古典概型解题技巧解析
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
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首先看一下，古典概型基本知识点的总结：
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(2)概率公式
P(A)＝基本事件的总数(A包含的基本事件的个数)．
还有古典概型容易出现的两个易错点，一定需要注意：
1．辨明两个易误点
(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．
(2)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2．古典概型中基本事件的求法
(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．
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古典概型c公式和a公式古典概型解题步骤关键等可能事件的两个特征条件
一、古典概型解题步骤（1）阅读题目，搜集信息；（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；（4）用公式求出概率并下结论。
二、求古典概型的概率的关键：1.求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
2.古典概型c计算方法：c(n,m)=n!/[(nm)!*m!]，这是概率公式中的组合公式，等于从n开始连续递减的m个自然数的积除以从1开始连续递增的m个自然数的积。
三、基本事件的定义：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
四、古典概型：如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
五、古典概型的特点有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）六、基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的。
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
七、古典概型的C与A1.C表示组合方法的数量。
比如C（3,2）表示从3个物体中选出2个,总共的方法是3种,分别是甲乙、甲丙、乙丙.（3个物体是不相同的情况下）2.A表示排列方法的数量。
比如n个不同的物体,要取出m个（m<=n）进行排列,方法就是A（n,m）种，也可以这样想,排列放第一个有n种选择,第二个有n1种选择,第三个有n2种选择,·····,第m个有n+1m种选择,所以总共的排列方法是n （n1）（n2）···（n+1m）,也等于A（n,m）。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它涉及到对已知的随机试验的多种可能结果和其对应概率的求解。
在高中数学必修三中，古典概型的解题技巧是学生必须掌握的一部分内容。
下面将介绍几种常见的古典概型解题技巧。
1. 直接计数法直接计数法是指通过对试验结果的数量进行计数，从而求解概率。
该方法一般适用于试验结果较少且容易确定的情况。
有5个小球，其中2个红色，3个蓝色，求从中任意抽取2个小球，抽到两个红色小球的概率。
按照直接计数法，我们可以将这个问题转化为从5个小球中抽取2个小球的问题，同时我们知道其中2个小球是红色的。
我们可以计算红色小球和非红色小球的组合数，然后除以所有小球的组合数来求解概率。
2. 互补事件法互补事件法是指通过求解事件的互补事件概率来求解事件的概率。
互补事件是指与事件A互补的事件，即事件A不发生的事件。
对于互补事件，其概率加上事件的概率必然等于1。
有一个盒子中有3个红球和2个蓝球，从中任意抽取一个球，求抽到一个红球的概率。
按照互补事件法，我们可以将该事件的互补事件定义为抽到一个蓝球的事件。
我们可以先求解抽到一个蓝球的概率，然后用1减去该概率来求解抽到一个红球的概率。
3. 排列组合法排列组合法是指通过排列组合的知识来求解概率。
它适用于试验结果较多且不易直接计数的情况。
有8个字母a，b，c，d，e，f，g，h，从中任意抽取3个字母，求抽取的三个字母都是元音字母的概率。
按照排列组合法，我们可以先计算所有情况的数量，即从8个字母中任意抽取3个字母的组合数，然后计算抽取的三个字母都是元音字母的情况数量，并将其除以所有情况的数量来求解概率。
4. 事件的分解法通过掌握以上几种古典概型解题技巧，可以帮助高中数学学生更好地理解和应用古典概型，在解决实际问题时能够灵活运用这些技巧，提高解题能力。
高三数学解题方法谈：“古典概型”求解三注意
