2020届山东省烟台市招远一中高三高考诊断性考试数学试卷参考答案
山东省烟台市2020年4月高考诊断性测试数学试题
绝密★启用前2020年高考诊断性测试数学一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}ln 1x M x y x N y y e ＝＝（＋）,＝｛＝｝，则M N I ＝ A ． ()1,0- B ． 1-∞（，＋） C ． 0∞（，＋）D ．R 2.已知复数z 满足1i 2i z （＋）＝（i 为虚数单位），则z ＝ A ． 1i ＋ B ． 1i - C ． 12i ＋ D ．12i -3.设x R ∈，则221230x x x -<-“”是“＋＞”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.数列1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --｛｝＝＝＝＋＞，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》，若将数列n F ｛｝的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列n a ｛｝，则数列n a ｛｝的前50项和为A ． 33B ． 34C ． 49D ．505.设ABCD 为平行四边形，4,6,3AB AD BAD π∠u u u u r u u u u r ＝＝＝若点M ，N 满足 ,2,BM MC AN ND u u u u r u u u u r u u u r u u u r ＝＝则NM AM u u u u r u u u u r g ＝A ． 23B ． 17C ． 15D ．96.右图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内。
若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为A ． 332B ． 1564C ． 532D ．5167.设P 为直线3440x y -＋＝上的动点，PA PB ，为圆C:2221x y -（）＋＝的两条切线，A B ，为切点，则四边形APBC 面积的最小值为A ． 3B ． 23C ． 5D ．258.已知函数()x xx x e e f x e e---=+，实数m n ，满足不等式220f m n f n --（）＋（）＞，则下列不等关系成立的是A ． 1m n ＋＞B ． 1m n ＋＜C ． 1m n --＞D ．1m n --＜二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分共20分。
2020年4月山东省烟台市普通高中2020届高三毕业班高考诊断性测试(一模)数学参考答案
令 ,得 , ,
于是取 ………………………………………………11分
设平面 与平面 的所成的角二面角的大小为 ,
则 .
所以平面 与平面 的所成的锐二面角的余弦值为 .………………12分
20．解：（1）由调查数据,问卷得分不低于 分的比率为
,
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 分的概率为 .…………………2分
18．解：设等比数列 的公比为 （ ）,则 , ,
于是 ,…………………………2分
即 ,解得 , （舍去）.…………………………4分
若选 ：则 , ,
解得 ,…………………………6分
所以 ,…………………………8分
,…………………………9分
于是 ……10分
令 ,解得 ,因为 为正整数,所以 的最小值为 .……12分
所以 ,…………………………1分
即 ,…………………………2分
又 ,所以
所以 ,…………………………3分
而 ,
所以 ,
所以 .…………………………4分
（2）因为 …………………………5分
将 , , 代入,得 .…………………………6分
由余弦定理得 ,
于是 ,…………………………8分
即 ,解得 或 .…………………………10分
故 的取值范围为 ,………………4分
显然,当 时,有 ,即不等式 在 上成立,
令 ,则有 ,
所以 ,
即： ；………………6分
（2）由 可得, ,即 ,
令 ,则 ,………………8分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,
故 在 处取得最大值 ,………………10分
又当 时, ,当 时, ,………………11分
【4月烟台市一模数学】山东省烟台市2020届高三4月诊断性模拟考试(一模)数学试卷及答案解析评分标准
A.当 a 1时， f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x y 1 0
B.当 a 1时， f ( x) 存在唯一极小值点 x0 且 1 f (x0 ) 0 C.对任意 a 0 ， f ( x) 在 ( , ) 上均存在零点
D.存在 a 0 ， f ( x) 在 ( , ) 上有且只有一个零点
合题目要求。
1.已知集合 M x y ln(x 1) ， N y y ex ，则 M I N
A. (1, 0)
B. (1, +)
C. (0, +)
D. R
2.已知复数 z 满足 (1 i) z 2i （ i 为虚数单位），则 z
A.1 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.1 i
C.1 2i
3.设 xR ，则“| x 2 | 1”是“ x2 2 x 3 0 ”的
切点，则四边形 APBC 面积的最小值为
A. 3
B. 2 3
C. 5
D. 2 5
8.已知函数
f
(x)
ex ex
ex ex
，实数 m, n 满足不等式
f
(2m n)
f
(2 n)
0 ，则下列不等关系成立
的是
A. m n 1
B. m n 1
C. m n 1
D. m n 1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。
10.已知 P 是双曲线 C : x2 y2 1上任一点， A, B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线 3m
PA,
PB
的斜率分别为
k1, k2(k1k2
0），若 |
2020年高三诊断考试理科数学试题答案
