苏教版数学高二-3.2素材 含参不等式的讨论策略
高中数学含参数不等式问题的解题策略(一)
高中数学含参数不等式问题的解题策略 （一）周六晚8：00---10：00 周日下午3：30---5：30与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围. 其中的解题常见的策略有：反客为主法，利用函数图像的凹凸性，几何意义法，，分离参数法，以及纯一元二次函数的图像分析法（着重从开口方向、与y 的交点、对称轴、及“△”来分析）数形结合法等方法。
如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。
【问题1】求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx+a 2-1≤0的解集分别是：(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．【问题2】设()()2212log 210,0x x x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦，求使y 为负值的x 德取值范围.【问题3】解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且【问题4】． 解关于x 的不等式322---x x x a ＞0 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 【问题5】．(2008广东卷,理)设a ∈R 若函数3ax y e x =+\x ∈R 有大于零的极值点，则a ∈____【问题6】．设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-052,0222bx x a x x 的解集, 试确定b a ,的取值范围使B A ⊆【问题8】．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是___【问题9】(2005江西卷，理，文)已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程 ()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .(1）求函数f (x )的解析式（2）设1>k ，解关于x 的不等式x k x k x f --+<2)1()( 【问题10】己知三个不等式：①x x -<-542 ②12322≥+-+x x x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。
含参不等式的讨论策略
（ ∈ Ｒ） “ ．
ｎ ＞土 即 口∈（ ｌ ｏ Ｕ （ ， 。 时 ， 一 ， ） １ ＋。 ）
，
原 不
向 ｛ ＜ ， ＞｝ 解 为 丢或 ａ； 口
一
，
即 。 ± １时 ， 一
口
一
勺集 ｛ｚｎ ｚ去 ． 解 为ｚ＜， ＞ ） Ｉ 或
】 与 舍 参 数 的一 元 二 次 不 等 式 对 应 的
Ｘ ｌ一
一
— — —— — — — — — 一 — — — —— — —— — 口
其 中 ＜－ ， 以原 不 等 式 的 解 集 为 ｒ 所
元 二 次 方 程 如 果 有 两解 时 ， 们 有 法 则 “ 于取 我 大
ｚ 一 １ 则 原 不 等 式 的解 集 为 一 ，
｛ ≠ 一 １ ； ｚＩ ｝
口 ： ， ｐ口 （ 。， １ Ｕ （ ， ） ， ＜ ＆ ∈ 一。 一 ） ｏ １ 时
原 不
① 若 Ａ Ｏ 即 Ｏ ｎ １ ， 程 的 两个 解 为 ＞ ， ＜ ＜ 时 方
一
１ 一 、
１ ，１ ＋ ／ 一口
一 ．
当 “ 一１ ． 一 时 Ｍ一 ｛ １ ［ ，］ 不 合 题 意 ； 一 ） １３ ， 当 “ ２时 ， 一 ｛ ） ［ ，］ 符 合 题 意 ； 一 Ｍ ２ １ ３ ，
（ ） △ Ｏ时 ， ＜ 一１ 或 ａ ２ ３当 ＞ ｎ ， ＞ ．
设 方 程 ｚ 一 ２ ｘ＋ ｎ ２ ０ 的 两 根 分 别 为 ａ ＋ —
一 ０ 一 ＿ 一 骞 磐 ． 鍪掌
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策 略
高二数学不等式选讲苏教版知识精讲
高二数学不等式选讲苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式选讲二. 教学重点、难点：二、本周教学目标：1、掌握不等式的基本性质，并能说明这些性质存在的道理．2、进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；3、认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小的方法是证明不等式的常用方法，会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明方法证明一些简单的不等式．三、本周知识要点：（一）不等式的性质（1）a ＞b ⇔b ＜a（2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c（3）a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c（4）a ＞b ，c ＞0，⇒ac ＞bc ；（5）若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且（6） 若0,1)a b n N n >>>∈>且（二）含有绝对值的不等式1、|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ．|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a ．2、性质1：||||||a b a b +≤+性质2：||||a b -≤||a b -性质3：||||||||||b a b a b a +≤-≤-（三）不等式的证明1、比较法2、综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法．3、反证法4、放缩法【典型例题】例1. 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小．解：由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1＝x 2∵x ≠0 ∴x 2＞0∴（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＞0∴（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1．例1引申：在例1中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何？