古典概型解题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
古典概型c公式和a公式古典概型解题步骤关键等可能事件的两个特征条件
一、古典概型解题步骤（1）阅读题目，搜集信息；（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；（4）用公式求出概率并下结论。
二、求古典概型的概率的关键：1.求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
2.古典概型c计算方法：c(n,m)=n!/[(nm)!*m!]，这是概率公式中的组合公式，等于从n开始连续递减的m个自然数的积除以从1开始连续递增的m个自然数的积。
三、基本事件的定义：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
四、古典概型：如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
五、古典概型的特点有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）六、基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的。
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
七、古典概型的C与A1.C表示组合方法的数量。
比如C（3,2）表示从3个物体中选出2个,总共的方法是3种,分别是甲乙、甲丙、乙丙.（3个物体是不相同的情况下）2.A表示排列方法的数量。
比如n个不同的物体,要取出m个（m<=n）进行排列,方法就是A（n,m）种，也可以这样想,排列放第一个有n种选择,第二个有n1种选择,第三个有n2种选择,·····,第m个有n+1m种选择,所以总共的排列方法是n （n1）（n2）···（n+1m）,也等于A（n,m）。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它涉及到对已知的随机试验的多种可能结果和其对应概率的求解。
在高中数学必修三中，古典概型的解题技巧是学生必须掌握的一部分内容。
下面将介绍几种常见的古典概型解题技巧。
1. 直接计数法直接计数法是指通过对试验结果的数量进行计数，从而求解概率。
该方法一般适用于试验结果较少且容易确定的情况。
有5个小球，其中2个红色，3个蓝色，求从中任意抽取2个小球，抽到两个红色小球的概率。
按照直接计数法，我们可以将这个问题转化为从5个小球中抽取2个小球的问题，同时我们知道其中2个小球是红色的。
我们可以计算红色小球和非红色小球的组合数，然后除以所有小球的组合数来求解概率。
2. 互补事件法互补事件法是指通过求解事件的互补事件概率来求解事件的概率。
互补事件是指与事件A互补的事件，即事件A不发生的事件。
对于互补事件，其概率加上事件的概率必然等于1。
有一个盒子中有3个红球和2个蓝球，从中任意抽取一个球，求抽到一个红球的概率。
按照互补事件法，我们可以将该事件的互补事件定义为抽到一个蓝球的事件。
我们可以先求解抽到一个蓝球的概率，然后用1减去该概率来求解抽到一个红球的概率。
3. 排列组合法排列组合法是指通过排列组合的知识来求解概率。
它适用于试验结果较多且不易直接计数的情况。
有8个字母a，b，c，d，e，f，g，h，从中任意抽取3个字母，求抽取的三个字母都是元音字母的概率。
按照排列组合法，我们可以先计算所有情况的数量，即从8个字母中任意抽取3个字母的组合数，然后计算抽取的三个字母都是元音字母的情况数量，并将其除以所有情况的数量来求解概率。
4. 事件的分解法通过掌握以上几种古典概型解题技巧，可以帮助高中数学学生更好地理解和应用古典概型，在解决实际问题时能够灵活运用这些技巧，提高解题能力。
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种基本且重要的概率模型。
理解古典概型的概率计算对于我们解决许多实际问题具有重要意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义和特点古典概型是指试验中所有可能的结果都是有限的，并且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
其具有以下两个特点：1、有限性：试验的可能结果只有有限个。
2、等可能性：每个可能结果出现的概率相等。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型试验中，所有可能的结果共有 n 个，事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题解析例 1：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子中球的总数为 5 ＋ 3 ＝ 8 个，红球有 5 个。
根据古典概型的概率计算公式，取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 5 ／ 8 。
例 2：抛掷一枚均匀的骰子，求掷出点数为奇数的概率。
解：抛掷一枚骰子，可能出现的点数有 1、2、3、4、5、6，共 6 种结果。
其中奇数点数为 1、3、5，共 3 种结果。
所以掷出点数为奇数的概率 P(掷出奇数) ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
例 3：从 1、2、3、4、5 这 5 个数字中，任意抽取 2 个数字，求这2 个数字之和为 6 的概率。
解：从 5 个数字中任意抽取 2 个数字，共有 C(5, 2) ＝ 10 种组合方式。
其中和为 6 的组合有(1, 5)和(2, 4)，共 2 种。
所以概率 P(和为 6) ＝ 2 ／ 10 ＝ 1 ／ 5 。
四、常见的解题步骤1、明确试验的类型，判断是否为古典概型。
2、确定试验的所有可能结果总数 n 。
3、找出事件 A 包含的结果数 m 。
4、代入概率计算公式 P(A) ＝ m ／ n ，计算出概率。
五、易错点分析1、对试验的可能结果考虑不全面，导致计算结果错误。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。
