方法技巧2圆锥曲线的综合应用PPT课件
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圆锥曲线专题题型小结ppt课件
2、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1
3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两
个根 x1, x2 ，
则
x1
x2
b a
, x1x2
c a
。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
★ 变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线 x2 y2 1
4
相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线 AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方 程，若不存在，请说明理由。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设
E(xE ,
yE ), F (xF ,
yF ) ,则
xE
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yE
k xE
3 2
k
以 - k代k得：xF
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yF
-k xF
3 2
k
KEF
yF xF
yE xE
k(xF xE ) 2k xF xE
1 2
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2
直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题：
例 1:已知直线 l : y kx 1与椭圆 C : x2 y2 1 4m
始终有交点，求 m 的取值范围
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
圆锥曲线的综合应用一
点评：运用几何法要注意数形结合，运用曲线的定义和 几何性质及平面几何中的有关重要结论．本例中，要使长轴 最短，由椭圆的定义可知，即要使|MF1|＋|MF2|最短，再由 平面几何的知识知，M点为F1关于l的对称点F1′与F2的连线 和l的交点．
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【变式探究】
2．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，求AB的 中点到x轴的最短距离．
2 k2＋1.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
因为t＋4t ≥4，当且仅当t＝2，即k＝± 27时等号成立，
且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝
7 2
x－2或
y＝－ 27x－2.
y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入x42＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>43时，x1,2＝8k±42k2＋4k12－3.
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
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又点O到直线PQ的距离d＝
所以F1′F2的方程为x＋2y－3＝0. 所以xx＋ －2y＋y－93＝＝00，， 得交点M(－5,4)， 即过M(－5,4)的椭圆，长轴最短． 由|MF1|＋|MF2|＝2a，则2a＝6 5，所以a2＝45， 又c2＝9，所以b2＝36. 故所求椭圆的方程为4x52 ＋3y62 ＝1.
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解：(1)设椭圆C的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则
圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)
第二定义
第二定义：椭圆或双曲线中的一点P，满足条件
PF2 PD
e
（式右x 准线a2对应右焦点），其中PF2 称作焦半径，准线公
c
第二定义
例：在平面直角坐标系
xoy
中双曲线
x2 3
y2
1
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，
其中 焦点是 ，F1, F2 ，则四边形 的面积是_______.
x2 a2
y2 b2
1 的左焦点 ，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3 | B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
是右 ，根
据第二定义
PF2 PD
e
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点 ：
（1）是第二定义的用法； （2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论； （3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
在 RT PF1F2 中，满足 PF12 所以在 RT PF1F2 中，SPF1F
1
圆锥曲线复习-ppt课件经典
(2)
x b
2 2
y2 a2
=1 (a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点
坐标为⑤ F1(0,-c),F2(0,c).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
4.椭圆
x2 a2
近线方(5)程渐为近1线3 y：=±双b 曲x 线;双ax 22 曲 by线22
两条渐近线方程为
a
14
y=± a x
1 x2
a2
.
的两条渐
y2 b2
1
的
b
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
A.椭圆 C.线段F1F2
B.圆 D.直线F1F2
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动， 如果相关点P满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；
a2
y2 b2
0
近线方程.
就是双曲线x 2
a2
y2 b2
1
的两条渐
湘教版高中数学选修1-1文科课件 2.4 圆锥曲线的应用课件
(2)参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数 (如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消 去参数得到轨迹方程．
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3．长度为1的线段AB在x轴上移动，点P(0,1)与点A连成直线 PA，点Q(1,2)与点B连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹 方程．
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典例剖析 题型一 圆锥曲线在实际中的应用
【例1】 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的 土只能沿道路AP、BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m， ∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
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解 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角
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(3)数学求解．根据所建立数学关系的知识系统，解出结果， 从而得到实际问题的解答．
解题的一般思想是：
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活页规范训练2．圆锥曲线的应问题 解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通 过建立数学模型，实现实际问题向数学问题的顺利转化．要注 意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用圆 锥曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析 几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． 3．注意数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．
的解，
消去参数a，得点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.
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题型四 直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例4】 (1)当k＝________时，曲线y＝k(x＋1)与y2＝4x恰有
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3．长度为1的线段AB在x轴上移动，点P(0,1)与点A连成直线 PA，点Q(1,2)与点B连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹 方程．
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典例剖析 题型一 圆锥曲线在实际中的应用
【例1】 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的 土只能沿道路AP、BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m， ∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
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解 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角
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(3)数学求解．根据所建立数学关系的知识系统，解出结果， 从而得到实际问题的解答．
解题的一般思想是：
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活页规范训练2．圆锥曲线的应问题 解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通 过建立数学模型，实现实际问题向数学问题的顺利转化．要注 意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用圆 锥曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析 几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． 3．注意数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．
的解，
消去参数a，得点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.
