工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案
工程力学(山东理工大学)智慧树知到课后章节答案2023年下山东理工大学
工程力学（山东理工大学）智慧树知到课后章节答案2023年下山东理工大学第一章测试1.物体的平衡状态是指物体静止不动。
A:对 B:错答案:错2.柔索只能承拉，不能承压。
A:错 B:对答案:对3.在物体上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对物体的效应。
A:对 B:错答案:错4.静力学研究的物体都是处于平衡状态的。
A:错 B:对答案:对5.力平行四边形法则只适用于刚体。
A:对 B:错答案:错6.平衡是相对的，是物体运动的一种特殊形式。
A:对 B:错答案:对7.力只能沿力线在自身刚体上传递。
A:错 B:对答案:对8.刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。
A:对 B:错答案:对9.作用力与反作用力不是一对平衡力。
A:错 B:对答案:对10.作用于刚体上的力是滑移矢量。
滑动矢量。
A:错 B:对答案:对第二章测试1.汇交力系一定是共点力系。
A:错 B:对答案:错2.一般力系向一点简化得到的主矢是一般力系中各力的向量和，主矢与原力系来说一般不等效。
A:对 B:错答案:对3.图示中的力偶臂等于AB两点间距离。
A:错 B:对答案:错4.作用在刚体上同一个平面内的力偶，不能合成为一个合力偶。
A:错 B:对答案:错5.只要保证力偶矩不变，可以改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不改变力偶对刚体的效应。
A:错 B:对答案:对6.力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩本身。
A:错 B:对答案:对7.力偶不能合成为一个力。
A:错 B:对答案:对8.力的投影是代数量，力的分量也是代数量。
A:错 B:对答案:错9.在任意坐标系下，力在坐标轴上投影的大小都等于分量的大小。
A:对 B:错答案:错10.汇交力系平衡的必要和充分条件是：力多边形首尾相连。
A:错 B:对答案:对第三章测试1.可以根据对称性确定物体的重心。
A:错 B:对答案:对2.任何物体的重心必然与其形状中心重合。
A:对 B:错答案:错3.空间平行力系的平衡方程共有三个，此三个方程都可以采用力的投影方程。
工程力学习题 及最终答案
—————————————— 工程力学习题 ——————————————第一章 绪论思 考 题1） 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。
按其是否直接接触如何分类？试举例说明。
3） 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4） 试述工程力学研究问题的一般方法.第二章 刚体静力学基本概念与理论习 题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。
2-2， 求图中作用在耳环上的合力F R 。
2-3 F R 。
2-4 α。
使x 轴。
b ）合力为零。
习题2-2图(b)F 1F 1F 2(a )。
为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N,且F 2α角。
o 点之矩。
2(d) (g) 习题2-6图 习题2-7图CDBA2—9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。
F R 及其作用位置。
q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在.第三章 静力平衡问题习 题3-1 图示液压夹紧装置中，油缸活塞直径习题2-8图(d) (c)q ( c ) 图B习题2-11图 习题2-9图D=120mm ，压力p =6N/mm 2,若α=30︒， 求工件D 所受到的夹紧力F D 。
3—2 图中为利用绳索拔桩的简易方法。
若施加力F =300N ，α=0.1弧度，求拔桩力F AD 。
(提示 ：α较小时，有tg α≈α）。
•m ，l =0。
8m ，求梁A 、B 处的约束力。
3-4 若F 2=2F 1，求图示梁A 、B 处的约束力。
3q=15kN/m 和集中力偶3—DE 和压杆AC 处于水r=40mm ，a =120mm,b=60mm ，求在力F 作用下，工件受到的夹紧力.习题3-1图习题3-5图习题3-3图的反力。
3—8 汽车吊如图.车重W 1=26kN, 起吊装置重W 2=31kN,作用线通过B 点，起重臂重G =4。
5kN ，求最大起重量P max . （提示:起重量大到临界状态时,A 处将脱离接触,约束力为零.）3-9 求图示夹紧装置中工件受到的夹紧力F E 。
材料力学答案- 压杆稳定
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
工程力学第12章答案
习题12-3图 习题12-2图习题12-4图 第12章 杆类构件的静载强度设计12－1 关于弯曲问题中根据][max σσ≤进行强度计算时怎样判断危险点，有如下论述，试分析哪一种论述正确。
（A ）画弯矩图确定M max 作用面。
（B ）综合考虑弯矩的大小与截面形状；（C ）综合考虑弯矩的大小、截面形状和尺寸以及材料性能； （D ）综合考虑梁长、载荷、截面尺寸等。
正确答案是 C 。
12－2 悬臂梁受力如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A 都相等，试分析哪一种形式截面梁的强度最高。
正确答案是 A 。
12－3 铸铁T 字形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力F P 作用线沿铅垂方向。
若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种使梁有最高的强度。
正确答案是 B 。
12－4 图示四梁中q 、l 、W 、][σ均相同。
试判断下面关于其强度高低的结论中哪一个是正确的。
（A ）强度：图a ＞图b ＞图c ＞图d ； （B ）强度：图b ＞图d ＞图a ＞图c ； （C ）强度：图d ＞图b ＞图a ＞图c ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。
正确答案是 B 。
