信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
信息安全数学基础考试复习题
信息安全数学基础考试复习题第⼀章27 证明：如果整数a,b,c是互素且⾮零的整数，那么（ab,c)=(a,b)(a,c)证明：由题(a,b)=1=(a,c), 因为a,b,c 互素，所以（ab,1）=1, 所以（ab,c)=(a,b)(a,c)28 求最⼤公约数（1）（55,85）解：85=55*1+30 55=30*1+25 25=5*5 所以（55,85）=5（2）（202,282）解：282=202*1+80 202=80*2+42 80=42*1+38 42+38*1+4 38=4*9+2 4=2*2 所以（202,282）=2 29 求最⼤公因数（1）（2t-1,2t+1）解：2t+1=（2t-1）*1+2 2t-1=2*（t-1）+1 t-1=（t-1）*1 所以（2t-1,2t+1）=1（2）（2n，2（n+1））解： 2（n+1）=2n*1+2 2n=2*n 所以（2n，2（n+1））=232 运⽤⼴义欧⼏⾥得除法求整数s，t使得sa+tb=(a,b)(1)1613,35893589=1613*2+363 1613=363*4+161 363=161*2+41 161=41*3+38 41=38*+3 38=3*12+2 3=2*1+1 2=1*1+1所以（1613,3589）=11=3-1*2=3-1*（38-3*12）=14*4-14*（161-3*41）= - 14*161+55*（363 - 2*161）=55*363+（-124）*（1613 - 4*363）=(-124)*1613+551*(3589 – 2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以S=-1226 t=551(2)2947,377250 求最⼩公倍数（1）8,60（3）49,77解：77=49*1+28 49=28*1+21 28=21*1+7 21=7*3 所以（49，77）=7所以[49,77]=49*77/7=53951 求最⼤公因数与最⼩公倍数（1）22335577,27355372解：所以（22335577,27355372）=22335372 [22335577,27355372]=27355577（2）23571113，2*3*5*7*11*13解：（23571113，2*3*5*7*11*13）=2*5*7[23571113，2*3*5*7*11*13]=23*3*57*7*113*1360 求7x+4y=100的整数解解：因为 (7,4)|100 所以该⽅程有解当x=4，y=18时，7x+4y=100成⽴所以⽅程的整数解为X=4-4t t=0,+1,+ -2,……y=18+7t6 2008年5⽉9⽇是星期五，问第220080509天是星期⼏？8 设p是素数，证明：如果a2≡b2(mod p) 则p|a-b或p|a+b10 设整数a,b,c(c>0),满⾜a≡b(mod c),求证：（a,c）=(b,c)16 计算232(mod 47)，247（mod 47），2200(mod 47)解：1）设m=47，b=2，令a=1，将32写成⼆进制 32=25n0=0，a0=a=1 b1=b2≡4(mod 47)n1=0，a1=a0=1 b2=b12≡16(mod 47)n2=0，a2=a1=1 b3=b22≡21(mod 47)n3=0，a3=a2=1 b4=b32≡18(mod 47)n4=0，a4=a3=1 b5=b42≡42(mod 47)n5=1，a5=a4*b5≡42(mod 47)2)由费马⼩定理得247≡2(mod 47)3)2200=24*47+12(mod 47)=216(mod 47)=18(mod 47)22 运⽤wilson定理，求8*9*10*11*12*13（mod 7）24 计算 31000000（mod 7）解：因为36≡1 mod 7 所以31000000=36*166666+4（mod 7）≡34（mod 7）≡4（mod 7）35 证明：如果p和q是不同的素数，则p q - 1+q p - 1≡1(mod pq)36 证明：如果m和n是互素的整数，则mΨ(n)+nΨ(m)≡1(mod mn)1 求求出下列⼀次同余⽅程的所有解（1）3x≡2（mod 7）（2）6x≡3（mod 9）解：因为（6,9）=313 所以原同余式有解同余式6x≡3（mod 9）的⼀个特解x≡2（mod 9）所以所有解为x≡2+3t（mod 9） t=0,1,2 即x≡2,5,8（mod 9）8 求11的倍数，使得该数被2,3,5,7除的余数为1解：由题意得：x≡1 mod 2 x≡1 mod 3 x≡1 mod 5 x≡1 mod 7 x=11k①M=2*3*5*7=210 M1=3*5*7=105 M1’M1≡1mod 2 →M1’=1M2=2*5*7=70 M2’M2≡1mod 3 →M2’=1M3=2*3*7=42 M3’M3≡1mod 5 →M3’=1M4=2*3*5=30 M4’M4≡1mod 7 →M4’=4X=105*1*1+70*1*1+42*3*1+3*4*1(mod 210)≡1②由①②得x=2101……解⾮唯⼀第四章10 计算下列勒让德符号1）（17/37） 2)(151/373) 3)(191/397) 4)(911/2003)16 判断下列同余⽅程是否有解1）x2≡7（mod 227）25 求所有素数p使得与5为模p的⼆次剩余解：由题意得：x2≡5（mod p）因为5/p=(-1)(5-1)(p-1)/(2*2)*(p/5)=(-1)p-1(p/5)所以当p=2时，（5/2）=(1/2)=1 即p=2成⽴当p=3时，（5/3）=(2/3)= - 1,即p=3不成⽴所以p=2.