2017_2018学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式：ab≤a+b2优化练习新人教A版必修52

3.4 基本不等式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列不等式正确的是( ) A ．a ＋1a≥2B ．(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2C ．a 2＋1a2≥2D ．(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤－2解析：因为a 2＋1a2中a 2>0，所以a 2＋1a22≥a 2·1a2，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a 2≥2.答案：C2．已知m ＝a ＋1a＋1(a >0)，n ＝3x(x <1)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：因为a >0，所以m ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x <1，所以n ＝3x <31＝3，所以m >n . 答案：A3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：B4．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －x ＋1 －x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．答案：C5．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．答案：D6．已知a >b >c ，则 a －b b －c 与a －c2的大小关系是________．解析：因为a －b >0，b －c >0，a －c >0. 所以 a －b b －c ≤a －b ＋ b －c 2＝a －c2.当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号． 所以 a －b b －c ≤a －c2. 答案： a －b b －c ≤a －c27．当x >12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________．解析：设t ＝2x －1，∵x >12，∴2x －1>0，即t >0，∴y ＝t ＋12＋8t ＝t 2＋8t ＋12≥2t 2·8t ＋12＝92. 当且仅当t 2＝8t ，即t ＝4， x ＝52时，取等号．答案：928．若x ，y 均为正实数，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1169．已知不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为A ＝{x |1<x <b }．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＝(2a ＋b )x ＋25b －a x ＋a(x ∈A )的最小值．解析：(1)由题意知，1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，且b >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝(2×1＋2)x ＋25 2－1 x ＋1＝4x ＋25x ＋1＝4(x ＋1)＋25x ＋1－4≥24 x ＋1 ·25x ＋1－4＝16. 当且仅当4(x ＋1)＝25x ＋1，即x ＝32∈A 时等号成立． ∴函数f (x )的最小值为16.10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解析：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1 ·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．[B 组 能力提升]1．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －1 ＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ x －1 ＋1－ x －1 ≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 答案：D2．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若 p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r <qD ．p ＝r >q解析：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f (a ＋b2)＝lna ＋b2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为a ＋b2>ab ，所以f (a ＋b2)>f (ab )，所以q >p ＝r .答案：C3．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22 x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32.即a 的最小值为32.答案：324．若正数a ，b 满足ab －(a ＋b )＝1，则a ＋b 的最小值是________． 解析：由于ab －(a ＋b )＝1，所以ab ＝a ＋b ＋1， 而ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b )2.令a ＋b ＝t (t >0)，所以t ＋1≤14t 2，解得t ≥2＋22，即a ＋b ≥22＋2.当且仅当a ＝b ＝1＋2时取等号． 答案：22＋25．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，且点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1，m ，n >0， ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m＋4mn≥4＋2n m ·4mn＝8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1，n m ＝4mn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12时等号成立．答案：86．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．。