解：2amax 81ql M =2bmax 401ql M =2cmax 21ql M = 2dmax 1007ql M =12－5 图示四梁中F P 、l 、W 、][σ均相同，不考虑轴力影响。
试判断关于它们强度高低的下述结论中哪一个是正确的。
（A ）强度：图a ＝图b ＝图c ＝图d ； （B ）强度：图a ＞图b ＞图d ＞图c ； （C ）强度：图b ＞图a ＞图c ＞图d ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。
l q PF=3231ABM )(o M(a)习题12-5题习题12-6题32l M P /F 31(d-1)lM P /F 21AB(c-1)lM P /F 10351BA 10351 (b-1) l M P /F 41AB 41 (a-1) 正确答案是 B 。
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 设计准则
工程力学（静力学与材料力学）习题第12章 失效分析与设计准则12－ 1 对于建立材料在一般应力状态下的失效判据与设计准则，试选择如下合适的论述。
（A ）逐一进行试验，确定极限应力；（B ）无需进行试验，只需关于失效原因的假说；（C ）需要进行某些试验，无需关于失效原因的假说； （D ）假设失效的共同原因，根据简单试验结果。
正确答案是 。
12－2 对于图示的应力状态（y x σσ>）若为脆性材料，试分析失效可能发生在：（A ）平行于x 轴的平面； （B ）平行于z 轴的平面；（C ）平行于Oyz 坐标面的平面； （D ）平行于Oxy 坐标面的平面。
正确答案是 。
12－3 对于图示的应力状态，若x y σσ=，且为韧性材料，试根据最大切应力准则，失效可能发生在：（A ）平行于y 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面，或平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面内；（B ）仅为平行于y 轴、法线与z 轴的夹角为45°的平面； （C ）仅为平行于z 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面； （D ）仅为平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面。
正确答案是 。
12－4 铸铁处于图示应力状态下，试分析最容易失效的是：（A ）仅图c ；（B ）图a 和图b ； （C ）图a 、b 和图c ； （D ）图a 、b 、c 和图d 。
正确答案是 。
12－5低碳钢处于图示应力状态下，若根据最大切应力准则，试分析最容易失效的是： （A ）仅图d ； （B ）仅图c ； （C ）图c 和图d ； （D ）图a 、b 和图d 。
正确答案是 。
12－6 韧性材料所处应力状态如图所示，根据最大切应力准则，试分析二者同时失效的条件是： （A ）τσ>，3/2στ=； （B ）τσ<，3/4στ=； （C ）τσ=；（D ）τσ>，3/2τσ=。
《工程力学》压杆稳定
）
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
cr s
2
cr s
压杆的临界应力总图
σ cr cr s
cr a b
粗短杆
中粗杆
cr
2E 2
小柔度 中柔度
细长杆
强度失效 弹塑性稳 定问题
大柔度 弹性失稳
λ2
λ1
三类不同的压杆
细长杆— 发生弹性屈曲; 中长杆— 发生弹塑性屈曲; 粗短杆— 不发生屈曲，而发生 屈服;
中粗杆
1 2
cr a b
a、b为与材料性能有关的常数。 这类杆又称中柔度杆。
中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
粗短杆 2
σ
压杆的临界应力超过超过屈服极限后 cr s σp
σs
2
O
这类杆又称为小柔度杆。
1846年拉马尔具体讨论了Euler公式的适用范围，并提出超 过此范围的压杆要依靠实验研究。
§９-５ 压杆的稳定校核
安全系数法
n
Fcr P
nst
Fcr是压杆的临界载荷 P为压杆的工作载荷，
nst 是稳定安全系数。
由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。
nst 值一般比强度安全系数要大些;
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
材料力学 压杆稳定答案共5页
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。
（a）=1×5=5m（b）=0.7×7=4.9m（c）=0.5×9=4.5m（d）=2×2=4m（e）=1×8=8m（f）=0.7×5=3.5m故图e所示杆最小，图f所示杆最大。
返回9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。
已知钢的线膨胀系数。
试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？解：返回9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。
试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力的算式。
解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。
（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时最小返回9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。
若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。
解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。
此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故返回9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。
材料力学习题册答案第章压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力,则压杆〈A ）。
