图的连通性问题
图的连通性判断算法的时间复杂度
图的连通性判断算法的时间复杂度图是数学中一种常见的数据结构，在计算机科学中也有广泛的应用。
图由节点（顶点）和边组成，表示了不同元素之间的关系。
在图中，如果每个节点都可以通过路径相互到达，则该图被称为连通图，否则被称为非连通图。
图的连通性判断算法指的是判断给定的图是否是连通图的问题。
常见的图的连通性判断算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法。
接下来，将分别介绍这两种算法，并分析它们的时间复杂度。
一、深度优先搜索（DFS）算法深度优先搜索算法是一种递归的算法，通过访问节点的方式来遍历整个图。
DFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后通过递归地访问与该节点相邻的节点，直到没有未访问过的节点。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
DFS算法的时间复杂度取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么DFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每个节点都需要遍历它的所有相邻节点。
二、广度优先搜索（BFS）算法广度优先搜索算法是一种迭代的算法，通过按层级的方式遍历整个图。
BFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后按照从起始节点开始的顺序，依次访问每个节点的所有相邻节点。
通过不断扩展搜索的范围，直到所有节点都被访问过。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
BFS算法的时间复杂度也取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么BFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每次访问时都需要遍历其所有相邻节点。
总结：图的连通性判断算法的时间复杂度分别为O(n + m)的DFS算法和BFS算法。
其中，n表示图的节点数，m表示图的边数。
这两种算法在连通性判断问题上表现良好，并且可以在较短的时间内找到问题的解答。
需要注意的是，虽然DFS和BFS可以用于判断图的连通性，但它们在处理大规模图时可能存在效率问题。
图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。
定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。
证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。
若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(T w v T w ==−。
因此v 不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。
路uvw 是T 中一条),(w u 路。
因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。
图的连通性问题
G
H
图1 有向图G
A C
B D
F
G H
E
图2 逆置图G’
Step3：根据步骤1得到的遍历序列，按照结点结束访问时间递减 排序后的结果 EFGHACBD 下面，按照该结点序列顺序对逆置图G’所深度优先遍历，得到 的深度优先遍历森林如图3所示。森林中共有4棵树，其中(a)和(d) 只有一个结点，这里认为单结点也是一个强联通分量（在实际应 用中可以根据实际需要将这种情况过滤掉）。 A C E B D 图2 逆置图G’ F G A B D F G H
二、Kosaraju算法求解过程实 例
下面结合实例说明Kosaraju算法的基 本策略。图1给出了一个有向图G。
A
C
B
D
图1 有向图G
F
E
G H
Step1：假设从DFS在遍历时按照字母顺序进行，根据 Kosaraju算法，在步骤1中我们得到的遍历顺序可以表达为 [A,[C,[B,[D,D],B],C],A][E,[F,[G,[H,H],G],F],E] 越后出栈的点先访问 第一步所得到的顺序即为：EFGHACBD Step2：根据算法第2步，将图G逆置，得到对应的反向图G’ 如图2所示。 A C B D F E