用心 爱心 专心 “古典概型”求解三注意解古典概型问题时，要首先验证它的两个特点：（1）有限性：做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的基本事件．（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．虽然计算公式()m P A n=比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧性强，下面说一下在解题中需要注意的几个问题．一、试验必须具有古典概型的两大特征———有限性和等可能性例1 掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率．解：这个试验的基本事件（所有可能结果）共有4种：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件A “出现一正一反”的所有可能结果为：（正，反），（反，正），∴21()42P A ==． 评注：均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个．二、计算基本事件的数目时，须做到不重不漏例2 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：（1）A ={三个数字中不含1和5}；（2）B ={三个数字中含1或5}．解：这个试验的所有可能结果为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种．（1）事件A 为（2，3，4），故1()10P A =． （2）事件B 的所有可能结果为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共9种．故9()10P B =． 评注：如果计算某事件容易重复或遗漏，可利用其对立事件求解．三、利用事件间的关系例3 有3个完全相同的小球a b c ，，，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．解：a b c ，，三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为： 甲盒 a b c ，， a b ，a a c ，bc ， b c 空 乙盒 空 c b c ， b a c a ， a b ， a b c ，，两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a b c ，，，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a b c ，，，共两个，故23184P =-=． 评注：在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式12312()()()()n n P A A A A P A P A P A =+++求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式()1()P A P A =-求得．。
古典概型问题的求解技巧
高考数学复习点拨：古典概型问题的求解技巧古典概型问题的求解技巧山东尹征曹贤波解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n与事件A中包含的结果数m，而这往往会遇到计算搭配个数的困难.因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧.一、直接列举把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解.例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率.（1）取出的两球都是白球；（2）取出的两球一个是白球，另一个是红球.分析：首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为：；（2）从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共８个. ∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为：．二、巧用图表由于古典概型问题中基本事件个数有限，故通过图表可以形象，直观地解决这类问题.例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求摸出2个黑球的概率. 分析：运用集合中的Ｖenn图直观分析.解：如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果.Ｕ的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果. 因此，摸出2个黑球的概率是：．三、逆向思维对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率. 分析：直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷.解：至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点.因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为：．至少有一个5点或6点的概率为．四、活用对称性例4 有A，B，C，D，E共5人站成一排，A在B的右边（A，B可以不相邻）的概率是多少？解析：由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是．。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中的基础概念之一，常用于求解事件的概率。
以下是高中数学必修三古典概型的几种解题技巧。
一、树状图法树状图法是古典概型中常用的解题方法，它可以清晰地表示出各种可能的情况。
以硬币为例，假设有一枚硬币，抛掷两次，求出现正面向上的概率。
树状图法的步骤如下：1. 以一条直线表示硬币的抛掷过程，从左到右按顺序表示每次抛掷；2. 在直线上的每个箭头上标注相应的可能结果，如正面向上（记作“正”）和反面向上（记作“反”）；3. 沿着直线不断扩展出所有可能结果，直到达到所需的抛掷次数。
