河北省唐山一中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试题
河北省唐山一中2014-2015学年高三上学期期中考试数学理试题
河北省唐山一中2014-2015学年高三上学期期中考试数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合A ={x |y =x -2}， B ={y |y =x -2}，则A ∩B = （ ） A ．∅B ．RC ．(-∞，2]D ．[0，2]2．“a =2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，(1+2i )z 1=-1+3i ，z 2=1+10)1(i +，z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则⋅= （ ） A ．33B ．-33C ．32D ．-324. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为（ ） A.58B.38C.23D.135．在各项均为正数的等比数列}{n a ， 21512m T -=，则若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列}{n a 的前n 项积为nT ，若m 的值为A ．4B ．5C ．6D ．76．已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、 重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2AP ·22BC AC AB =-， 则点P 一定是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心7．对于函数f (x )=x 3cos3(x +6π)，下列说法正确的是 （ ） A ．f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递减 B ． f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递增C ． f (x )是偶函数且在（6π0，）上递减 D ．f (x )是偶函数且在（6π0，）上递增8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为316a >-63516a -<<-65a >-63516a -≤≤-A ．532323++ππ＋1 B ．523323++ππ＋1 C ．53233++ππ D ．52333++ππ 9.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组2000-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞10．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 11.函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范 围是( )A. B. C. D.12.已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13. 已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++= .14. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 ．15. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上的一点，若a PF PF 8122=，则双曲线的离心率的取值范围是 ．16. 已知函数),()(R b a xbax x f ∈+=,有下列五个命题 ①不论,a b 为什么值,函数)(x f y =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数)(x f 的极小值是2a ,极大值是2a -;③若0ab ≠,则函数)(x f y =的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当0ab ≠时,函数)(x f y =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是 _________ (填上你认为正确的所有命题的序号) 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分） 在数列}{n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (1)求证: }{n a n -是等比数列; (2)令n n nn S a b ,2=为数列}{n b 的前n 项和,求n S 的表达式.18.（本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列． 19. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC AF ⊥；(2)若二面角D AF C --为045，求CE 的长．20. （本小题满分12分）已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a by a x (a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()()2x f x ax x e =+其中e 是自然数的底数，a R ∈. (1)当0a <时，解不等式()0f x >；(2)若()[]11f x -在，上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当0=a ，求使方程()[]2,1f x x k k =++在上有解的所有整数k 的值. 22. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=. (1)若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： (2)设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.答案及解析：1-5 DAABB 6-10 BCADC 11-12 DC 13.1 14.π8 15.]3,1( 16. ①③④17.解：(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2nn a n =-,12n n n b =-所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++-令212222n n n T =+++,则2311122222nn nT +=+++,两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--,所以222n n n T +=-,即222nn n S n +=--18.解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： … 12分19.20.22.解析： (I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，3[0,)θπ∴(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数为曲线上任意一点，。
河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案
唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学（理）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于A ．11B ．8.5C ．8D ．7 6．已知()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ= A ．43 B ．34 C ．247- D ．2477．已知1,3O A O B ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,O C m O A n O B =+(),mn R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33D ．38．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n+的最小值为( )A． B ．4 C ．52 D ．9210．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A．28+ B．30+ C．30+ D．28+12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．()522x x -+的展开式中3x 的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点(,)P x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点(,)(0,0)Qaba b ≤≥满足1≤⋅OQ OP 恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ．16．在ABC ∆中，,sin 22tanC BA =+若1AB =，则12AC BC +的最大值 ＊ ＊ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求n T ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为:a b 的值．20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 AC已知,A B C A B A C ∆=中，D A B C ∆为外接圆劣弧上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ,延长AD交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14．．15． 12．16．． