第三章 3.1 3.1.1 3.1.2 导数的概念(优秀经典课时训练作业及答案详解)

[A 组 学业达标]
1．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 等于( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 解析：∵自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx ，
当x ＝x 0时，y ＝f (x 0)，
当x ＝x 0＋Δx 时，y ＝f (x 0＋Δx )，
∴Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故选D.
答案：D
2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A ．2.1
B ．1.1
C ．2
D ．0 解析：Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1
＝0.210.1＝2.1. 答案：A
3．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则
它在4秒末的瞬时速度为( )
A.12316米/秒
B.12516米/秒 C ．8 米/秒
D.674 米/秒 解析：∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt
＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt
4(4＋Δt )Δt
＝Δt ＋8－
316＋4Δt ， ∴lim Δt →0
Δs Δt ＝8－316＝12516.
答案：B
4．做直线运动的物体，其位移s 和时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则它的初速度是
( )
A ．0
B ．3
C ．－2
D ．3－2t
解析：初速度即为t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt
＝3－Δt ， 当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于3，故它的初速度为3.
答案：B
5．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )
A ．－4
B ．2
C ．－2
D ．±2 解析：∵Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx ＝2m ＋Δx －2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )
， ∴f ′(m )＝lim
Δx →0
－2m (m ＋Δx )＝－2m 2，∴－2m 2＝－12，
解得m ＝±2.
答案：D
6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，
t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三
者的大小关系为________．
解析：由图象知v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，k OA <k AB <k BC ，所以v 1<v 2<
v
3.
答案：v 1<v 2<v 3
7．已知函数y ＝－x 2＋x 的图象上一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2
＋Δy )，则Δy Δx ＝________.
解析：∵Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)Δx
＝－(Δx )2＋3Δx Δx
＝－Δx ＋3， ∴Δy Δx 为3－Δx .
答案：3－Δx
8．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于________．
解析：∵f ′(1)＝li m Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0
a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx ＝a
∴f ′(1)＝a ＝3.
答案：3
9．已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．
解析：该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt )2＋4Δt ，
则该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4Δt Δt
＝4＋Δt . 10．一辆汽车按s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a .
解析：∵s ＝at 2＋1，
∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4aΔt ＋a (Δt )2＋1，
∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4aΔt ＋a (Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4aΔt ＋a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝4aΔt ＋a (Δt )2Δt
＝4a ＋aΔt . 当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于4a .
依题意有4a ＝12，∴a ＝3.
[B 组 能力提升]
11．设函数f (x )在x ＝2处的导数存在，则lim Δx →0
f (2)－f (2＋Δx )2Δx
＝( ) A ．－2f ′(2)
B ．2f ′(2)
C ．－12f ′(2) D.12f ′(2)
解析：因为函数f (x )在x ＝2处的导数存在，所以
lim Δx →0
f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝－12lim Δx →0
f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12f ′(2)．
答案：C
12．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为
( )
A ．t ＝1
B ．t ＝2
C ．t ＝3
D ．t ＝4
解析：因为v ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt
＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )Δt
＝－8t ＋16－4Δt ，
当Δt 趋近于0时，v 无限趋近于－8t ＋16，所以由－8t ＋16＝0，得t ＝2. 答案：B
13．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________.
解析：函数f (x )＝x 2
－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2
＝2， 即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0，
解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．
所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 答案：5
14．对于函数y ＝1x 2，其导数值等于函数值的点是________．
解析：设导数值等于函数值的点是(x 0，f (x 0))，
则f ′(x 0)＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 1
(x 0＋Δx )2－1x 20Δx ＝－2x 30. 由题意知f ′(x 0)＝f (x 0)，
即－2x 30＝1x 20
， 解得x 0＝－2，从而y 0＝14.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，14 15．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的
取值范围．
解析：∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx
＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx
＝－3－Δx ，
∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.
又∵Δx >0，
∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．
16．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值． 解析：由导数的定义知，
f ′(x 0)＝lim Δx →0
(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0
(x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，
所以2x 0＋2＝3x 20，
即3x 20－2x 0－2＝0.
解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.。