图的连通性-南京大学
定义：使非平凡连通图 G成为 不连通图或者平凡图 需要 删除的 最少 顶点数称为图 G 的 ( 点 ) 连通度 ，记为 κ(G) 。
(注意：这不意味着任意删除κ(G)个点就一定会使该图不连通)
约定：不连通图或平凡图的连通度为0，而κ(Kn)=n-1
若图G的连通度不小于k, 则称G是k-连通图；
同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
B=U⋅A⋅U-1 Bk=U⋅Ak⋅U-1（对角线元素之和相等？）
通路与同构
u1 u6 u2 u3 u4 u2 u1 u5 u4 u3 v1 v5 v4 v6 v1 v2 v3 v4 v2 v3
u5
v5
无向图的连通性
定义：无向图G称为是连通的，如果G中任意两个不 同顶点之间都有通路。
有关割边的四个等价命题
以下四个命题等价： (1) e是割边。 (2) e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有 相应结论) (3) 存在 V 的分划 {V1, V2}, 使得 ∀ u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含e。 (4) 存在顶点u,w，使得任意的uw-通路均包含e。
连通图“连接的牢固度”不一样
图G1中删除任意一条边都不连通了。 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 图G3删除任意一个点依然连通。 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除 顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
( 注意：若 G 是顶点数不少于 2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
点的删除与连通分支数量的增减
p(G-v)(其中v是G中任意一个顶点)的情况比较复杂
（注意：删除顶点意味着同时删除该点关联的边）
可能会……
减少 (删除孤立点) 不变 (例如：删除悬挂点) 增加很多个 (例如：star)
（孤立点）
（悬挂点）
割点
定义：G是图, v∈VG, 若p(G-v)>p(G), 则称v是割点
相关点
通路（举例）
a b c
d
e
f
简单通路：a, d, c, f, e。 长度为4。 通路：a, b, e, d, a, b。 长度为5。 回路：b, c, f, e, b。长度为4。 不是通路：d, e, c, b。
通路的定义（有向图）
定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n 条边e1,…, en的序列，满足下列性质
割边
定义：设G是图，e∈EG, 若p(G-e)>p(G), 则称e是G 中的割边。
割边
(注意：只需考虑割边所在的连通分支，以下讨论不妨只考虑连 通图)
割边与回路
e是割边当且仅当e不在G的任一简单回路上。(注意： 割点没有相应结论)
证明：
⇒ 假设e在某个简单回路C上。易证： e不是割边。 ⇐ 假设e=xy不是割边。则G-e仍连通，设P是G-e中的xy-路径， P中不含e, 则：P+e是G中的简单回路，矛盾。
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的分划{V1, V2}, 使∀u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 证明： (1)⇒(2): ∵v 是割点， G-v 至少存在两个连通分支，设其中一个的 顶点集是V1。令V2=V-(V1∪{v}), 则∀u∈V1, w∈V2, u,w一定在 G-v的不同的连通分支中。∴在G中，任何uw-通路必含v。
(2)⇒(3): 注意：(3)是(2)的特例。 (3)⇒(1): 显然，在G-v中已不可能还有uw-通路，∴G-v不连通， ∴v是割点。
边的删除与连通分支数量的增加
设p(G)表示图G中连通分支数，则：
p(G)≤ p(G-e) ≤ p(G)+1,
其中e是G中任意一条边
第一个“不大于”显然成立(删除e只会影响e所在的那一 个连通分支)。 第二个“不大于”成立: 注意在图中任意两点之间 加一条边，最多只能将两个连通分支连成一个。
v1 v2
v4
v3
简单通路：v1, v4, v2, v3。 长度为3。 通路： v2, v3, v1, v4, v2, v3 。 长度为5。 回路： v2, v1, v4, v2。长度为3。
通路与同构
设图G的邻接矩阵为A
(Ak)i,j: vi到vj的长度为k的通路个数 (Ak)i,i: vi到vi的长度为k的回路个数
存在vi∈V (0<i<n), 使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1≤i≤n)。 长度为0的通路由单个顶点组成。 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 回路：起点与终点相同，长度大于0。 简单通路： 边不重复，即，∀i, j, i≠j ei≠ej
相关点
通路（举例）
(k-连通图，即 κ(G)≥k：删除少于k个顶点，它依然连通。) ( κ(G)=k： k-连通图，且存在k个顶点，删除它们就不连通。)
b a c a b c
e
d
e
d
G1
G2
连通分支
连通分支
极大连通子图
每个无向图是若干个互不相交的连通分支的并。
“顶点之间存在通路”是一个等价关系，任一等价类上的 导出子图即为一个连通分支。
若图 G 中存在从 u 到 v 的通路，则一定有从 u 到 v 的简 单通路。
证明：最短通路必是单的，事实上，它没有重复顶点。
图的连通性
离散数学─图论初步 南京大学计算机科学与技术系
内容提要
通路与回路 通路与同构 无向图的连通性
连通度 2-连通图
有向图的连通性
无向图的定向
通路的定义
定义：图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n条边 e1,…, en的序列，满足下列性质
存在vi∈V (0<i<n), 使得vi-1和vi是ei的两个端点 (1≤i≤n)。 长度为0的通路由单个顶点组成。 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 回路：起点与终点相同，长度大于0。 简单通路： 边不重复，即，∀i, j, i≠j ei≠ej
CHAP 7 图的连通性
离 散 数 学
10
断集