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=①)2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n nn a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a 数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 10分 所以X 的分布列为：0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． 12分19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面； （Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分（Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分又3,,244a aOD a OM AM ===，且OH AP OM PM =………………10分从而·4a OH ==………………11分tan ODOHD OH ∠===所以22916a b =，即43a b =． ………………………12分法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a,3,,0)8M a,1,,0)4O a …………8分 从而333(0,,),(,,)88PD a b PM a b =-=-3(,,0)44OD a a =-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3(,,0)44OD a a =-．……10分 设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得3330,08PDn ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-=取,,x y b z a ===，即,,)n b a = (11)分设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等 从而tan θ=cos 15θ=531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=． 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-． 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB ．所以 ||28AB r =，解得85b =-．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-．故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<， 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离d =，所以1||42AOB S AB d ∆==- 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 的最大值为432()327g -= ．所以当43b =-时，AOB ∆21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-． 解：（Ⅰ）1a =时，2(),()2,x xf x x e f x x e '=-=-()2xf x e ''=-易知m a x ()(l n 2)2l n 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，即()20x f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >⇒>．………………6分又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=-> 所以101ln 2x a <<<………………8分111()20x f x ax e'=-=，得112x e ax =111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭1(01)x <<………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x -'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x =→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．()20xf x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()xe a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x-'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x=<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x=> 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x=→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a > 1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲弧AC 上已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB AD AF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, A B A C A D∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--… ………6分 令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC = ……8分所以1MN MC r +≤………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b ≥9 ，故1a +4b的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜12时，-3x≤9，∴ -1＜x＜12，当 x≥12时，x-2≤9，∴12≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。
河北省唐山一中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试题Word版含答案
唐山一中2014～2015学年度第一学期第二次月考高一数学试卷命题人：汪印祚 刘月洁说明：1．本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题，考试时间为90分钟，满分为120分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的．1．已知)cos(πα-＝－513，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝ ( )A ．－1213 B.1213 C ．1312± D.5122．若ααsin 2cos +＝－5，则αtan 的值为 ( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 3. 已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的一个值为 ( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6 4.设)1(3tan m +=α，)tan (tan 3)tan(m +⋅=-βαβ，且βα、为锐角，则)cos(βα+的值为 （ ）A.23B. 22C. 21-D ．215.已知552cos =α，1010sin =β，且)2,0(πα∈，)2,0(πβ∈，则βα+的值 ( ) A.43π B. 4π C. 45πD ．4π或43π6. 为得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 ( ) A ．向右平移5π12个单位长度 B ．向左平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度7.在ABC ∆ 中，点M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，AC AB AN μλ+= ，则μλ+ 的值为 ( ) A ．41B.31C.21D. 18.函数xx y --=11sin 2π)42(≤≤-x 的所有零点之和为 （ ） A.2 B ．4 C ．6 D ．89.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 ),(y x P ．若初始位置为P0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6 B. y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π310.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D ．(0,2]卷Ⅱ（非选择题，共70分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．12. 设a ，b 是两个不共线向量，AB ＝2a ＋p b ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a －2b ，若D B 、、A 三点共线，则实数p 的值为________． 13. 设α为锐角，若)6cos(πα+＝45，则)122sin(πα+的值为________．14. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x)＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x)＝x －2，则有下面三个式子： ①⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21cos 21sin f f ；②⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3cos 3sin ππf f ； ③ ()()1cos 1sin f f <；其中一定成立的是__________．三．解答题：本大题共4小题，共50分。
河北省唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
