中国矿业大学(北京)数学建模竞赛三等奖论文
喜讯传来：我院学子在2014亚太地区数学建模竞赛中获奖居榜首
喜讯传来：我院学子在2014亚太地区数学建模竞赛中获奖居榜首2014年1月20日- 2月20日，我院16个代表队的46名同学受邀参加了由环球竞赛网、MATHOR校苑数学建模网、APUMCM亚太数学建模网、中国教育网共同主办的2014年第三届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛。
今日，喜讯传来，我院学子在中国、新加坡、澳大利亚等亚太地区的参赛队中脱颖而出，获得一等奖3项，二等奖4项，三等奖9项，取得囊括32%全部奖项的瞩目成绩，在澳大利亚昆士兰理工大学、新加坡国立大学、新加坡南洋理工大学、北京大学、国防科技大学、东北大学、上海交通大学、武汉大学、山东大学、中国矿业大学、南京邮电大学、对外经济贸易大学、北京理工大学、华北水利水电大学等70多所参赛高校中，我院的获奖数量和质量均名列榜首。
MCM/ICM国际建模竞赛、教育部高教社杯数学建模竞赛、APMCM亚太杯数学建模竞赛、MathorCup全球数模竞赛被公认为数模领域四大赛事。
其中APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛旨在为全球热爱数学建模的莘莘学子提供更好的学习资源和竞赛平台；旨在进一步普及数学建模知识，强化学生应用数学解决社会，自然的相关问题，并增强计算机的理论和编程能力,为亚太乃至全球的学生提供良好的数学建模家园，并为学生创造更多参加数学建模竞赛的机会。
多年来，院领导对数学建模教育高度重视，教务部、教学保障部、学工处、团委、知行书院等部门将数学建模教育的改革成果向全院推广，作为学院实施竞赛教育植入教育体系的重要平台，提升了轻院学子的创新、创造能力，提升了轻院学子的综合素质，为我院的品牌假设做出了重要贡献，特别是本次竞赛的突出成绩，在有力证明我院实施竞赛教育、推行品牌建设等人才培养理念成效的同时，也进一步提高了我院的知名度和影响力。
2014年第三届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛获奖名单。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛优秀范文
CT系统参数标定及成像问题研究摘要CT机扫描部分主要由X线管和不同数目的控测器组成，用来收集信息。
X线束对所选择的面层进行扫描，其强度因和不同密度的组织相互作用而产生相应的吸收和衰减。
[1] 探测器将收集到的信息经过一系列的转变，最后经过计算机的储存和处理，得到CT值可以排列成数字矩阵。
通过对题目所提供材料进行分析，提出了较为合理的假设，对各组附件数据进行了拟合处理制成各种图像并分析说明，且建立模型来求解CT系统拟合处理问题。
在对问题一的分析中，对附件一模拟实体立体化建立模型Ⅰ，并对数据进行处理及排差，假设载物台在理想状态下是水平并与探测器无偏差，而且不考虑机械系数或各种问题的情况下，建立起了一个模拟CT系统的仪器。
运用数学几何知识作图，通过建立相似图形（模拟CT系统运行）等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向）。
在对建立的模型Ⅰ进行改进的基础上，对附件2进行拟合处理建立模型Ⅱ，利用数学中的傅里叶变换算法等比对图2模板示意图进行平面配对。
借助数学算法和MATLAB软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。
在对问题二的分析中，对附件3模拟建立模型Ⅲ。
利用上述CT系统得到的某未知介质的接受信息还有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸收率等信息）。
