(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间向量的数乘运算
1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λ—a—仍然是一个—向——量— ，称为向量的数乘运算．
2．向量a与λa的关系
λ的范 围
对于空间任意两个向量 a， 充要
b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 条件
实数 λ 使__a_＝__λ_b___
若两个向量 a，b 不共线，则 向量 p 与 a，b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使_p_＝__x_a_＋___yb
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1
B．2
C．3
D．0
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第三章 空间向量与立体几何
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空间向量的数乘运算
如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A′B′C′D′.
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方法二：取 AB 的三等分点 P，使得P→B＝23A→B，取 CC′ 的中点 Q，则12AA→′＋B→C＋23A→B＝12CC→′＋B→C＋23A→B
＝C→Q＋B→C＋P→B＝P→Q.向量P→Q如图所示．
(1)化简12A→A′＋B→C＋23A→B，并标出化简结果的向量； (2)设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC′B′对角 线 BC′上一点，且 BN＝34BC′，设M→N＝xA→B＋yA→D＋zAA→′， 试求 x，y，z 的值．
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解析： 如图，在△ABC 中，A→D＝A→B＋B→D.
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又B→D＝2D→C，∴B→D＝23B→C.
∵B→C＝A→C－A→B＝b－c，
∴A→D＝A→B＋23B→C＝c＋23(b－c)＝23b＋13c. 答案： A
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第三章 空间向量与立体几何
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共线向量的特点及三点共线的充要条件 (1)共线向量不具有传递性 因零向量0＝0·a，故零向量和空间任一向量a是共线(平 行 ) 向 量 ， 这 一 性 质 使 共 线 向 量 不 具 有 传 递 性 ， 即 若 a∥b ， b∥c.则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c 不一定共线．
∵e1，e2 是不共线向量，∴k1＝＝66λλ，， ∴k＝1. 答案： 1
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4．如图所示，四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且
不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断 C→E 与 M→N 是
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3.1 空间向量及其运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
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第三章 空间向量与立体几何
∴x＋13＋13＝1，x＝13，故选 D. 答案： D
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3．设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知A→B＝e1＋ke2， B→C＝5e1＋4e2，D→C＝－e1－2e2，且 A，B，D 三点共线，则 实数 k 的值是________．
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2．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，
有O→M＝xO→A＋13O→B＋13O→C，则 x 的值为(
)
A．1
B．0
C．3
1 D.3
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解析： ∵O→M＝xO→A＋13O→B＋13O→C，且 M，A，B，C 四 点共面，
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解析： ∵B→C＝5e1＋4e2，D→C＝－e1－2e2， ∴B→D＝B→C＋C→D＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2， ∵A，B，D 三点共线， ∴A→B＝λB→D，∴e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)，
推 图所示．
MAB 内的充要条件是存在有
论
→
序_x_M_实_→A数__＋_对_y_(Mx_，→_B_y_)_，或使对M空P间＝任意
→→
一点 O 来说，有OP＝OM＋
→ 若→在 l 上→取AB＝→a，则①式可化为
→→
xMA＋yMB
O__P__＝__O__A_＋__t_A_B__
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第三章 空间向量与立体几何
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(2)空间三点共线的充要条件 若在 l 上取A→B＝a，则O→P＝O→A＋tA→B＝O→A＋t(O→B－O→A) ＝(1－t)O→A＋tO→B(t∈R)．因此空间三点 P，A，B 共线的充要 条件为O→P＝αO→A＋βO→B(α＋β＝1)．此结论非常重要，经常用 于解题过程中，切记！
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空间向量的共线问题
已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分 点，且CF＝2FB，CG＝2GD.试判断四边形EFGH的形状．
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共线向量与共面向量
共线(平行)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所在的
定义 直线互__相___平__行__或__重__合__，则这些向 平行于_同__一__平__面__的向量叫做
共面向量
量叫做_共__线__向__量__或平行向量
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解析： ∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， ∴E→H＝A→H－A→E ＝12A→D－12A→B ＝12(A→D－A→B)＝12B→D.