有向图和它的转置的 强连通分量相同
所有SCC构成一个 DAG
求强连通分量使用 Kosaraju算法
一、Kosaraju算法步骤： Step1、对有向图G做dfs（深度优先遍历），记录每个结点结束访 问的时间(即节点出栈顺序，后出栈的点第二次先扫描) Step2、将图G逆置，即将G中所有弧反向。 Step3、按Step1中记录的结点结束访问时间从大到小对逆置后的 图做dfs Step4、得到的遍历森林中每棵树对应一个强连通分量。
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
应用离散数学图论图的连通性题库试卷习题及答案
§5.2 图的连通性习题5.21．证明或否定：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。
解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。
解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。
（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。
若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。
否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。
2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。
证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。
3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。
数据结构与算法 图的遍历与连通性
数据结构与算法图的遍历与连通性数据结构与算法：图的遍历与连通性在计算机科学中，数据结构和算法是解决各种问题的基石。
其中，图作为一种重要的数据结构，其遍历和连通性的研究具有至关重要的意义。
让我们先来理解一下什么是图。
简单来说，图是由顶点（也称为节点）和边组成的结构。
顶点代表了事物或者对象，而边则表示顶点之间的关系。
例如，在一个社交网络中，人可以被视为顶点，而人与人之间的好友关系就是边。
图的遍历是指按照一定的规则访问图中的所有顶点。
常见的图遍历算法有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是一个勇敢的探险家，一头扎进未知的领域，勇往直前，直到走投无路，然后回溯。
它的基本思想是先访问一个顶点，然后沿着一条未访问过的边递归地访问下一个顶点，直到没有可访问的边，再回溯到之前的顶点，继续探索其他未访问的边。
想象一下你在一个迷宫中，选择一条路一直走到底，直到遇到死胡同或者已经没有新的路可走，然后再返回之前的岔路口，选择另一条路继续前进。
广度优先遍历则像是一个谨慎的旅行者，逐层探索。
它先访问起始顶点，然后依次访问其所有相邻的顶点，再依次访问这些相邻顶点的相邻顶点，以此类推。
这就好比你在散播消息，先告诉离你最近的人，然后他们再告诉他们附近的人，一层一层地传播出去。
那么，为什么我们要进行图的遍历呢？这是因为通过遍历图，我们可以获取图的各种信息，比如顶点之间的关系、图的结构特点等。
在实际应用中，图的遍历有着广泛的用途。
例如，在搜索引擎中，通过遍历网页之间的链接关系来抓取和索引网页；在社交网络分析中，遍历用户之间的关系来发现社区结构等。
接下来，我们谈谈图的连通性。
连通性是指图中顶点之间是否存在路径相连。
如果从图中的任意一个顶点都可以到达其他任意一个顶点，那么这个图就是连通图；否则，就是非连通图。
判断图的连通性是一个重要的问题。
一种常见的方法是从某个顶点开始进行遍历，如果能够访问到所有的顶点，那么图就是连通的；否则，图是非连通的。
图的代数连通度
图的代数连通度图代数，又称为离散数学（discrete mathematics），是数学的一个分支，主要研究由一组节点和联系这些节点的边组成的网络，也称为图。
其中图的一种重要性质是连通性，它表明图中节点之间是否都可以相互访问。
因此，如何检测图中节点之间的联系，以及如何衡量图中节点之间的联系强度，成为离散数学研究的重要内容。
在此背景下，图的代数连通度受到了广泛关注。
图的代数连通度是指图中节点之间的联系强度，它可以通过图的邻接矩阵（adjacency matrix）来衡量。
