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． [一点通]充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A 是B 的充要条件”中，A ⇒B 是充分性，B ⇒A 是必要性；在“A 的充要条件是B ”中，A ⇒B 是必要性，B ⇒A 是充分性．4．不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是________． 解析：若x 2－ax ＋1>0的解集为R ，则Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.又当a ∈(－2,2)时，Δ<0，可得x 2－ax ＋1>0的解集为R ，故不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是－2<a <2.答案：－2<a <25．等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．解析：由S n ＋1＞S n (n ∈N ＋)⇔(n ＋1)a ＋n n ＋2d ＞na ＋n n －2d (n ∈N ＋)⇔dn ＋a ＞0(n ∈N ＋)⇔d ≥0且d ＋a ＞0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a ＞0.答案：d ≥0且d ＋a ＞06．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. ∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ∴必要性成立．再证充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b .代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得：ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋b ＋a )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[例3] 已知p ：关于x 的不等式2＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 求出q 对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解． [精解详析] 记A ＝{x |3－m 2＜x ＜3＋m2}，B ＝{x |x (x －3)＜0}＝{x |0＜x ＜3}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A B . 注意到B ＝{x |0＜x ＜3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，解得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2＜3＋m2，解得m ＞0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2＞0，3＋m2＜3，解得0＜m ＜3.m ＞0，综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)． [一点通]将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p ，q 用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．7．已知条件p ：x 2＋x －6＝0，条件q ：mx ＋1＝0(m ≠0)，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值．解：解x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3，令A ＝{2，－3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m ，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A . 当－1m ＝2时，m ＝－12；当－1m ＝－3时，m ＝13.所以m ＝－12或m ＝13.8．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若x ∈M 是x ∈N 的充分条件，求a 的取值范围．解：由(x －a )2<1得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1，M ＝{x |a －1<x <a ＋1}．又由x 2－5x －24<0得－3<x <8，N ＝{x |－3<x <8}． ∵x ∈M 是x ∈N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2,7]．1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”及它的逆否命题都是真命题； (2)若p 是q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题； (3)若p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题．2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．[对应课时跟踪训练二1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．答案：A2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.答案：A3．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋c b＝2”，则命题p 是命题q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a b ＋c b＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.答案：A4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是________． 解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数”的________． 解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)③ (2)①7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.。
高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 2.1 充分条件- 2.2 必要条件
2．1充分条件2．2必要条件学习目标1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.思考1你能判断这两个命题的真假吗？思考2命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？梳理一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的__________，q是p的__________．知识点二充分条件与必要条件的判断知识点三充分条件、必要条件与集合的关系思考“x <2”是“x <3”的__________条件，“x <3”是“x <2”的__________条件． 梳理A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }类型一充分条件与必要条件的概念例1(1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是______________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法①如果命题：“若p ，则q ”为真命题，那么p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； ②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．跟踪训练1对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件类型二充分条件与必要条件的应用例2已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．引申探究若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．反思与感悟(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A B.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围．1．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的() A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．无法判断2．设x ∈R ，则x >2的一个必要条件是() A ．x >1B ．x <1 C ．x >3D ．x <33．已知函数f (x )的定义域为R ，函数f (x )为奇函数的________条件是f (0)＝0.