• 断集：设G是一个图，V1，V2 V(G)，令 [V1,V2]={(u,v) ∈E(G) | u∈V1, v∈ V2}，并称 [V1,V2]为G的一个断集。 • 若(G) >0，则存在断集[V1,V2]，使得| [V1,V2]| = (G) 。 显然，存在边割E’，|E’| = (G)。令 V’={u| (u,v)∈E’且vV1}， V1 是V’和G-E’ 中 与V’ 中的某个顶点在同一连通分支中的顶点 的并集，V2=V(G)-V1，于是[V1,V2] 是G的一 个断集，且| [V1,V2]| = (G) 。
离 散 数 学
25
不可分图的任意两边同回路
• 推论7.2.2：若G是至少3个顶点的块，则G 的任意两条边都在G的某一条回路上。
证明：设e1和e2∈E(G)，分别 在e1和e2 上添加顶点v1和v2， 得到新图G1。显然G1仍是块， 且至少有5个顶点。因此G1是 不可分图，由推论7.2.1 v1和v2 在G1的同一条回路上，从而e1 和e2都在G的同一条回路上。
离 散 数 学
3
点连通度
• 定义7.1.1：设G为连通的非完全图，令 (G)=min{|V | V是 G的顶点割}， 称(G)为G的点连通度，简称为G的连通度。 • 为统一起见，规定(Kn)=n–1，当G为平凡图或非 连通图时，(G)=0 . • k––连通图：对图G，若(G)k 0，则称图G为 k––连通图。 • 显然，k––连通图必是一个(k–1)––连通图,所有非 平凡的连通图都是1––连通图。
离 散 数 学
8
连通度不大于平均度
• 定理7.1.2：任何图G(p,q)，有 (G) (G) 2q/p 其中 x 表示不超过x的最大整数。 证明：因为2q是G的顶点度之和，2q/p 是G的顶点的平均度，而(G)是G的最小 度，又(G)是整数，所以，(G) 2q/p 故由定理7.1.1有：(G) (G) 2q/p 。
图的连通性判断算法的时间复杂度
图的连通性判断算法的时间复杂度图是数学中一种常见的数据结构，在计算机科学中也有广泛的应用。
图由节点（顶点）和边组成，表示了不同元素之间的关系。
在图中，如果每个节点都可以通过路径相互到达，则该图被称为连通图，否则被称为非连通图。
图的连通性判断算法指的是判断给定的图是否是连通图的问题。
常见的图的连通性判断算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法。
接下来，将分别介绍这两种算法，并分析它们的时间复杂度。
一、深度优先搜索（DFS）算法深度优先搜索算法是一种递归的算法，通过访问节点的方式来遍历整个图。
DFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后通过递归地访问与该节点相邻的节点，直到没有未访问过的节点。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
DFS算法的时间复杂度取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么DFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每个节点都需要遍历它的所有相邻节点。
二、广度优先搜索（BFS）算法广度优先搜索算法是一种迭代的算法，通过按层级的方式遍历整个图。
BFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后按照从起始节点开始的顺序，依次访问每个节点的所有相邻节点。
通过不断扩展搜索的范围，直到所有节点都被访问过。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
BFS算法的时间复杂度也取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么BFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每次访问时都需要遍历其所有相邻节点。
总结：图的连通性判断算法的时间复杂度分别为O(n + m)的DFS算法和BFS算法。
其中，n表示图的节点数，m表示图的边数。
这两种算法在连通性判断问题上表现良好，并且可以在较短的时间内找到问题的解答。
需要注意的是，虽然DFS和BFS可以用于判断图的连通性，但它们在处理大规模图时可能存在效率问题。
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
图的连通性总结
图的连通性总结boboo目录1.图的遍历及应用1.1.DFS遍历1.2.DFS树的边分类1.3.DFS树的性质1.4.拓补排序1.5.欧拉回路2.无向图相关2.1求割顶2.2求图的桥2.3求图的块3.有向图相关3.1求强连通分量（SCC划分）3.2求传递闭包4.最小环问题一、图的遍历及应用1.1 DFS遍历DFS是求割顶、桥、强连通分量等问题的基础。
DFS对图进行染色，白色：未访问；灰色：访问中（正在访问它的后代）；黑色：访问完毕一般在具体实现时不必对图的顶点进行染色，只需进行访问开始时间和访问结束时间的记录即可，这样就可以得出需要的信息了。
-发现时间D[v]:变灰的时间-结束时间f[v]:变黑的时间-1<=d[v]<f[v]<=2|V|伪代码：DFS(G)for every vertex u ∈ V[G] docolor[u] = WHITEπ[u] = NILtime = 0for every vertex u ∈ V[G] doif color[u] = WHITE then DFS_VISIT(u)DFS_VISIT(u)color[u] = GRAYd[u] = time += 1for every vertex v ∈ Adj[u] doif color[v] = WHITE thenπ[v] = uDFS_VISIT(v)color[u] = BLACKf[u] = time += 11.2 DFS树的边分类在深度优先遍历中，我们所关心的另一个问题是对产生的搜索树中的分进行分类，这种分类可以发现图中的很多重要信息。
一般地，我们可以把图G所产生的深度优先搜索树（或森林）的边分为四类：A）树枝：深度优先搜索树G中普通的边，即如果结点v在搜索边(u, v)时第一次被发现，那么边(u, v)就是一个树枝。
B）反向边：深度优先搜索树中连结结点u到它的祖先v的那些边，自环也被认为是反向边。
图的连通性精品PPT课件
给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶 点出发都可达的。
顶点数<= 10,000,边数 <= 50,000
有用的定理:
有向无环图中唯一出度为0的点，一定可 以由任何点出发均可达(由于无环，所 以从任何点出发往前走，必然终止于 一个出度为0的点)
ACM2186: 解题思路
有向图的强连通分支
定义
在有向图G中，如果任意两个不同的顶点 相互可达，则称该有向图是强连通的。 有向图G的极大强连通子图称为G的强连 通分支。
