麻省理工信号与系统试卷

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信号与系统试卷及参考答案

试卷及答案信号与系统试卷（1）（满分：100分，所有答案一律写在答题纸上）考试班级学号姓名成绩考试日期：年月日，阅卷教师：考试时间120分钟，试卷题共2页一一线性非时变离散系统，具有一初始状态x(0)，当激励为时f(k)，响应为y(k)=((1/2)k+1)u(k)；若初始状态不变，当激励为-f(k)时，响应y(k)=((-1/2)k-1)u(k)为；试求当初始状态2x(0)为，激励为4f(k)时，系统的响应？（10分）二绘出下列函数的图形（1）.已知一连续时间信号x(t)如图所示，试概略画出信号y(t)=x(2-t/3)的波形图。

（8分）t(2). 试概略画出信号y(t)=u(t 2-4) 的波形图。

（8分）三计算下列函数(1). y(t)=⎰-44(t 2+3t+2)(δ(t)+2δ(t-2))dt （4分） (2). f(t)=e -2t u(t), h(t)= e -2t u(t), y(t)=f(t)*h (t) （8分）(3). f(k)=1, k=0,1,2,3, h(k)=1, k=0,1,2,3, y(k)=f(k)*h (k) （8分）（4）已知f(t)=e -2t u(t), 求y(t)=[t f(2t)] 的富立叶变换（8分）（5）y’(t)+2y(t)=δ(t)+u(t), y(0)=0, 试求y(t)=? （8分）（6）. y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=u(k)+2u(k-2), y(-1)= 2,y(-2)= -1/2, 试求零输入响应y x (k)=? 零状态响应y f (k)=? （8分）四一线性非时变因果系统，当激励为u(t)时，响应为)]2()([cos )(cos )(ππ---+=-t u t u t t tu e t g t ，求当激励f(t)=δ(t)时的响应)(t h 。

（10分）五某一子系统，当输入f(t)=e -t u(t)时，零状态响应y f (t) = (1/2 e -t - e -2t +1/2e -3t )u(t), 试求将两个这样的子系统串联时，总系统的冲激响应。

《信号与系统》期末试卷A卷与答案.pptx

2、（8 分）
0
y(t)
1 t2 2
Tt
1 T2
1
2 t Tt
2
3T2
2
2
0
t 0 0t T
T t 2T 2T t 3T 3T t
3、（3×4 分＝12 分）
j dX ( j / 2)
（1）
tx(2t) 2
d
(1t)x(1t) x(1t) tx(1t)
（2） X ( j)e j j d [X ( j)e j] jX ' ( j)e j d
（3）
t
dx(t) dt
X ( j)
dX ( j) d
第页 4共 6 页
学海无涯
4、（5 分）解 :
s2
1 2s 2
s2 2s 2
s2 2s 2
F (s) es 2(s 1) es (s 1)2 1
f (t) (t 1) 2e(t 1) cos(t 1)u(t 1)
学海无涯
《信号与系统》期末试卷 A 卷
班级：
学号：
姓名：
_ 成绩：
一．选择题（共 10 题，20 分）
j( 2 )n
j( 4 )n
1、 x[n] e 3 e 3 ，该序列是
A.非周期序列 B.周期 N 3
D。
C.周期 N 3/ 8
CDCC
D. 周期 N 24
2、一连续时间系统y(t)= x(sint)，该系统是
3
3
(b)若系统因果，则Re{s} 2，h(t) 1 e2tu(t)－1 et u(t) 4分
3
3
(c)若系统非稳定非因果，则Re{s} －1，h(t) 1 e2t u(t) 1 et u(t) 4分