2020年高三诊断考试试题答案数学（理科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B 7．D8．B9．A 10．C11．Ｄ12．D11．【解析】设200(,)4x P x ，则过P 的切线斜率为02x k =，Q 点坐标为0(,1)x -02FQ k x \=-1FQ k k \×=-根据抛物线定义PF PQ = 1l \为FQ 的垂直平分线\x f g h k '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形22162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .16．【解析】由余弦定理得︒=∠120A ，1413cos =C ,故2812sin =C.︒=-︒=+3029022AC B,得︒=∠150BIC ,在BIC ∆中，由正弦定理得72sin 14=⨯=CIB .-V 法一：由（Ⅰ）可知PB OE //，又PB AC ⊥，所以AC OE ⊥，⊥AC 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ,所以AC AB ⊥，如图二面角为钝角，那么AB OE ，所成的角即为二面角E AC B --的补角，4π=∠PBA ,PB OE //，所以AB OE ，所成的角为4π，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分CABP DEO法二：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则21,21,21(),1,0,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(--E P D C B A 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关..............................7分（Ⅲ）10.0850.16150.36250.24350.12450.045527.8()x cm =´+´+´+´+´+´= 20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()x cm =´+´+´+´+´+´=1220x x \-<\该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异...............................12分20．【解析】C ABDx（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................4分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k 故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=k \(y 因为,3232'2xax x x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a 即3<a 时,有2121,33,33x x a x a x >--=-+=又当)3,0(∈a 时，满足021>>x x ,所以有,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.0,0021<><x x a 时，有当,）（）（）时，（则x f x f x x ,0'01>∈为增函数,)(,0',1x f x f x x <+∞∈）（）时（为减函数;当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立，所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：所以）（x g 在），（21上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22．【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。
2020年山东烟台高考诊断性测试
2020年高考诊断性测试化学1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对姓名、考生号和座号。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Na23 Cl35.5 Fe56 Cu64 Se79 Sn119一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1. 化学与生活密切相关，下列说法错误的是A．将“84”消毒液与75%酒精1:1混合，消毒效果更好B．“霾尘积聚难见路人”，雾霾所形成的气溶胶有丁达尔效应C．用含有橙红色酸性重铬酸钾的仪器检验酒驾，利用的是乙醇的还原性D．电热水器用镁棒防止内胆腐蚀，采用的是牺牲阳极保护法2. N A是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．26gC2H2与C6H6混合气体中含σ键的数目为3N AB．16.25gFeCl3水解形成的Fe(OH)3胶体粒子数为0.1N AC．电解精炼铜时，当电路中转移N A个电子，阴极析出32 g铜D．标准状况下11.2 LCl2溶于水，溶液中Cl-、ClO-和HClO的微粒数之和为N A3. 下列有机物的命名正确的是A．CH2＝CH—CH＝CH2 1,3-二丁烯B．CH3CH2CH(CH3)OH 2-甲基-1-丙醇C． D.4. 3d能级上最多只能排布10个电子依据的规律是A．洪特规则B．泡利不相容原理C．能量最低原则和洪特规则D．能量最低原则和泡利不相容原理5. 下列实验装置不能达到实验目的的是甲乙丙丁A．用甲装置除去乙烯中的少量酸性气体B．用乙装置完成实验室制取乙酸乙酯C．用丙装置证明温度对化学平衡的影响D．用丁装置验证浓硫酸具有脱水性、强氧化性，SO 2具有漂白性、还原性6. 药物瑞德西韦(Remdesivir)对新冠病毒有明显抑制作用，化合物M是合成瑞德西韦的中间体，下列关于M的说法错误的是A．核磁共振氢谱共有11个吸收峰B．分子中含有3种含氧官能团C．分子中N原子一个是sp2杂化，一个是sp3杂化D．1mol该物质与足量NaOH溶液反应时消耗3molNaOH7. 下列说法不正确的是A．2p和3p轨道形状均为哑铃形，能量也相等B．金属离子的电荷越多、半径越小，金属晶体的熔点越高C．石墨转化为金刚石既有共价键的断裂和生成，也有分子间作用力的破坏D．DNA分子的两条长链中的碱基以氢键互补配对形成双螺旋结构，使遗传信息得以精准复制8．短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增加，K、L、M均是由这些元素组成的氧化物，甲、乙分别是元素Y、W的单质，甲是常见的固体，乙是常见的气体。
