简答题问答题复习题

简答题：

1、已知线性因果网络的差分方程为()0.8(1)()0.8(1)y n y n x n x n =-++-，试在z 平面上画出零极点的位置，并定性画出其幅频特性曲线。

2、简述采用窗函数法设计FIR 数字滤波器的设计步骤及主要公式。

3、简要叙述基2 DIT-FFT 与基2 DIF-FFT 快速算法运算流图的主要异同点。

4、基2FFT 快速算法的原理是什么？其运算次数为多少？

5、在利用DFT 分析连续非周期信号的频谱时，由于需要对连续信号进行采样和截断，由此可能产生的误差的三种现象是什么？并简要说明减小或避免产生这三种现象的方法。

6、FIR 滤波器具有线性相位的条件是什么？其相位表达式是什么？

7、（1）脉冲响应不变法与双线性变换法各有何特性？ （2）哪种方法适合设计IIR 数字高通滤波器？

8、简述IIR 数字滤波器的基本网络结构类型以及每种网络结构的特点 9、简述巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤及主要公式。

问答题：

1、已知实序列(){}{}3,2,1,0,1,1,1,2)(3,2,1,0,1,2,2,1=-===n n h n n x ，试计算： （1）4点的循环卷积； （2）7点的循环卷积；

（3）画出利用FFT 计算线性卷积的实现框图。

解：解：（1）()[]211111

2112

()366

3112121

1

1

21x n h n -????????-?

????=*=????-????-????

由于线性卷积长度7与循环卷积长度相等，结果相等，故可以计算线性卷积。

20 15 10

5 0

0 0.5 1 1.5 2 w/π 幅频特性

0.8

-0.8 Re[z]

Im[z]

1221

21111221

12

21

1221

2

4

4

2

2

553111

?-----

（3）设()n h 的长度为N ，()n x 的长度为M ，循环卷积的总长度为L

2、已知线性因果网络用下面的差分方程描述：

y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)

（1）求网络的系统函数H(z)及其单位脉冲响应h(n) ；

（2）写出网络传输函数H(e jw )的表达式，并定性画出其幅频特性曲线。

3、设()x n 是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为()x n 的2N 点DFT ，试设计用一次N 点FFT 完成计算()X k 的高效算法。

解：首先将长度为2N 的实序列分解成两个长度为N 的短序列

12()(2)(21)

01

()()

x n x r x r r N x n x n =++≤≤-=+

由两个实序列分别作为实部和虚部，重新组合成一个新的长度为N 的序列

12()()()

01y n x n jx n n N =+≤≤-

用一次N 点的FFT 计算出新序列的()Y k

12()[()][()][()]Y k FFT y n DFT x n DFT jx n ==+

12()()X k jX k =+

补

L-N 个 零 点

L 点 FFT

补 L-M 个 零 点

L 点 FFT

L 点 IFFT

x(n)* h(n)

h ( n )

x ( n ) (2分)

(2分)

(1分)

()()ep op Y k Y k =+

利用DFT 的共轭对称性，分别求出两个短序列的DFT

1()()

ep X k Y k =

21()()op X k Y k j

=

由蝶形算法计算出原序列的DFT

122

1

22

()()()01

()()()

k

N

k

N

X k X k W X k k N X k N X k W X k =+≤≤-+=-

4、已知8点序列x(n)={1, -1, 1, -1, 2, 1, 1, 2}，

（1）试利用N =4时域抽取基2FFT 流图计算8点序列的DFT 。（要求画出运算流图，并标明每一处的数值）

（2）当N 相同时，分析DIT-FFT 与DIF-FFT 运算流图的主要异同点。 （1

）

（4分） （4分）

X 1(k )={5, -1, 1, -1}, X 2(k )={1, -2+3j, -1, -2-3j}

利用上述公式，可得序列x (n )的DFT X (k )为

12()()()()()

k

N X k X k W X k X k X N k *

=+=- （1分）

X (k )={6, -0.293+3.535j, 1+j, -1.707 + 3.535j, 4, -1.707-3.535j, 1-j, -0.293-3.535j}

