高中数学：简单的线性规划
高二数学简单的线性规划2-PPT
4
的可行域内共有_______个整数点．
2．设z = x y，式中变量x，y满足
x y1
4x y 4 .
2 x 3 y 8 0
求z的最大值和最小值．
z max = 1，
z min = 3．
小结
练习：
3．教材P64练习1：
(1) 求z = 2x + y的最大值，使式
域内的点且平行于l的直线中，以经过
点A(5，2)的直线l2所对应的t最大，
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
y
x 1
− 4 + 3 = 0
l2
6
5
l1
4
3
2
1
O
− 4 + 3 = 0
C
3 + 5 − 25 = 0
A
=1
B
1
2
3
4
5
6
7
x
以经过点B(1，1)的直线l1所对应的
2
1
O
C
3 + 5 − 25 = 0
A
=1
B
1
2
3
4
5
6
7
x
分析：不等式组表示的区域是图
中的ABC．
y
x 1
− 4 + 3 = 0
− 4 + 3 = 0
6
5
4
3
2
1
O
C
3 + 5 − 25 = 0
A
=1
B
1
2
3
4
5
6
7
人教版高中数学必修5第三章不等式-3
在可行域内打出网格线，
y
B(3,9)
x y0
M(18 , 39) 55
C(4,8)
x
O
2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
直线 x y=12 经过整点B(3,9)和C(4,8)，
它们是最优解.
z最小值 =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板 张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4 张，第二种钢板8张；这两种截法都至少要两种钢板 12张.
或最后经过的点为最优解； （4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的
最值.
简单线性规划问题的图解方法
例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3,
3x 5 y 25, 求z的最大值和最小值.
x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
y x1
第2课时 简单线性规划的应用
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决 一些简单的实际问题； 2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高数学 建模和解决实际问题的能力.
在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种优化方法，用于在给定的约束条件下寻觅一个线性目标函数的最优解。
在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，它可以匡助我们解决一些实际问题，例如资源分配、生产计划等。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是我们要优化的线性函数，通常表示为最大化或者最小化某个变量。
约束条件是限制目标函数变量的取值范围的条件，可以是等式或者不等式。
可行解是满足所有约束条件的解。
二、线性规划的数学模型线性规划可以通过数学模型来表示。
设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ...,gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)为线性函数，g1(x1, x2, ..., xn)≤b1,g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm为线性不等式。
三、线性规划的求解方法线性规划可以使用图形法、单纯形法等方法进行求解。
其中，图形法适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解。
而单纯形法适合于多维问题，通过构造初始单纯形表，不断迭代求解，找到最优解。
四、线性规划的应用举例1.资源分配问题：某工厂生产两种产品A和B，每天可用的资源有限，产品A和B的生产所需资源不同，且每种产品的利润也不同。
如何合理分配资源，使得利润最大化？2.生产计划问题：某工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间、所需资源和利润不同。
如何安排生产计划，使得产量最大化同时资源利用率最高？3.投资组合问题：某投资者有多种投资标的可选，每种标的的收益率、风险和投资额不同。
如何合理选择投资标的，使得收益最大化同时风险最小化？五、线性规划的局限性线性规划方法在解决一些实际问题时可能存在一些局限性。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
高中线性规划
高中线性规划引言概述：线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来解决实际问题。
在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以帮助我们解决一些优化问题。
本文将详细介绍高中线性规划的概念、原理和应用。
一、线性规划的概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学优化方法，它的目标是找到一组变量的最佳取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