古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。
在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。
下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。
一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。
对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。
有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。
2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。
排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。
3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。
1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。
划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。
2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。
3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。
古典概型解法技巧
古典概型 解法技巧解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n 与事件A 中包含的结果数m ，而这往往会遇到计算搭配个数的困难因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧一、直接列举把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解例1 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道．（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少分析：这是一个古典概型的概率问题，关键是计算出公式中的m ，n ，然后直接应用公式()A P A m n==包含的基本事件的个数基本事件的总数进行求解． 解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90．（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件Ａ包含的基本事件数．甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24．244()9015m P A n ===∴． （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 所含基本事件数为4×3＝12．∴由古典概型概率公式，得122()9015P B ==， 由对立事件的性质可得213()1()11515P C P B =-=-=． 评注：本题主要考查等可能事件的概率计算、对立事件的概率计算以及分析和解决实际问题的能力．例2 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率（1）取出的两球都是白球；（2）取出的两球一个是白球，另一个是红球分析：首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）∴取出的两个球全是白球的概率为：62155P ==；（2）从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共８个 ∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为：815P =． 二、巧用图表由于古典概型问题中基本事件个数有限，故通过图表可以形象，直观地解决这类问题例3 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求摸出2个黑球的概率分析：运用集合中的Ｖenn 图直观分析解：如图所示，所有结果组成的集合U 含有6个元素，故共有6种不同的结果Ｕ的子集A 有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果 因此，摸出2个黑球的概率是：card()31card()62A P U ===． 三、逆向思维对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率例4 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率 分析：直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷 解：至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为：164369P ==． 至少有一个5点或6点的概率为45199-=． 四、活用对称性例5 有A ，B ，C ，D ，E 共5人站成一排，A 在B 的右边（A ，B 可以不相邻）的概率是多少解析：由于A ，B 不相邻，A 在B 的右边和B 在A 的右边的总数是相等的，且A 在B 的右边的排法数与B 在A 的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A 在B 的右边的概率是12． 五、数形结合法例6 如图所示的道路，每一个分叉口都各有2条新的歧路，如果有一只羊进入这个路网，已经走过了10个分叉口，那么从某一条歧路上去找这只羊，找到的可能性有多大解析：经过1个分叉口，歧路有2条； 经过2个分叉口，歧路有22条；经过3个分叉口，歧路有32条；…，经过n 个分叉口，歧路有2n 条．现在羊已经走过了10个分叉口，羊可以走的歧路有210条，而能找到这只羊的路只有其中1条，故找到这只羊的概率只有101121024=．