安徽省定远县育才学校2017-2018学年高二下学期开学调研考试数学(理)试题

定远育才学校2017-2018学年下学期开学调研考试高二数学（理科）试题考生注意：1.本卷分第I 卷和第II 卷，满分150分，考试时间120分钟。

答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。

第I 卷（选择题）一、选择题1.已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点(12)，；命题q ：若函数(1)y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝2.(),()f x g x 是定义在R 上的函数，()()(),h x f x g x =+则“(),()f x g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A.充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.过点()2,0P -的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且12PA AB =，则点A 到原点的距离为 （ ）A.53 B. 2 C. D.4.若直线()2y k x =-与曲线y = ）A. kB. k 有最大值12，最小值12-C. k 有最大值0，最小值-D. k 有最大值0，最小值12-5.已知直线l 为圆224x y +=在点处的切线，点P 为直线l 上一动点，点Q 为圆()2211x y ++=上一动点，则PQ的最小值为（ ）A.B.12+C. 1D. 1 6.已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点，若4AF BF +=，且点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A. 0,2⎛ ⎝⎦ B. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2⎫⎪⎪⎣⎭D. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 7.在极坐标系中，若圆C 的方程为2cos ρθ=，则圆心C 的极坐标是( ) A. 1,2π⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,πD. ()1,08.直线112{x ty =+=-（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则线段AB 的中点坐标为 ( )A. ()3,3-B. ()C.)3-D. (3,9.已知点()P x y ，是直线40kx y -+=（0k >）上一动点， PA 、PB 是圆C ：2220x y y ++=的两条切线， A 、B 为切点， C 为圆心，若四边形PACB 面积的最小值是4，则k 的值是（ ）A.B.C.17D. 1710.已知12,F F 是椭圆C ： 22221x y a b+= (0)a b >>的两个焦点， P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥1.若12PF F ∆的面积为9，则b ＝（ ）A. 3B. 6C. 34D.211.设F 为双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ，B 两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. 2C.D. 12.已知抛物线y 2=4x ，圆F ：（x ﹣1）2+y 2=1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D （如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（ ）A.等于1B.最小值是1C.等于4D.最大值是4第II 卷（非选择题）二、填空题13.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________.14.如图，F 1和F 2分别是双曲线的两个焦点，A 和B 是以O为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点， ,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线， ,A B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．16.在极坐标系中，圆1C 的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1{ (1x acos y asin θθθ=-+=-+为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.三、解答题17.以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线1C :()2224x y -+=,点A 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且点A 在直线l 上. (1)求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设l 向左平移6个单位长度后得到l ',l '到1C 的交点为M , N ,求MN 的长.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点A (2，1)，离心（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB AC ⊥，求直线l 的方程．19.设椭圆1C 的焦点在x 轴上，抛物线2C 的焦点在y 轴上， 1C 的中心和2C的顶点均为原点，点⎭在1C 上，点)1-在2C 上，（1）求曲线1C ， 2C 的标准方程；（2）请问是否存在过抛物线2C 的焦点F 的直线l 与椭圆1C 交于不同两点,M N ，使得以线段MN 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 20.如图，P 是直线x=4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B （1，0），直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A （﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点． （1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l 交直线x=4于点Q ，证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．21.已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为12，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点D . （1）若D 的坐标为()0,2，求a 的值；（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为()0,a -，过()0,2M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，求PQ MG的取值范围.22.如图)0,(),0,(21c F c F -为双曲线E 的两焦点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线E 交于11,,,,M N M N B 是圆O 与y 轴的交点，连接1MM 与OB 交于H ，且H 是OB 的中点，（1）当1c =时，求双曲线E 的方程；（2）试证：对任意的正实数c ，双曲线E 的离心率为常数．参考答案1.D2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.D10.A11.C 12.A13.14.1+15.17.解：（1）A 的直角坐标为()33，， l 的直角坐标方程为x y +=.因为A 在l 6a =⇒= 所以l 的直角坐标方程为6x y +=.1C ： 2240x y x +-=化为极坐标方程为4cos ρθ=.（2）由已知得l '的方程为0x y +=， 所以l '的极坐标方程为34θπ=（R ρ∈），代入曲线1C 的极坐标方程24cos 0ρρθρ=⇒=或ρ=-MN =18. 解：（Ⅰ）由条件知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>离心率为 c e a ==，所以222214b ac a =-=． 又点A (2，1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，所以22411a b +=， 解得228{ 2a b ==，．所以，所求椭圆的方程为22182x y +=． （Ⅱ）将()0y kx m k =+≠代入椭圆方程，得()22480x kx m ++-=， 整理，得()222148480k x mkx m +++-=． ①由线段BC 被y 轴平分，得28014B C mkx x k +=-=+，因为0k ≠，所以0m =．因为当0m =时， B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，，由方程①，得22814x k=+， 又因为AB AC ⊥，A (2，1)， 所以()()()()()22221151AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+()22815014k k +=-=+，所以12k =±． 由于12k =时，直线12y x =过点A (2，1)，故12k =不符合题设．所以，此时直线l 的方程为12y x =-．19. 解：（1）设1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22222224{ ,{1 2112c a a a b c b c a b===+∴==+=.所以椭圆1C 的方程为2214x y +=.点)1-在2C 上，设2C 的方程为22(0)x py p =->，则由()221p =--，得1p =.所以抛物线2C 的方程为22x y =-.（2）因为直线l 过抛物线2C 的焦点10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，点()()0,1,0,1M N-，或点()()0,1,0,1M N -，显然以线段MN 为直径的圆不过原点O ，故不符合要求；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为12y kx =-， 代入1C 的方程，并整理得()2214430k x kx +--=.设点()()1122,,,M x y N x y ，则12122243,1414k x x x x k k--=⋅=++， ()()2212121212211111162224414k y y kx kx k x x k x x k -⎛⎫⎛⎫⋅=--=⋅-++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭. 因为以线段MN 为直径的圆过原点O ，所以OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅=，所以12120x x y y ⋅+⋅=，所以()2223116014414k k k--+=++.化简得21611k =-，无解.20. 解：（1）设AE 切圆于M ，直线x=4与x 轴交于N ，则EM=EB所以4EA EB AM +====(2)同理FA+FB=4，所以E,F 均在椭圆22143x y += 上，设EF: ()10x my m =+≠ ,则34,Q m ⎛⎫⎪⎝⎭与椭圆方程联立得()22121212122269234690,,34343m mmy my y y y y y y y y m m --++-=+==⇒+=++ ()11221212123332EB FQ BF EQ y y y y y y y y y y m m m⋅=⋅⇔-⋅+=⋅-⇔=+ ，结论成立点睛：解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.21. 解：（1）由抛物线2:2(0)C x px p =->的焦点到准线的距离为12，得12p =， 则抛物线C 的方程为2x y =-.设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2x y =-得220x kx ++=，由280k ∆=-=得k =±当k =A 的横坐标为2k-=则(22a =-=-，当k =-2a =-. 综上得2a =-。