河北省唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。
3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的．） 1．设全集U 是实数集R ，}22{-<>=x x x M 或，}13{<≥=x x x N 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A ．}12{<≤-x x B ．}22{≤≤-x x C ．}21{≤<x x D ．}2{<x x 2. 下列函数中与函数x y =相等的函数是( ) A.2)(x y = B.2x y = C.x y 2log 2= D.x y 2log 2= 3．函数2y =的值域是( )A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2] D．[ 4．函数y kx b =+与函数kby x=在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为( ) A ．81 B ．4 C ．2 D ．41 6. 下列函数中既是偶函数又在)0,(-∞上是增函数的是( ) A ．34x y = B ．23x y = C ．2-=xy D ．41-=xy7．已知函数25,1,()11, 1.x ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上单调，则实数a 的取值范围为 A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[4,)+∞ D ． [2,4]8. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，)3(log 2fb =，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c << 9. 设函数321()2x y x y -==与的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10. 设)(x g 为R 上不恒等于0的奇函数，)(111)(x g b a x f x⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则常数b 的值为( ) A ．2B ．1C ．21 D ．与a 有关的值11. 若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点)4,0(A 和点)2,3(-B ，则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为)2,1(-时，t 的值为( )A. 0B. －1C. 1D. 212．已知函数)(x f y =满足：①是偶函数)1(+=x f y ；②在[)+∞,1上为增函数,若0,021><x x ,且221-<+x x ,则)(1x f -与)(2x f -的大小关系是( )A.)()(21x f x f ->-B. )()(21x f x f -<-C. )()(21x f x f -=-D. 无法确定 卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.22log 33223127-2log log 3log 48⨯+⨯计算:＝____________.14．7()2f x ax bx =+-，若10)2014(=f ，则)2014(-f 的值为 ． 15．已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是____________.16.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数），使得()f x ≥()g x 对一切实数x 都成立，则称()g x 为()f x 的一个承托函数.现有如下命题：①对给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能无数个； ②()g x =2x 为函数()2x f x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数；其中正确命题的序号是____________.三．解答题（本大题共6小题，共70分。
河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
XXXX一中2021-2021 学年高一上学期期中考试数学试卷〔解析版〕一、选择题1．设全集 U 是实数集R，M{ x x 2或x2} ， N { x x 3或x 1} 都是U的子集，那么图中阴影局部所表示的集合是〔〕A．{ x C．{ x12xx1}2}B．{ xD．{ x x2 x2}2}【答案】【解析】A试题分析：由韦恩图知阴影局部所表示的集合为 N C U M ，先求出M的补集为x | 2 x 2 ，再画数轴可以求它于N 的交集为{ x 2 x1} ．考点： 1．集合间的根本关系；2．集合的根本运算．2．以下函数中与函数y x 相等的函数是〔〕A．y ( x )2B．y x2． y2log 2x． y log22 xC D【答案】 D【解析】试题分析：函数三要素都一样的两个函数是相等函数，因为 y x 的定义域、值域都是 R ．选项 A．函数的定义域是0,，选项 B 函数的值域是0,选项 C 函数的定义域是0,，选项 D 函数的的定义域、值域都是R ，且解析式化简后为y x考点：函数的三要素3．函数y2x24x 的值域是〔〕A．[2,2]B．[1,2]C．[0, 2]D．[2,2]【答案】 C【解析】试题分析：由x24x 0 得函数的定义域为x |0 x 4 ，先求 yx24x 的值域为0,4 ，再求得函数 yx 24x 的值域为 0,2，那么可以求出原函数的值域为 [0, 2] ．考点： 1．函数的定义域； 2．复合函数的值域．4．函数y kx b 与函数ykb〕在同一坐标系中的大致图象正确的选项是〔x【答案】 B【解析】试题分析： A ．ykxb 的图像过二、三、四象限k0,b 0 那么 kbkb 的图0 ，yx像应在一、 三象限，错误 ．ykxb 的图像过一、 二、四象限k 0, b 0 ，那么 kb 0 ，Bkb 的图像应在二、 四 象限，正确．y kxb 的图像过一、 三、四象限 k 0, b 0 ，yCxkb那么 kb 0 ， yD ．ykx b 的图像过一、二、四象限的图像应在二、四象限，错误xk 0, b0 ，那么 kb0 ， ykb的图像应在二、四 象限，错误x考点：一次函数和反比例函数的图像5．函数fxlog 3 x, x 0,f1 的值为〔〕2 x ,x那么 f 270.1B ． 4C ．21A ．D ．84【答案】 A【解析】试题分析：因为10 ， log 313 ，所以ff 1 = f ( 3) 2 3 1 ．2727278 考点：分段函数函数值的计算．6．以下函数中既是偶函数又在(,0) 上是增函数的是〔〕431A ．y x 3B ．y x 2C ．y x 2D ．y x 4【答案】 C【解析】31试题分析：因为 yx 2的定义域为0, ， yx 4的定义域为 0,，所以两函数为非奇非偶函数，B 、 D 错误，又因为yx 21 在 (,0) 上是增函数，所以选项C 正x2确考点： 1．函数的奇偶性；2．函数的单调性．7．函数f (x)x 2 ax 5, x 1, 在 R 上单调，那么实数a 的取值X 围为〔11, x1.〕xA ．( ,2]B ．[2,)C ．[4,)D ．[2, 4]【答案】 D【解析】试题分析：当 x 1时，〔〕1为减函数，所以 〔f x 〕在 R 上应为单调减函数，要求当f x =1+ xx 1时fxx 2 ax 5 为减函数，所以a 1 ，即 a2 ，并且要满足当x=1时函数12〔〕 的函数值不大于 x=1 时函数 f x x 2 ax 5 的函数值，即 1 a5 2，解f x =1+x得 a 4，易知 a 的取值X 围为[2, 4]考点： 1．分段函数2．函数的单调性．8 ． f x 是定义在 R 上的偶函数，且在,0 上是增函数，设af log 4 7 ，b f (log 2 3) ，c f0.20.6 ，那么 a,b, c 的大小关系是〔〕A ．c b aB ．b c aC ．b a cD ．a b c【答案】 C 【解析】试 题 分 析 ： 偶 函 数 f x 在,0 上是增函数，那么在0,上为减函数，又log 4 7 log 2 7 ， 0 0.20.6 1 log 2 7log 2 3 ，所以bac考点： 1．偶函数的性质； 2．指对数的运算性质．9．设函数yx 3与 y ( 1) x 2的图象的交点为 ( x 0 , y 0 ) ，那么x 0 所在的区间是〔〕2A ．〔0,1〕B ．〔 1,2〕C ．〔2,3〕D ．〔 3,4〕【答案】 B 【解析】试题分析： 函数 yx 3与 y ( 1)x 2的图象的交点的横坐标x 0即函数 f x x 3122x 2 的零点，根据函数零点存在定理，假设fxx312x 2假设在区间a, b 上存在零点，那么f (a) f (b) 0 ， 对 四 个 答 案 中 的 区 间 进 行 判 断 ， 即 可 得 到 答 案．当 x 1 时 ，x 22 时，f x x 31x 2f x x310 ，当x22即 f (1) f (2) 0 又∵函数fxx312点一定位于区间1,2 ．考点：函数与方程．x 2 为连续函数 ,故函数f x x312x 2的零10．设g (x)为R 上不恒等于0 的奇函数， f (x)1 1 g( x) 〔a ＞0且a ≠1〕为偶a x1 b函数，那么常数 b 的值为〔〕A ．2B ． 1 1D ．与a 有关的值C ．2【答案】 A【解析】试题分析：由题意可知函数h x11 为奇函数，所以h xh x ，即有：a x 1 b1 1 1 111，化简得 2 1，所以 b2 ．ba x 1 ba x1 ba x 1 b考点函数奇偶性的判断．11 ．假设f ( x)是R 上的减函数，且f ( x) 的图象经过点 A(0,4) 和点 B(3, 2) ，那么当不等式| f ( xt ) 1 | 3 的解集为 ( 1,2) 时， t 的值为〔〕A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2【答案】 C【解析】试题分析： 由 | f (x t) 1 | 3 得 3f ( x t) 1 3 ，即 2f ( x t ) 4 根据图像过点A(0,4) 和点 B(3, 2) ，所以 f (3)f (xt )f (0) ，即 0x t 3 ，因为 1 x 2 ，0 x 1 3 ，所以 t 1 ．考点： 1．函数的单调性；2．绝对值不等式的解法．12 ．函数yf ( x) 满足：① y f ( x1)是偶函数；②在1,上为增函数 , 假设x 1 0, x 2 0 ,且 x 1 x 22,那么 f(x 1 ) 与 f ( x 2 ) 的大小关系是〔 〕A ．