山东省烟台市招远第一中学2020届高三三模考试数学试卷
绝密★启用前山东省烟台市招远第一中学2020届高三三模考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.己知集合{}22}{230,|2x A x x x B log x =--≤=<,则A B ⋂=( ) A. []1,3-B. (]0,3C. ()0,2D. [)1,2-2.设复数z 在复平面内对应点的坐标为()4,3-,则复数2iz+ (i 为虚数单位)的模为( )B. 5iD. 53.已知01a b <<<,则( ) A. t an tan a b >B. 1122a b >C. a b ab +<D. 33a b ab <4.天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念,星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗,到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森 (M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足12212.5l l ()g g m m E E -=-,其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =,已知“心宿二” 的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)( ) A. 1.24B. 1.25C. 1.26D.1.275.函数cos π1ln ,1()e ,1x x x x f x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩的图象大致是( )A. B.C. D.6.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一,古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾,另一直角边为股,斜边为弦,其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1〜10这 10个数中随机抽取3个数,则这三个数为勾股数的概率为( ) A. 1120B.160C.130D.1157.在ABC △中,2,3AN NC P =u u u r u u u r 是BN 上一点,若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r,则实数t 的值为( )A.23B.25 C.16 D.348.设偶函数()f x 满()1()103xf x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,则不等式10(2)9f x -<的解集为( )A. 4),0,()(⋃-∞+∞B. ()0,4C. ()0,2D. 2),0,()(⋃-∞+∞二、填空题9.已知π3cos 45α⎛⎫ ⎪⎝=⎭-,则sin 2α=_____________.10.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，一条渐近线为l ,过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为_____________. 12.如图,四边形ABCD 是边长为2正方形,四边形EFBD 为矩形,且平面ABCD ⊥平面EFBD .若多面体ABCDEF 的体积为163,则DE =__________,该多面体外接球的表面积为____________.三、多项选择题13.某市教研部门对全市高三年级学生的二模数学成绩进行了抽样调查,随机抽取了参加考试的100名学生,其数学成绩均处在,,,,A B C D E 这五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图表,则( )A.抽取的学生中女生人数多于男生人数B.抽取的学生中C 层次人数最多C.抽取的学生中E 层次的男生人数为6D.抽取的学生中D 层次男生人数多于女生14.已知函数sin()(0,0,0)f x A x A x ωϕωϕ=+>><<（）的部分图象如图所示，则( )A.()f x 的最小正周期为π2B.(),0x 是()f x 的一个对称中心C.()f x 的最小值为3-D.函数()f x 在区间5ππ,126⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减15.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形, PA ⊥平面ABC , 2PA AB =.则( )A. //CD 平面PAEB.平面PAB ⊥平面PAEC.直线CD 与PFD.直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒16.设F 为抛物线()2:20C y p p =>的焦点, K 为C 的准线与x 轴的交点,点P A B 、、在抛物线C 上, ,PKF PFK αβ∠=∠= , AB 中点M 在准线上的投影为N , 则( ) A.tan cos αβ= B.若AB 过焦点F ,则11AF BF+为定值C. α的最大值是π4D.若2π3AFB ∠==,则MN AB四、解答题17.