A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变；D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形<C)A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆，是根据压杆的〈D ）来判断的。
A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的〈 A )对临界应力的影响。
A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B 、材料,长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。
答案：〈 a )6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ,直径50mm .其柔度为 ( C 〉A 。
60；B 。
66。
7；C .80；D 。
507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图<D ）所示截面形状，其稳定性最好.8、细长压杆的<A ）,则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度〈C ）A 、λ≤P E πσB 、λ≤s E πσC 、λ≥PEπσ D 、λ≥sEπσ10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大<C ）A 、细长杆的临界应力是减小的,中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是;C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的;D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11、两根材料和柔度都相同的压杆〈A ）A 。
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第十二章 压杆的稳定性12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。
（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==，1.0;l m =（3）16号工字钢，2.0l m =。
解：结构为两端铰支，则有221,0,lj EIP l πμ==(1)圆截面杆，434932(0.025),2001037.61037.664(1.0)64lj d I P kN ππ⨯==⨯⨯=⨯=⨯(2)矩形截面杆，32312349322020401040,20010531053121212(1.0)lj bh I mm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯=⨯ (3)16号工字查型钢表知2849321130102001130,1046110461(2.0)lj I cm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯=题12-1图 题12-2图12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。
杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。
杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2k EIρ=，则有微分方程：22V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=-0,0x v '==（转角为零），0A k ⋅=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=-因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ⋅=，由于0δ≠，可得：cos 0,2kl kl π== （最小值）而2k EIρ=，得22(2)lj EIP l π=注：由cos 0kl =，本有02kl n ππ=+>，计算可见0n =（2kl π=时），对应的P 值是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。
12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。
解：92.6,52.5,sP s a bσλλ-====式中338, 1.22a b ==s σσsp 50题12-3图12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢，210E GPa =。
两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ）的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。
试求此杆的临界应力lj P 。
题12-4图解：在正视平面内，23421,804012lj EIP I mm l π==⨯⨯ 俯视平面内， 22342221,4080()(0.6)12lj EI EI P I mm l l ππμ===⨯⨯⨯ 因为332180404080(0.6)⨯<⨯⨯，对同一结构，lj P 按正视平面内的公式计算（取较小值）： 2293123223.1421011080401061410614212lj EIP N kN l π-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 12-5 钢结构压杆由两个56568⨯⨯的等边角钢组成，杆长 1.5l m =，两端为球形铰支受轴向压力150P kN =，角钢为3A 钢。
试确定压杆的临界应力及工作安全系数。
解：查型钢表得：428.36710,0.0168y A m i m -=⨯=，则 1 1.5891230.0168liμλ⨯===<采用抛物线公式：22350.0066182,2305lj lj lj MPa P AkN σλσ=-=== 3052.03150lj P n P===题12-5图 题12-6图12-6 图示立柱，长6l m =，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端球形铰支。