f ( x 1 ) f ( x 2 )B ．f (x 1 )f ( x 2 )C．f (x1 )f ( x2 )D．无法确定【答案】 A【解析】试题分析： f x 1是偶函数，所以 f x 1 f x 1 即 f x f x 2 由x1x2 2 得 x1 2 x2 2 ，y f (x) 在1,上为增函数,所以f1x f2 2 x f2x考点： 1．函数的奇偶性； 2．函数的单调性．二、填空题2113．计算:273-2log 2 3log2log 23 log3 4＝ ____________．8【答案】 20【解析】233(3) 299220试题分析：原式 =〔3 〕 3考点：指数与对数的运算性质．14．f (x)ax7bx 2 ，假设f (2021)10，那么 f(2021)的值为．【答案】 -14【解析】试题分析：设 g x ax7bx, g x f x2，那么 g x g x，因为g2021 f (2021)212g2021 f ( 2021) 2 g202112，所以 f (2021)14考点：函数的奇偶性．15．f x log1x2ax3a 在区间2,上为减函数，那么实数 a 的取值X围是2____________．【答案】-4,4【解析】试题分析：二次函数 y x2ax 3a 的对称轴为a，应有a2 ，且满足当22 x 2时y x2ax 3a0a即22，所以 4 a 4 ．42a3a0考点：函数的单调性和最值．16．定义在R 上的函数f ( x)，如果存在函数g (x) kx b(k ,b为常数〕，使得≥f ( x) g( x)对一切实数 x 都成立，那么称g ( x) 为 f ( x) 的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数 f ( x) ，其承托函数可能不存在，也可能无数个；② g (x) =2x为函数f x x的一个承托函数；( ) 2③定义域和值域都是R 的函数 f ( x) 不存在承托函数；其中正确命题的序号是____________．【答案】①【解析】试题分析：对于①，假设 f x sin x, 那么g x B(B 1), 就是它的一个承托函数，且有无数个，再如f x t a n x , g x l g x ,就没有承托函数，所以①正确；对于②3时g33当 x3, f x228,22所以 f x g x ，所以 g x 2 x 不是 f x 2x的一个承托函数，故错误对于③如f x2x3存在一个承托函数y2x 1，故错误；考点： 1．新定义函数；2．一次函数、指数函数的性质．三、解答题17．〔本小题总分值10 分〕集合A{x|33x27}，B{x|log2 x1} ．〔1〕求e R B A ；〔2〕集合Cx 1x a，假设C A ，XX数 a 的取值X围．【答案】〔1 〕x | x3;〔2〕，3【解析】试题分析：〔 1〕首先化简集合A、 B ，求出C R Bx | x 2 ，再利用数轴求并集；〔2〕由C A 先考虑C时，此时 a1，当C时， 1 a3试题解析：〔Ⅰ〕 A{ x | 3 3x27} { x | 1 x 3}, B{ x | log 2 x 1} { x | x 2}[ R B A { x | x 2} { x |1 x 3}{ x | x 3}5 分〔Ⅱ〕①当 a 1时， C ，此时 C A ；②当 a 1 时， CA ，那么 1 a 3综合①②，可得a 的取值X 围是，310 分考点： 1．集合的运算； 2．集合的根本关系．18．〔本小题总分值 12 分〕函数 f (x)x 22mx 3m 4 ，〔1〕m 为何值时， f ( x) 有两个零点且均比－ 1 大；〔2〕求f ( x)在[0,2] 上的最大值 g( m) ．【答案】〔1 〕5, 13m 4,m1；〔 2〕g (m)8,m．7m 1【解析】试题分析： 此题考察函数的零点， 利用方程的根求证零点； 及二次函数对称轴与给定区间的关系的讨论．〔1〕 f (x) 有两个零点且均比－ 1 大即函数与x 轴有两个交点， 且交点在－1 的右边， 所以要求 0 ， m 1，当 x1 时，图像在x 轴上方．〔2〕f x 的对称轴为 x m ,讨论对称轴在区间 [0, 2] 的关系． 区间 [0, 2] 的中点 x 1 ，利用二次函数的对称性，当m 1 时， f 0 最大值，当 m1 时，f2 取最大值，m1m1试题解析：〔 1〕由题意，知即 m 23m 4 0f10 12m 3m 4 0∴－ 5 m －1.6 分∴m 的取值X 围为(－5，－1)．〔2〕 f x 的对称轴为 xm ，当 m 1,即 m 1时， g(m) f (0) 3m 4 ，当 m1,即 m 1时, g (m)f (2)7m 8，3m 4, m 112 分g(m)8,m．7m1考点： 1．函数的零点；2．二次函数图像的性质．19．〔本小题总分值12 分〕某公司生产一种电子仪器的固定本钱为20000 元，每生产一台仪100 元，总收益满足函数：400x1x 2 ,0 x400器需增加投入R( x)2，其中 x80000, x 400是仪器的月产量，〔1〕将利润f (x) 表示为月产量x 的函数；〔2〕当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？〔总收益=总本钱 +利润〕．【答案】〔1 〕f ( x)1 x2300x 20000,0x400 260000100x, x400〔2〕当月产量为300 台时，公司获利最大，最大利润为25000 元．【解析】试题分析：〔 1〕根据题意总收益总本钱利润，故利润总收益总本钱，易得函数关系式；〔2〕通过〔 1〕知函数关系式为分段函数，故函数的最大值为各段最大值中的最大值．试题解析：〔 1〕当0x400 时，f ( x)400x 1 x2100x20000 = 1 x2300x20000 ；22当 x400 时 f x8000010x2000060000100x所以所求 f x1x2300x20000,0x4006 分260000100x, x400〔2〕当0x400 时f x 1 x2300x200001(x300)22500022当 x 300时，f max x25000当 x400时， f x60000 100x f4002000025000所以当 x 300时， f max x25000答：当月产量为300 台时，公司获利最大，最大利润为25000 元12分考点：函数综合问题．20．〔本小题总分值12 分〕对于函数 f (x)2 x a，2 x1〔1〕求函数的定义域；（2〕当a为何值时，f ( x)为奇函数；（3〕写出〔 2〕中函数的单调区间，并用定义给出证明．【答案】〔1 〕x x0 ;〔2〕a1 〔3〕在 (,0) 上单调递减，在( 0,) 上单调递减．【解析】试题分析：〔 1〕利用分母不为零，可知函数定义域；〔 2〕中利用奇函数的定义，判定先看定义域关于原点对称，然后利用f xf x 可求出 a ；〔 3〕由〔 2〕知a1时， f ( x)21，y2x1在(,0) 和 (0,) 为增函数，2 x1f x的单调递减区间为(,0) 和 (0,) ，利用函数的单调性定义取值、作差、变形可证明．试题解析：〔 1〕2x10即 x0定义域为x x0 2 分〔2〕由f ( x)是奇函数，那么对任意x x x02 x a a 2x1f ( x)2x af ( x)x1 2 x12x12化简得 (a1)2x a1a1a1时，f (x)是奇函数 6 分〔3〕当a 1 时，f ( x)21 的单调递减区间为(,0)和(0, )．8 分2 x1任取x1 , x2(0,) 且 x1x2那么 f (x1 )f ( x2 )222(2x22x1 )2x112 x2 1 (2 x11)( 2x21) 0x1x2y 2 x在R上递增2x22x112 x22x10 ， 2x110 ， 2x2 1 0f (x1 ) f (x2 )0 f (x) 在 (0,) 上单调递减．同理： f ( x) 在 (,0) 上单调递减．综上：f ( x)2 1 在 ( ,0) 上单调递减，在 ( 0, ) 上单调递减．12 分2 x1考点： 1．函数的定义域； 2．函数的奇偶性； 3．函数的单调性．21．〔本小题总分值 12 分〕定义域为(0 , ) 的函数 f (x) 满足：①x1 时，f ( x)0 ；② f (1) 1③对任意的正实数x , y ，都有 f (xy )f ( x) f ( y) ；21〔1〕求证：f ()f (x) ；x〔2〕求证：f (x) 在定义域内为减函数；〔3〕求不等式f (2) f (5 x)2 的解集．【答案】 〔 3〕 x |3 x 5【解析】试题分析：〔 1〕因为1与x 互为倒数，可先求出f 10 ，再利用f ( xy)f (x) f ( y) 可x证〔2〕构造函数中两个任意变量的函数值差，结合函数表达式得到函数单调性的证明．〔 3〕结合特殊值的函数值，得到 f 4 2 ,由〔 2〕fx 为减函数进而得到函数的不等式的求解．试题解析：因为对任意正实数x, y 有1与x fx.yf xf yx所以 f 1 f (1) f 1 f 12 f 1 ,所以 f 12 分〔1〕所以f1 f ( x1f x1所以 f (1 f x5 分)f () 0 , )xxx〔2〕设x 1, x 2(0,) ,且x 1x 2 , 那么x 11那么 fx 10 ，x 2x 2又由〔 1〕知fxf ( 1)f x 2f ( x 1 ) f x 2f ( 1)f (x 2)xx 1x 1f x 2f ( x 1)f x 为 0，+ 的减函数8 分〔3〕f 1 =f (21) =f 2 +f1 1 1=0 因为f ( )222f 2 +f (5 x)2等价于f 10 2xf (4)f x 在 0，+ 上为减函数，所以上面不等式等价于10 2 x 0 x | 3 x 512 分10 2 x得4考点： 1．抽象函数； 2．函数的单调性的运用．22．〔本小题总分值12 分〕定义在D 上的函数f ( x)，如果满足：对任意 x D ，存在常数M 0，都有| f ( x) | M 成立，那么称f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数f x 的上界．函数f ( x) 1 a ( 1)x( 1) x ，139〔 1〕当af x 在,0 上的值域，并判断函数f x 在,0 上是否时，求函数2为有界函数，请说明理由；〔2〕假设函数f x 在 0, 上是以 4 为上界的有界函数，XX 数a 的取值X 围．【答案】〔1 〕函数f x 在 (,0) 上不是有界函数;〔2〕-6,2【解析】试 题 分 析 ：〔 Ⅰ 〕 将 a1代 入 f x可 得 f (x)1 1 ( 1 )x(1) x ， 令1212 3 9t ( ) x , x0, t1利用函数的单调性判断出 y 1t t 2在 (1,) 上是单调递增33 2函数，即可求得y，从而得到 f x 的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出2f x 不是有界函数；〔Ⅱ〕根据有界函数的定义，可得 f (x) 4 在x [0, ) 上恒成立，利用参变量别离转化为(t5 ) a 3 t 在 t 〔0,1] 上恒成立，令，那么h(t )(t5) ， p(t ) 3 t ，ttt t问题转化为求 h t 的最大值和 p t 最小值， 利用函数单调性的定义， 分别判断出函数 h t和 p t的单调性，即可求得最值，沉着求得a 的取值X围．试题解析： 〔 1〕当a1 时， f (x) 11 ( 1)x (1 )x ,令t( 1) x , x 0, t1 ，2 2 393y 11 t t 2因为 y1 1 t t 2在 (1,) 上单调递增，y3 ，即 f ( x) 在 ,1 的222值域为 (3,)2故不存在常数 M 0 ，使| f (x) |M 成立，所以函数f x 在(,0) 上不是有界函数。