信号及系统期末考试试题及答案

信号及系统期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 信号x(t)=3cos(2π(5t+π/4))是一个：A. 周期信号B. 非周期信号C. 随机信号D. 确定性信号2. 系统分析中，若系统对单位阶跃函数的响应为u(t)+2，则该系统为：A. 线性时不变系统B. 线性时变系统C. 非线性时不变系统D. 非线性时变系统3. 下列哪个是连续时间信号的傅里叶变换：A. X(k)B. X(n)C. X(f)D. X(z)4. 信号通过线性时不变系统后，其频谱：A. 仅发生相位变化B. 仅发生幅度变化C. 发生幅度和相位变化D. 不发生变化5. 单位脉冲函数δ(t)的拉普拉斯变换是：A. 1B. tC. e^(-st)D. 1/s二、简答题（每题5分，共10分）1. 解释什么是卷积，并给出卷积的数学表达式。

2. 说明傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定连续时间信号x(t)=e^(-t)u(t)，求其傅里叶变换X(f)。

2. 给定离散时间信号x[n]=u[n]-u[n-3]，求其z变换X(z)。

四、分析题（每题15分，共30分）1. 分析信号x(t)=cos(ωt)+2cos(2ωt)通过理想低通滤波器后输出信号的表达式，其中滤波器的截止频率为ω/2。

2. 讨论线性时不变系统的稳定性，并给出判断系统稳定性的条件。

五、论述题（每题10分，共10分）1. 论述信号的采样定理及其在数字信号处理中的应用。

参考答案一、选择题1. A2. A3. C4. C5. A二、简答题1. 卷积是信号处理中的一种运算，它描述了信号x(t)通过系统h(t)时，输出信号y(t)的计算过程。

数学表达式为：y(t) = (x * h)(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。

2. 傅里叶变换用于连续时间信号的频域分析，而拉普拉斯变换则适用于连续时间信号，并且可以处理有初始条件的系统。

三、计算题1. X(f) = 3[δ(f-5) + δ(f+5)]。

信号与系统试题附答案

信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题 (2分1题，只有一个正确选项，共20题，40分)1、已知连续时间信号,)2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。

200 rad ／s C 。

100 rad ／s D 。

50 rad ／s2、已知信号)(t f 如下图（a ）所示，其反转右移的信号f 1(t) 是（）3、已知信号)(1t f 如下图所示，其表达式是（）A 、ε（t ）＋2ε(t －2)－ε(t －3)B 、ε(t －1)＋ε(t －2)－2ε(t －3)C 、ε(t)＋ε(t －2)－ε(t －3)D 、ε(t －1)＋ε(t －2)－ε(t －3)4、如图所示：f （t ）为原始信号，f 1(t)为变换信号，则f 1(t)的表达式是（）A 、f(－t+1)B 、f(t+1)C 、f(－2t+1)D 、f(－t/2+1)5、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（）6。

信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f ππ与冲激函数)2(-t δ之积为（）A 、2B 、2)2(-t δC 、3)2(-t δD 、5)2(-t δ7线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（）A 、常数B 、实数C 、复数D 、实数+复数8、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（）A 、阶跃信号B 、正弦信号C 、冲激信号D 、斜升信号9. 积分⎰∞∞-dt t t f )()(δ的结果为( )A )0(fB )(t f C.)()(t t f δ D.)()0(t f δ10卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( )A.)(t δB.)2(t δC. )(t fD.)2(t f11零输入响应是( )A.全部自由响应B.部分自由响应C.部分零状态响应D.全响应与强迫响应之差12号〔ε(t)－ε(t －2)〕的拉氏变换的收敛域为 ( )A.Re[s]>0B.Re[s]>2C.全S 平面D.不存在13知连续系统二阶微分方程的零输入响应)(t y zi 的形式为t t Be Ae 2--+，则其2个特征根为() A 。

信号与系统》期末试卷与答案

信号与系统》期末试卷与答案信号与系统》期末试卷A卷班级：__________ 学号：_________ 姓名：_________ 成绩：_________一．选择题（共10题，20分）1、序列x[n] = e^(j(2πn/3)) + e^(j(4πn/3))，该序列的周期是：A。