连分数连分数定理使⽤Shanks⼩步⼤步法计算离散对数2是F101的⼀个本原元，在F101中求log23解：m=[]=10。
信息安全数学基础课后答案完整版Word版
第一章参考答案（1） 5,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi 公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。
答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案第⼀章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，⼜（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,⼜（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z 因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表⽰为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有⼀个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第⼆题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)⼜三个连续整数中必有⾄少⼀个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)⼜（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任⼀数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6．证明：因为1911/2＜14 ,⼩于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2＜24 ,⼩于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。
2011信息安全数学基础习题答案
2011信息安全数学基础习题答案2011信息安全数学基础习题答案第⼀章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，⼜（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,⼜（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表⽰为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有⼀个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第⼆题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)⼜三个连续整数中必有⾄少⼀个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)⼜（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任⼀数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6．证明：因为1911/2＜14 ,⼩于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2＜24 ,⼩于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。
信息安全数学基础习题答案
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21．解： （1）因为 875961*2753≡[(36mod9)(17mod9)]mod9 ≡0(mod9) 2410520633≡26(mod9) ≡8(mod9) 所以等式 875961*2753=2410520633 不成立 （2）因为 14789*23567≡[(29mod9)(23mod9)]mod9 ≡1(mod9) 348532367≡41(mod9) ≡5(mod9) 所以等式 14789*23567=348532367 不成立 （3）因为 24789*43717≡[(30mod9)(22mod9)]mod9 ≡3(mod9) 1092700713≡30(mod9) ≡3(mod9) 所以等式 24789*43717=1092700713 可能成立 （4）这种判断对于判断等式不成立时简单明了，但对于判断等式成立时，可能会较 复杂。 22．解：因为 7 为素数，由 Wilso 定理知：(7-1)! ≡-1(mod7) 即 6！≡-1（mod7） 所以 8*9*10*11*12*13≡1*2*3*4*5*6(mod7) ≡6!(mod7) ≡-1(mod7) 31．证明：因为 c1,c2,…,c ϕ (m)是模 m 的简化剩余系 对于任一 ci，有 m-ci 也属于模 m 的简化剩余系 所以 ci+(m-ci)≡0(modm) 因此 c1+c2+…+c ϕ (m)≡0(modm) 32．证明：因为 a ϕ (m)≡1(modm) 所以 a ϕ (m)-1≡0(modm) a ϕ (m)-1=(a-1)(1+a+ a2+…+ a ϕ (m)-1) ≡0(modm) 又（a-1,m）=1 所以 1+a+ a2+…+ a ϕ (m)-1 ≡0(modm) 33．证明：因为 7 为素数，由 Fermat 定理知 a7 ≡a(mod7) 又（ a ，3 ） =1 所以 (a,9)=1 由 Euler 定理 知 a ϕ (9) ≡ a6 ≡ 1(mod9) a(mod9) 又(7,9)=1, 所以 a7≡a(mod7*9) 即 a7≡a(mod63) 34．证明：因为 32760=23*32*5*7*13 又(a,32760)=1 所以(a,2)=(a,3)=(a,5)=(a,7)=(a,13)=1 有：a ϕ (13)≡1(mod13) 即 a12≡1(mod13) a ϕ (8)≡a4≡1(mod8) 即 a12≡1(mod8) a ϕ (5)≡a4≡1(mod5) 即 a12≡1(mod5) a ϕ (7)≡a6≡1(mod7) 即 a12≡1(mod7) a ϕ (9)≡a6≡1(mod9) 即 a12≡1(mod9) 又因为[5,7,8,9,13]=32760 所以 a12≡1(mod32760) 35．证明：因为(p,q)=1 p,q 都为素数 所以 ϕ (p)=p-1, ϕ (q)=q-1 由 Euler 定理知：p ϕ (q)≡1(modq) q ϕ (p)≡1(modp) 即 pq-1≡1(modq) qp-1≡1(modp) 又 qp-1≡0(modq) pq-1≡0(modp) 所以 pq-1+qp-1≡1(modq) qp-1+pq-1≡1(modp) 又[p,q]=pq 所以 pq-1+qp-1≡1(modpq) 36．证明：因为(m,n)=1 由 Euler 定理知：m ϕ (n)≡1(modn) n ϕ (m)≡1(modm) 所以 m ϕ (n)+n ϕ (m)≡(m ϕ (n)modn)+ (n ϕ (m)modn)≡1+0≡1(modn)
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案信息安全是当今社会中一个重要的领域，它涉及到人们的隐私和数据的保护。
在信息安全的学习过程中，数学是一个不可或缺的基础。
本文将为您提供一些信息安全数学基础习题的答案，帮助您更好地理解和应用相关的数学概念。
一、离散对数问题离散对数问题是信息安全领域中的一个重要数学概念。
以下是一些常见的离散对数问题及其答案：1. 如果p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程a^x ≡ b (mod p)的x值。
答案：x ≡ log_a(b) (mod p-1)2. 如果p是一个素数，g是一个p的原根，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程g^x ≡ a (mod p)的x值。
答案：x ≡ log_g(a) (mod p)二、RSA算法RSA算法是一种非常常见的公钥加密算法。
以下是一些与RSA算法相关的习题及其答案：1. 如果p=17，q=11，e=7，计算n和d的值，其中n是模数，d是私钥。
答案：n = p * q = 17 * 11 = 187，d ≡ e^(-1) (mod (p-1)*(q-1)) = 7^(-1) (mod 160) = 232. 如果n=187，e=7，加密明文m=88，计算密文c的值。
答案：c ≡ m^e (mod n) = 88^7 (mod 187) = 11三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的加密算法。
以下是一些与椭圆曲线密码学相关的习题及其答案：1. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算公钥Q的值。
答案：Q = d * G2. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算共享密钥K的值。