例如，当图中有 n 个节点时，可以建立一个 nxn的二元矩阵，它的每一个元素 aij示节点 i 节点 j 之间的边的权重，如果这条边存在，则 aij 为 1，反之为 0。
图的代数连通度是一种度量图节点间联系强度的量化指标。
有一种常用的方法，称为^1度量，它表示图中任何两个节点之间的联系强度。
在具体的计算中，它可以使用图的邻接矩阵来求解，其计算公式为：A1(i,j)=aij其中，aij为节点i到节点j之间的边的权重，如果节点i与节点j存在边，则aij的值为1，反之aij的值为0。
这一度量的计算，可以直接表示节点之间的联系强度，这样就可以度量图中任意两个节点之间的联系强度。
除此之外，还有其他度量方法，包括特征值度量、最大边度量等。
特征值度量是利用图的邻接矩阵，求解图的连通特征值而得到的。
而最大边度量则是利用最大边权重来衡量图的连通性。
这些度量方法都可以有效地量化图的连通性，但也存在一定的局限性。
特征值度量只能度量图中任意两个节点之间的联系强度，而无法衡量图中不同节点组合的联系强度；而最大边度量又因为不能有效的衡量图的连通性，因此，可以说这些度量方法都有其局限性。
另一方面，图的代数连通度可以有效地提供图中节点间联系强度的量化指标。
它可以通过一组不同的系数和一系列矩阵运算来实现，并且可以有效地衡量图中任意几个节点之间的联系强度，而不受两个节点之间的边的数量的限制。
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//依次从每个未访问过的顶点 //出发DFS subnets=0; for( int n=1; n<=nodes; n++ ) { if(!visited[n]) { DFS(n); subnets++; } } //从顶点n出发，DFS遍历 int DFS( int n ) { visited[n]=1; for(int i=1; i<=nodes; i++) { if( node[n][i]==1 && !visited[i] ) DFS(i); } return 0; }
11
3 1
2 4 3 2 4 1 5 0
0
5 6
8 7
9
1
(c) 2 4 8 10
6 7
7 8 9 9
(a)
前进 回退
3
5
6
在DFS的回退 Low[u]=Min{ dfn[u], 过程计算每个 Min{ low[w] | w是u的一个子女}, 顶点的low值： min{ dfn[v] | (u,v)是一条回边} } 2 3 3 1 4 2 5 6 6 7 7 8 8 10 10 9 9 9 1 1 6 6
6
求关节点的算法
从顶点3出发进行深度优先搜索，得到图(b)所示的生成 树，并改画成图(c)所示的树形形状。 图(c)中每个顶点外侧的数字标明了进行深度优先搜索时 各顶点访问的次序，称为顶点的深度优先数，可以记在 数组dfn中。
0 1
2 4 (a)
8 7
9
5 0
4 1 3 21 2 4
3 1 10 8 5 6
7 8
6 6 7
9 9
3
5
6
3 2
3 4
4 1 2 5 0
5 7 8
9 9 (b)
(c)
6 7 8 10
7
注意： 如果u和v是2个顶点，且在深度优先搜索生成树中u 是v的祖先，则有dfn[u]<dfn[v]，表明u的深度优先数小于
v，u先于v被访问。
3 1
2 4 3 2 4 1 5 0
5 6
6 7
//依次去掉每个顶点(及其所关联的边)，用DFS遍历剩下的子图，得连通分量个数
for(int m=1; m<=nodes; m++) { int subnets=0; //子网数目 memset(visited,0,sizeof(visited)); for( int n=1; n<=nodes; n++ ) { if(m==n) continue;//跳过顶点n(并不需要真正去掉顶点n) if(!visited[n]) { DFS(m,n); //去掉顶点m，从顶点n出发DFS subnets++; } } if(subnets>1) SPF++; } 5
§ 对根节点：有几个子女，就分成了几个连通分量； § 如果不是根节点：有n个子女w ，使得low[w]>=dfn[u]，则 去掉该节点，分成了n+1个连通分量。
14
ZOJ题目
1119 解题报告
15
(c) 7 8 9 9 8 10
8
回边与交叉边
回边：当且仅当u在生成树中是v的祖先，或者v是u的祖先，非生 成树的边(u,v)才成为一条回边。如图(a)中的(1,3)、(5,7)都是回 边。