非周期序列B。

周期 N = 3C。

周期 N = 3/8D。

周期 N = 242、连续时间系统 y(t) = x(sin(t))，该系统是：A。

因果时不变B。

因果时变C。

非因果时不变D。

非因果时变3、连续时间LTI 系统的单位冲激响应h(t) = e^(-4t)u(t-2)，该系统是：A。

因果稳定B。

因果不稳定C。

非因果稳定D。

非因果不稳定4、若周期信号 x[n] 是实信号和奇信号，则其傅立叶级数系数 a_k 是：A。

实且偶B。

实且为奇C。

纯虚且偶D。

纯虚且奇5、信号x(t) 的傅立叶变换X(jω) = {1，|ω|2}，则x(t) 为：A。

sin(2t)/2tB。

sin(2t)sin(4t)sin(4t)/πtC。

0D。

16、周期信号x(t) = ∑δ(t-5n)，其傅立叶变换X(jω) 为：A。

∑δ(ω-5)B。

∑δ(ω-10πk)C。

5D。

10πjω7、实信号 x[n] 的傅立叶变换为X(e^jω)，则 x[n] 奇部的傅立叶变换为：A。

jRe{X(e^jω)}B。

Re{X(e^jω)}C。

jIm{X(e^jω)}D。

Im{X(e^jω)}8、信号 x(t) 的最高频率为 500Hz，则利用冲激串采样得到的采样信号 x(nT) 能唯一表示出原信号的最大采样周期为：A。

500B。

1000C。

0.05D。

0.0019、信号 x(t) 的有理拉普拉斯共有两个极点 s = -3 和 s = -5，若 g(t) = e^(xt)，其傅立叶变换G(jω) 收敛，则 x(t) 是：A。

左边B。

右边C。

双边D。

不确定10、系统函数 H(s) = (s+1)/s，Re(s)。

《信号与系统》考试试题及参考答案

《信号与系统》期末考试姓名学号班级成绩一、选择及填空（20分每题2分）：1. 以下系统，哪个可进行无失真传输＿以下系统，哪个可进行无失真传输＿B B ＿w w j w w w d w w w w w www-6)( )1()(H )( )()(H )(3)(H )( )1()1()(H )( 33=-===--=-且；；；D e j C e j B ej A j j jj U答：(B) 2. 下列哪一项是理想低通滤波器的系统函数＿下列哪一项是理想低通滤波器的系统函数＿C C ＿îíì<>=îíì><==--=-20 020 )(H )( 20 020 )(H )(3)(H )( )1()1()(H )(3 33w w w w w w w w w w ww ww jjj je j D e j C ej B e j A ；；；U答：（C ）3. 对于一个L TI ，如果激励f 1(t)对应响应是)(3t U e t -, 激励f 2(t)对应响应是t 3sin ，则激励f 1(t)+ 5f 2(t)对应响应是＿t t U e t 3sin 5)(3+-＿＿；则激励3f 1(t+1)+5f 2(t-3)对应响应是＿)3 (3sin 5)1(33-++--t t U et＿＿。

＿＿。

4. 已知},2,2,2,2{01)( --=n f ，}32,8,4,2,1{)(2=n f ，则=+)2()1(21ff ＿10＿，用)(n d 表示)3(32)2(8)1(4)(2)1()(2-+-+-+++=n n n n n n fdddd d＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

5. }2,8,4{}3,1,2,3{11----*＝＿{12,32,14,-8,-26,-6}-2＿＿，}2,1,0{}5,3,6{0*＝＿{0,6,15,11,10}0＿＿＿＿ 6. （课本P152 例4-17）已知)(t f 的象函数ss s s s F 5323)(23+++=，则)0(+f ＝＿＿＝＿＿00＿；)(¥f ＝＿＝＿2/52/52/5＿＿。

信号与系统考试试卷(附答案)