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又∵CF＝2FB，CG＝2GD， ∴C→F＝23C→B，C→G＝23C→D， ∴F→G＝C→G－C→F＝23C→D－23C→B＝23(C→D－C→B)＝23B→D， ∴B→D＝32F→G，∴E→H＝34F→G， ∴E→H∥F→G，|E→H|＝34|F→G|. 又点 F 不在直线 EH 上， ∴EH∥FG，且 EH≠FG， ∴四边形 EFGH 是梯形．
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第三章 空间向量与立体几何
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利用向量的线性运算求参数的技巧 利用多边形法则是处理此类问题的关键，一般地，可以 找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是 唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出 参数．
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1．掌握空间向量的数乘运算． 2．理解共线向量定理、共面向量定理及推论． 3．体会向量共线、向量共面与直线位置关系之间的转 化．
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第三章 空间向量与立体几何
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空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． [问题1] 向量a与向量b共线的条件是什么？ [提示1] b＝λa. [问题2] 空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量 呢？
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共线(平行)向量
共面向量
如果 l 为经过点 A 平行于已知非零
向量 a 的直线，那么对于空间任一
点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件
→→
是存在实数 t，使OP＝OA＋ta①，
其中 a 叫做直线 l 的方__向___向__量__，如 如图，空间一点 P 位于平面
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第三章 空间向量与立体几何
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(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.1
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几
高中数学课件
第三章 § 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习 目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些 相关问题.
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 2 2 2 2 2. |a||b| a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
知识点三 空间两点间的距离
→ 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|AB| ＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
解析答
— → → → → (2)M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1，AB，AC表示向量AM.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ a⊥b⇔a·b＝0⇔ (λ∈R)； a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ； a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2 2 |a|＝ a· a＝ a2 ＋ a ＋ a 1 2 3；
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知识梳理 自主学习
知识点一
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝ a－ b＝ λa＝
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
， ， .
(a1－b1，a2－b2，a3－b 3) ，a·b＝ (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理 (2)
第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。
高二数学人教A选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.1
算 . ― ― → → ― →
OB ＝ OA ＋ AB ＝a＋b
― → ― → ― → CA ＝ OA － OC ＝a－b ― → ― → ― → ― → ― → OB ＝ OA ＋ AB ＝ OA ＋ OC ＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝______ b＋a
空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
答案
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类型一 有关空间向量的概念的理解
例 1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相 同； ②若空间向量 a， b 满足|a|＝|b|， 则 a＝b； ③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 ― → ― → 中，必有 AC ＝A1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )
知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
答案
大小和_____ 方向的量叫做空间向量，向量的大小 梳理 (1)在空间，把具有_____ 长度 或___. 模 叫做向量的_____
长度 表示向量的模， 空间向量用有向线段表示， 有向线段的_____ a 的起点是 A， ―→ ― → |a|或| AB | 终点是 B，则 a 也可记作 AB ，其模记为__________.
答案
思考2
由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和
与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
答案
先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运
算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法 则，图2是平行四边形法则.
高二数学人教A选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.2
答案
梳理 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量， 称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝____. |λ||a| ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 相反 当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)( ＝ ________ ； λμ )a ③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展). λa＋λb λ1a＋λ2a
― → ― → ― → ― → ＝k(OD－ OA )＋km( OB － OA ) ― →＋km― →＝k(― →＋m― →)＝kAC ― →， ＝kAD AB AD AB
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题型探究
类型一 空间向量的数乘运算
→ 例 1 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：AG＝ 1→ → → (AB＋AC＋AD). 3
反思与感
解析答案
跟踪训练 1 已知在空间四边形 OABC 中，M，N 分别是对边 OA，BC 的 → → → 中点，点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如图所示，记OA＝a，OB＝b，OC → ＝c，试用向量 a，b，c 表示向量OG.