河北省唐山一中2014-2015学年高一下学期开学调研数学(理)试题Word版含答案
唐山一中2014-2015学年度第二学期调研考试高一数学理科试卷考试时间：120分钟，总分：150分卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U ＝｛0，1，2,3，5，6，8 ｝，集合A ＝{ 1，5， 8 }， B ={ 2 }，则集合()B A C U 为 ( ) A ．{ 1，2，5，8 } B ．{ 0，3，6 } C ．{ 0，2，3，6 } D ．∅2.已知函数)(x f 为奇函数，且当0x >时,xx x f 1)(2+=，则)1(-f 的值为 （ ）A.2B.-2C.0D.1 3.已知α是第四象限的角，若53cos =α，则αtan 的值为 （ ） A.34 B.34- C.43 D. 43-4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于 ( ) A ．0 B.BE C.AD D.CF5.下列函数中，既是偶函数，又在区间)2,1(内是增函数的为（ ）A.cos y x =B. ln ||y x =C.2x x e e y --= D.tan 2y x = 6．化简22cos 5sin 5sin 40cos 40-=（ ）A. 1B.12C. 2D.1- 7．下列式子中成立的是 ( ) A ．0.40.4log 4log 6<B ． 3.43.51.011.01>C ．0.30.33.53.4> D ．7log 6log 65<8．已知0x 是函数()24xf x e x =+-的一个零点，若10(1,)x x ∈-20(,2)x x ∈，则( )A ．()10f x <，()20f x <B ．()10f x <，()20f x >C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >9．向量）（0,2=，）（y x ,=，若-的夹角为300的最大值为 （ ） A. 2 B. 23 C. 4 D.33410. 如图，2AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值等于 （ ） A. 12-B. 2-C. 1-D. 14-11. 已知函数()sin()1()4f x x x x R π=+-∈. 则函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值分别是 ( )A. 最小值为1-B. 最小值为C. 最大值为1, 最小值为1-D. 最大值为1, 最小值为1-12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当x ∈[-2,0]时，())1xf x =-，若函数()()log (2)a g x f x x =-+(0a >且1a ≠）在区间(2,6)-内恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 （ ） A.1(,1)4B. (1,4)C. (8,)+∞D. (1,8)卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.1324lg 293-=_____________ ；14．已知()()1sin 1cos 1αα+-=，则()()1sin 1cos αα-+= ； 15. 函数()1222++-=x sin x sin x f ，给出下列4个命题：①在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡858ππ,上是减函数； ②直线8π=x 是函数图像的一条对称轴；③函数f （x ）的图像可由函数x sin y 22=的图像向左平移4π而得到；④若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π,x ，则f （x ）的值域是[]20,． 其中正确命题序号是 。
河北省唐山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(b卷) (Word版含解析)
河北省唐山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷（B卷）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，4，5} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{4} 2．（5分）cos510°的值为（）A．B．﹣C．﹣D．3．（5分）若sin（π﹣θ）＜0，tan（π+θ）＞0，则θ的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=|sinx| B．y=|x| C．y=x3+x﹣1 D．5．（5分）在△ABC中，D在BC上，=2，设=，=，则=（）A．+B．+C．+D．﹣6．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c 8．（5分）函数f（x）=x﹣（）x的零点所在的一个区间为（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．（1，2）9．（5分）已知函数f（x）=，下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为上是增函数11．（5分）函数f（x）=x﹣a+log2x存在大于1的零点，则a的取值范围是（）A．二、填空题（每小题4分，共20分）13．（4分）函数f（x）=的定义域为．14．（4分）已知tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1=0的两个实数根，则tan（α+β）=．15．（4分）如图在菱形ABCD中，若AC=2，则=16．（4分）已知函数f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，且g（x）=f（+x），则fg（+x）=．三、解答题17．（10分）已知角x的终边经过点P（﹣1，3）（1）求sinx+cosx的值（2）求的值．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）（1）若||=2，且与同向，求的坐标（2）若||=，且与的夹角为30°，求（2+）•（4﹣3）19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+（1）求f（x）的单调递增区间（2）求f（x）在区间]上的值域．河北省唐山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，4，5} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：直接利用补集与交集的运算法则求解即可．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，∴A∩B={2，3}，由全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∩B）={1，4，5}．故选：A．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．2．（5分）cos510°的值为（）A．B．﹣C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求值即可．解答：解：cos510°=cos（360°+150°）=cos150°=﹣cos30°=．故选：C．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，基本知识的考查．3．（5分）若sin（π﹣θ）＜0，tan（π+θ）＞0，则θ的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式化简sin（π﹣θ），tan（π+θ），再判断θ是第几象限角．解答：解：∵sin（π﹣θ）＜0，∴sinθ＜0，∴θ为二、三象限角或终边在x轴负半轴上的角；又∵tan（π+θ）＞0，∴tanθ＞0，∴θ为一、三象限角；综上，θ的终边在第三象限．故选：C．点评：本题考查了判断三角函数符号的应用问题，也考查了诱导公式的应用问题，是基础题目．4．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=|sinx| B．y=|x| C．y=x3+x﹣1 D．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义及性质逐项判断即可．解答：解：由|sin（﹣x）|=|sinx|，得y=|sinx|为偶函数，排除A；由|﹣x|=|x|，得y=|x|为偶函数，排除B；y=x3+x﹣1的定义域为R，但其图象不过原点，故y=x3+x﹣1不为奇函数，排除C；由得﹣1＜x＜1，所以函数y=ln的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且ln=ln=﹣ln，故y=ln为奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．5．（5分）在△ABC中，D在BC上，=2，设=，=，则=（）A．+B．+C．+D．﹣考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，求出向量即可．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；在△ABC中，=2，=，=，∴=﹣=﹣，∴=﹣=﹣（﹣）；∴=+=﹣（﹣）=+．故选：B．点评：本题考查了平面向量加法与减法的几何意义的应用问题，是基础题目．6．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：把函数y=sin（2x﹣）变形为y=sin2（x﹣），可知要得函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，取逆过程得答案．