交叉边：除生成树的边、回边外，原图中的其他边称为交叉边。 一旦生成树确定以后，那么原图中的边只可能有回边和生成 树的边，交叉边实际上是不存在的。为什么？ 假设图(a)中存在边(1,7)(这就是所谓的交叉边)，那么顶点 7(甚至其他顶点都)只能位于顶点3的左边这条子树中。
Question：哪些顶点是关
8 10
2
3
节点？
3
1
顶点
dfn low low low low low
1
4
4
2
5
6
6
7
7
8
8
10 10
9
9 9
6 1 1
13
6 6 第二棵子树,回退顺序8,9,7,6,5
第一棵子树,回退顺序0,1,2,4,3
问题：找到关节点以后，去掉该关节点，将原 来的连通图分成了几个连通分量？
//去掉第m个顶点及其所关联的边，从第n个顶点出发进行DFS int DFS( int m, int n ) { visited[n]=1; for(int i=1; i<=nodes; i++) { if( i==m ) continue; //不考虑第m个顶点 if( node[n][i]==1 && !visited[i] ) DFS(m,i); } return 0; }
3
重连通分量
如果连通图G不是重连通图，那么它可以包括几个重连 通分量。一个连通图的重连通分量是该图的极大连通子 图。 图(1)包含了6个连通分量 0 8 9 1 1 7 7
7
2
4
3
5 6
4
判断关节点的朴素方法
依次去掉每个顶点（及其所关联的边），然后用DFS去搜索整个图， 可得到该图的连通分量的个数，如果是大于2，则该顶点是关节点。 (这种方法复杂度很高，只适合规模较小的题目) 例子：ZOJ 1311
0 1 2 4 3 (a)
8 7 5 6
10
9
2 4 3 2 4 1 5 0
5 6
6 7 (c) 7 8 9 9 8 10
因此，可对图G的每个顶点u定义一个low值，low[u]是 从u或u的子孙出发通过回边可以到达的最低深度优先数。 Low[u]=Min { dfn[u], Min{ low[w] | w是u的一个子女}, min{ dfn[v] | (u,v)是一条回边} } 因此，顶点u是关节点的充要条件是：u或者是具有两个 以上子女的一个生成树的根，或者虽然不是一个根，但 它有一个子女w，使得low[w]>=dfn[u]，这时w及其子 孙不存在指向顶点u的祖先的回边。(这时删去顶点u及其 所关联的边，则以顶点w为根的子树就从搜索树中脱离 了。)
0 1 2 4 (a) 3
8
7 5 6
9
9
2) 7 8
9 9
8 10
顶点u是关节点的充要条件：
1. 如果顶点u是深度优先搜索生成树的根，则u至少有2个子女； 为什么？ 删除u，它的子女所在的子树就断开了，你不用担心这些子 树之间(在原图中)可能存在边，因为交叉边是不存在的。 2. 如果u不是生成树的根，则它至少有一个子女w，从w出发，不 可能通过w、w的子孙，以及一条回边组成的路径到达u的祖先。 (这时删去顶点u及其所关联的边，则以顶点w为根的子树就从 搜索树中脱离了。) ? 顶点5为什么是关节点？ 3 1 ? 顶点6为什么不是关节点？
V2
V3 V5 V6
V4
图论算法理论、 实现及应用
V1 V2 4 Vs 8 V1 4 2 2 V3 1 6 4 V4
V7
V8
V9
V10
第8章 图的连通性问题
7 Vt 9
信息学院信息技术教研室
王桂平
连通性初步
能否遍历到所有的顶点？
Question：如果一个无向图是非连通图，从某个顶点出发， Answer：对非连通图，从某个顶点出发进行遍历，只能
顶点
在回 退过 程计 算顶 点的 low 值
dfn low low low low low
0 5 5
1 4 1
1 第一棵子树，回退顺序：0,1,2,4,3
12
6
第二棵子树，回退顺序：8,9,7,6,5
3 1
2 4 3 2 4 1 5 0
5 6
6 7
(c) 7 8 9 9
0
5 5 1 1
顶点u是关节点的充要条件： 1. u是根，且有2个以上的子女 2. u不是根，但存在一个子女w， 使得low[w]>=dfn[u]
2
关节点及重连通图
关节点：在一个无向连通图G中，当且仅当删去G中的顶 点v及其所关联的边后，可将图分割成2个或2个以上的 连通分量，则称顶点v为关节点(Articulation Point)，或 者称为割顶。 0 8 9 1 2 4 3 5 7
图(1)中，顶 点1、3、5、 7都是关节点
6
重连通图：没有关节点的连通图。在重连通图上，任何 一对顶点之间至少存在有2条路径，在删去某个顶点及其 所关联的边时，也不破坏图的连通性。