答案：K = d * Q = d * (d * G)结语本文为您提供了一些信息安全数学基础习题的答案，涉及了离散对数问题、RSA算法和椭圆曲线密码学等内容。
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信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系.（）11. , 则. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。
则a≡b(mod m)。
（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。
（）18. 设为正整数, 若，则. （）19. 整数集关于整数的乘法构成群。
（）20. 适当定义加法和乘法，集合{0,1}可以构成一个有限域。
（）三、单项选择题（把答案写在题目后面的括号中）1. 设与是两个整数, 则存在整数, 使得，下面关于与线性组合描述错误的是：（）A. 整数的取值仅有一组唯一的值；B. 整数的线性和所能表示的最小的正整数是最大公因数，即；C. 的倍数也可以用的线性和表示；D. 整数，可以使用辗转相除法(欧几里得算法)反推得到。
2、下面关于整除的描述错误的是：（）A. ±1是任何整数的因子；B.设（整数集合）,, , 则；C. 0是任何整数的倍数；D. 设, 若, ，则,3、下面的说法正确的是：（）A. 给定一个正整数和两个整数，若，则B.设为整数, 若，则；C. 设是两个正整数, 若分别遍历的完全剩余系, 则遍历模的完全剩余系；D. 设为素数, 为任意正整数, 则4. 下面哪个集合是模12的简化剩余系？( )。
A. 1,3,5,7B. 1,5,7,9,C. 1,5,7,11D. 3,5,7,11。
5. 一次同余方程的解数是（）A. 3B. 2C. 1D. 06、下面的说法正确的是：（）A. 有解；B、一次同余方程，等价于求解一次同余方程组:的解；C、一次同余方程组有且仅有唯一的解；D. 设是正整数, 对于一次同余方程组, 若, 则同余方程组一定有解。
7、设是奇素数, , ,则下列说法错误的是: （）A. 如果是模的平方剩余, 是模的平方非剩余, 则是模的平方剩余.B. 如果是模的平方剩余, 是模的平方非剩余, 则是模的平方非剩余.C. 如果都是模的平方剩余, 则是模的平方剩余.D. 如果都是模的平方非剩余, 则是模的平方剩余.8、下面说法，错误的是（）A、设p为奇素数，设, 若，方程方程肯定无解；B、设是奇素数, 整数两两互素. 若既是模的平方剩余也是模的平方剩余，则不是模的平方剩余；C、设是奇素数, 整数两两互素. 若既是模的平方剩余也是模的平方剩余, 既不是模的平方剩余也不是模的平方剩余，则不是模的平方剩余；D、设是奇素数, , 只有)和同时有解，对于二次方程才有解。
9、已知5对模17的阶为16, 5×5≡8(mod17), 求的值是（）A、2B、4C、6D、810、下面说法错误的是（）A、设是一个正合数, , 则集合对于乘法:构成一个交换群；B、设是一个正整数, 令, 即是所有整数的集合. 对于通常意义的加法(+)，是一个交换群；C、设是一个素数, , , 是模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法:构成一个交换群；D、设是一个奇素数, , 则集合对于乘法:构成一个有限域。
11．设a, b, c是三个整数，c≠0且c|a，c|b，如果存在整数s, t, 使得sa＋tb ＝1，则( ) 。
A. (a, b)= cB. c＝1C. c＝sa＋tbD. c＝±112. 设a, b, c是三个不全为零的整数。
如果a = bq + c, 其中q是整数，则有( )。
A. (a, b) = (q, c)B. (a, b) = (b, c)C. (a, b) = cD. (a, b) = (a, c)13. 下面哪个集合不是模5的一个完全剩余系？( ) 。
A. 1, 3, 5, 7,9B. 2,4,6,8,10C. 0, 1, 2,11,13D. 0, 1, 2, 13, 19。
14. 下面哪个集合是模18的简化剩余系？( )。
A. -1, 5, 7, 11, 13, 17B. -1, 5, 9, 11, 13, 15,17C. -5, 1, 5, 7, 11,17D. 1, 3, 5, 7, 9.11, 13, 17。
15. 满足56≡18 (modm)的正整数m(m>2)的个数是( )。
A. 1B. 2C. 4D. 516. 30模23的逆元是( ) 。
A. 23B. 19C. 10D. 417. 下列一次同余式无解的是( )。
A. 12x≡3（mod 16）B. 8x≡9（mod 19），C. 78x≡30（mod 98）D. 111x≡6（mod 51）。
18. 下面哪个是模13的平方剩余? ( )。
A. 5B. 10C. 11D. 719．下面各组数中，均为模14的原根的是( )。