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），∴要得函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，反之，要得函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位．故选：C．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象平移问题，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题．7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，1＞b=log2=，c=log3=，∴a＞b＞c，故选：D．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）函数f（x）=x﹣（）x的零点所在的一个区间为（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的零点判定定理，判断即可．解答：解：由函数的零点判定定理可知，连续函数f（x）在（a，b）时有零点，必有f（a）f（b）＜0．f（0）=﹣1＜0．f（）==＜0．f（）==0．f（1）=＞0．f（2）=＞0．所以函数的零点是x=．故选：B．点评：本题考查函数点了点判定定理的应用，基本知识的考查．9．（5分）已知函数f（x）=，下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为上是增函数考点：正弦函数的对称性．分析：由函数的图象的顶点纵坐标求出A，由特殊点求出φ，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，从而得出结论．解答：解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象可得A=2，把点（0，1）代入求得2sinφ=1，sinφ=，∴φ=．再根据五点法作图可得ω×+=2π，解得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）．当x=时，f（x）=2sinπ=0，故f（x）的图线关于点（，0）对称，故选：C．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x﹣a+log2x存在大于1的零点，则a的取值范围是（）A．16．（4分）已知函数f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，且g（x）=f（+x），则fg（+x）=﹣f2（x）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：判断出f（+x）=f（﹣x），即f（x）=f（π﹣x），f（x+π）=f（﹣x）=﹣f（x），可判断：f（x+2π）=f（x）得出周期为2π，把f+g（+x）=f（x）f（π+x）=f（x）=﹣f（x）f（x）求解即可．解答：解：∵函数f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，g（﹣x）=g（x），∵g（x）=f（+x），∴f（+x）=f（﹣x），即f（x）=f（π﹣x），f（x+π）=f（﹣x）=﹣f（x）f（x+2π）=﹣f（x+π）=f（x）∴f（x）的周期为2π．∴fg（+x）=f（x）f（π+x）=f（x）=﹣f（x）f（x）=﹣f2（x）点评：本题综合考查了函数的性质，性质与代数式的联系，属于中档题．三、解答题17．（10分）已知角x的终边经过点P（﹣1，3）（1）求sinx+cosx的值（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由角x的终边经过点P，利用任意角的三角函数定义求出sinx与cosx的值，即可求出sinx+cosx的值；（2）原式利用诱导公式化简，整理后把tanx的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）由点P（﹣1，3）在角x的终边上，得sinx=，cosx=﹣，∴sinx+cosx=；（2）∵sinx=，cosx=﹣，∴tanx=﹣3，则原式==﹣tanx=3．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）（1）若||=2，且与同向，求的坐标（2）若||=，且与的夹角为30°，求（2+）•（4﹣3）考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）与同向，设=k=（k，﹣2k），k＞0，利用向量的模的计算公式即可得出；（2）利用数量积运算性质即可得出．解答：解：（1）∵与同向，设=k=（k，﹣2k），k＞0，∵||=2，∴=2，解得k=2．∴=（2，﹣2）；（2）由=（1，﹣2），得||=，∴=||||cos30°==．∴（2+）•（4﹣3）===﹣5﹣5．点评：本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、向量共线定理，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+（1）求f（x）的单调递增区间（2）求f（x）在区间]上的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的值域．解答：解：（1）f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）令：2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为：（k∈Z）（2）∵x∈，∴2x﹣∈，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）在区间上的值域为：．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础题型．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
河北省唐山一中等五校2015届高三数学第二次联考试题 理(含解析)新人教A版
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．【题文】1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 【知识点】交集的基本运算.A1【答案】【解析】B 解析：由题意得：{}2{|2150}=|53M x x x x x =+-<-<<，同理： {}2{|670}|17N x x x x x x 或=+-≥=≥≤-，所以M N =[1,3)，故选B 。
【思路点拨】先根据题意求出集合M 、N 后再求MN 即可。
【题文】2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】D 解析：因为m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，所以可得：7m mi ni +=+，解得7,7m n ==，所以7777m ni ii m ni i++==--，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出m 和n 的值，代入m nim ni +-后直接利用复数的除法运算进行化简．【题文】3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【知识点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B13 B8 【答案】【解析】A 解析：由题意可知()1lg10f ==，又((1))1f f =，所以()200031af t dt =+=⎰，故31a =，解得1a =，故选A ．【思路点拨】求出()1f 的值，然后利用((1))1f f =，通过积分求解a 的值．【题文】4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案】【解析】D 解析：若||a b a b ⋅=⋅，则|||cos<,>=|||||cos<,>|a b a b a b a b ，即cos<,>=|cos<,>|a b a b ，则cos<,>0a b ，则a 与b共线不成立，即充分性不成立．若a 与b 共线，当<,>=a b ，cos<,>=1a b ，此时||a b a b ⋅=⋅不成立，即必要性不成立， 故““||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论． 【题文】5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于（ ）A ．11B ．8.5C ．8D ．7【知识点】程序框图.L1【答案】【解析】C 解析：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据126,9,x x ，不满足12||2x x ，故进入循环体，输入3x ，判断3x 与1x ，2x 哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由398.5=2x ，解出3x =8．故选C ． 【思路点拨】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【题文】6．已知 ()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ=（ ） A ．43 B ．34 C ．247- D ．247【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切．C4 C5【答案】【解析】C 解析：∵()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，∴72cos()410， ∴tan 11tan()411tan 7，∴4tan 3，∴22tan 24tan 21tan 7，故选：C ．【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos()4，可得tan()4，解方程求得tan ，最后可求得tan 2的值．【题文】7．已知1,3OA OB ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,OC mOA nOB =+(),m n R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33 D ．