24.6(2)实数与向量

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九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制

实数与向量相乘教学内容：一、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

若是0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，若是0k =或0a =，那么0ka =。

二、实数与向量相乘知足的运算律：设m 、n 为实数，那么（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘关于实数加法的分派律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘关于向量加法的分派律：()m a b ma mb +=+。

3、平行向量定理若是向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。

4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，那么1e =。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

关于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。

由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。

精解名题：例一、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、计算：（1）33()22a a b -+-；（2） 1112()5(2)324a b a b +-+例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。

用a 、b 表示以下向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。

例4、以下语句中，错误的选项是（） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，若是a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，若是2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．关于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =．例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判定BC 与11B C 是不是平行。

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。

实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。

三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。

2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。

2.实数与向量相乘的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。

例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。

4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。

5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。

沪教版(上海)九年级上册数学 24.6-24.7实数与向量相乘向量的线性运算同步练习

24.6-24.7实数与向量相乘向量的线性运算同步练习一、选择题1. 若四边形ABCD 的对角线交于点O ，且有，则以下结论正确的是（） A ．B ．C ．D ．2.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++=u u u r u u u ru u u ru u u r（）A.FE u u u rB.AC u u u rC.DC u u u rD.FC u u u r3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP =u u u r( )A ．(),(0,1)AB AD λλ+∈u u u r u u u r B ．2(),(0,)2AB BC λλ+∈u u u r u u u rC ．(),(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ．2(),(0,)2AB BC λλ-∈u u u r u u u r4. 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，，那么等于（）A ．B ．C ．D ．6.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=( )A.23B.13C.13-D.23-二、填空题7．已知向量,a b r r ，且AB →＝2a b +rr ，BC →＝56a b -+r r ，CD →＝72a b -r r ，共线的三点是__________．8. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若 AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ、μ均为实数，则λ＋μ＝________.9. 已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，=，那么用向量表示向量为．10.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为123 r r r u r u r u r 、、，则OD u u u r=_______________.11. 如图，已知四边形ABCD ，点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点，设,BC a DA b ==u u u r r u u u r r ，则向量PQ uuu r 关于向量,a b r r的分解式为 .12.如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，EF ∥AB ，CE=AE ，若=，=，则= ．三、解答题13. 如右图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知 AM →＝c r ，AN →＝d ur ，试用c r ，d u r 表示 AB →，AD →.14. 已知O 、A 、B 是不共线的三点，且 OP →＝mOA →＋nOB →(m 、n 均为实数)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A 、P 、B 三点共线； (2)若A 、P 、B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.15.如图，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE∥AB交BD的延长线于点E，=，=．（1）求（用向量、的式子表示）；（2）求作向量+（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．答案与解析一、选择题 1.【答案】A ．【解析】解：A 、∵，∴AB ∥CD ，AB=2DC ， ∴△OAB ∽△OCD ，∴OA ：OC=AB ：DC=2：1， ∴OA=2OC ， ∴=2；故正确； B 、||不一定等于||；故错误；C 、≠，故错误；D 、=；故错误．2.【答案】B【解析】,FA BO AB ED OC =-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2BO AB BO OC AB BO OC AO OC AC ∴-+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r原式=.3.【答案】A4.【答案】B【解析】由 MA →＋MB →＋MC →＝0得： MB →＋MC →＝－MA →①由向量的减法的三角形法则得： 2MB MA ABMB MC MA AB ACMC MA AC ⎧-=⎪⇒+-=+⎨-=⎪⎩u u u r u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ②将②代入①得：1()3AM AB AC =+u u u u ru u ur u u u r ∴M 为△ABC 的重心设BC 的中点为D ，得，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3.5.【答案】B【解析】∵▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∴OA=OC=AC ， ∵=，=，∴==（+）=+，故选B ．6．【答案】A【解析】在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r =2DB u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1233CA CB =+u u u r u u u r ，∴23λ=.二、填空题7.【答案】A 、B 、D 【解析】AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝36a b +r r ，∵AD →＝3AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 8．【答案】43【解析】设AB →＝a r ，AD →＝b r，那么AE →＝12a b +r r，AF →＝12a b +r r. 又∵AC →＝a b +r r， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9.【答案】﹣．【解析】∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍 ∴=﹣．∴用向量表示向量为﹣．10.【答案】132r r r +-u r u r u r【解析】∵132OD OA AD OA BC OA OC OB r r r =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u r u r u r .11.【答案】1122a b --r r【解析】∵点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点 ∴1122PR BC a =-=-u u u ru u u r r ，1122RQ DA b =-=-u u u ru u ur r又∵PQ PR RQ =+u u u r u u u r u u u r∴1122PQ a b =--u u u rrr 12.【答案】﹣【解析】∵=，=， ∴=﹣=﹣，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴，∵CE=AE ， ∴==﹣．三、解答题： 13．【解析】解法一：设AB →＝a r ，AD →＝b r，则a r ＝AN →＋NB →＝d u r ＋(－12b r)①b r ＝AM →＋MD →＝c r ＋(－12a r)②将②代入①得a r ＝d u r ＋(－12)[c r ＋(－12a r)]⇒a r ＝43d u r －23c r，代入②得b r ＝c r ＋(－12)(43d u r －23c r )＝43c r －23d ur .即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r .解法二：设AB →＝a r ，AD →＝b r.因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b r ，DM →＝12a r ，1212c b ad a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩r r r u r r r 解得：2(2)3a d c =-r u r r ，2(2)3b c d =-r r u r即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r ．14. 【解析】证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线, 又因为BP 与BA 有公共点B ， ∴A 、P 、B 三点共线．(2)若A 、P 、B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)，由条件得：mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. 因O 、A 、B 不共线，∴OA →、OB →不共线，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0∴m ＋n ＝1. 15. 【解析】解：（1）∵CE ∥AB ， ∴，∵AB=AC=12，DC=4，∴AD=8； ∴=，∴AB=2CE ， ∵， ∴， ∴=﹣=﹣；（2）如图，即为所求．∵AB∥CE，∴BD：DE=AB：CE=2，∴===﹣，∵=+=+，∴+=+．。