通过树状图得出的所有可能结果是等可能事件，即每个事件的概率都是相等的。
我们可以通过树状图上的路径来计算事件发生的概率。
在本例中，正面向上的概率就是出现正正的路径所占的比例。
二、排列组合法排列组合法是古典概型中常用的解题方法，特别适用于解决有序排列的问题。
在排列组合中，我们经常使用的有序排列方法有全排列、排列和组合。
全排列是将一组元素全部排列出来的情况，根据全排列的特性，可以使用阶乘来表示。
从1到10的数字中取出4个数字进行全排列，可以得到4的阶乘，即4！=4x3x2x1=24种排列方式。
排列是从一组元素中取出一部分元素进行排列的情况，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示取出的元素个数。
三、样本空间法样本空间法是古典概型中常用的解题方法，通过列出所有可能的结果，构建样本空间，再根据事件发生的情况求解事件的概率。
以抛掷两颗骰子为例，求两颗骰子点数和为9的概率。
我们需要列出骰子所有可能的结果，即从1到6的数字，每个数字都有可能出现。
然后，我们可以根据这些可能结果来构建样本空间，得到所有可能的点数和。
在这个问题中，样本空间是一个有序对组成的集合，它包含了所有可能的点数和。
我们通过统计样本空间中点数和为9的有序对的数量，计算出该事件发生的概率。
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古典概型解题技巧解析
【摘要】古典概型在概率论中占有相当重要的地位。
本文将对古典概型问题的解法进行探讨，题分析，归纳总结出古典概型问题的解题方法。
【关键词】古典概型；分球入盒；对立事件；样本空间；全概率公式
古典概型在概率论中有着相当重要的地位，在概率论的学习中起着奠基性的作用。
古典概型是一类特定的随机试验的概率类型，它的主要特点是“各可能结果具有等可能性”。
古典概型涉及形式多样的实际问题，本文将对古典概型的解法进行讨论，通过典型例题分析，归纳出解题方法。
1 巧选样本空间解题
例1 n个小朋友随机围圆桌而坐，求其中甲、乙两人坐在一起（座位相邻）的概率。
评：如果更具体点，可选取样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}，ωi表示乙坐在甲左边第i个位置上，它满足有限等可能的要求，要求的事件A={ω1，ωn-1 }。
我们这样选取的样本空间Ω是符合古典概型要求（元素有限且等可能）最小的样本空间了，显然解法二比解法一简便很多。
2 利用分球入盒模型解题
分球如何问题是古典概型中经常遇见的一类题目，它们形式多样，但这类问题可用以下几个公式总结。
2.1 球是可辨别的
例1 设有m个可辨的球，每一个球都等可能地被分配到M（m≤M）个不同的盒子中去，求下列事件的概率：
（1）某指定的m个盒子中各有一球；
解：每一个球有M个盒子可供选择，所以m个球放入M个盒子的放法共有Mm种，且它们都是等可能的。
M个可辨的球放入M个盒子中的分布，是一种理想化的概率模型，可用以描述许多很多直观背景不同的随机试验。
如生日问题，性别问题，旅客下站问题，分房问题，意外事件问题。
2.2 球是不可分辨的
这种情形还可以解决其它不同背景的古典问题，例如随机取数问题，英文字母排列问题。
3 利用对立事件方法解题
古典概型中样本空间每一基本事件的等可能性，使古典概型问题具有对称性，也就是考虑对立事件，利用对称思想是解决古典概型的一种常用的思想，如果解决一个问题很困难，可以考虑它的对立事件，则可使问题简单化。
例1 打桥牌时把一副扑克牌分发给4人，问指定某人没有同时得到黑桃A、黑桃K的概率为多少？
4 运用化归的思想解题
化归方法是解决古典概型的另一基本方法，它的基本思想是：当原问题难以解决时，将原问题化为一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。
最常见的就是具体问题一般化。
具体问题一般化就是说把特殊问题当作一般问题处理，通过一般问题的解决然后再将问题特殊化就解决了。
例甲、乙两人各有本钱50元，20元，他们以掷一枚硬币决定胜负，规定每掷一次，若正面朝上则甲付给乙1元，反之，则乙付给甲1元。
如此继续下去，直至一人输光。
求下列事件的概率a）甲输光b）已输光c）永不输光
评：由上例可以可看出，对于一些求总量的古典概型，如果问题的条件描述了它的逐步变化规则，那么用特殊到一般的方法，通过建立递推关系求解往往是很有效的。
5 利用全概率，条件概率公式解题
例 1 设某类产品是由1，2，3三个加工厂生产的，它们的市场占有率分别为0.5，0.25，0.25，其产品的次品率分别为0.02，0.02，0.04。
今从市场任购一件这类产品，试问买到次品的概率是多少？
例 2 某保险公司的统计表明，新保险的汽车司机中可化分为两类：第一类人易出事故，其在1年内出事故的概率为0.4，第二类的人比较谨慎，其在1年内出事故的概率为0.2.假定第一类占新保险司机的30%。
那么一个新保险客户在买保险后1年内出事故的概率为多少？
解：设事件A=“客户在一年内出事故”，直接求A的概率不容易，要设法找到与A有关的分割，设B=“第一类投保司机”C=“第二类投保司机”，且{B、C}构成Ω的一个分割，并且知道p（B）=0.3，p（A/B）=0.4，p（C）=0.7，p（A/C）=0.2，利用全概率公式可得p（A）=p（B）p（A/B）+p（C）p（A/C）=0.26，这表明，100位新客户在1年内大约有26人出事故。
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