(填“充分”或“必要”)4．“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根都大于3”是“⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＞6x 1x 2＞9，”的________条件．(填“充分”或“必要”)5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充分必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．答案精析问题导学 知识点一思考1(1)真命题；(2)假命题．思考2命题(1)中只要满足条件x >a 2＋b 2，必有结论x >2ab ；命题(2)中满足条件ab ＝0，不一定有结论a ＝0，还可能有结论b ＝0. 梳理p ⇒q 充分条件必要条件 知识点二⇒⇒/充分必要充分必要 知识点三 思考充分必要 题型探究 例1(1)①解析对①，p ⇒q ；②p ⇒/ q ；③p ⇒/q ，故选①. (2)②③解析①q ⇒/p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故选②③. 引申探究①②解析①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ； ②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇒/p ．故选①②.跟踪训练1B[∵⎩⎪⎨⎪⎧ac >bc ，c >0⇒a >b ，⎩⎪⎨⎪⎧ac >bc ，c <0⇒a <b ， ∴ac >bc ⇒/ a >b ，而由a >b ⇒/ac >bc ，∴“ac >bc ”既不是“a >b ”的充分条件，也不是必要条件， 故A ，C 错误．又⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝bc ，c ≠0⇒a ＝b ， ⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝bc ，c ＝0⇒/a ＝b ， ∴由ac ＝bc ⇒/a ＝b ， 而由a ＝b ⇒ac ＝bc ，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要不充分条件，故选B.] 例2解解不等式得p ：－2≤x ≤3， 当m >0时，q ：2－3m ≤x ≤2＋3m ， 由q 是p 的充分条件可得q ⇒p ， 从而⎩⎪⎨⎪⎧2－3m ≥－2，2＋3m ≤3，m >0⇒0<m ≤13.所以正实数m 的取值范围为(0，13]．引申探究解由p ：－2≤x ≤3， q ：2－3m ≤x ≤2＋3m (m >0)， ∵q 是p 的必要条件，∴p ⇒q ， 从而⎩⎪⎨⎪⎧2－3m ≤－2，2＋3m ≥3，m >0，解得m ≥43.∴正实数m 的取值范围为[43，＋∞)．跟踪训练2解∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ，∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a 的取值范围是a ≤－9. 当堂训练1．A2.A3.必要4.充分 5．解由x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}， 由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．。
高中数学北师大版选修11第一章教材点拨充分条件与必要条件word素材
充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。
当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。
所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。
物理模型的直观解释：如图1-2-1 电路图，当开关A 闭合时，灯泡B 亮，而当灯泡B 亮时，开关A 却不一定是闭合的；即要使灯泡B 亮，只要开关A 闭合着一个条件就够了，我们就称“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分条件。
一般地，“若p ，则q ”是一个真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，即由p 可推出q ，记作p q ⇒，那么，就称条件p 是结论q 的充分条件（sufficient condition ）。
“若q ，则p ”是一个真命题，是指由q 通过推理可以得出p ，即由q 可推出p ，记作q p ⇒，那么，就称q 是p 的充分条件（sufficient condition ）。
例如：①211x x =-⇒=，那么，“1x =-”是“21x =”成立的充分条件；②224a a >⇒>，那么，“2a >”是“24a >”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“1m =”是函数22(33)m y m m x =-+为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。
例如，当4x =时，216x =成立，但是，当4x ≠时，216x =也可以成立，即4x =-时，216x =也成立，所以，4x =是216x =成立的充分条件，4x =-也是216x =成立的充分条件。
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充分条件与必要条件的判断方法
充分条件与必要条件的判断，是学习常用逻辑用语时的重点和难点，也是后继学习的理论基础．对于如何判断充分条件与必要条件，方法比较多，下面通过实例对充分条件与必要条件的判断常用的方法加以解析．
一．定义法
给出条件p 、q ，根据定义，只要判断“p 能否推出q ”与“q 能否推出p ”，从而确定条件p 、q 的充分条件与必要条件的关系．
例1 “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：若“1=a ”，则函数|1|||)(-=-=x a x x f 在区间),1[+∞上为增函数；
而若“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”，则有1≤a ；
所以“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的充分不必要条件，即选A ．
评析：定义法是判断充分条件与必要条件的最基本的方法，也是最常用的方法之一．在判断一个命题不成立时，只需要举出一个反例就可以．
二．集合法
设满足条件p 的元素构成集合Ｐ，满足条件q 的元素构成集合Ｑ，把判断条件p 、q 的充分、必要关系转化为判断集合Ｐ、Ｑ间的关系，即
（1）若Q P ⊆，则p 是q 的充分条件；若Q P ⊂，则p 是q 的充分而不必要条件；
（2）若P Q ⊆，则p 是q 的必要条件；若P Q ⊂，则p 是q 的必要而不充分条件；
（3）若Q P =，则p 是q 的充要条件；
（4）如果上述三种关系均不成立，即p 、q 之间没有包含或相等的关系，即p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．
例2 设p ：0202
>--x x ，q ：02||12
<--x x ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：p ：0202
>--x x ⇔4-<x 或5>x ，q ：02||12
<--x x ⇔2-<x 或11<<-x 或2>x ，借助图形可知，条件集}54|{>-<x x x 或是结论集
}2112|{><<--<x x x x 或或的真子集，所以p 是q 的的充分不必要条件，即选Ａ。
评析：运用集合的观点，把问题转化为集合间的关系，有时还可以结合图形（数轴或文氏图法等），使问题变得直观明了．
三．传递法
充分条件与必要条件具有传递性，即由n p p p ⇒⇒⇒ 21，可得n p p ⇒1．当然充要条件也有传递性．对于比较复杂的有一定连锁关系的命题，两个命题间的关系的判断可用传递法来加以处理．
例3 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由题意可得r p ⇒，s r ⇒，q s ⇒，
那么可以得出r p ⇒s ⇒q ⇒，即q p ⇒，那么p 是q 成立的充分不必要条件，即选Ａ．
评析：对于两个以上的较复杂的连锁式命题，利用传递性结合推出符号与推不出符号，画出它们之间的关系结构图进行判断，可以很能好直观快捷地处理问题，使问题简单化．
四．转换法
根据原命题与逆否命题之间有相同的真假关系来加以等价命题的转换，即利用B A ⇒与A B ⌝⇒⌝，A B ⇒与B A ⌝⇒⌝，B A ⇔与A B ⌝⇔⌝等相应的等价关系来转化命题，进而加以分析判断．
例4 若条件p ：4|1|≤+x ，条件q ：652
-<x x ，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：p ：4|1|≤+x ⇔35≤≤-x ，
q ：652-<x x ⇔0652<+-x x ，即32<<x ，
那么可得q 所对应的集合是p 所对应的集合的真子集，即q 是p 的充分不必要条件，所以由原命题与逆否命题之间的等价关系可知，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即选A ．
评析：“相等”的否定是“不相等”，“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”．。