在①1142,4b a b a =-=+,②1122,3b a b a ==,③11221,3b a b a =+=-这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答,已知数列{}n a 满足()2*31223...N 2222n n a a a a n n ++++=∈,数列{}n b 为等比数列,且_______________,n S 为数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,是否存在正整数k ,使得2020k S ≥成立?若存在,求出k 的最小值若不存在,请说明理由18.在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos cos sin a B b A C +=. (1)求角C 的大小(2)若4a =，ABC △面积为ABC △外接圆面积.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，面APB ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD , AB BC ⊥，30ABP ∠=︒，1AP BC CD ===，2AB =.(1)求证：AP CP ⊥；(2)求二面角B PC D --的余弦值.20.自新冠疫情爆发以来，人们积极响应国家号召尽量深居简出，根据中国消费者信心研究：超过40%的消费者更加频繁地使用线上购物，使得线上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物. 某天猫专营店统计了2020年3月5日至9日这5天到该专营店购物的人数y 和时间第x 天的数据，列表如下：日到该专营店购物的人数（取整数）；（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算精确到0.01），参考数据：65.88附：相关系数()()nii xx y y r --=∑,回归直线方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-. (2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率(3)该天猫专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案： 方案一：购物金额每满100元可减10元;方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为13，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，A 为椭圆上一点，1AFF △的周长为4+12F AF ∠最大时的余弦值为12-.（1）求椭圆C 的方程（2）若点B 和A 为x 轴同侧两点，且1221180AF F BF F ∠+∠=︒，求四边形12AF F B 面积的最大值及此时直线AF 的方程. 22.已知函数1ln f x x a x=++（）. (1)当12a =-时，求函数()f x 在22f （，（）)处的切线方程(2)当0a >时，讨论函数()22()1a F x af x a x x-=-+-（）在0,2（）上的单调性 (3)当0,ln2a ∈（），证明：函数e x g x f x =（）（）存在唯一极值点0x ，且00g x >（）.参考答案1.答案：B 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：4.答案：C解析：设“心宿二”的星等是1m ,“天津四”的星等是2m ,“心宿二”的亮度是1E ,“天津四”的亮度是2E ， 则12121.00, 1.25,m m E rE ===，∵两颗星的星等与亮度满足12212.5l l ()g g m m E E -=-， ∴221 1.25 2.5lg lg ()E rE -=-， 即：lg 0.1r =，∴()20.1101 2.30.1 2.70.110.230.027 1.257r =≈+⨯+⨯=++=， ∴与r 最接近的是1.26，故选：C. 5.答案：A 解析：解析：7.答案：C解析：设BP mBN =u u u r u u u r,由题意可知, AP AB BP AB mBN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()(1)AB m AN AB mAN m AB =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , ∵23AN NC =u u u r u u u r ,∴25AN AC =u u u r u u u r ,。
2020届山东省烟台市高考诊断性测试(4月)数学试题
【解析】
【分析】
根据折线图中的数据变化趋势，逐项判断.
【详解】
选项A，16天中每新增确诊病例数量有起伏，19日的降幅最大，而20日又上升，所以错误；
选项B，根据图象16天中每日新增确诊病例大部分小于新增疑似病例，因此16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数，所以正确；
选项C，根据图象可得新增确诊、新增疑似、新增治愈病例最大值与最小值的差都大于2000人，所以正确；
7．A
【解析】
【分析】
由切线的性质可得四边形 面积为 ，求出 ，又 为圆心 到直线 的距离，即可求解.
【详解】
圆 的圆心 ，半径为 ，
为两条切线， 为切点， ，
四边形 面积为 ，
故当 最小时，四边形 面积最小，
又 最小值为圆心 到直线 的距离 ，
，
故四边形 面积最小值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
根据 为 除以2的余数，依次写出 的各项，从而可得 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论.
【详解】
依次写出 的各项 ，
为 除以2的余数，依次写出 各项为
，
各项是按 的周期规律排列，
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.
19．如图，三棱锥 中，点 分别是 的中点，点 是 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ， ， ， ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
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因为
当且仅当 ,即 时,取等号.