转置图的定义：将有向图G中的每一条 边反向形成的图称为G的转置GT。（注 意到原图和GT的强连通分支是一样的）
Korasaju算法
procedure Strongly_Connected_Components(G);
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
ACM1236: 解题思路
1. 求出所有强连通分量
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。
3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的 答案就是多少
ACM1236: 解题思路
在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通 的，问题2的答案就是多少
加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度 为0的点添加出边
end; 证明参考：
(a)为有向图G， 其中的阴影部分 是G的强连通分 支，对每个顶点 都标出了其发现 时刻与完成时刻 ，黑色边为深度 优先搜索的树 枝；
数据结构-图的连通性
③数据结构的动态分析 (closedge[5].adjvex，G.vexs[5])
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
3
6
4
2
4 v 5
6
v6
5
G.vexs:
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6}
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6} ②取边(v1,v3),则：U={v1,v3} V-U={v2,v4,v5,v6}
一、最小生成树
3.算法的实现：
③数据结构的动态分析 G.arcs如下：
0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
0
v1 5 1
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
④取边(v6,v4),则：U={v1,v3, v6,v4} V-U={v2,v5} ⑤取边(v3,v2),则：U={v1,v3, v6,v4,v2} ⑥取边(v2,v5),则：U={v1,v3, v6,v4,v2,v5}
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
图论+第3章+图的连通性
直观上看，右边的比左边的图连通“程度”
要好。
(点)连通度
图的(点)连通度我们常常省略“点”字称连
通度。 树是具有最小连通度的图。 若κ (G ) ≥ k ，则称G是k-连通的。 若G是平凡图或非连通图，则κ (G ) = 0 。 所有非平凡连通图都是1连通的。
边连通度
边连通度λ (G )=min{ S | S是G的边割集} 完全图的边连通度定义为 λ ( K v ) = v − 1。 空图的边连通度定义为0。 边连通度λ (G ) 有时又记作 κ ′(G ) 。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。 证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都 不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
e相连接。于是u和v在G-e中成为连通的。故矛盾。
(2)假设e=(x,y)不是割边，那么G-e和G的分支数
相同。由于G中存在一条(x,y)道路，所以x和y均 在G的同一分支。于是x和y在G-e的同一分支中， 故在G-e中存在一条(x,y)道路P，这样边e就在G的 圈P+e中。
割点定理(1)
定理3.1.2 当且仅当在G中存在与顶点v 不同
图的连通性
有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。 最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。 没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早 （序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子， 使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯 到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分） 后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。 在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径， 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。
图论课件第三章 图的连通性
(Gv)(G)
证明：“必要性” 设v是G的割点。则E(G)可划分为两个非空边子集E1与 E2,使G[E1],G[E2]恰好以v为公共点。由于G没有环，所
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第17页，本讲稿共29页
以，G[E1],G[E2]分别至少包含异于v的G的点，这样，Gv的分支数比G的分支数至少多1，所以：
(Gv)(G)
“充分性” 由割点定义结论显然。 定理7 v是树T的顶点，则v是割点，当且仅当v是树的 分支点。
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
定义6 设G是连通图，T是G的一棵生成树。如果G的 一个割集S恰好包含T的一条树枝，称S是G的对于T的一 个基本割集。
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第14页，本讲稿共29页
例如：在图G中
f a
bc
e
d
图G
G的相对于T的基本割集为： ｛a , e｝, ｛f , c｝, ｛f, b , e｝, ｛d｝.
关于基本割集，有如下重要结论：
证明：(必要性）设G是块。因G没有割点，所以，它 不能有环。对任意u, v ∈V(G),下面证明u, v位于某一圈上 。
对d (u, v) 作数学归纳法证明。 当d (u, v) =1时，由于G是至少3个点的块，所以，边 uv不能为割边，否则，u或v为割点，矛盾。由割边性质 ，uv必然在某圈中。 设当d (u, v) <k时结论成立。