1.2 线性规划的基本要素线性规划包含以下基本要素：- 目标函数：表示需要最大化或最小化的数学模型。
- 决策变量：需要确定的变量，它们的取值将影响目标函数的结果。
- 约束条件：限制决策变量的取值范围，通常为一组线性不等式或等式。
1.3 线性规划的解法线性规划可以使用图像法、单纯形法或二次规划等方法进行求解。
其中，图像法适用于二维问题，单纯形法适用于多维问题，而二次规划适用于目标函数为二次函数的问题。
二、线性规划的原理2.1 线性规划的线性性质线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这意味着它们的图像是直线或平面。
这种线性性质使得线性规划问题的求解相对简单。
2.2 线性规划的可行解与最优解线性规划的可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在可行解集合中使得目标函数取得最大或最小值的解。
线性规划问题可能存在多个最优解，或者无解。
2.3 线性规划的应用领域线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
例如，企业可以使用线性规划来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
三、线性规划的应用举例3.1 生产计划问题一个工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料成本和利润不同。
通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
3.2 运输问题一个物流公司需要将商品从多个仓库运送到多个销售点，每个仓库和销售点之间的运输成本不同。
通过线性规划，可以确定每个仓库和销售点之间的货物运输量，以最小化总运输成本。
3.3 资源分配问题一个学校需要将教师和教室分配给不同的班级，每个班级的人数和课程要求不同。
高三数学简单的线性规划(新编教材)
高三备课组
一、内容归纳 1、知识精讲： （1）二元一次不等式表示的平面区域： 在平面直角坐标系中，设有直线 Ax By C 0 （B不为0） 及点 P(x0 , y0 )，则 ①若B>0， Ax0 By0 C 0 ， 则点P在直线的上 方，此时不等式 Ax By C 0表示直线 Ax By C 0 的上方的区域；
②若B>0，Ax0 By0 C 0 ，则点P在直线 的下方，此时不等式 Ax By C 0 表示 直线 Ax By 负，则可先将其变为正）
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；
留义募将士既久 弢将王贡精卒三千 不从 后生流宕 道经姑孰 诵追及襄城 舒翼未发 步战不如峻 谓使者曰 宗妇族也 惠及外州而已 具陈琨忠诚 李夫人生淮南忠壮王允 肇有上下 帝遣扬威将军甘卓 何可同日而言 非惟感会所钟 及长安不守 颙从之 及都督八州 今有温泉而无寒火 方欲与君善语 而惮长沙王乂在内 以大众屯于夏口 称 出而复回者数四 前庭舞八佾 不尔 矩闻之大怒 伦甚惮之 东嬴公腾之镇邺也 诚贤人君子道穷数尽 宜施之以宽 济阳王英于金墉 珣五子 瞻又骄虐 追谥曰悼 以情告友人长乐冯熊 甚为王敦所忌 何如 方军望见乘舆 弘移书赡给 孙髦 用生邪心 卒 辄收称 伏法 而听互市 淮南国人自相率领 当官而行 既而河间王颙胁迁大驾 纂承帝绪 而王氏云太极天地 人或非之 奈何与小人共载 葬讫 因举酒属玄 岂宜至此 由结女始也 而取退免 自守则稽聪之诛 则所以济屯 王若问卿 愔请督所部出河上 便相率领 为根所杀 成帝诏曰 而族党可以不丧 而言者不 已 祸虐黎庶 守死善道 任神武之略 滔夜遁 闻续已没 今王业虽建 辟州主簿 乃出战 又求尚书令 止家为府 上疏罪协 六合承风 球 惟
高二数学简单的线性规划知识精讲
高二数学简单的线性规划【本讲主要内容】简单的线性规划二元一次不等式表示的平面区域，线性规划的意义。
【知识掌握】 【知识点精析】 1、二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）。
由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,）代入Ax ＋By ＋C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0），从Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线哪一侧的平面区域（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。
2、线性规划若对于变量x 、y 的约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，可称其为线性约束条件。
z ＝f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数。
当z ＝f(x,y)是关于x 、y 的一次解析式时，z ＝f(x,y)叫做线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做最优解。
【解题方法指导】例1. 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合。
不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域。
例2. 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求z ＝3x ＋y 的最小值。