六、模拟法例7 某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多大如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少设计一个试验，随机模拟估计上述概率．解：用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1、2表示能打开门，3，4，5表示打不开门．（１） 三个一组（每组数字不重复），统计总组数Ｎ及前两个大于2，第三个是1或2 的组数1N N即为不能打开门即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值． （2）三个一组，统计总组数M 及前两个大于2，第三个为1或2的组数1M ，则1M M即为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值．。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中的基础概念之一，常用于求解事件的概率。
以下是高中数学必修三古典概型的几种解题技巧。
一、树状图法树状图法是古典概型中常用的解题方法，它可以清晰地表示出各种可能的情况。
以硬币为例，假设有一枚硬币，抛掷两次，求出现正面向上的概率。
树状图法的步骤如下：1. 以一条直线表示硬币的抛掷过程，从左到右按顺序表示每次抛掷；2. 在直线上的每个箭头上标注相应的可能结果，如正面向上（记作“正”）和反面向上（记作“反”）；3. 沿着直线不断扩展出所有可能结果，直到达到所需的抛掷次数。
通过树状图得出的所有可能结果是等可能事件，即每个事件的概率都是相等的。
我们可以通过树状图上的路径来计算事件发生的概率。
在本例中，正面向上的概率就是出现正正的路径所占的比例。
二、排列组合法排列组合法是古典概型中常用的解题方法，特别适用于解决有序排列的问题。
在排列组合中，我们经常使用的有序排列方法有全排列、排列和组合。
全排列是将一组元素全部排列出来的情况，根据全排列的特性，可以使用阶乘来表示。
从1到10的数字中取出4个数字进行全排列，可以得到4的阶乘，即4！=4x3x2x1=24种排列方式。
排列是从一组元素中取出一部分元素进行排列的情况，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示取出的元素个数。
三、样本空间法样本空间法是古典概型中常用的解题方法，通过列出所有可能的结果，构建样本空间，再根据事件发生的情况求解事件的概率。
以抛掷两颗骰子为例，求两颗骰子点数和为9的概率。
我们需要列出骰子所有可能的结果，即从1到6的数字，每个数字都有可能出现。
然后，我们可以根据这些可能结果来构建样本空间，得到所有可能的点数和。
在这个问题中，样本空间是一个有序对组成的集合，它包含了所有可能的点数和。
我们通过统计样本空间中点数和为9的有序对的数量，计算出该事件发生的概率。
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古典概型解题技巧古典概型解题技巧方率憔W 要4 r、要訝,ME 、取解":本^球^ 冲随一个^^匣咼。
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摸^^以 分其学疋之一概于一论看初巧 与部昭也畫实$掘技辭$滤 .. 徉和研 关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题Title AbstractKeywords：1古典概型简介随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。
事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。
而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。
随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。
在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。
在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。
但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。
而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。
在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。
这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。
2古典概型的计算我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。
古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。
如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。
假设Q是一个古典概型的样本空间，则对事件A: P (A)= 中的样本点数中的样本点数。
在计算m和n时，经常使用排列与组合计算公式。
在确定一个实验的每个基本事件发生的可能性相同的时候，往往依据问题本身所具有的某种对称性，即利用人们长期积累的关于对称性的实际经验，认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或者偏小。
法与应用3. 1分球问题分球问题一般为将n 个球分别放到N 个盒子中去，这需要考虑各种不 同的情况，比如，这n 个球是否可辨，每个盒子是否有储存球的上线。
而根据 这些情况的不同，解题的方法与技巧也有所不同，得到的结论更是相差巨大。
所以计算时需要仔细理解该题目的各项条件。
例题如下：四个可分辨的球，随机的投入到三个不同的盒子中，试求三个盒子都 这一类题目可以从2种不同的角度去思考：第一种从多余球的角度，有四个不同的球，而有三个盒子，那么基本 的总的事件数是34。
而在每个盒子都不空的情况下，必然会多出一个球。