沪教版九年级上册 24.4 平面向量的运算讲义

,a b作图++=)()()a a a+-+-=？a a a即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。

-；,3a a=++，又由于OC与a方向相同且3 OA AB BC a===，此时OC a a a=OC a++=同理：()()()3a a a aOC a=，∴33-+-+-=-a a a a13OC OA =根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 表示与a 同向且长度为|na m的向量. 在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：为实数，a 为向量；如果0,0k a ≠≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。

如果或0a =，那么0ka =；根据实数与向量相乘的意义：ka a、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）2a b + （5）2(3a 。

观察、比较（）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发现？参考答案：图略；32a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。

注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+． ,a b 恒有：)m a b ma mb -=-和向量a ，恒有()m n a ma na -=-a ，若(0)ma na a =≠，则m 11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式)5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+ a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生模仿；讨论：已知a 是非零向量，如果a b ，那么b 能用a 表示出来吗？b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，如果0b =，那么0b a =；平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一实数m ，使b ma =. a ，b ，满足2()a b a b -=+，判断向量a ，b 是否平行？15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判断向量a ，b 是否平行？参考答案：1．平行； 2．平行 e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法e 有无数个不同的单位向量，它们的方向不同设a 是非零向量，且a e ，则a a e = D a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示）参考答案：12e例题2：如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解：如图：,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．如果,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用a 、b 的线性组合表示向量EF = ．解：∵AB CD EF ∵2AB CDEF +=13(3)()22a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--2a b =-+)AB EF a b =-．备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。

沪教版九年级上册数学-24.7-实数与向量相乘-向量的线性运算-教案

1. 实数与向量相乘的意义：
一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.
要点诠释：
设P为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
【答案】A．
【解析】
解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴BD=DC，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = + = + ．
故选：A．
类型二、向量的线性运算
例题3．（1）3( - )-2( +2 )；（2）2(2 +6 -3 )-3(-3 +4 -2 )
【答案与解析】
解：（1）原式＝（3 -3 )+（－2） +（－2）2
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得 .
要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.