借助数学算法和MATLAB软件，利用图3所给的10个位置，对附件4中所提供的数据（对附件4模拟建立模型Ⅳ）进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟推测其的吸收率。
在对问题三的分析中，对附件5模拟建立模型Ⅴ。
数学建模优秀论文
（数学建模B题）北京水资源短缺风险综合评价参赛队员：甘霖（20093133，数学科学学院）李爽（20093123，数学科学学院）崔骁鹏（20091292，计算机科学学院）参赛时间：2011年4月30 - 5月13日承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：B所属学校（请填写完整的全名）：黑龙江大学参赛队员：1.甘霖2、李爽3、崔骁鹏日期：2011 年5月12日目录1.摘要 -----------------------------------------42.关键词 ---------------------------------------43.问题重述 ---------------------------------------54.模型的条件和假设 ------------------------------55.符号说明 --------------------------------------56.问题的分析及模型的建立 ------------------------66.1问题一的分析与求解 -----------------------66.2问题二的分析与求解 -----------------------106.3问题三的分析与求解 -----------------------186.4问题死的求解 -----------------------------217.模型的评价 ------------------------------------238.参考文献 --------------------------------------239.附录 ------------------------------------------23北京水资源短缺风险综合评价甘霖﹑李爽﹑崔骁鹏【摘要】本文针对水资源短缺风险问题求出主要风险因子，并建立了水资源短缺风险评价模型，以北京为实例，做出了北京1979年到2009年的水资源短缺风险的综合风险评价，划分出了风险等级，以评价水资源短缺风险的程度。
数学建模竞赛
1、问题重述 可以直接摘抄自题目中，但是不建议直接复 制。可以用自己的语言简短、准确的表述。 2、模型假设 ①根据题目中条件作出假设 ②根据题目中要求作出假设 ☆关键性假设不能缺；假设要切合题意！
3、模型的建立
（1）基本模型 1）首先要有数学模型：数学公式、方案等 2）基本模型要求完整，正确，简明 （2）简化模型 1）要明确说明：简化思想，依据 2）简化后模型，尽可能完整给出 （3）模型要使用，有效，以高效解决问题为原则。 ☆切记不要追求数学上：高级、深刻、难度大。 ☆能用初等方法解决的，就不用高级方法；能用 简单方法解决的就不用复杂方法；能用被更多人看 懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的 方法。
（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标 新立异
数模创新可出现在： 建模中，模型本身，简化的好方法，好策略等； 模型求解过程中； 结果表示、分析、检验、模型检验中； 模型推广应用方面。
（5）在问题分析推导过程中，要注意：
分析：中肯、确切； 术语：专业、内行； 原理、依据：正确、明确； 表述：简明，关键步骤要列出；
参加数学建模竞赛通 常需要哪些方面的知 识？
第一方面：数学知识的应用能力 按历年比赛的试题来看，数学建模涉及的数 学知识面十分的宽广，但归结起来大体上有 以下几类： 1. 微积分与微分方程； 2. 运筹学与线性规划； 3. 概率论与数理统计； 4. 离散数学； 5. 图论等 此外还有与计算机知识相交叉的知识：计算 机图形学、计算机模拟等等。