在例1中，如果没有x ≠0这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x ＝0和x ≠0两种情况进行讨论，即：当x ＝0时，（x 2＋1）2＝x 4＋x 2＋1当x ≠0时，（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1例2. 已知a ＞b ，c ＜d ，求证：a －c ＞b －d ．（相减法则）分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的．证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0（两个正数的和仍为正数）故a －c ＞b －d ．思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的．证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d例3. 已知a ，b ，x ，y 是正数，且b a 11>，x ＞y ．求证：b y y a x x +>+． 证：∵ba 11>＞0 ∴b ＞a ＞0， 又x ＞y ＞0 ∴xb ＞ay ∴xy ＋xb ＞xy ＋ay即x （y ＋b ）＞y （x ＋a ） ∵a ，b ，x ，y 是正数，∴y ＋b ＞0，x ＋a ＞0∴b y y a x x +>+．例4. 已知函数2()f x ax c =-，－4≤(1)f ≤－1，－1≤f （2）≤5，求(3)f 的取值范围．分析：利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c ，然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f ，最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围．解：∵⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴)1(35)2(389)3(f f c a f -=-= ∵－4≤f （1）≤－1，故)35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f （1） 又－1≤f （2）≤5，故340)2(3838≤≤-f （2） 把（1）和（2）的各边分别相加，得：－1≤)1(35)2(38f f -≤20 所以，－1≤f （3）≤20 点评：应当注意，下面的解法是错误的：依题意，得：⎩⎨⎧≤+≤--≤-≤-(2)541(1) 14c a c a 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a ≤3，1≤c ≤7 （3）所以，由c a f -=9)3(可得，－7≤f （3）≤27．以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a 、c 的范围扩大，这样f （3）的范围也就随之扩大了．例5. 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε，|z |＜9ε，求证|x ＋2y －3z |＜ε． 证明：|x ＋2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |∵|x |＜3ε，|y |＜6ε，|z |＜9ε， ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε例6. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L ，则周长为L 的圆的半径为π2L ，截面积为2()2L ππ；周长为L 的正方形边长为4L ，截面积为2)4(L ，所以本题只需证明22)4()2(L L >ππ． 证明：设截面的周长为L ，依题意，截面是圆的水管的截面面积为2)2(ππL ，截面是正方形的水管的截面面积为2)4(L ，所以本题只需证明22)4()2(L L >ππ． 为了证明上式成立，只需证明 164222L L >ππ 两边同乘以正数24L ，得411>π因此，只需证明π>4 上式是成立的，所以22)4()2(L L >ππ例7. 若a ，b ，c ，d ∈R ＋，求证： 21<+++++++++++<c a d db dc ca cb bd b a a证明：（用放缩法）记m ＝c a d db dc ca cb bd b a a+++++++++++∵a ，b ，c ，d ∈R ＋ ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc ca cb a bd c b a am2=+++++++<c d dd c cb a bb a am∴1＜m ＜2 即原式成立【模拟试题】一、选择题1、若a ＜0，－1＜b ＜0，则有（ ）A. a ＞ab ＞ab 2B. ab 2＞ab ＞aC. ab ＞a ＞ab 2D. ab ＞ab 2＞a2、如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列不等式中不正确的是（ ）A. a －d ＞b －cB. c bd a> C. a ＋d ＞b ＋c D. ac ＞bd3、如果a 、b 为非0实数，则不等式b a 11>成立的充要条件是（ ）A. a ＞b 且ab ＜0B. a ＜b 且ab ＞0C. a ＞b ，ab ＜0或ab ＜0D. a 2b －ab 2＜04、当a ＞b ＞c 时，下列不等式恒成立的是（ ）A. ab ＞acB. （a －b ）∣c －b ∣＞0C. a ∣c ∣＞b ∣c ∣D. ∣ab ∣＞∣bc|5、已知a 、b 为实数，则“a ＋b ＞2”是“a 、b 中至少有一个大于1”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、log m 2＞log n 2的充要条件是（ ）A. n ＞m ＞1或1＞m ＞n ＞0B. 1＞m ＞n ＞0C. n ＞m ＞1或1＞n ＞m ＞0D. m ＞n ＞1二、填空题：7. 若－1＜x ＜y ＜0，则x 1，y 1，2x ，2y 的大小关系为__ ．8. 设角α、β满足22πβαπ<<<-，则α－β的取值范围为 ．9. 若实数a ＞b ，则a 2－ab ba －b 2．（填上不等号）10. 已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c=0，则b 2 – 4ac 的值的符号为 ．三、解答题11. 如果x ＞0，比较（x －1）2与（x ＋1）2的大小．12. 已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d be c a e ->- 13. 