3 【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．F3【答案】【解析】B 解析：∵1,3OA OB ==,0,OA OB =∴OAOB ,13||2OC OB OC ,31||2OC OA OC ,∴OC 在x 轴方向上的分量为1||2OC ,OC 在y 轴方向上的分量为||2OC∵3OC mOA nOBni m j∴13||3,||22OC n OC m 两式相比可得：3m n．故选B.【思路点拨】先根据0,OA OB =可得OA OB ，再计算出OC OBOC OA ，又根据,OC mOA nOB =+，可得答案．【题文】8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 【知识点】直线的斜率.H1【答案】【解析】A 解析：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ， 由1021=+a a ，436S =，得112104636a d a d，解得1a =3，d =4．∴1141na a n d n ．则,41P n n ，2,47Q n n ．∴过点P 和Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是12,84,22．即为⎪⎭⎫⎝⎛--2,21，故选A ．【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式，得到P ，Q 的坐标，写出向量PQ 的坐标，找到与向量PQ 共线的坐标即可．【题文】9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0mn >>，则21m n +的最小值为( ) A ．．4 C ．52 D ．92【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6【答案】【解析】D 解析：∵x=﹣2时，y=log a 1﹣1=﹣1，∴函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx+ny+2=0上，∴﹣2m ﹣n+2=0，即2m+n=2， ∵mn＞0，∴m ＞0，n ＞0，()211211229=25222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【题文】10．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 【知识点】几何概型;椭圆的简单性质．H5 K3【答案】【解析】B 解析：∵22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴0,2ab a b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程22221x y a b+=表示焦点在x 3111132115222=1-2432S PS 阴影矩形，故选B ．【思路点拨】表示焦点在x 3的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【题文】11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A ．2845+B ．3045+C ．30410+D ．28410+【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：4,4,4BC CD AE ===,所以25,6,42AB AC AD BD ====, 所以14482BCDS=⨯⨯=,14482ABCS =⨯⨯=,1425452ADCS =⨯⨯=在三角形ABD 中，10cos 22542B ==⨯⨯310s 10inB ∴=,1310254212210ABDS ∴=⨯=,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和2845+，故选A 。
河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集U 是实数集R ，}22{-<>=x x x M 或，}13{<≥=x x x N 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．}12{<≤-x xB ．}22{≤≤-x xC ．}21{≤<x xD ．}2{<x x【答案】A【解析】试题分析：由韦恩图知阴影部分所表示的集合为U N C M ，先求出M 的补集为{}|22x x -≤≤，再画数轴可以求它于N 的交集为}12{<≤-x x ．考点：1．集合间的基本关系；2．集合的基本运算．2．下列函数中与函数x y =相等的函数是（ ）A ．2)(x y =B ．2x y =C ．x y 2log 2=D ．x y 2log 2=【答案】D【解析】试题分析：函数三要素都相同的两个函数是相等函数，因为x y =的定义域、值域都是R ．选项A ．函数的定义域是[)0,+∞，选项B 函数的值域是[)0,+∞选项C 函数的定义域是()0,+∞，选项D 函数的的定义域、值域都是R ，且解析式化简后为x y =考点：函数的三要素3．函数2y =的值域是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[【答案】C【解析】试题分析：由240x x -+≥得函数的定义域为{}|04x x ≤≤，先求24y x x =-+的值域为[]0,4，再求得函数y =的值域为[]0,2，则可以求出原函数的值域为[0,2]．考点：1．函数的定义域；2．复合函数的值域． 4．函数y kx b =+与函数kb y x =在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：A ．y kx b =+的图像过二、三、四象限0,0k b << 则0kb >，kb y x =的图像应在一、三 象限，错误B ．y kx b =+的图像过一、二、四象限0,0k b <>，则0kb <，kb y x=的图像应在二、四 象限，正确 C ．y kx b =+的图像过一、三、四象限0,0k b ><，则0kb <，kb y x=的图像应在二、四象限，错误D ．y kx b =+的图像过一、二、四象限0,0k b <>，则0kb <，kb y x =的图像应在二、四 象限，错误 考点：一次函数和反比例函数的图像5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为（ ） A ．81 B ．4 C ．2 D ．41 【答案】A【解析】 试题分析：因为1027>，31log 327=-，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f =31(3)28f --==． 考点：分段函数函数值的计算．6．下列函数中既是偶函数又在)0,(-∞上是增函数的是（ ）A ．34x y =B ．23x y =C ．2-=xy D ．41-=x y 【答案】C【解析】 试题分析：因为23x y =的定义域为[)0,+∞，41-=xy 的定义域为()0,+∞，所以两函数为非奇非偶函数， B 、 D 错误，又因为221y x x -==在)0,(-∞上是增函数，所以选项C 正。
河北唐山市1415学年度上学期高一期末——数学数学
唐山市2014～2015学年度高一年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：A 卷：CDCBADABDC AD B 卷：ACCDBADBDC BA 二、填空题：（13）(1，2)∪(2，＋∞)（14）1 （15）2 （16）0 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由点P (－1，3)在角x 的终边上，得sin x ＝31010，cos x ＝－1010， ∴sin x ＋cos x ＝105． …5分 （Ⅱ）sin ( π 2＋x )cos ( π 2－x )cos(－x ) cos(π－x )＝cos x ∙sin x cos x (－cos x )＝－tan x ＝3． …10分 （18）解：（Ⅰ）由a 与b 同向，设b ＝λa ，则b ＝(λ，－2λ)，λ＞0，…2分 ∵|b |＝5|λ|＝25，∴λ＝2，∴b ＝(2，－4)． …6分（Ⅱ）由a ＝(1，－2)，得|a |＝5，∴a ∙c ＝|a ||c |cos30︒＝152， …8分∴(2a ＋c )∙(4a －3c )＝8a 2－2a ∙c －3c 2＝8×5－2×152－3×15＝－20． …12分 （19）解：（Ⅰ）f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋ 1 2＝32sin 2x － 1 2cos 2x ＝sin (2x － π 6) …3分 由2k π－ π 2≤2x － π 6≤2k π＋ π 2，k ∈Z ，解得k π－ π 6≤x ≤k π＋ π 3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为[k π－ π 6，k π＋ π 3]，k ∈Z ． …6分 （Ⅱ）∵x ∈[0， π 2]，2x － π 6∈[－ π 6，5π6]，∴－ 1 2≤sin (2x － π 6)≤1， …11分 ∴f (x )在区间[0， π 2]上的值域为[－ 1 2，1]． …12分 （20）解：（Ⅰ）∵f (x )的定义域为R ，∴x 2－2ax ＋1＞0对x ∈R 恒成立，…2分 ∴∆＝4a 2－4＜0，解得－1＜a ＜1． …5分 （Ⅱ）由f (1)＝1，得a ＝0，f (x )＝log 2(x 2＋1)，f (x )的值域为[0，＋∞)，g (x )＝－f (x )，h (x )＝f (x )(2m －f (x ))＝2mf (x )－[f (x )]2， …8分 令f (x )＝t ，h (x )转化为函数y ＝2mt －t 2＝－(t －m )2＋m 2，t ∈[0，＋∞)， 当m ≤0时，此函数在[0，＋∞)上单调递减，t ＝0时，函数取最大值0， 当m ＞0时，此函数在[0，m ]上单调递增，在(m ，＋∞)上单调递减，t ＝m 时，函数取最大值m 2，∴当m ≤0时，h (x )的最大值为0；当m ＞0时，h (x )的最大值为m 2． …12分（21）解：（Ⅰ）因为f (x )＝(m ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，而y 1＝m ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，…2分 又θ∈(0，π)得θ＝ π 2， …4分 所以f (x )＝－sin 2x ∙(m ＋2cos 2x )．