所以 的取值范围为 .……………………………………7分
（ ）存在.定圆的方程为 .
假设存在满足题意的定圆,则点 到直线 的距离为定值.
因为 ,所以直线 方程为
,
整理可得 ,…………………8分
所以 到直线 的距离 ,…………………9分
由（ ）知, ,得 , ,
所以,当 时,方程 有一个实数解；当 时,方程 有两个不同的实数解；当 时,方程 没有实数解. ………………12分
22.解：（1）将点的坐标代入椭圆 的方程得
,解得 ,所以椭圆 的方程为 ．……3分
（2）设 .因为以 为直径的圆恒过点 ,
所以 ,即 .………4分
因为 点在椭圆上,所以 .
（ ）将 代入椭圆,得 , ,
又 , ,
所以平面 ,………………4分
因为 ,所以 .………5分
（2）连接 ,因为 , 是 的中点,所以 ,
又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
以 为坐标原点,以向量 所在的方向分别作为 轴、 轴的正方向,以与向量 垂直的方向为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .………6分
20.解：（1）由调查数据,问卷得分不低于 分的比率为
,
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 分的概率为 .……………………2分
不太了解
比较了解
男性
250
330
女性
150
270
（2）由题意得列联表如下：
……………3分
的观测值 ………5分
因为5.542
所以有 的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.………………6分
要使 ,只需 ,
故 的取值范围为 ,………………4分
显然,当 时,有 ,即不等式 在 上成立,
令 ,则有 ,
所以 ,
即： ； ………………6分
（2）由 可得,Байду номын сангаас,即 ,
令 ,则 ,………………8分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,
故 在 处取得最大值 ,………………10分
又当 时, ,当 时, ,………………11分
设 ,则 , , , ,
, , .………7分
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 , ,于是取 ………9分
又平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 , ,
于是取 ………11分
设平面 与平面 的所成的角二面角的大小为 ,
则 .
所以平面 与平面 的所成的锐二面角的余弦值为 . ………12分
于是 ,………………8分
,………………9分
于是
,………………10分
令 ,得 ,
注意到 为正整数,解得 ,所以 的最小值为 .………………12分
19.解：（1）证明：延长 交 于点 ,点 为 的中点,
因为 分别是棱 的中点,
所以 是 的中位线,所以 ,………………2分
又 , ,
所以 .
同理可证 . ………………3分
2020届山东省烟台市招远一中高三高考诊断性考试
数学参考答案
一、单项选择题
1.C2.B3.A4.B 5.B 6. D 7.A 8.C
二、多项选择题
9.BC 10.AC 11.BC 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16. ,
四、解答题
17.解：（1）因为 ,由正弦定理得
所以 , …………………………1分
,注意到 ,知 .
所以 ,…………………10分
又
,………………………11分
所以 ,
因此,直线 与圆 恒相切.………………………………12分
2020届山东省烟台市招远一中高三高考诊断性考试数学试卷
于是 ,………………………2分
即 ,解得 , （舍去）. ……………4分
若选 ：则 , ,
解得 ,…………6分
所以 ,…………………8分
,…………………………9分
于是 ……10分
令 ,解得 ,因为 为正整数,所以 的最小值为 .……12分
若选 ：则 , ,解得 .
下同 .
若选 ：则 , ,解得 .………………6分
即 ,…………………………2分
又 ,所以
所以 ,…………………………3分
而 ,
所以 ,
所以 . …………………………4分
（2）因为 …………………………5分
将 , , 代入,得 .…………………………6分
由余弦定理得 ,
于是 ,…………………………8分
即 ,解得 或 .…………………………10分
18.解：设等比数列 的公比为 （ ）,则 , ,
（3）由题意知,分层抽样抽取的10人中,男性 人,女性 人.………………7分
随机变量 的所有可能取值为 ,
其中 , , , ,………………9分
所以随机变量 的分布列为
0
1
2
3
………………10分 ,
可得, ,
,
,
解得 . ………………12分
21解：（1）
由 可得, ,
令 ,则 ,…………1分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,故 在 处取得最大值,……………3分