用样本的频率分布估计总体分布教案(北师大必修)

第一章统计
第七课时 1.6用样本的频率分布估计总体分布(一)
一、教学目标
1、知识与技能
(1) 通过实例体会分布的意义和作用．
(2)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图．
(3)通过实例体会频率分布直方表、频率分布直方图，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计．
2、过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系．
二、教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图；
三、教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布．
新课导入设计
导入一
在统计中，为了考察一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况．这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计总体分布，一类是用样本的某种数字特征(例如平均数、方差等)去估计总体的相应数字特征．下面我们先通过案例来介绍总体分布的估计．
导入二
怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温(≥33 ℃)状况？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布．
一、用样本的频率分布估计总体的分布
1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．
2．频数分布直方图是以频数为纵坐标，数据观测值为横坐标，以组距为底边，落入组入的数据频数同为高，画出一系列矩形，这样得到的图形为频数直方图，简称直方图．3．频率分布直方图是利用直方图反映样本的频率分布规律，它比频率分布表更直观地
反映样本的分布规律，简称频率直方图．
4．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
例1 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)
44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，
44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，
30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，
49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，
45，28．
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．
解：(1)求数据最大值和最小值：
已知数据的最大值是67，最小值是28
∴最大值与最小值之差为67-28=39
(2)求组距与组数：
组距为5(岁)，分为8组．
(3)决定分点．
(4)列频分布表：
(5)绘频率分布直方图如图所示：
例2
分组频数累计频数频率
[150.5,153.5) 4 4 0．04
[153.5,156.5)12 8 0．08
[156.5,159.5)20 8 0．08
[159.5,162.5)31 11 0．11
[162.5,165.5)53 22 0．22
[165.5,168.5)72 19 0．19
[168.5,171.5)86 14 0．14
[171.5,174.5)93 7 0．07
[174.5,177.5)97 4 0．04
[177.5,180.5]100 3 0．03
合计100 1
（1
（2）画出频率分布折线图．
解：（1）频率分布直方图如图所示：
（2）频率折线图如图所示：
例3 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人数5810223320
区间界限[146,150)[150,154)[154,158)
人数1165
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比．．
规范解：（1）样本频率分布表如下：
（2）其频率分布直方图如图所示：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0．04+0．07+0．08=0．19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%．
例4：下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数，请设计适当的茎叶图表示这组数据，并由图出发说明一下这个车间此日的生产情况。

134 112 117 126 128 124 122 116 113 107 116 132 127 128 126 121 120 118 108 110 133 130 124 116 117 123 122 120 112 112
分析：以零件个数的前两位数作茎，后一位数作叶。

解：
从图可以看出这个车间此日的零件生产数目平均每人120左右。

点评：用茎叶图表示有两个突出的优点，其一，从统计图上没有信息的损失，所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；其二，茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示。

但茎叶图只能表示两位的整数，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。

【课堂练习】
1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,]a b 是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则||a b 等于 （ C ）
()A hm ()
B h m ()
C m
h
()D 与,m h 无关 2．有一个容量为45的样本数据，分组后，各组频数如下：
[12.5，15.5） 3， [15.5，18.5） 8， [18.5，21.5） 9， [21.5，24.5） 11， [24.5，27.5） 10， [27. 5，30.5） 4。

根据累计频率分布，估计小于27.5的数据约为总体的 （ A ）
A 、91%
B 、30%
C 、92%
D 、95% 3．有一个容量为20的样本数据，分组后，组距与各组频数如下：
[10，20） 2， [20，30） 3， [30，40） 4， [40，50） 5， [50，60） 4， [60，70） 2。

则样本在区间 [10，50）上的频率为 （ D ）
A 、5%
B 、25%
C 、50%
D 、70% 甲组 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83 乙组
82
84
85
89
79
80
91
89
79
74
解：甲小组更整齐些。

5一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图1—6—10）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月
收入段应抽出 人．
图1—6—10
解：由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有
2500)]25003000(0005.0[10000=-⨯⨯，
则在这段人中按分层抽样应抽出2510000
100
2500=⨯
人．
6.为了了解高一学生的体能情况,
某校抽取部分学生进行一分钟跳绳
次数次测试，将所得数据整理后，画
出频率分布直方图(如图)，图中从左
到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容
量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一
学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的
中位数落在哪个小组内？请说明
理由。

分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
4
0.0824171593
=+++++
又因为频率=
第二小组频数
样本容量
90 100 110 120 130 140 150 o
0.004
0.008
0.012
0.016 0.020
0.024 0.028 频率/组距
0.032
0.036
所以 12
1500.08
=
==第二小组频数样本容量第二小组频率
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
171593
100%88%24171593
+++⨯=+++++
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，
前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。