---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………信号与系统考试试卷（附答案）~ 学年上学期信号与系统课程时间110分钟64 学时， 4 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、判断题(本题10分，每小题2分)（对的打√，错的打×）1. For any casual signals, Unilateral LT = Bilateral LT.( )2. If the input-output relationship of a system is ))(sin()(t x t y =, then the system is a causal system. ( )3. If )(s X is the LT of a continuous time signal )(t x , then the FT of the signal is ωωj s s X j X ==|)()(. ( )4. If an absolutely integrable signal )(t x is known to have a pole at 2=s , then )(t x could be right sided. ( )5. If all poles of a continuous LTI system are located on the left S-plane, then the system must be stable. ( )二、填空题(本题20分，每小题2分)1．Let )4000sin()2000cos(1)(t t t x ππ++=, then the lowestsampling frequency of )(t x is ( ) Hz. 2．Compute⎰-=-'55)2cos()1(τπττδd ( ).3．If 2||)21)(1(311)(111>+--=---z z z z z X ，, then =][n x ( ). 4．Given )1()(2+=-t u e t x t ， then the unilateral LT of )(t x is ( ).5. If 0]Re[:9)(2>+=s Roc s s s H ，then =)(ωj H ( ).6．The system function of a delay unit is （）；The system function of a integrator is （） 7．The ωj axis in S-plane is corresponding to the ( ) in Z-plane. 8．The LT of⎰∞-td x ττ)( is （）；The ZT of ∑∞-nn x )( is ( ).9．The FT of )(5.0)(5.0)(3t u e t u e t x t t --+= is ( ). 10. If the input to an LTI system is，nz n x 0][= and if max 0||||i z z > , then=][n y ( )，here i z are poles of system function H(z). 三、计算题 (本题40分，每小题8分) 1. Let )2()1()(---=t u t u t x and )4()2()(---=t u t u t h . Compute?)(*)()(==t h t x t y and plot )(t y .2. A causal and stable LTI system S has the frequency response ωωωωj j j H 564)(2+-+=.(a) Determine a differential equation relating the input )(t x and output )(t y of S. (b) Determine the impulse response )(t h of S.---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………3. Suppose t t t x ππ400sin 2200sin )(+=, and t t x t g π400sin )()(=. If the product t t x t g π400sin )()(= is passed through an ideal lowpass filter with cutoff frequency π400 and passband gain of 2, determine the signal obtained at the output of the lowpass filter.4 Let impulse train ∑∞-∞=-=n TnT t t )()(δδ, Determine its FS, FT anddraw the spectrum.5．According Fig.1, determine the system function )(z H and the unit impulse response ][n h .Fig.1R=1.5ΩL=0.5x(ty(t )C=1F+- 四、综合题（本题30分，每小题各15分）1. Consider the RLC circuit Fig.2. (1) Determine the zero-state response of this circuitwhen the input voltage is )()(2t u e t x t -=. (2) Determine the zero-input response of voltage for ->0t , given that 1)0(=-y and 1)0(='-y . (3) Determine the output of the circuit when the input voltage is )()(2t u e t x t -= and the initial condition is the same as the one specified in part (2).Fig.22. Consider a causal LTI system whose input ][n x and output ][n y are related through the difference equation ]2[8]1[6][]2[92]1[][-+--=-+--n x n x n x n y n y n y . (a) Determine the system function )(z H and unit response ][n h . (b) Design this system (Draw a z-domain block diagram).