7、网格算法和穷举法。网格算法和穷举法都是暴力 搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨 论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案， 最好使用一些高级语言作为编程工具。
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数学建模论文(最新9篇)
数学建模论文（最新9篇）大学数学具有高度抽象性和概括性等特点，知识本身难度大再加上学时少、内容多等教学现状常常造成学生的学习积极性不高、知识掌握不够透彻、遇到实际问题时束手无策，而数学建模思想能激发学生的学习兴趣，培养学生应用数学的意识，提高其解决实际问题的能力。
数学建模活动为学生构建了一个由数学知识通向实际问题的桥梁，是学生的数学知识和应用能力共同提高的最佳结合方式。
因此在大学数学教育中应加强数学建模教育和活动，让学生积极主动学习建模思想，认真体验和感知建模过程，以此启迪创新意识和创新思维，提高其素质和创新能力，实现向素质教育的转化和深入。
一、数学建模的含义及特点数学建模即抓住问题的本质，抽取影响研究对象的主因素，将其转化为数学问题，利用数学思维、数学逻辑进行分析，借助于数学方法及相关工具进行计算，最后将所得的答案回归实际问题，即模型的检验，这就是数学建模的全过程。
一般来说"，数学建模"包含五个阶段。
1、准备阶段主要分析问题背景，已知条件，建模目的等问题。
2、假设阶段做出科学合理的假设，既能简化问题，又能抓住问题的本质。
3、建立阶段从众多影响研究对象的因素中适当地取舍，抽取主因素予以考虑，建立能刻画实际问题本质的数学模型。
4、求解阶段对已建立的数学模型，运用数学方法、数学软件及相关的工具进行求解。
5、验证阶段用实际数据检验模型，如果偏差较大，就要分析假设中一些因素的合理性，修改模型，直至吻合或接近现实。
如果建立的模型经得起实践的检验，那么此模型就是符合实际规律的，能解决实际问题或有效预测未来的，这样的建模就是成功的，得到的模型必被推广应用。
二、加强数学建模教育的作用和意义（一）加强数学建模教育有助于激发学生学习数学的兴趣，提高数学修养和素质数学修养和素质自然而然得以培养并提高。
（二）加强数学建模教育有助于提高学生的分析解决问题能力、综合应用能力因此通过数学建模活动学生的视野将会得以拓宽，应用意识、解决复杂问题的能力也会得到增强和提高。
全国数学建模比赛优秀论文点评
2005年A题：长江水质的评价和预测编者按：本文用差分方程和回归分析的方法对问题作了正确、恰当的分析处理，结果合理。
具有一定的创造性。
编者按：本文构造了“s”型的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行了动态加权；根据7个观测站的位置将干流分为8段，计算中间6段的排污量，将本段内所有污染源等效为一个段中央的连续稳定源，计算出其对该段段末观测站浓度的影响值。
以上两点具有独到想法。
全文思路正确。
表述清晰，假设可靠。
编者按：本文思路清晰，表述流畅，文章特点是：对不同水质指标用不同方法做标准化处理，再综合评价，主要污染源位置的确定和未来水质发展趋势预测等问题中均有完整的数学模型。
不足之处是，没有结合长江水质的整体评价。
编者按：本文结构完整，表述清晰。
自定义了综合污染指数，综合评价的思路有可取之处；分段考虑了主要污染源所在，对结果做了尝试性的解释，但未考虑两观测站间单位长度的污染量；用时间序列建模及处理污水量的规划问题思路清晰，但一次累加拟和模型中多项式指数的作用和含义不够明确。
值得一提的还有，最后的建议中与前面的结果相互印证。
编者按：本文思路清晰，论述疏密有致，许多细微之处稍显匠心。
构造了模糊评价指数可以很好的整合不同水质的影响因素；在未来10年的预测中，兼顾了长江流量与污水总量两者的共同影响(文中是对长江流量在不同置信水平的下限预测分析的)。
