2.1.1指数与指数幂的运算 指数幂及其运算性质
2.1.1分数指数幂到实数指数幂的运算导学案
鸡西市第十九中学高一数学组
1 鸡西市第十九中学学案
2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2.1.1分数指数幂到实数指数幂的运算
学习
目标 分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质.
实数指数幂的形成过程；
利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.
重点
难点 分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质.
利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.
预习教材第 50页～第53 页
【分数指数幂】我们来看下面的例子
510252510)(aaaa （0a）
)()()(4)()(412)(aaaa （0a）
①正数的正分数指数幂的意义
212= ，312= ，232= ；nma= )1,,.,0(nnma.
②正数的负分数指数幂的意义
12= ，212= ，342= ；nma= )1,,,0(nnma.
③0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
④分数指数幂的运算性质：
①sraa Q).,0(sra;②sra)( Q).,0(sra；
③rba)(= Q).,0(sra.
【思考】对比()nnnabab与()nnnaabb，你能把后者归入前者吗？
【无理指数幂】通过计算器，我们发现：323.32，它是一个确定的实数.
又或者259.74，也是一个确定的实数.
【归纳】
根式的运算，先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算.
鸡西市第十九中学高一数学组
2 【思考】如果nmba,,0,0都是有理数，下列各式错误的是（ ）.
2-1-1-1 指数与指数幂的运算(第1课时)
Go the distance
课时作业(十九)
1．化简1－2x2(2x>1)的结果是( )
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
答案 C
2．若3x2为一个正数，则( )
A．x≥0 B．x>0
C．x≠0 D．x<0
答案 C
3．81的4次方根为( )
A．9 B．±9
C．3 D．±3
答案 D
4．下列命题正确的是( )
A．－a一定是负数
B．若a<0，则－a2＝－a
C．若a<0，则|a2|＝－a2
D．a<0时a
a2＝1
答案 B
5．把
a－1
a根号外的a移到根号内等于( )
A.a B．－a
C.－a D．－－a
答案 D
Go the distance
6．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k等于( )
A．2－2k B．2－(2k－1)
C．－2－(2k＋1) D．2
答案 C
7．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
答案 D
8．计算aaaa的结果是( )
答案 B
9.a3
a
·5a4的值是( )
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
答案 D
解析
10．把a·－a化成分数指数幂是________．
答案 －(－a) 3
2 11．若x<2，则x2－4x＋4－|3－x|的值是________．
答案 －1 Go the distance
12．若x≤－3，则x＋32－x－32＝________.
答案 －6 13.3
x＋13－3x－13＝________.
答案 2
14．化简(3＋2)2 015·(3－2)2 016＝________.
答案 3－2
15．求 61
4－3
338＋30.125的值．[来源学科网ZXXK]
解析
原式＝25
4－3278＋31
8＝5
2－3
2＋1
2＝32.
16．计算下列各式的值．
答案 (1)11 (2)7
8 (3)1
1 000 (4)9
25 (5)37
6 (6)6
►重点班·选做题
2.1.1-2指数与指数幂的运算
2.1.1-2指数与指数幂的运算
学习目标：
1．理解分数指数幂的概念；2.掌握有理指数幂的运算性质；
3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．能够应用联系观点看问题
教学过程：
（一）复习：（提问）
1．整数指数幂的运算性质：
)()(),()(),(
ZnbaabZnmaaZnmaaa
nnnmnnmnmnm
2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(na)n=a.
②当n
为奇数时，nna=a；当n为偶数时，nna=|a|=
)0()0(
aaaa
.
（二）新课讲解：
1．分数指数幂：10
510250aaaa12
312430aaaa
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）n
kknaa对分数指数幂也适用，
例如：若0a，则3
22
3
233aaa
，4
55
4
544aaa
，∴2
323aa4
545aa．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1
）正数的正分数指数幂的意义是
0,,,1m
nmnaaamnNn；
（2）正数的负分数指数幂的意义是
11
0,,,1m
n
m
nm
naamnNn
a
a．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
10,,rsrsaaaarsQ
20,,s
rrsaaarsQ
30,0,r
rrabababrQ
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
（三）例题分析：
例1．求值：2
38，1
2100，3
1
4
，3
416
81
．例2．用分数指数幂的形式表示下列各式
ao：
例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）211511
336622263ababab
《2.1.1 指数与指数幂的运算》测试题
《2.1.1 指数与指数幂的运算》测试题
一、选择题
1.下列说法正确的是(
).
A.正数的次方根是正数
B.负数的次方根是负数
C.0的次方根是0
D.是无理数
考查目的：考查次方根的定义.
答案：C.
解析：由次方根的定义得，当为偶数时，选项A，B不正确，D不正确，如是有理数.
2.计算的结果是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查次方根的定义.
答案：A
解析：=.
3.已知，则下列运算中正确的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查根式的运算及分数指数幂的性质.
答案：B.
解析：当时，选项A为；选项C中，；选项D中，．
二、填空题
4.求值：=_________．
考查目的：考查分数指数幂的性质.
答案：.
解析：=.
5.若，试用分数指数幂的形式表示下列各式：=_________，=_________.
考查目的：考查根式与分数指数幂的互相转化.
答案：，.
解析：；.
6.已知，求值：= .
考查目的：考查乘法公式、配方法和常见的分数指数幂变形方法.
答案：.
解析：∵，∴.
由知，，∴，∴.
三、解答题
7.计算：
⑴；
⑵.
考查目的：考查分数指数幂的性质和指数的运算.