试问当a 为多大时立柱的临界压力lj P 最高，其值为何？已知材料的弹性模量200E GPa =，比例限200p MPa σ=。
解：a 的变化只会引起y I 的变化，对z I 没有影响；在两个平面内，μ值相同，l 同，同一结构，仅仅由I 的大小决定结构在那一平面内最易失稳（lj P 最小） 可见，立柱的临界压力lj P 最高时，应该有()()lj y lj z P P =则由22()lj EI P l πμ=，有y z I I =，z I 查型钢表，为42198.3z I cm =⨯ 而242[25.612.74(0.12 1.52)]()y I cm =⨯+⨯+ 解得 4.343a cm mm ==此时，26823.14200102198.310443(0.76)lj P N -⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯P题12-7图 题12-8图12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示，钢管的外径30D mm =，内径22d mm =，长度 2.5l m =，材料的弹性模量210E GPa =。
支架顶点三杆铰接，取稳定安全系数3w n =求支架的许可载荷P 。
解：结构和载荷对称，各管所受压力相等，设为N ，2.52691001λ==>94423.1421010 3.14(0.030.022)9360(1 2.5)64lj P N ⨯⨯=⨯-=⨯N 取3120lj WP N N n ==，则载荷 2[]3cos 3312074902.5P Q N α==⨯⨯= 即许可载荷为7490N 。
12-8 在图示结构中，AB 为圆形截面杆，直径80d mm =A 端固定，B 端为铰支；BC 为正方形截面杆边长110a mm =，C 端为铰支。
AB 、BC 两杆可独自发生弯曲变形而互不影响，材料均为3A 钢，2210/E GN m =。
已知3l m =，压力150P kN =，规定的稳定安全系数 2.5w n =，试校核结构的稳定性。
解：P 作用下，两段的压力均为N P =，现分别求出各自的临界压力AB 段:,443.140.7, 1.53 4.5,0.08,6464d l m I πμ==⨯===⨯(与方向无关) 29423.1421010 3.140.08420(0.74.5)64lj P kN ⨯⨯=⨯⨯=⨯ 420[]1681502.5lj WP P kN kN n ===>，即[]P P <，AB 段安全 BC 段，4411.0,3,0.111212a l m I μ====⨯（与方向无关）29423.142101010.112404312lj P kN ⨯⨯=⨯⨯= 2404[]9621502.5lj WP P kN kN n ===>，即[]P P <，BC 段安全 综上分析，结构安全。
12-9 四根等长杆相互铰接成正方形ABCD ，并与BD 杆铰接如图所示。
各杆的弹性模量E 、截面积A 极惯性矩I 均相等。
当（1）C 两点处受一对拉力P ，图（a ）；（2）AC 两点处受一对压力P ，图（b ），分别求达到临界状态的最小载荷P 。
DD (a)(b)题12-9图解：()a 图示P 作用下，AB BC CD DA 、、、四杆受拉，BD 受压，若按受压失稳与否确定P 值，只需考查BD杆：, 1.0,BD l P P μ==（压）222[]()2lj EI EIP P l aππμ===，即2min 22EI P a π= ()b 图示P 作用下，AB BC CD DA 、、、四杆受压，N P =（压），BD 受拉。
22, 1.0,[]2EIl a AB BC CD DA P a πμ====、、、，即2min 2EIP a =12-10 图示结构中，CF 为铸铁圆杆，直径110d cm =，许用应力[]120MPa σ=，弹性模量120E GPa =。
BE 为3A 钢圆杆，直径25d cm =，许用应力2[]160,200/MPa E GN m σ==，若横梁可视为刚性，试用折减系数法求载荷P 的许用值。
题12-10图解：问题是一次超静定的，设BE 杆中拉力为B N ，FC 杆中压力为C N 有平衡条件：2460B C N N P +-=，且有变形条件：12B C l l ∆=∆ 虎克定律代入得：222122000.0521200.1B C N N ⨯⨯=⨯⨯ （公共项消掉未写）即 4.8C B N N =，代回平衡方程中，解得0.283, 1.36B C N P N P == 若BE 杆完全发挥力学性能，则23.14[]1600.053144B B B N A MPa kN σ=⋅=⨯⨯= 此时，11100.283BN P kN == 若FC 杆完全发挥力学性能，12[],800.1/4C C C lN A iμσλ⨯====查表得0.26ϕ=，有23.14[]0.261200.12454C C C N A MPa kN ϕσ=⋅=⨯⨯⨯= 此时，1801.36CN P kN == 综合两种情况，取[]180P kN =（较小者）。
12-11 工字钢压杆两端铰支，杆长3l m =，承受压力160P kN =，若许用应力[]140MPa σ= ，试用折减系数法选折工字钢的型号。
解： 1.0,3l m μ==，稳定条件为[][]W PAσσϕσ=≤=，因为A 与ϕ均未知，只能试算： 取0.5ϕ=，则 3261601022.864[]0.514010P N A cm Paσ⨯≥==⨯⨯ 查型钢表，选取16号，2min 26.1, 1.89A cm i cm ==1300158.71.89liμλ⨯===，查表时按160取，得0.272ϕ'= 得到 [][]38.1W MPa σϕσ'==。
工作应力为321601061.326.1P NMPa A cmσ⨯=== []W σσ>，不合理，所设0.5ϕ=过大，再取时，减小ϕ，取1(0.50.272)0.382ϕ=+≈，则 230[]PA cm ϕσ≥=， 选取20a 工字钢，min35.5 2.12A i cm ==，，321601045.135.5lN MPa i cmμλ⨯=== []W σσ<，安全。
所以，经计算校核，应选用20a 号工字钢。
12-12 两端铰支的等截面圆杆，杆长2,l m =直径50d mm =，材料的比例极限200p MPa σ=，弹性模量5210E MPa =⨯，线膨胀系数7125101/C α-=⨯︒。
设安装时的温度为20C ︒，求温度升高到多少度时此圆杆将失稳。