评卷---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………信号与系统考试试卷答案~学年上学期信号与系统课程时间110分钟64 学时， 4 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、判断题(本题10分，每小题2分)（对的打√，错的打×） 1. √ 2. × 3. × 4. × 5.√二、填空题(本题20分，每小题2分) 1． ( 4000 ) Hz. 2． ( 0 ).3． (][)2(97][92][n u n u n x n -+=). 4． ( 2]Re[:21)1()(2->+↔+=-s Roc s t u e t x t ). (未写收敛域不扣分)5. ( )]3()3([292-+++-ωδωδπωωj ) (未写冲激项扣1分)6. ( 1-z ); ( 1-s ) (对一个给满分) 7. （ unit circle ） 8. (s s X )( ); (1)(-z zz X ). (对一个给满分) 9.)3)(1(2+++ωωωj j j10. =)(t y ( nz z H 00)( ).三、计算题 (本题40分，每小题8分)1. Let )2()1()(---=t u t u t x and )4()2()(---=t u t u t h . Compute )(*)()(t h t x t y =and plot )(t y .Solution: ∞-==τττd t x h t h t x t y )()()(*)()( 2分3分3.03373403.04)()()()()( +-=++=⋅=z zz z z X z W z W z Y z H 所以)1()3.0(337)()()3.0(337)(340)(---=--=n u n δn u n δn h n n 2. A causal and stable LTI system S has the frequency response ωωωωj j j H 564)(2+-+=. (a)Determine a differential equation relating the input )(t x and output )(t y of S. (b) Determine the impulse response )(t h of S.Solution: )(4)()(6)(5)(t x t x t y t y t y +'=+'+'' 4分)(]2[)(32t u e e t h t t ---= 4分3. Supposet t t x ππ400sin 2200sin )(+= , and t t x t g π400sin )()(= . If the productt t x t g π400sin )()(= is passed through an ideal lowpass filter with cutoff frequency π400 and passband gain of 2, determine the signal obtained at the output of the lowpass filter.Solution: )200()200([200sin πωδπωδππ--+↔j t , 2分and )]400()400([2400sin 2πωδπωδππ--+↔j t 2分 Then )(*)(21)(ωωπj Y j X t g ↔2分 t t y π200sin )(=⇒ 2分4. Let impulse train ∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδ, Determine its FS, FT and draw the spectrum.Solution ：(1) ⎰-Ω=⋅=2/2/1)(1T T tjn T n T dt e t T a δ ， ∑∑∞-∞=∞-∞=ΩΩ==⇒n n t jn t jn T e T e Tt 11)(δ 4分(2) ∑∞-∞=Ω-=n nT n a X )(2)(ωδπω ， ∑∞-∞=ΩΩ=Ω-Ω=⇒n Tn X)()()(ωδωδω 4分5．According Fig.1, determine the system function )(z H and the unit impulse response ][n h .Solution:4分4分R=2Ω L=1Hx(t y(t )C=1F+- +----○---○---学院专业班学号姓名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………四、综合题（本题30分，每小题15分）1. Consider the RLC circuit Fig.2. (1) Determine the zero-stateresponse of this voltage when the input current is )()(t u t x =.(2) Determine the zero-input response of voltage for ->0t , given that 1)0(=-y and 1)0(='-y . (3) Determine the output of the circuit when the input voltage is)()(t u t x = and the initial condition is the same as the one specified in part (2).Solution :1) 232)(2++=s s s H , 21)(+↔s t x ,22)2(212)(2+-++-++=s s s s Y zs )(2)(2)(2)(22t u e t u te t u e t y t t t zs -----=⇒ 6分2) )(2)(3)(221323422t u e t u e t y s s s s s Y t t zi zi ---=↔+-+=+++= 5分3) )(4)(2)(5)()()(22t u e t u te t u e t y t y t y tt t zi zs -----=+= 4分（答案错误扣2分）2. Consider a causal LTI system whose input ][n x and output ][n y are related through the differenceequation]2[8]1[6][]2[91]1[32][-+--=-+--n x n x n x n y n y n y .(a) Determine the system function )(z H and unit response ][n h . (b) Design this system (Draw a z-domain block diagram).Solution:(a) 2121921861)(----+-+-=z z z z z H 8分]1[)32(20]1[)31(55[][3/21203/11551)(1111-+--=↔-+--=----n u n u n n h z z z H n n δ4分(b) 3种方法实现的框图均对。