编者按：通过数学建模方法，本文对长江水域受污染的情况作出比较全面和量化的评价，对污染源进行了比较深入的分析，得出明确的结论，同时也对长江未来的水质情况和污水处理形势做出量化的科学预测。
特别值得推荐的是，作者对于污染源的特点和水质的不同性质进行了分类，对于控制水质与污水处理的策略具有积极的参考作用。
作为大学生能够在短时间内，在一个问题中拓出多处有创意的概念和方法，实在难能可贵。
虽然文章仍有不足，仍希望引起读者关注，以期提高中国大学生的创造性能力。
2005年B、D题：DVD在线租赁编者按：文章较好的理解了题目的意思，应用二项分布处理问题一，反映了作者对随机问题的理解和处理；以满意度最大为目标建立了0-1规划模型，利用Array Lingo软件求解得到会员的分配方案；问题三的解决是以分阶段建立双目标规划，虽没能完整解决该问题，但分析问题、解决问题的思想方法值得推荐。
数学建模竞赛获奖论文范文
数学建模竞赛获奖论文范文数学的运用越来越广泛了，利用建立数学模型解决实际问题的数学建模活动也应运而生了。
下面是店铺为大家推荐的数学建模论文，供大家参考。
数学建模论文范文篇一：《高中开设数学建模课程的意义与定位》1、高中开设数学建模课程的背景在高中设置的课程中，数学是一门必修课程，也是高考比重最大的一门课程，其最终目标是将数学知识融入现实问题中去，从而解决问题，这也是教育教学的最终目的。
要达到教育教学的最终目的，必须改革高中的数学课程教学，建设高中数学建模课程。
高中数学建模课程可以根据简单的现实问题设置，针对实际生活中的一些简单问题进行适当的假设，建立高中数学知识能解决该问题的数学模型，进而解决该实际问题。
因此，可以说高中数学建模课程是利用所学高中数学知识解决实际问题的课程，是将高中数学知识应用的一门课程，是培养出高技能人才的基础课程。
国家教育部制定的高中数学课程标准，重点强调："要重视高中学生从自己的生活经验和所学知识中去理解数学、学习数学和应用数学，通过自己的感知和实际操作，掌握基本的高中数学知识和数学逻辑思维能力，让高中生体会到数学的乐趣，对数学产生兴趣，让其感觉到数学就在身边。
"但是现实中高中数学的教学情况堪忧，基本上都是满堂灌的教学，学生不会应用，对数学毫无兴趣可言，主要体现在三个方面。
第一，虽然有很多学生以高分成绩进入高中学习，但是其数学应用的基础非常差，基本上是会生搬硬套，不会解决实际问题，更不会将数学知识联系到生活中来;也有少数学生数学基础差，没有养成好的数学学习习惯，导致产生厌恶数学的情绪，数学基础知识都没学好，更不用说是用数学解决实际问题。
这少数学生就是上课睡觉混日子，根本不去学习，这与高中数学课程的开设目标截然不符。
第二，高中数学课程的教学内容与实际问题严重脱节，高中的数学教材中涉及的数学知识基本上都是计算内容，而不是用来处理和解决生活问题的，更是缺少数学与其他学科(比如化学、物理、生物、地理等)的相互渗透，即便高中数学课程中有一些数学应用的例子，也属于选学内容，教师根本不去讲、不涉及，这样导致高中数学课的教学达不到其教学目的，发挥不出功能。
数学建模论文(精选4篇)
数学建模论文（精选4篇）数学建模论文模板篇一1数学建模竞赛培训过程中存在的问题1.1学生数学、计算机基础薄弱，参赛学生人数少以我校理学院为例，数学专业是本校开设最早的专业，面向全国２８个省、市、自治区招生，包括内地较发达地区的学生、贫困地区（包括民族地区）的学生，招收的学生数学基础水平参差不齐．内地较发达地区的学生由于所处地区的经济文化条件较好，教育水平较高，高考数学成绩普遍高于民族地区的学生．民族地区由于所处地区经济文化较落后，中小学师资力量严重不足，使得少数民族学生数学基础薄弱，对数学学习普遍抱有畏难情绪，从每年理学院新生入学申请转系的同学较多可以窥见一斑．虽然学校每年都组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，但人数都不算多．