已知：|x －1|≤1，求证：（1）|2x ＋3|≤7； （2）|x 2－1|≤314. 求证：213121112222<++++n[参考答案]http//一. 选择题1. D2. C3. D4. B5. A6. C二. 填空题7. y 1x 1y x 22>>> 8. 0<β-α<π- 9. >10. 正数三. 解答题11. 解：（x －1）2－（x ＋1）2 ＝［（x －1）＋（x ＋1）］［（x －1）－（x ＋1）］ 或［（x －2x ＋1）－（x ＋2x ＋1）］＝－4x∵x ＞0 ∴x ＞0 ∴－4x ＜0 ∴（x －1）2＜（x ＋1）212. 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>->-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 13. 证明：（1）∵|2x ＋3|=|2（x －1）＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7（2）|x 2－1|=|（x ＋1）（x －1）|=|（x －1）[（x －1）＋2]|≤|x －1||（x －1）＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=314. 证明：（用放缩法）n n n n n111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n。
含参数不等式的解题方法与技巧
含参数不等式的解题方法与技巧含参数不等式的解题方法与技巧引言含参数的不等式是数学中常见的一种形式，它具有一定的复杂性，需要一些解题的方法和技巧来求解。
本文将详细介绍一些解题的技巧，帮助读者更好地理解和解决含参数的不等式问题。
技巧一：确定参数范围在解决含参数不等式的问题时，首先需要确定参数的取值范围。
通过分析不等式中的条件和限制，可以推导出参数的范围。
参数的取值范围决定了不等式的解集的性质，是解题的重要依据。
技巧二：代入法代入法是解决含参数不等式问题的一种常用方法。
通过选择合适的值代入参数，并观察不等式的变化情况，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
多次尝试不同的取值，可以逐步缩小解集的范围。
技巧三：证明法证明法是解决含参数不等式问题的一种常见方法。
通过对不等式进行推导和变形，运用数学分析的知识，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
使用证明法需要具备较强的数学推理能力和逻辑思维能力。
技巧四：图像法图像法是解决含参数不等式问题的一种直观方法。
通过将不等式表示为图形，并分析图形的特征和变化趋势，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
图像法可以帮助读者更好地理解和直观地判断不等式的解集。
技巧五：数学归纳法数学归纳法是解决含参数不等式问题的一种有效方法。
通过对不等式进行递推和归纳，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
数学归纳法需要具备较强的数学推理能力和逻辑思维能力。
技巧六：一般化方法一般化方法是解决含参数不等式问题的一种常用技巧。
通过对不等式进行变量替换和常数化简，可以将复杂的不等式问题转化为简化的形式，从而更好地进行求解。
一般化方法可以帮助读者更好地理解不等式的本质和规律。
总结解决含参数不等式问题需要综合运用多种技巧和方法。
通过确定参数范围、代入法、证明法、图像法、数学归纳法和一般化方法等，可以更好地解决含参数不等式问题，得到准确的解集和结论。
挖掘不同方法的优势，结合实际问题的特点，能够更高效地解决含参数不等式问题，提高数学解题的能力。
高中数学复习提升高二含参不等式
高二年级数学含参不等式一、含参不等式的解法——分类讨论思想 1.由判别式△的符号引起的讨论例1、01x 2≤++ax x 的不等式解关于 2.由二次项的系数符号引起的讨论例2、014)1m 2≤+-+x x x 的不等式（解关于（本题须二次分类，先讨论开口再讨论△） 3.由根的大小引起的讨论例3、0)(x x 322>++-a x a a 的不等式解关于牛刀小试：练习1. 解关于x 的不等式0212>---x x ax练习2。
解关于x 的不等式)1(,12)1(≠>--a x x a二、含参不等式----恒成立问题求参1、转换主元法：例1.若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
231x 271+<<+-2、化归二次函数法：例2、对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21例3、已知向量a =(x 2,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围。
t ≥5例4、若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
21m ->3、数形结合法例5、如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 例6、已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x<21恒成立，则a 的取值范围(] 2,11,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 4、分离变量法例7、在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
]3,1(∈m例8、已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
含参数不等式的解题方法与技巧(一)
含参数不等式的解题方法与技巧(一)含参数不等式的解题方法与技巧1. 确定参数的范围在解析含参数不等式时，首先需要确定参数的范围。
通过观察不等式中的条件，可以得出参数的取值范围，以便后续的推导和解题。
2. 代入法一个常用的解决含参数不等式的方法是代入法。
当不等式中的参数有特定限制时，我们可以选择代入一些特定的值进行计算，从而得到不等式的解集。
3. 分类讨论对于一些较为复杂的含参数不等式，可以进行分类讨论。
通过对参数的不同取值进行分类，可以将原问题拆分为多个简化的子问题，从而更容易找到解集。
4. 画图法对于一些几何形状相关的不等式问题，可以使用画图法来辅助解题。
根据不等式的条件，将其转化为几何图形并进行分析，可以更直观地理解问题并找到解集。
5. 推导法通过一系列的推导和变换，可以将含参数不等式转化为一种等价的形式，从而更容易求解。
在推导过程中，需要灵活运用不等式的性质和常用的等价关系。