MIT信号与系统网络课程练习题答案

1 x(−t) 2
1 t
−4 −2
-1
2
4
1
xe (t)
t
−4 −2
-1
2
4
8
xo (t)
1 t
−4 −2
-1
2
4
The value of the even part (and the odd part for that matter) at t = 0 is ambiguous as it depends on how the plot for x(t) is deﬁned at t = 0. The plots in this solution assume that the value of x(t) at t = 0 is halfway between 0 and 2, i.e. 1. Using a diﬀerent deﬁnition you may get an even part that is discontinuous at t = 0. This is also correct provided it is consistent with your assumption of what the value of x(t) is at the discontinuity. For instance, if you assume that x(0) = 2, then the plot of the even part will have a “spike” at t = 0 of height 2.
� � n=0
� � n�n = � 1 + � + �2 + · · · + � + 2�2 + 3�3 + · · ·

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Problem 4 Specify the frequency response of a discrete-time LTI system so that if the input is x[n] = 2 + cos(�n) − sin(�n/2) + 2 cos(�n/4 + �/4) then the output is y [n] = 4 − 2 sin(�n) + 2 cos(�n/4). Problem 5 Compute the Fourier transform of each of the following signals: (a) x(t) = e−|t| cos 2t (b) The signal x(t) depicted below: x(t)
Problem 1 Consider the LTI system with impulse response given in O&W 3.34. Find the
Fourier series representation of the output y (t) for the following input.
y (t)
A1 A3
−�3 −�2 −�1源自�1�2�3
�
Determine values of A1 , A2 , A3 , �1 , �2 , and �3 of the LTI ﬁlter H (j� ) such that ⎨ ⎩ 3� y (t) = 1 − cos t . 2 Problem 3 Consider a causal discrete-time LTI system whose input x[n] and output y [n] are related by the following diﬀerence equation: 1 y [n] − y [n − 1] = x[n] + 2x[n − 4] 4 Find the Fourier series representation of the output y [n] when the input is x[n] = 2 + sin(�n/4) − 2 cos(�n/2). 2
Due: October 3, 2003
x(t)
2
···
−5
−4 −3
−2
1
−1
2 3
4
5 6
··· t
−1
1
Problem 2 The periodic triangular wave shown below has Fourier series coeﬃcients a k .
x(t) 1 ··· −4 −2 0 2 4 ··· t
1
···
−4
−5
−3 −2
−1
0
−1
2
1
5
3 4
··· t
Problem 6 Determine the continuous-time signal corresponding to each of the following transforms: (a) X (j� ) = j [� (� + 1) − � (� − 1)] − 3 [� (� − � ) + � (� + � )] (b) X (j� ) = 2 sin(2� − �/2)
Reminder: The ﬁrst 20 problems in each chapter of O&W have answers included at the end of the text. Consider using these for additional practice, either now or as you study for tests. 4
� sin(k�/2) −jk�/2 ⎧ �2 e , j (k� )2 ak = ⎧ �1, 2
k= � 0 k = 0.
Consider the LTI system with frequency response H (j� ) depicted below:
H (j� )
A2 x(t) H (j� )
MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY Department of Electrical Engineering and Computer Science 6.003: Signals and Systems—Fall 2003 Problem Set 4 Issued: September 25, 2003 REMINDER: Computer Lab #1 is due on October 8. REMINDER: Quiz 1 will be held from 7:30 - 9:30 p.m. Tuesday, October 14 in Walker Memorial. The quiz will cover material in Chapters 1 -3 of O & W, Lectures and Recitations through September 26, Problem Sets # 1-3, and that part of Problem Set #4 involving problems from Chapter 3. Reading Assignments: Lectures #7-8 & PS#4: Chapter 3 of O&W Lectures #9-11 & PS#5: Chapters 4&5 of O&W, plus begin Chapter 6 (through Section 6.2) Exercise for home study (not to be turned in, although we will provide solutions): (E1) O&W 3.63 Problems to be turned in:
3
Problem 7 Answer the questions asked in O&W 4.24 (a) for each of the following signals:
x1 (t)
1 −1 0 −1 1 t
x2 (t)
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
t
x3 (t)
1
−3 −2 −1
5
1 2 3 4
6
t
−1
Problem 8 O&W 4.25. Do parts (b) - (f) plus the following new part (a) (a) X (j� ) can be written as A(j� )ej�(j�) where A(j� ) and ω (j� ) are real. Find ω (j� ).