从专业来看，参赛学生主要以数学系和计算机系的学生为主，间有化学、生科、医学等理工科学生，文科学生则相对更少．理工科类的学生基本功比较扎实，他们在参赛过程中起到了重要作用．文科学生数学和计算机功底大多薄弱，更多的只是一种参与．从年级来看，参赛学生以大二的学生居多；大一的学生已学的数学和计算机课程有限，基本功还有些欠缺；大三、大四的学生忙着考研和找工作，对数学建模竞赛兴趣不大．从参赛的目的来看，有２０％左右的学生是非常希望通过数学建模提高自己的综合能力，他们一般能坚持到最后；还有５０％的学生抱着试试看的态度参加培训，想锻炼但又怕学不懂，觉得可以坚持就坚持，不能则中途放弃；剩下的３０％的学生则抱着好奇好玩的态度，他们大多早早就出局了．学生的参赛积极性不高，是制约数学建模教学及竞赛有效开展的不利因素．1.2无专职数学建模培训教师，培训教师水平有限，培训方法落后数学建模的培训教师主要由理学院选派数学老师临时组成，没有专职从事数学建模的教师．由于学校扩招，学生人数多，教师人数少，数学教师所承担的专业课和公共课课程多，授课任务重；备课、授课、批改作业占用了教师的大部分工作时间，并且还要完成相应的科研任务．而参加数学建模教学及竞赛培训等工作需要花费很多时间和精力，很多老师都没有时间和精力去认真从事数学建模的教学工作．培训教师队伍整体素质不够强、能力欠缺，指导起学生来也不是那么得心应手，且从事数学建模教学的老师每年都在调整，不利于经验的积累．另外，学校对参与数学建模教学及竞赛培训的教师的鼓励措施还不是十分到位和吸引人，培训教师对数学建模相关的工作热情不够，缺乏奉献精神．在２０１１年以前，数学建模培训主要采用教师授课的方式进行，但各位老师授课的内容互不联系．比如说上概率论的老师就讲概率论的内容，上常微分方程的老师就讲常微分的内容．学生学习了这些知识，不知道有什么用，怎么用，不能将这些知识联系起来转化为数学建模的能力．这中间缺少了很重要的一个环节，就是没有进行真题实训．结果就是学生既没有运用这些知识构建数学模型的能力，也谈不上数学建模论文写作的技巧．虽然学校年年都组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，但结果却不尽如人意，获奖等次不高，获奖数量不多．1.3学校重视程度不够，相关配套措施还有待完善任何一项工作离开了学校的支持，都是不可能开展得好的，数学建模也不例外．在前些年，数学建模并没有引起足够的重视，学校盼望出成绩但是结果并不理想，对老师和学生的信心不足．由于经费紧张，并未专门对数学建模安排实验室，图书资料很少，学生用电脑和查资料不方便，没有学习氛围．每年数学建模竞赛主要由分管教学的副院长兼任组长，没有相应专职的负责人，培训教师去参加数学建模相关交流会议和学习的机会很少．学校和二级学院对参加数学建模教学、培训的老师奖励很少，学生则几乎没有．在课程的开设上也未引起重视，虽然理学院早在１９９７年就将数学实验和数学建模课列为专业必修课，但非数学专业只是近几年才开始列为公选课开设，且选修率低．2针对存在问题所采取的相应措施2.1扩大宣传，重视数学和计算机公选课开设，举办数学建模学习讨论班最近两年，学院组建了数学建模协会，负责数学建模的宣传和参赛队员的海选，通过各种方式扩大了对数学建模的宣传和影响，安排数学任课教师鼓励数学基础不错的学生参赛．同时邀请重点大学具有丰富培训经验的老师来做数学建模专题讲座，交流经验．学院重视数学专业的基础课程、核心课程的教学，选派经验丰富的老教师、青年骨干教师担任主讲，随时抽查教学质量，教学效果．严抓考风学风，对考试作弊学生绝不姑息；学生上课迟到、早退、旷课一律严肃处理．通过这些举措，学生学习态度明显好转，数学能力慢慢得到提高．学校有意识在大一新生中开设数学实验、数学建模和相关计算机公选课，让对数学有兴趣的学生能多接触这方面的知识，减少距离感．选用的教材内容浅显而有趣味，主要目的是让同学们感受到数学建模并非高不可攀，数学是有用的，增加学生学习数学的热情和参加数学建模竞赛的可能性．