则我 们需要讨论的是哪个球放入了那个盒子里面。
首先，从四个球中任取三个球， 以每个球放入一个盒子的形式放入盒子中，则有• 3!种方法，这样保证了每个盒子都不空的条件。
然后将余下的球放入任意一个盒子中，于是有 3种方法。
但是这里有一个非常容易出错的地方，在于我们是先放了三个球再放了一 个球，对于两个球一个盒子的情况，我们相当于对其进行了排序，所以在计算 结束的时候要除以 。
可得：P (A )=第二种思想我们可以从空盒子的角度去思考：基本事件总数是34。
要求得三个盒子都不空，我们可以用总数减去至少空一个盒子的情况：我们可以 轻松地求出至少空一个盒子的情况：。
可得：P (A ) =1-我们可以将这个结论进行推广：我们有N+1个球，随机的放入N 个盒子中，试求每个盒子都不空的概 率。
我们可以根据第一种解题角度来思考这个问题，设所求的概率为P n ，则：Pn=3. 2随机取数问题【1】曾宏伟古典概型的概率计算方不空的概率【2】安永红古典概型问题的推广3. 2. 1随机地同时从袋中取出若干球随机地同时从不可透视的口袋中取出若干球的问题是古典概型中的一类基本的问题，它的特点是在此事件中会涉及球的种类但不涉及球的先后顺序，在计算过程中只需要考虑组合即可。
例题如下：一个袋中有8个球，其中5个黑球，3个白球，现随机地从袋中取出4 个球，求恰好有1个白球的概率。
本题的解题思路在于，当恰好有一个白球的时候，取出的四个球为三个黑球加一个白球。
从五个黑球中取出三个黑球的结果数为，从三个白球中取出一个白球的结果数为，总的事件数为。
可得：P = ------ =—我们可以将这个问题进行推广：一个袋中有m个黑球，n个白球，共m+n 个球，现随机中取出k个球（k<m+n，求其中有q个白球的概率（q<min{k,n}）。
我们可以根据上一题的解题思路用相同的方法可知，若符合题意，则一共取出了q个白球和k-q个黑球。
从m个黑球中取出k-q个黑球的可能有，从n个白球中取出q个白球的可能有，总的事件数为。
可得：P = ---------3. 2. 2随机从带中取球若干次随机取数问题不仅仅只包括了从袋中取出若干球的类型，它还涉及了随机地从袋中取球若干次，这一类问题有分为两个种类：取出球之后放回袋中与取出球之后不放回袋中。
这一类问题不止需要考虑球的种类，同时因为是多次选取，所以会涉及到取球的顺序。
例题如下：一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现在每次不放回地随机地从中取出一个球，求下列事件的概率：（1）第i次取到的是白球；（2）第i 次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次恰好取到了q个白球；（5）到第i次为止才取到q个白球。
（1）第i次取到的是白球，我们可以分开理解。
首先，一共取了i次，一共取了i个球，所以有种不同的可能；其次，第i次取到的是白球则有种可能。
可得：该问题可以理解为抽签这类概率问题的数学模型，而其结果则表现出这类数学模型的公平性。
（2）“第i次才取到白球”，我们可以认为：“前i-1次取出的都是黑球，第i次取出的是白球。
”根据乘法原理我们可知有种不同的取法。
可得：P2= ---- = ---（3）“前i次中能取到白球”，我们可以将这个问题倒推得出，我们只要知道“前i次都取到的是黑球”即可得出“前i次中能取到白球”的概率。
而“前i次取出的都是黑球”的概率为：P —，所以“前i次中能取到白球的概率”为：P3=1-——（4）“前i次中恰好取到q个白球”，我们可以理解为：“一共取出了q 个白球，i-q个黑球”，根据乘法原理我们可知应有种可能，可得：P4= ----- = ----（5）“到第i次为止才取到q个白球”，我们可以理解为：“前i-1次取到了q-1个白球，第i次取到的是白球”。
其中，由“前i-1次取到了q-1个白球”，可知有种可能，由“第i次取到的是白球”，可知有种可能，可得：P5= =再让我们来讨论又放回的取球的情况。
我们依然选择相同的问题：一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现在每次随机地从中取出一个球，然后放回袋中，求下列事件的概率：（1）第i次取到的是白球；（2）第i次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次恰好取到了q个白球；（5）到第i次为止才取到q个白球。
依次分析：（1）“第i次取到的是白球”说明“前i-1次都是取出再放回，并且对口袋中的球的种类及个数没有任何影响，然后第i次从n 个白球中取出了一个白球”,那么根据乘法原理可得应有（m+n）i-1种可能的取法。
可得:P l =（2）“第i次才取到白球”说明“前i-1次都是从m个黑球中取出1个黑球，然后第i次从n个白球中取出了1个白球”，一共有mfn种取法。
可得：P2 =（3）“前i次中能取到白球”的对立事件是“前i次中取出的都是黑球”，显然由第二问可得事件“前i次中取出的都是黑球”有m种可能。
所以可得“前i次中能取到白球”的概率为：P3=1 ------（）（4）“前i次中恰好取到q个白球”说明“取出的i个球中有q个白球和i-q个黑球”，由于取出后有放回，所以每次取出白球都是从n个白球中取出，每次取出黑球都是从m个黑球中取出。
根据乘法原理我们可以知道“前i次中恰好取到q个白球”应该有种取法，因此可得:P4 =（）（5）“到第i次为止才取到q个白球”说明“前i-1次中恰好取到q-1 个白球，第i次取到的是白球”，由上题可知前i-1次中恰好取到q-1个白球共有种可能；由于在第i次取球是，袋中仍然有n个白球，所以，第i次取到白球由n种可能。
所以有乘法原理我们可以得出“到第i次为止才取到q个白球”有种可能。
从而可得:P5=—（）在现实生活中，“随机从袋中取球若干次”这个问题模型有非常多的实际应用。
最常见的隶属于“抽奖”，抽奖有多种多样的形式，包括，抽签，刮卡，转盘等等。
在不考虑黑心商贩谎报奖励数目的情况下，抽签可以理解为不放回地从袋中取球若干次，而转盘的所有区如果平均分成n个大小相等的区域，则可以将其看作是有放回的从袋中取球若干次。
而根据两道例题的（1）问的结论, 我们可以得知，这两种形式对于单个顾客而言都是相对公平的。
综上所述，古典概型在生活中有大量的实际应用，并且古典概型作为概率论的基础模型，学好古典概型有助于加强我们对于概率的理解和学习。