（1分） （2）答：（一）相同点： （2分）

（a ）运算量相同。

（b ）运算流图都是原位计算。

（二）不同点： （2分） （a ）蝶形运算规律不同，DIT －FFT 的蝶形运算是先乘后加减，而DIF －FFT 是先

加减后作乘法。

（b ）输入输出的顺序不同，DIT －FFT 算法是倒序输入，顺序输出，而DIF －FFT

算法是顺序输入，倒序输出。

（三）二者的运算流图可以相互转化。

5、（1）画出N=8/N=4时域抽取法基2FFT 算法的运算流图。

（2）如果用通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要5μs ，每次复数加法需要1μs ，试计算N=8时域抽取法基2FFT 算法的运算量。 解：（1）

（2）复数乘法：

次1234log 2

2=?=N N

（3） 复数加法：次2438log 2=?=N N 所以，总的运算量为：ms s s 084.0124512=?+?μμ

6、设要实现的模拟低通滤波器)(s H 的指标为（按照步骤自己做一遍，答案有问题） dB kHz f dB kHz f s s p p 15,2,3,2.1≥=≤=αα （1）试确定数字滤波器)(z H 的设计指标

（2）用双线性变换法，设计满足（1）中指标的Butterworth 数字低通滤波器。采样间隔T=2s 。（查表见附录）

附表：巴特沃斯归一化模拟低通滤波器部分参数

阶数(N)

分母多项式1

110()N

N N B p p

b p

b p b --=++++ 的系数

b 0

b 1 b 2 b 3 1 1.0000

2 1.0000 1.4142

3 1.0000 2.0000 2.0000 4

1.0000

2.6131

3.4142

2.6131

1）确定数字滤波器的设计指标

本题要求用巴特沃斯型滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤

W N 0 W N

1 W N

2 W N

3 x (0) x (4) x (2) x (6) x (1) x (5) x (3) x (7)

A (0) A (1) A (2) A (3) A (4) A (5) A (6) A (7)

A (0)

A (7)

X (0) X (1)

X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)

A (0) A (1) A (2) A (3) A (4) A (5) A (6) A (7)

W N/4

W N/4 0 W N/4 0 W N/4

0 W N/2 0 W N/2

1 W N/

2 0 W N/2

1

波器指标描述如下：

rad

f f rad

f f sam

s s sam

p p ππωππω5.023.02====

dB s p 15

,3==αα

采用双线性变换法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为： s r a d s r a d s s p p /12t a n ,/5095.02t a n =??? ??=Ω=???

? ?

?=Ωωω dB dB s p 15,

3==αα

（2）根据模拟滤波器的设计指标设计模拟低通滤波器： ①求滤波器阶数N 及归一化系统函数()p H a ： 5.2lg lg ≈-=sp

sp k N λ ，选取N=3

②查表得模拟低通滤波器系统函数的归一化低通原型为： 1

221

)(2

3

+++=

p p p p H a

③去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数()s H a 由于在p Ω处衰减是3dB ，故p Ω与c Ω恰好相等，

即s rad p c /5095.0=Ω=Ω 5

1323

.05192.00191.11

1

)(2)(

2)(1

)

()(2

3

2

3

+++=

+Ω+Ω+Ω=

=Ω=s s s s s s p H s H c

c

c

s

p a a c

（3）用双线性变换法将()s H a 转换成数字滤波器系统函数()z H 3

2

1

3

1

1121378.06959.01619.11)

1(0495.0)

()(1

1

----+-=

-+-+=

=--z

z

z

z s H z H z z

T s a

7、设FIR 数字滤波器的系统函数为

1

2

3

4

()10.830.8H z z

z

z

z

----=++++

（1）试求该滤波器的单位取样响应()h n ； （2）判断该滤波器是否具有线性相位； （3）求出其幅度特性和相位特性； （4）画出其线性相位型结构；

解：（1） ()()1

1234

10.830.8N n n H

z h n z

z z z z

------===++++∑ ()()1,0.8,3,0.8,1,0,1,2,3,4h n n ==

（2）由)(n h 的取值可知

()