解析：⑴原式；
⑵原式.
8.计算:(式中字母都是正数)
⑴；⑵.
考查目的：考查分数指数幂的性质和指数的运算.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴；
⑵.
指数与指数幂的运算(一)
第17课时 指数与指数幂的运算（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出
次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质.
2．教学难点：根式概念的理解.
（三）教学方法
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接
受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐
地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意
它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强
学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采
用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
(四)复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根
呢？
归纳：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相
反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
(五)新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞
1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负
数，用表示，叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号表示，其中n称
为根指数，a为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多
少个？当n为奇数时呢？
零的n次方根为零，记为
新知：分数指数幂
规定
※ 知识检测
1．,则的4次方根为 ；
2.1.1指数与指数幂的运算
第1页（共4页）
锦山蒙中高一数学导学案 姓名：
课题： 2.1.1指数与指数幂的运算
目标：1、理解分数指数幂的概念；
2、掌握根式与分数指数幂的互化；
3、掌握有理数指数幂的运算.
重点：分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的互化.
难点：有理数指数幂的运算.
一、复习回顾
复习1：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 ；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 .
复习2：判断下列个题的正误：
（1）-9没有平方根（ ）；（2）16=4（ ）；（3）21()10的平方根是110（ ）；（4）81的算术平方根是9（ ）；（5）2aa（ ）
二、新知探究
阅读教材第49-51页
探究任务一：根式的概念及运算
填空：22=4（），那么2就叫4的 ；33=27，那么3就叫27的 ；
43=81（），那么3就叫做81的 .
1、n次方根的定义：一般地，如，nxa，那么x叫做a的 ，其中1n，且*nN
2、根式：式子 叫做根式，读作
.
当n为奇数时：正数的n次方根有 ，负数的n次方根有 ；则nxa
如：365532,32,a
当n为偶数时：正数的n次方根有 ，这两个数互为 ；则nxa 第2页（共4页）
负数没有 ；0的任何次方根都是 ，记做 .
2.1.1指数与指数幂的运算 导学案
ruize
2.1.1.1 指数与指数幂的运算
班级 姓名 小组________第____号
【学习目标】
1.通过学习理解掌握n次方根和n次根式的概念；
2.通过掌握n次根式的性质，运用它进行简单的化简运算；
【重点难点】
重点：根式的概念及n次方根的性质。
难点：n次方根的性质应用。
【学情分析】
在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。
【导学流程】
自主学习内容
一.回顾旧知：
1. 一个正数有 个平方根，它们互为 。0有 个平方根，是 。
负数 平方根。
2.一个数的平方运算，在a=x2中x叫做 ，2叫做 ，a叫做 。
3.一个数的平方根运算，在x=a中a叫做 ，x叫做 。
二、基础知识感知
1．n次根式和n次方根的概念
一般地， ，那么x叫做a的n次方根， (1,)nnN．
（1） 若n是奇数，则a的n次方根记作 ； 若0a则 ，若0a则 ；
（2）若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作 ，a的负的n次方根，记作： ；
（3） 若n是偶数，且0a则 没意义，即负数没有偶次方根；
（4）0的任何次方根都是0，记作 .
（5） 式子 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数．
2. 分数指数幂 ruize
(1)正数的正分数指数幂的意义
nam是am的n次方根，即nam＝_____(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)正数的负分数指数幂和零的分数指数幂．
①n-am＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
指数与指数运算
1 2.1.1 指数与指数幂的运算
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.
2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：
(1)分数指数幂和根式概念的理解.
指数、指数幂、指数函数图象和性质教案
2.1.1指数与指数幂的运算 第1课时《根式》
课型：新授课 设计：田春霞 校对：刘学荣 第 周 第 课时 序号
一、 教学目标
1、知识目标：理解n次方根和n次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
2、能力目标：通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力。
3、情感态度与价值观：通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想。
二、 教学重点：n次方根的概念及其取值规律
教学难点：n次方根的概念及其运算根据的研究．
三、 过程与方法：教学方法：启发探索式．
（一）、预习自学
1、指数幂的定义 ：a的正整数指数幂na （其中RanNn,1,*）
a的零次幂0a （其中a ） a的负整数指数幂na （其中a ）
2、平方根与立方根的定义：（1）平方根：如果 ，那么 叫做 的平方根。正数a的平方根有 个，它们 ，记作 ，0的平方根是 ，负数 。
（2）立方根：如果 ，那么 叫做 的立方根。正数a的立方根是一个 ，负数a的立方根是一个 ，0的立方根是 ，实数a的立方根记作 。
3、n次方根的概念：一般的，如果 其中（ ）
当n是奇数时 ， 记作
当n时偶数时 记作 负数
0的 ，记作
基本初等函数第一讲
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算(1)
（I）复习回顾
引例：填空
（1）*)nnaaaanN个（；a0= （a)0；__＝na)Nn,0a(*
(2) aman=____ (m,n∈Z)；(am)n=___(m,n∈Z)； (ab)n=___(n∈Z)
（3）___9； -_____9； ______0
（4）)0a_____()a(2； ________a2 (1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质；
(3)(4)复习平方根的概念
（II）讲授新课
22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根
23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根
25=32 2叫32的5次方根 …
2n=a 2叫a的n次方根
1.n次方根的定义：（板书）
一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中1n，且nN。
问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？nax是否正确？
分析过程：
例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）
结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为nax。
从而有：3273，2325，236aa
例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：)0a(an
其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。
例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 结论3：0的n次方根是0，记作nna,00即当a=0时也有意义。