由f ( π 4)＝0，得－(m ＋1)＝0，即m ＝－1．…6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f (x )＝(2cos 2x －1)cos (2x ＋π 2) ＝cos 2x (－sin 2x )＝－ 1 2sin 4x ． …8分∴f ( α 4－π16)＝－ 1 2sin (α－ π 4)＝220，即sin (α－ π 4)＝－210，又α∈(0， π 2)，α－ π 4∈(－ π 4， π 4)，cos (α－ π 4)＝7210， …10分 ∴tan (α－ π 4)＝－ 1 7，即tan α－11＋tan α＝－ 1 7， 解得ta n α＝ 3 4．…12分 （22）解：（Ⅰ）由f (x )＋f (－x )＝0，得f (x )＋f (－x )＝ax ＋b x 2＋1＋－ax ＋b (－x )2＋1＝2b x 2＋1＝0， ∴b ＝0， …2分又f (1)＝ a 2＝ 1 2，∴a ＝1，所以f (x )＝x x 2＋1． …4分 （Ⅱ）任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 12＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 12＋1)(x 22＋1)(x 12＋1)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 22＋1)(x 12＋1)． …6分∵x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2－1＜0，(x 22＋1)(x 12＋1)＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[－1，1]是增函数．…8分 （Ⅲ）f (x )＝x x 2＋1，f ( 1 x )＝ 1 x ( 1 x )2＋1＝x x 2＋1＝f (x )，∴f (t ＋1t )＝f (t t ＋1)， 已知转化为f (2m 2m ＋1)＜f (tt ＋1)对任意的t ∈[1，＋∞)恒成立，又0＜2m2m ＋1＜1，0＜tt ＋1＜1，f (x )在[－1，1]上是增函数，∴2m2m ＋1＜tt ＋1对任意的t ∈[1，＋∞)恒成立， …10分 令g (x )＝xx ＋1，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以2m ＜t 对任意的t ∈[1，＋∞)恒成立，所以2m ＜1，m ＜0，实数m 的取值范围是(－∞，0)．…12分。
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河北省唐山一中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试题说明：1．本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题，考试时间为90分钟，满分为120分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的．A.23B. 22C. 21-D ．215.已知552cos =α，1010sin =β，且)2,0(πα∈，)2,0(πβ∈，则βα+的值 ( ) A.43π B. 4π C. 45πD ．4π或43π6. 为得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 ( )7.在ABC ∆ 中，点M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，AC AB AN μλ+= ，则μλ+ 的值为 ( ) A ．41B.31C.21D. 18.函数xx y --=11sin 2π)42(≤≤-x 的所有零点之和为 （ ） A.2 B ．4 C ．6 D ．89.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置),(y x P ．若初始位置为P0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6 B. y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π310.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D ．(0,2]卷Ⅱ（非选择题，共70分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 12. 设a ，b 是两个不共线向量，＝2a ＋p b ，＝a ＋b ，＝a －2b ，若D B 、、A 三点共线，则实数p 的值为________． 13. 设α为锐角，若)6cos(πα+＝45，则)122sin(πα+的值为________．14. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x)＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x)＝x －2，则有下面三个式子：其中一定成立的是__________．三．解答题：本大题共4小题，共50分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15． （本小题满分12分）函数)2sin(3)2cos(1)(x x x f ωω++=(10<<ω)，若直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； (1)试求ω的值；(2)先列表再作出函数f (x )在区间[,]ππ-上的图象； 并写出在[,]ππ-上的单调递减区间。
16. （本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，满足A Asin 32cos22=； （1）求角A 的大小；（2）求C B sin sin +的取值范围。
17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，R x ∈(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间]2,0[π上的最大值和最小值及相应的x 值；(3)若不等式|f (x )－m|＜2在]2,0[π∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围。
18. （本小题满分14分）函数f(x)＝6cos22xω＋3)sin(x ω－3 (ω＞0)在一个周期内的图像如图所示， A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f(x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值。
唐山一中2014～2015学年度第一学期第二次月考高一数学试卷答案13.解：∵α为锐角，即02<<α，∴2=66263<<α++。
∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==22550-对于③：sin1＞cos1⇒f (sin1)＜f (cos1)． 故应填②③. 三、解答题15.解：（1）f (x )＝1＋2sin(2ωx ＋π6).因为直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，所以sin(2ωπ3＋π6)＝±1.所以2ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z ).------------------3分所以ω＝32k ＋12.因为01ω<<，所以1133k -<<.又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.————————————————————-----————6分(2)由(1)知，f (x )＝1＋2sin(x ＋π6).列表：分 描点作图，函数f (x )在[－π，π]上的图象如图所示.————------———10分单调递减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,ππ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3------------------------------------12分16.（1）3π=A ——————————————————------------————6分（2）C B sin sin +的取值范围⎥⎦⎤ ⎝⎛3,23------------------------------------12分17. 解：(1)由已知，有：f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，-----3分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.------------------------------------4分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.-----------------8分 （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛2347-，的取值范围m ------------------------------------------------12分 18. (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，------2分又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.--------------------4分函数f (x )的值域为[－23，23]．----------------------------------------6分 (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.-----------------------------------8分 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4------------------------------------------10分 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765-------------------------------------------------14分。