二次根式混合运算(经典)

2
x2
1 2 x2
的值。
练习： 1 x - 6 x +2 已知x = ，求 的值. x -3 3 +2 2
2
实战练习 1. 计算：
( 1 ) 5 × ( 15 - 4 3 ) ； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
知能迁移:
10 6 (1) － 18－ ； 2 2
(2)(－3) －
1 (2) Q a 52 , 52 1 b= 5 2. 52 a 2 2ab b 2 7
2 （a-b） 7
1 1 1 1 3 2 2 3 当x , y 时， 原式= 5. 1 1 2 3 3 2 2 3
x xy - yx y = x-y x +y = x -y
x－y ＝ 6×－4 2 原式＝ x＋y 2 2 x＋y －2xy 6 －2×1
＝ －24 2 ＝－ 12 2 . 34 17
三：注意二次根式运算中隐含条件
2 2 1 a －1 a －2a＋1 例3 已知：a＝ ，求 － 的值． 2 a＋1 2＋ 3 a －a
学生作答
2 a ＋ 1 a － 1 a － 1 解：原式＝ － a＋1 aa－1 ＝ a － 1 － a －1 ＝ a － 1 － 1 . aa－1 a
二次根式的混合运算
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为：
. 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2019年3月6日星期三
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
2
例3.先化简，再求值
2 a 3 a 3 a a 6 6
2 2 解：原式= 2 a 3 a 6a 6



，其中
a 2 1


2a 2 6 a 2 6a 6
a 2 6a
当 a 原式=
2 1 时，

2 1 6
。
2、完全平方和公式：
。
3、完全平方差公式： 。
上次更新: 2019年3月6日星期三
说一说 如果梯形的上、下底长分别为 2 高为 6 cm，那么它的面积是多少？
2 cm，4 3 cm，
(1)

6-
3 × 8

2 ；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 -
2 ).
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
第二轮
2．计算 （ 1） 4 7


2
解：原式= 4
7
4 7
（2）

6 2

6
2
6 2
2

2
2
解：原式=

16 7 9
（3）
62
4
（4）

32

2
2
5 2

2
解：原式=
3
2
2 3 2 2
2
解：原式= 2 5


2
(3)已知 10
2
1－1 4＋ . 2
的整数部分为a，小数部分为b， 求a2－b2的值．
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)
(2)( 10－3) ·( 10＋3)
2010 2010
2
例2：
(1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x ＋xy＋y 的值．
可.
(3)已知a＝3
5
＋2
，b ＝3
5－2
，求
a2b－ab2的值；
.
1、
练习计算：
(2)、 7 2 1 5
2 (3)、 7 （ 7）
2 1 （ 1 ）、3 3 3
(4)(7 2 2 6 )(2 6 7 2 )
(5)、 ( 7 7 3) 2
(6)、 ( 2 3 6 )2 ( 2 3 6 )2
∴原式＝
计算
：相信自己能行
2 2 (2) ( x y xy ) xy
(1) ａ(ａ＋ｂ) （4）. 2 x 1
解：（1）原式= （2）原式= (3) 原式=
2
(3)

3 1

3 1

（5） x 3 y
2
a 2 ab
x2 y xy xy 2 xy x y
二：二次根式运算中的技巧
y 1 1 x 例4、 （ 1）当x = , y 时，求代数式 的值； 2 3 x y x y
(2) 已知：a = 1 1 , b= 5 2 52 , 求 a 2 2ab b 2 7的值
x 解：(1) x y =
y x y
x x y）- （ （ y x y） （ x y )( x y）

2

2 1

2 2 2 1 6 2 6
4 2 3
课堂展示
1．计算 （ 1） 2 解：原式= 第一轮

3 5

（2）

80 40 5

2 3 40 5
6 10
（3）
80 5 40 5
42 2
42 7 9 3
x －y (4)已知x＝ ，y ＝ ，求 2 2 的值； 2＋ 1 2－ 1 x ＋y
解：∵x＝
2－ 1 2
2－ 1
2＋ 1
2
2
＝( 2 －1)2＝3－2 2 ， ＋1
y＝
2＋ 1
＝( 2 ＋1)2＝3＋2 2 ， 2－ 1
∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.
2 2 5 2
2
2
3 4 3 4
74 3
20 4 10 2
22 4 10
课堂小结
在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确
老师忠告
(1)题目中的隐含条件为a＝
1 <1，所以 a2－2a＋1＝ 2＋ 3 2 a－1 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
2
2
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ 的培养，提高解题的正确性.
2 a－1 ＝|a－1|
＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力
练习： b a 1.已知ab=3，求 a +b
a b
的值
b a 2.已知a+b=-8,ab=12,求 b 的值 +a a b
3
2
12 3 1 =2
（4）原式=
4 x2 4 x 1
2 2 （5）原式= x 6 xy 9 y
例题讲析
例1.计算
（我是小老师）
（1）

8 3 6
8 6 3 6

(2)
4
2 3 6 2 2
4 2 2 2 3 6 2 2
3 3 2

解：原式=
∴当a＝
原式＝
1 时， 2＋ 3
1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3 ∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a. a＋1a－1 1－ a 1 － ＝ a－ 1 ＋ . a＋1 aa－1 a ∴当a＝ 1 时， 2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 3 )＝3. 2＋ 3

5 3

32

（4）

a b 3 a b


解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b
15 2 5 3 2 3
3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
1:
先化简，再求值：
1 2 1 （a ） 4 （a ）-4 a a
2
其中a = ，
1 3
1 1 (2)已知 x＋x＝－3，求 x－x的值．
1 ∴x－x＝± 5 1 1 1 1 2.注意到(x－x)2＝(x＋x)2－4，可得(x－x)2＝5，x－x＝± 5.
解：
12 12 (2)∵x－x ＝x＋x －4＝(－3)2－4＝5
2. 已知
a2 3 b2 3 （c 2 3） 0
2
求 3a + 5b – c 的值。
解： Q 2a 2 3ab b2 0
（a-b)(2a b) 0
a a 当a b=0时， 即a=b, 原式= =0. a a
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2