24.6(1)实数与向量相乘(一)

（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
（5）向量模：向量的长度。
模可以比较大小但向量不可以
课前复习:
1.向量的加法运算
三角形法则
AB+BC= AC
A B
C
平行四边形法则
B C
OA+OB= OC
O A
首尾相接首尾连
课前复习:
多边形法则
E
F
D
AB + BC+ CD+ DE+ EF
C
A
= AF
九年级第一学期数学
24.6（1）实数与向量相乘
课前复习:
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
向量的表示：
几何表示：有向线段
字母表示： a 、 AB 等
课前复习:
重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
ka 与a同方向； 3. ka 的方向：1)当k＞0时，
2)当k＜0时， ka 与a反方向；
ka ＝0. 3)若K＝0或a＝0，则：
1.如图：设A,B为两定点，且PA=mAB (m为实数）， O为直线外一点，若OA=a,OB=b,试用a，b表示OP． A B P
OP OA AP
解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
B A
F
E G
D
C
1.实数与向量相乘的意义及表示法；
2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .

沪教版九年级(上)数学一课一练及单元测试卷和参考答案

16.如图，已知矩形ABCD，AB=1，四边形ABFE是正方形，若矩形ABCD与矩形CDEF相似，则AD的长为。
第16题图
三、解答题
17.若与是相似形，点A与点，点B与点，点C与点分别是对应顶点，，，AB=2, =5,BC=3, =6求的度数与边AC, 的长
18如图所示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似四边形中，求未知边x，y的长度和角的大小
（A） 8 (B) 6 (C) 10 (D) 4
3．如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，如果S△ODC: S△OBC=1:2,S△ODC：S△OBA（）
（A）1:2（B）1:3（C）1:4（D）1:6
第3题图第4题图第5题图
4.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，AE与BD相交于点C，则下列各式错误的是（）
（A）1:7（B）1:6 (C). 1:5 (D). 1:3
第4题图第5题图第6题图
5.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE//AC，已知AB=12，AC=6,则DE的长（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
6.在ABC中，AB//EF∥CD，AB=16，CD=48，则EF的长.为（）
（A）8（B）10 (C). 12 (D). 14
21、在梯形ABCD中，AD∥BC,点E在BD的延长线上，且CE∥AB，AC与BD相交于点O，求证：OB2=OD•OE。
数学九年级上第二十四章相似三角形
24.3 三角形一边的平行线第二课时（1）
一、选择题
1、在△ABC中，DE//BC，DF//AC， ,则等于（）
(A) (B) (C) (D)
24.6 实数与向量相乘第一课时（1）57
24.7向量的线性运算第一课时（1）62

沪教版(上海)九年级上册数学 24.6 实数与向量相乘课件(共17张ppt)

(1) |λa| = |λ| |a|
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了倍.当〈 0 〈1时沿，的方向缩短了倍. a 当 1时,沿的反方向放大了倍.当〈1 〈0时， a沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出
导入新课
a
3a = a +
a
+
a
A
B
C
D
a
-
3a
＝(-
a
)
+ (-
a
) + (-
a)
A
B
C
D
? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、b,
、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
(1a 2b)=1a 2b
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与 a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a
(2).下列四个说法正确的个数有( C ).

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课题24.6（2）实数与向量课时1
一、教学目标：
知识与技能：理解并掌握实数与向量相乘的运算律；
过程与方法：.经历问题发生、解决、抽象、概括的过程；
情感、态度与价值观：培养学生善于思考问题的习惯和知识迁移的能力；对数学的学习兴趣。
二、教学重点和难点：
重点：实数与向量相乘的运算律
难点：.运算律的推倒及理解，分配律的区分。
三、教学资源：前期：向量的加减运算及实数的乘法运算律。后期：平面向量的分解。
四、教学过程：
集体教案
个人备注
新课探索一（1）
试一试
小杰：
猜想
因此可直接作出
你认为小杰的猜想有道理吗？请议一议
新课探索一（2）
将向量OB、PR分别与向量a比较:(1)它们的方向之间有什么关系?(2)长度之间有什么关系?从而看看小杰的猜想是否正确.
实数与向量相乘的意义.
你能用作图的方法严整这一结论吗？不妨试一试。
新课探索三（2）
新课探索三（3）
新课探索四
新课探索五
新课探索六
课内练习一
课内练习二
课内练习三
板书
实数与向量相乘的运算率：
作业ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、判断下列语句是否正确，如果不正确，请改正。
教学
反思
即
新课探索二
由上述探究，可知
反之
实数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,实数与向量相乘同样有类似的运算律.
一般地,如果m、n是非零实数, 是非零向量,那么
这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律.新课探索三（1）
思考已知非零向量、 ,那么等式
实数与向量相乘的意义.
向量加法的交换律和结合律.