6. 使用不等式性质不等式中存在一些常用的性质，如加法性质、乘法性质、倒数性质、平方性质等。
在解题过程中，可以运用这些性质对不等式进行简化和转换，以求得解集。
7. 求导法对于一些含参数的函数不等式，可以通过求导来研究其变化趋势。
通过求导的结果，可以判断函数的单调性和极值点，从而确定不等式的解集。
8. 极值法求解含参数不等式的另一种常用方法是使用极值法。
通过构造一个与不等式相关的函数，并通过求导和求极值来确定不等式的解集。
9. 不等式链法对于一些复杂的含参数不等式，可以通过构造不等式链来求解。
将原不等式转化为一系列含参不等式，通过对每个不等式进行推导和分析，最终得出原不等式的解集。
以上是解决含参数不等式的常用方法和技巧。
在实际解题过程中，需要根据具体问题选择合适的方法，并灵活运用不等式的性质和等价关系。
10. 反证法反证法也是解决含参数不等式的常用方法之一。
假设原不等式不成立，通过推导和分析，找出与之矛盾的条件，从而得出原不等式的解集。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
高二含参不等式重要知识点
高二含参不等式重要知识点含参不等式是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、不等式证明以及解决实际问题中都起着重要作用。
本文将介绍高二阶段学习含参不等式时需要掌握的重要知识点。
1. 含参不等式的基本概念含参不等式是指不等式中包含一个或多个未知数的不等式。
通常使用形如f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的形式表示，其中f(x)和g(x)是关于x的算式。
2. 含参不等式的解集表示法含参不等式的解集可以用数学符号表示，例如用区间表示。
对于f(x)>g(x)的不等式，解集可以表示为{x|f(x)>g(x)}，其中x为满足不等式的实数。
3. 含参不等式的性质（1）含参不等式满足运算性质。
对于任意实数a和b，若f(x)>g(x)，则af(x)>ag(x)；若f(x)>g(x)且g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。
（2）含参不等式满足传递性质。
若f(x)>g(x)，g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。
（3）含参不等式的均值不等式。
对于任意实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。
4. 含参不等式的求解方法（1）代数法。
通过变形和运算，将含参不等式转化为可求解的形式，从而求得解集。
（2）图像法。
将含参不等式转化为函数图像，分析图像特征得出解集。
（3）区间法。
通过确定函数的单调性、零点、极值点等，在数轴上找到解集所在的区间。
5. 含参不等式的应用含参不等式在实际问题中有广泛的应用，例如优化问题、最值问题、经济学模型等。
通过建立合适的含参不等式模型，可以解决实际问题，并得到解的范围或最优解。
6. 含参不等式的证明在数学证明中，含参不等式的证明方法有多种。
常用的方法包括归谬法、反证法、数学归纳法等。
根据具体的证明要求，选择适合的方法进行证明。
以上是高二含参不等式重要知识点的介绍。
掌握这些知识点，可以帮助学生在解决实际问题和数学建模中灵活运用含参不等式，提升数学解题能力和逻辑思维能力。
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含参不等式的讨论策略
求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类考试中的重点和难点。
解含参数的不等式离不开分类讨论,分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。
本文以这两个方面为着眼点，谈谈分类的策略，供同学们参考。
一、含参数的一元二次不等式的讨论策略
例1 解关于x的不等式。
分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨论。
需要的话还要对根的大小进行比较。
含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。
解：（1）当a=0时，原不等式的解集为。
（2）当a>0时，方程，△=4－4a。
①若△>0，即0<a<1时，方程的两个解为，
，。
所以原不等式的解集为。
②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为。
③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。
④当a<0时，一定有△>0，方程两个解为，
，且。
原不等式的解集为。
总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。
（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。
（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。
二、含参数的绝对值不等式的讨论方法
例2 解关于x的不等式。
错解：。
当时，解得。
当时，解得。
剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a≥4两种情况。
正确解法：当a<0时，得。
当时，得①或②。
由①解得。
由②得。
此时分类可知，若，解得。
若，此不等式无解。
综上，当a<0时，原不等式解集为R；
当时，原不等式解集为
<x<；
当时，原不等式解集为。
总结：解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。
三、含参数的分式不等式的讨论方法
例3 已知，解不等式。
分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨论。
解：原不等式化为①
策略一：分式不等式的最基本形式是，对于任意一个分式不等式，应当首先用移项、通分转化为最基本形式。
（1）当a=0时，原不等式为。
在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。
（2）当a≠0时，原不等式化为。
②
对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。
当a>0时，原不等式等价于。
由于，可解得。
也可先确定两根，然后直接写出解集。
当a<0时，。
由。
综上，当a=0时原不等式的解集为。
当a>0时，解集为
当a<0时，解集为。
由以上几例可以看出，求解含参数的不等式（组）问题，与最简单的不等式的解法密切相关，也是分类讨论的出发点，若能紧紧抓住基础知识，将复杂问题分解为基本问题，就会理清思路，化繁为简，快速解题。