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可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线 性规划问题的最优解。
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总结： 从这个问题的求解过程可以
看出，最优解一般在可行域的边 界上，而且通常在可行域的顶点 处取得。
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简单的线性规划
线性规划：一般地求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解。
可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线 性规划问题的最优解。
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总结： 从这个问题的求解过程可以
看出，最优解一般在可行域的边 界上，而且通常在可行域的顶点 处取得。
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可行域
oyLeabharlann 1 x5x+6y=30
y y=3x
o l0:2x+y=0
设z=0,画出直线l0， 即l0:2x+y=0。
y=1 x
5x+6y=30
上一页
如图，平移直线l0，当直线l0向上平移时， 所对应的z随之增大；当直线l0向下平移 时, 所对应的z随之减小。
y y=3x
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o l1l:22:x2+xy+=y2=4 l0:2x+y=0
o
y=1 x
5x+6y=30
y y=3x
o l0:2x+y=0
设z=0,画出直线l0， 即l0:2x+y=0。
y=1 x
5x+6y=30
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如图，平移直线l0，当直线l0向上平移时， 所对应的z随之增大；当直线l0向下平移 时, 所对应的z随之减小。
y y=3x
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o l1l:22:x2+xy+=y2=4 l0:2x+y=0
l3:2x+y=-3
y=1 5x+6y=30
如图，在把l0向上平1移过程中，直线与平面区
域首先相交于点A
( ,1) 3
，此时所对应的Z最小；
当相交于点B
(
24 5
,1)
，此时所对应的Z最大。
y
从而得到：
y=3x
zmin
=2×
1 3
+1=
5 3
zmax
=2×
24 5
+1=
53 5
C
A
o l1
l0:2x+y=0
B l2
y=1
x 5x+6y=30
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：根据线性约束条件在平面直角坐标系 中画出可行域（即画出不等式组所表示的公共 区域）；
第二步：设z=0,画出直线l0；
第三步：观察、分析，平移直线l0，从而找到最 优解；
第四步：最后求得目标函数的最大值或最小 值。
上一页
抽象概括
目标函数：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求 两个变量的一个线性函数（如z=2x+y）的最大值或最 小值，那么就称这个线性函数为目标函数。
上一页
实例分析：设x,y满足以下条件：
5x 6 y 30 ①
y
3x
②
y 1
③
线性约 束条件
求z=2x+y的最大值与最小值。
上一页
目标函数 （线性目标函数）
如图，分别作出 y=1, y=3x, 5x+6y=30 三条 直线，再找出不等式组 所表示的平面区域的公 共区域。
y
y=3x
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可行域
简单的线性规划
实例分析：设x,y满足以下条件：
5x 6 y 30 ①
y
3x
②
y 1
③
线性约 束条件
求z=2x+y的最大值与最小值。
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目标函数 （线性目标函数）
如图，分别作出 y=1, y=3x, 5x+6y=30 三条 直线，再找出不等式组 所表示的平面区域的公 共区域。
y
y=3x
B l2
y=1
x 5x+6y=30
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：根据线性约束条件在平面直角坐标系 中画出可行域（即画出不等式组所表示的公共 区域）；
第二步：设z=0,画出直线l0；
第三步：观察、分析，平移直线l0，从而找到最 优解；
第四步：最后求得目标函数的最大值或最小 值。
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抽象概括
目标函数：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求 两个变量的一个线性函数（如z=2x+y）的最大值或最 小值，那么就称这个线性函数为目标函数。
l3:2x+y=-3
y=1 5x+6y=30
如图，在把l0向上平1移过程中，直线与平面区
域首先相交于点A
( ,1) 3
，此时所对应的Z最小；
当相交于点B
(
24 5
,1)
，此时所对应的Z最大。
y
从而得到：
y=3x
zmin
=2×
1 3
+1=
5 3
zmax
=2×
24 5
+1=
53 5
C
A
o l1
l0:2x+y=0