古典概型解题技巧

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题

Title Abstract

Keywords

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1古典概型简介

随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。

在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。

在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。

2古典概型的计算

我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。

如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。假设Q是一个古典概型

的样本空间，则对事件A: P (A)= 中的样本点数中的样本点数。

在计算m和n时，经常使用排列与组合

计算公式。在确定一个实验的每个基本事件发生的可能性相同的时候，往往依据问题本身所具有的某种对称性，即利用人们长期积累的关于对称性的实际经

验，认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或者偏小。

法与应用

3. 1分球问题

分球问题一般为将n 个球分别放到N 个盒子中去，这需要考虑各种不 同的情

况，比如，这n 个球是否可辨，每个盒子是否有储存球的上线。而根据 这些情况的不同，解题的方法与技巧也有所不同，得到的结论更是相差巨大。 所以计算时需要仔细理解该题目的各项条件。例题如下：

四个可分辨的球，随机的投入到三个不同的盒子中，试求三个盒子都 这一类题

目可以从2种不同的角度去思考：

第一种从多余球的角度，有四个不同的球，而有三个盒子，那么基本 的总的事

件数是34

。而在每个盒子都不空的情况下，必然会多出一个球。则我 们需要讨论的是哪个球放入了那个盒子里面。首先，从四个球中任取三个球， 以每个球放入一个盒子的形式放入盒子中，则有

• 3!种方法，这样保证了

每个盒子都不空的条件。然后将余下的球放入任意一个盒子中，于是有 3种方

法。但是这里有一个非常容易出错的地方，在于我们是先放了三个球再放了一 个球，对于两个球一个盒子的情况，我们相当于对其进行了排序，所以在计算 结束的时候要除以 。可得：

P (A )=

第二种思想我们可以从空盒子的角度去思考：基本事件总数是

34。要

求得三个盒子都不空，我们可以用总数减去至少空一个盒子的情况：我们可以 轻松地求出至少空一个盒子的情况：

。可得：

P (A ) =1-

我们可以将这个结论进行推广：

我们有N+1个球，随机的放入N 个盒子中，试求每个盒子都不空的概 率。 我们可以根据第一种解题角度来思考这个问题，设所求的概率为

P n ，

则：

Pn=

3. 2随机取数问题

【1】曾宏伟古典概型的概率计算方

不空的概率

【2】安永红古典概型问题的推广

3. 2. 1随机地同时从袋中取出若干球

随机地同时从不可透视的口袋中取出若干球的问题是古典概型中的一类基本的问题，它的特点是在此事件中会涉及球的种类但不涉及球的先后顺序，在计算过程中只需要考虑组合即可。例题如下：

一个袋中有8个球，其中5个黑球，3个白球，现随机地从袋中取出4 个球，求恰好有1个白球的概率。

本题的解题思路在于，当恰好有一个白球的时候，取出的四个球为三个黑球加一个白球。从五个黑球中取出三个黑球的结果数为，从三个白球中取

出一个白球的结果数为，总的事件数为。可得：

P = ------ =—

我们可以将这个问题进行推广：一个袋中有m个黑球，n个白球，共m+n 个球，现随机中取出k个球（k

我们可以根据上一题的解题思路用相同的方法可知，若符合题意，则一共取出了q个白球和k-q个黑球。从m个黑球中取出k-q个黑球的可能有，从n个白球中取出q个白球的可能有，总的事件数为。可得：

P = ---------

3. 2. 2随机从带中取球若干次

随机取数问题不仅仅只包括了从袋中取出若干球的类型，它还涉及了随机地从袋中取球若干次，这一类问题有分为两个种类：取出球之后放回袋中与取出球之后不放回袋中。这一类问题不止需要考虑球的种类，同时因为是多次选取，所以会涉及到取球的顺序。例题如下：

一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现在每次不放回地随机地从中取出一个球，求下列事件的概率：（1）第i次取到的是白球；（2）第i 次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次恰好取到了q个白球；（5）到第i次为止才取到q个白球。

（1）第i次取到的是白球，我们可以分开理解。首先，一共取了i次，

一共取了i个球，所以有种不同的可能；其次，第i次取到的是白球则有种可能。可得：