A. 2, 3, 4, 5B. 3, 6, 8, 10C. 9, 11, 13D. 3, 520. 定义运算：, 下面哪个集合构成一个群.（）A. {1,2,3,4}B. {1,3,5,7}C. {1,,5,7,9}D. {1,5,7,11}四、简答题1. 设,,求整数,, 使得. （给出具体求解过程）2.设为正整数, 则的充分必要条件是. 给出充分性的证明.3. 计算71005(mod 15)。
（给出具体求解过程，提示：可用欧拉定理或也可中国剩余定理进行求解）4. 求7模26的阶ord26(7)，并给出所有模26的阶为ord26(7)的整数g（1<g<26）。
（给出具体求解过程）5. 判断同余方程x2≡3(mod 11)的解的情况。
（给出具体求解过程）6. 设是一个正合数, , 令, 也即模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法:是否构成一个交换群？（请给出详细求解判断过程）7. a＝42，b＝164，求a和b的最大公因子（a，b）及整数x和y，使（a, b）＝ax＋by.8. 证明：设为正整数, 为整数, . 若, 则.9. 结合欧拉定理和模重复平方算法(或者平方乘算法)计算62025（mod41）10. 写出模17的所有平方剩余。
11. 计算5模19的指数ord19(5)。
12. 设不可约多项式，集合G={, ,}. 若定义乘法:，根据群的定义，判断{G,}是否构成一个群。
五、综合题（备注，每题必须给出具体求解过程）1. 解一次同余方程175x≡41081×7(mod 133).2. 由GF(2)上的4次不可约多项式构成有限域，中16个域元素，0除外，其余元素可用的幂次方来表示:, , ,,,（1）完成上面的填空（4分）。
.(2)已知是中的多项式并根据上面的结果计算（1）求（2）求（3）求（4）求3、求解一次同余方程84x+1≡64(mod 371).信息安全数学基础----习题集一答案第一题填空1、1082、8003、{1,2,4,5,7,8}4、{1,3,4,5,9 }5、46、φ(m)φ(n)7、(a,m)|b8、(a,m)=19、有解10、阶二、判断题1—5：×√××√6-10：×√×√×11—15：√√××√16-20：×√√×√三、单项选择题1-5：ACBCD 6-10：CABDA11-15：DBCCB 16-20：CABDD四、简答题1、101=156+11 15=11+4 11=42+3 4=31+1因此(a,b)=（101,15）=11=4-3=4-(11-42)=4-11=(15-11)-11=15=15因此s=27 ，t=-4备注：s=27 t=-4不是唯一答案，只要满足都正确2、证明: 充分性. 由条件，证明设, 则存在整数, 使得,从而. 3、解：71005(mod 15)，已知（7,15）=1，由欧拉定理，因此71005(mod 15)(mod 15) (mod 15) (mod 15)因此71005mod 15)备注：此计算方法不是唯一，也可以用中国剩余定理化简求解4、（1）已知26=2，=12。
（2）72≡23，73≡-2176≡25，7是模26的一个原根, ord26(7)=12因为模12的简化剩余系为{1,5,7,11}, 故模26的所有原根为:71≡7, 75≡11, 77≡-33≡-7≡19, 711≡-7*9 ≡-11≡15 (mod 26).即模26的原根为:7,11,19,155、解：判断同余方程x2≡3(mod 11)的解的情况根据欧拉判别式进行求解进行判断即3是模11的平方剩余，即x2≡3(mod 11)方程有解备注：判断x2≡3(mod 11)方程解情况也可采用0,1,…..,5代入方程穷举方法求解。
6、设是一个正合数, , 令, 也即模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法:是否构成一个交换群.(1) 封闭性. 对任意, 恒有.(2) 结合律成立. 对任意, 有.(3) 恒等元存在, 恒等元. 即对任意, 有, 使.(4)对任意, ，因此存在的逆元, 使.显然, 乘法满足交换律, 故该群是交换群.7、164=423+38 42=38+4 38=49+2 4=2 2因此(a,b)=（166,42）=22=38-49=38-(42-38)9=38-429=(164-423)-429=164备注：不是唯一答案，只要满足都正确8、证明: 证明: 由可得.而, 故, 即.9、解：62017（mod41），已知（6,41）=1，由欧拉定理，因此62017（mod41）617（mod41）(mod 41) (mod 41) (mod 41)(mod 41)因此62017mod 41)10、1,22mod 17), 32mod 17), 42mod 17),52mod 17), 62mod 17), 72mod 17)，82mod 17)，模17的所有平方剩余为1，2，4，8，9，13，15，1611、52≡6(mod19)，53≡11(mod19)，56≡7(mod19)，59≡1(mod19) (4分)ord19(5)=912、(1)封闭性满足(2)结合律满足(3)单位元为1(4)因为1，，都与互素，故逆元都存在{G,}构成一个群。