5,1)(=--=N n N h n h

故该FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。 （3）设该滤波器的频率响应函数为()j H e

ω

则 ()()()

()1

234222210.830.8(0.83

0.8)

(31.6c o s 2c o s 2

)

N j j j

n

g n j j

j j

j j

j

j

j

j H

e H e h n

e

e

e e e

e

e e e e e θωωωω

ωωωω

ωωωωω

ωωω--=--------=

=

=++

++=++

++

=++∑

所以幅度特性函数为： ()31.6c o s 2c o s

2g H ωωω=++ 相位特性函数为：

()1

22

N θωωω

-=-=- （4）

x ( n )

y ( n )

1

0.8

3

1 -

z 1

- z 1 -

z 1 - z

8、已知模拟滤波器的系统函数为)

1)(4(2)(++=

s s s H

（1）分别利用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器，求出相应的)(1z H 和

)(2z H ，抽样间隔T=1s 。（2）简述脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。

解：（1）由部分分式展开，可得 )

4(3/2)

1(3/2)(+-

+=s s s H （2

分）

脉冲响应不变法：1

4

1

1

113/213/2)(------

-=z

e

z

e z H （4

分）

双线性变换法：

1

1

22111

2

2

()()

1(1)9

119z

S T z H z H s z z

---=

+--=+=-

（2

分）

（2）脉冲响应不变法：主要优点是模拟频率与数字频率之间的关系是线性的， （1分）

其主要缺点是存在频谱混叠； （1分）

双线性变换法： 主要优点是避免了频谱混叠， （1分）

其缺点是模拟频率与数字频率之间的关系是非线性的， （1分）

且在边界频率处容易产生畸变。 （1分 9、试用矩形窗设计一个线性相位FIR 数字低通滤波器，其频率响应逼近

??

?≤=-其他

)(c j jw

d e e

H ωωωα

（1）求出长度N=5，窗口为矩形窗的线性相位FIR 数字滤波器h(n)的表达式； （2）画出该数字滤波器H(z)的线性相位网络结构（不必计算h(n)各点的数值）； （3）若设计的数字滤波器阻带衰减达不到指标，应采取何种措施？ （4）对于此低通数字滤波器可否取N=6？

解：（1）由IDFT 可得理想低通滤波器的单位取样响应为

())

()

(sin 21)(21)

(απαωω

π

ω

πωω

αωωπ

πω

--=

==

??-

--

n n d e

d e

e

H

n h c n j n

j j d

d c

c

(2分)

()55()()

sin ()

()

()sin (2)

04

(2)

d c c h n h n R n n R n n n n n ωαπαωπ=?-=?--=

≤≤- 为了得到线性相位，要求22

1=-=N α

（2）

（3）应选择矩形窗以外的窗函数进行设计。 （4）（4）可以，因为当N=6时，幅度特性在w=0处无零点，故可以进行低通滤波器的设计。

10、用脉冲响应不变法设计一个低通数字滤波器，已知模拟归一化低通滤波器的传递函数为)

1)(2(2)(++=

p p p H ，模拟截止频率c f 为1kHz ，采样频率s f 为4kHz 。

（1）试求数字低通滤波器的系统函数)(z H ？ （2）画出其网络结构图。 解： （1） s r a d f c c πππ2000100022=?==Ω

c

c c

c c

c

c

c s p s s s s s s p H s H c

Ω+Ω+

Ω+Ω-=

+Ω+

+Ω-=

+Ω+Ω==Ω=

2221

22

2)

1)(2(2)

()( )(4000

11221s f T s s s

c

c =

=

Ω-=Ω-=

x(n)

y(n)

z -1 z -1 h(2)

z -1 z -1

h(0) h(1)

)

1)(1()(1112121)(1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

22

1

1

--

-----

--

---Ω--Ω-=----=-+

--=

-Ω+

-Ω-=

-=

∑z e z

e

z

e

e z

e

z

e

z

e

T z

e

T z

e

TA z H T

c T

c i T

s i

c c i π

π

π

π

π

π

πππ

(网络图没画)