指数函数经典教案

一、回忆知识点1 正整数指数函数2 指数概念的扩充练习1. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果 2. 若13107310333,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值 3、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3 指数函数1．知识与技能（1）理解指数函数的概念和意义；（2）2x y =与1()2xy =的图象和性质； （3）理解和掌握指数函数的图象和性质；（4）指数函数底数a 对图象的影响；（5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小（6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；重点：（1）指数函数的概念和性质及其应用.（2）指数函数底数a 对图象的影响；（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小难点：（1）利用函数单调性比较指数幂的大小（2）指数函数性质的归纳，概括及其应用.讲课重点1.指数函数定义：一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .例题：2、指数函数的性质和图像单调性(2) (1/3)-2/3, 2 -3/5 .比较大小 奇偶性指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()xf c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x xf f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3 求函数216x y -=-的定义域和值域．解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞． 令26x t -=，则1y t =-，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4 函数221(01)x x y aa a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤， ∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）．A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy =⨯+的图象，故选（C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．课时二例1、化简下列各式(其中各字母均为正数)．（指数幂的化简和求值）(1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a. (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷⎝⎛⎭⎫a 13b －32 ＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．例2、已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)．（指数函数的性质） (1)求函数f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解 (1)由于a x －1≠0，且a x ≠1，所以x ≠0.∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．(2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对x ＞0，由指数函数的性质知a x ＞1，∴a x －1＞0，1a x －1＋12＞0. 又x ＞0时，x 3＞0，∴x 3⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12＞0， 即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立．综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立．当0＜a ＜1时，f (x )＝(a x ＋1)x 32(a x －1). 当x ＞0时，1＞a x ＞0，a x ＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意；当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意．综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )±f (x )，f (x )f (－x )来判断． (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法．例3、 设f (x )＝e －x a ＋a e－x 是定义在R 上的函数．（指数函数的性质） (1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝⎛⎭⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0， 即a ＋1a＝0，即a 2＋1＝0显然无解． ∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e－x ， 整理得⎝⎛⎭⎫a －1a (e x －e －x )＝0， 又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－ e x 2－e －x 2＝(e x 1－e x 2)(e x 1＋x 2－1)e x 1＋x 2， ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，∴e x 1＋x 2＞1，e x 1－e x 2＜0，∴e x 1＋x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )＝e －x a ＋a e－x ， 当a ＝1时在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数例4、(2009·山东)函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为( )．（指数函数的图像）[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析 y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x －1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A.答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y ＝e x －e －x 2，y ＝lg(10x －1)等．高考链接和模拟考试1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tana π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 3 解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2012·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，故选B. 答案 B3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析 设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1，则y ＝1t，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞) t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y ＝1t在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)． 答案 A4．(2012·天津一中月考)已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________. 解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7 又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47.答案 7 47练习作业 【训练1】 计算：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－()2－10； (2)1-214⎛⎫ ⎪⎝⎭(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12. 答案：（1）-45,（2）425。