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题型四 直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例4】 (1)当k＝________时，曲线y＝k(x＋1)与y2＝4x恰有
圆锥曲线PPT课件
4
双曲线的定义
平面内到两定点 F1 F2的距离之差的 绝对值为常数（小 于F1 F2的距离）
2020年10月2日
Y
F1
0
p F2 X
5
对于第三种情形平面与圆锥的截线由两支曲线 构成，交线上任意一点到平面内两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于常数．
一般的：
平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线
两个定点F1，F2叫做双曲线的叫焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距
2020年10月2日
6
演讲完毕，谢谢观看！
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
7
2020年10月2日
1
椭圆图图象 双曲线的图象 抛物线的图象
和定义
和定义
和定义
课堂练习
2020年10月2日
2
2020年10月2日
3
椭圆的定义
平(大于F1 F2距离）的点的轨 迹叫椭圆，两个定
点叫椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做
椭圆的焦距 2020年10月2日
高考数学文(二轮复习)课件讲《圆锥曲线中的综合问题》
2．有关弦长问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关 系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义 的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k |x2－x1|或|P1P2|＝
2
1 1＋k2 |y2－
4．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问 题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
3．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法)； ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系； ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化； ④化简整理方程——简化； ⑤证明所得方程为所求的轨方程的常用方法： ①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； ②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定 系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联 系； ④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动 直线交点的轨迹．
高考真题要回访，做好真题底气足 1．(2014· 四川高考)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在 → → 该抛物线上且位于x轴的两侧， OA · OB ＝2(其中O为坐标原点)， 则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( A．2 B．3 17 2 C. 8 ) D. 10
答案：B
解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， → → ∵OA· OB＝2，
圆锥曲线(2018-2)
(3)已知双曲线xa22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的
切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，
且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B．y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x D．y＝±( 3－1)x
热点二 圆锥曲线的几何性质
直
相切
只有一个交点且 0
线 与
椭圆 两个交点 0
圆
锥
交于两点 0
曲 线
相交
双曲线 交于一点（直线与渐近线平行）
的
位
交于两点 0
置 关 系
抛物线 交于一点(直线平行于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
热点三 直线与圆锥曲线
例 3. 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.
(3)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B
在椭圆2x52 ＋y92＝1
上，则sin
A＋sin sin B
C＝________.
解析
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
例 2(4) 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|， 且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x
抛物线的标准方程与几何性质解题方略 (1)求抛物线的标准方程的方法及流程 ①方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，
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二、圆锥曲线的范围问题 【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点， 一般出选择题、填空题． 方法1：曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式； 解题步骤
②化简关系式求解． 适用情况 利用定义求解圆锥曲线的问题.
【例1】►已知双曲线
x2 a2
－
by22＝1(a＞0，b＞0)的左来自右焦点分别即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，
即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9. 答案 9
方法2：切线法 ①求与直线平行的圆锥曲线的切线；
解题步骤 ②求出两平行线的距离即为所求的最值． 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直
适用情况 线的距离的最值时用此法.
3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝－233，此时y＝ 33，
即椭圆上的点－233， 33到直线y＝x＋2 3的距离最小，最小
值是 26； 当b＝－ 3 时，直线y＝x－ 3 到直线y＝x＋2 3 的距离d2＝
326，将b＝－ 3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝233，此时y＝－ 33，
方法2：判别式法
①联立曲线方程，消元后求判别式； 解题步骤 ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲
线性质求解． 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别 对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的 适用情况 一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于
零．此类问题可用判别式法求解.
【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过
即椭圆上的点233，－ 33到直线y＝x＋2 3的距离最大，最大
值是3
6 2.
方法3：参数法 ①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；
解题步骤 ②求解关于这个参数的函数最值．
适用情况 可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.
【例3】►在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆
x2 3
＋y2＝1
上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
h1＝|x1＋2k5x1－2|＝21＋25k＋1＋41k＋2 4k2， h2＝|x2＋2k5x2－2|＝21＋25k－1＋41k＋2 4k2， 又|AB|＝ 22＋1＝ 5，所以四边形AEBF的面积为 S＝12|AB|(h1＋h2)＝12· 5·4511＋＋24kk2＝211＋＋42kk2 ＝2 1＋1＋4k24＋k24k≤2 2， 当2k＝1，即k＝12时，取等号． 所以四边形AEBF面积的最大值为2 2.
解析 因为椭圆x32＋y2＝1的参数方程为
x＝ 3cos φ y＝sin φ，
(φ为参数)．
故可设动点P的坐标为( 3cos φ，sin φ)，
其中0≤φ＜2π.
因此S＝x＋y＝
3 cos
φ＋sin
φ＝2
3 2 cos
φ＋12sin
φ
＝
2sinφ＋3π，所以，当φ＝6π时，S取最大值2.故填2.
点(0，
2
)且斜率为k的直线l与椭圆
x2 2
＋y2＝1有两个不同的交
点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否
存在常数m，使得向量
→ OP
＋
→ OQ
与
→ AB
共线？如果存在，求m
值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1， 整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 得Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0， 解得k＜－ 22或k＞ 22， 即k的取值范围为－∞，－ 22∪ 22，＋∞.
【例2】►求椭圆
x2 2
＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2
3 的距离的最
大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解 设椭圆的切线方程为y＝x＋b，
代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝± 3.
当b＝ 3时，直线y＝x＋ 3与y＝x＋2 3的距离d1＝ 26，将b＝
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则O→P＋O→Q＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程①，知x1＋x2＝－14＋22kk2.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝1＋2 22k2.③ 由A( 2，0)，B(0,1)，得A→B＝(－ 2，1)．
方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题 【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空 题和解答题． 方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程； 解题步骤
②将最值问题转化为距离问题求解． 此法为求解最值问题的常用方法，多数 适用情况 题可以用.
【例1】►已知点F是双曲线
为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲
线的离心率e的取值范围是________．
解析 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝23a，|PF2|＝23a. 根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即23a≥c－a， 即ac≤53，即e≤53.又e＞1， 故双曲线的离心率e的取值范围是1，53.故填1，53. 答案 1，53
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，定点A的坐标
为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，
即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，
答案 2
方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．
解题步骤 ②利用基本不等式求得表达式的最值．
适用情况 最值问题中的多数问题可用此法.
【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶 点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF 面积的最大值． 解 依题设得椭圆的方程为x42＋y2＝1. 直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝ 1＋2 4k2.① 根据点到直线的距离公式和①式， 得点E，F到AB的距离分别为