当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算 思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运 算满足哪些运算律？ 答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的
长度是a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
反思与感
解析答案
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.2
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高中数学优质课件精选人教版选修2-1课件第3章空间向量与立体几何3.2.2
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， C1D1 上，且 E1B1＝14A1B1，D1F1＝14D1C1，求 BE1 与 DF1 所成 的夹角的余弦值．
解析： 方法一：(几何法)在 A1B1上取点 H 使 D1F1＝A1H， 连接 AH，易得：AH∥DF1，过 H 作 HG∥BE1 交 AB 于点 G， 那么∠AHG 即为两条异面直线所成的夹角，cos∠AHG＝1157；
则 B(4,4,0)，E1(4,3,4)，D(0,0,0)，F1(0,1,4)，
∴B→E1＝(0，－1,4)，D→F1＝(0,1,4)，B→E1·D→F1＝15，
cos〈B→E1，D→F1〉＝
→→ BE1·DF1 →→
＝1157，即为所求．
|BE1||DF1|
求直线与平面的夹角
•
如图所示，在正方体ABCD－
是 A→B 与C→D的夹角 cos θ＝
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
• ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几 何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中 位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推
• (2)向量法
• ①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线 所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ， 若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的 夹角应为两向量夹角的补角，即cos θ＝|cos φ|.
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.2
A1D—B的余弦值.
解析答
当堂检测
1
2
3
4
5
A
解析答
1
2
3
4
5
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
C
B.135° D.90°
A.45° C.45°或135°
解析
1 2 ∵cos〈m，n〉＝ ＝ 2 ， 2
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答
1
2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
5
解析答
1
2
3
4
5
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(
)
2 A. 3
3 B. 3
2 C.3
6 D. 3
解析答
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高中数学课件
第三章
§ 3.2
立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角
学习 目标
1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
栏目 索引
知识梳理
自主学习
题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
＝ ，范围 .
题型探究 重点突破 题型一 例1 两条异面直线所成角的向量求法
如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求
异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与
解析答
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝ AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线 AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
1 → → — → 1 → → — → ∴AP＝2(AC＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)
1 ＝2(a＋b＋c).
解析答
→ (2)AM；
解 ∵M是CD′的中点，
→ 1 → — — → 1 → → — — → ∴AM＝2(AC＋AD′)＝2(AB＋2AD＋AA′)
1 ＝2(a＋2b＋c).
解析答
→ (3)AN；
解 ∵N是C′D′的中点，
→ 1 — — → — — → ∴AN＝2(AC′＋AD′)
1 → → — — → → — — → ＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)] 1 → → — — → 1 ＝2(AB＋2AD＋2AA′)＝2a＋b＋c.
解析答
→ (4)AQ.
解 ∵CQ∶QA′＝4∶1，
解析答
(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内.
解
→ → → 由(1)知向量MA，MB，MC共面，
三个向量又有公共点M， ∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内.
→ — → — — → — → → 1— — → ∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋2D1C1 1→ 1 ＝a＋c＋2AB＝a＋c＋2b.
解析答
— → (2)A1N；
解 ∵N是BC的中点，
1→ — → — → → → ∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC
1→ 1 ＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c.
(x，y)，使p＝xa＋yb.
题型探究 重点突破
题型一 例1
空间向量的数乘运算
— → → → 如图， 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设AA1＝a， AB＝b， AD＝c，
高二数学人教A选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.2(一)
§3.2 立体几何中的向量方法（一）
学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系 数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
类型二 求平面的法向量
例 2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90° ，SA⊥平面 ABCD，SA＝ 1 AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平面 SBA 的法向量.
反思与感
解析答案
―→ 跟踪训练 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求证DB1是平面 ACD1 的 一个法向量.
线线平行
a∥b l∥m⇔_____ ⇔a＝kb (k∈R)
a· μ l∥α⇔a⊥μ⇔_____ ＝0 μ＝kv (k∈R) α∥β⇔μ∥v⇔____________ · b＝0 l⊥m⇔a⊥b⇔a _______
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直 面面垂直
a＝kμ(k∈R) l⊥α⇔a∥μ⇔___________
解
1 ①∵μ＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－2，
∴μ· v＝－3＋2＋1＝0，
∴μ⊥v，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，
3 ∴μ＝－2v，∴μ∥v，∴α∥β.
解析答案
(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判 断平面α与l的位置关系： ①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0). 解 ①∵μ ＝ (2,2 ，－ 1) ， a ＝ ( －