为了解决学生学习数学建模过程中的遇到的困难，学院组织老师、学生参加数学建模周末讨论班，老师就学生学习过程中遇到的普遍问题进行讲解，学生分小组相互讨论，尽量不让问题堆积，影响后续学习积极性．通过这些措施，参赛学生的人数比以往有了大的改观，参赛过程中退赛的学生越来越少，参赛过程中的主动性也越来越明显．2.2成立数学建模指导教师组，分批培养培训教师，改进培训方法近年来，学院开始重视对数学建模培训教师的梯队建设，成立了数学建模指导教师组．把培训教师分批送出去进修，参加交流会议，学习其它高校的经验，并安排老教师带新教师，培训教师队伍越来越稳定、壮大．从去年开始，理学院组织学生进行了为期一个月的暑期数学建模真题实训，从８月初到８月底，培训共分为７轮．学生首先进行三天封闭式真题训练———其次答辩———最后交流讨论．效果明显，学生的数学建模能力普遍得到了提高，学习积极性普遍高涨．９月份顺利参加了全国大学生数学建模竞赛．从竞赛结果来看，比以前有了比较大的进步，不管是获奖的等次还是获奖的人数上都取得了历史性突破．有了这些可喜的变化，教师和学生的积极性都得到了提高，对以后的数学建模教学和培训工作将起着极大的促进作用．除了这种集训，今后，数学建模还需要加强平时的教学和培训工作．2.3学校逐渐重视，加大了相关投入，完善了激励措施最近几年，学校加大了对数学建模教学和培训工作的相关投入和鼓励措施．安排了专门的数学建模实验室，配备了学院最先进的电脑、打印机等设备，购买了数学建模相关的书籍．划拨了数学建模教学和培训专项经费．虽然数学建模教学还没有计入教学工作量，但已经考虑计入职称评定的相关工作量中，对参加数学建模教学和培训的老师减少了基本的教学工作量，使他们有更多的时间和精力投入到数学建模的相关工作中去．对参加全国大学生数学建模竞赛获奖的老师和学生的奖励额度也比以前有了很大的提高，老师和学生的积极性得到了极大的提高．3结束语对我们这类院校而言，最重要的数学建模赛事就是一年一度的全国大学生数学建模竞赛了．竞赛结果大体可以衡量老师和学生的付出与收获，但不是绝对的，教育部组织这项赛事的初衷主要是为了促进各个院校数学建模教学的有效开展．如果过分的看重获奖等次和数量，对学校的数学建模教学和组织工作都是一种伤害．参赛的过程对学生而言，肯定是有益的，绝大多数参加过数学建模竞赛的学生都认为这个过程很重要．这个过程可能是四年的大学学习过程中体会最深的，它用枯燥的理论知识解决了活生生的现实中存在的问题，虽然这种解决还有部分的理想化．由于我校地处偏远山区，教育经费相对紧张，投入不可能跟重点院校的水平比，只能按照自身实际来．只要学校、老师、学生三方都重视并积极参与这一赛事，数学建模活动就能开展的更好．数学建模论文模板篇二培养应用型人才是我国高等教育从精英教育向大众教育发展的必然产物，也是知识经济飞速发展和市场对人才多元化需求的必然要求。
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其中：初始切向速度 并非当地的环绕速度，而是在Kepler轨道运动的飞行器从位于较高停泊轨道的远月点运动到近月点的速度，这一速度大于当地环绕速度， 就是这两个速度的差；由于初始时刻飞行器在近月点，所以初始径向速度 初始轨道半径 为Kepler轨道近月点， 为月球半径, h为轨道高度。
对每一个个体中的每一个参数,，按照指定概率 进行变异操作；
若满足收敛条件则输出最优解并退出，否则继续进行编码、评价、选择、交叉和变异等操作。
5.2.4仿真结果
初始时刻的飞行器质量2.4t，发动机比冲 ，而可供选择的发动机推力限制在 之间。飞行器轨道高度为近月点15 且远月点100 处，初始时刻，也就是在近月点处，切向速度为 ，法向速度 。末端时刻，飞行器降落在月面， ，速度 。
采用遗传算法的参数为：优化参量的数目 ，种群规模 ；选择策略为采用最优保留策略的轮盘赌法,每个优化参数交叉概率 ，变异概率 ，迭代代数 。
计算结果为，飞行器飞行时间为218. 44 ；最优推力为2989 ，这大约是飞行器在月面附近初始重量的3. 75倍；推力的方向角变化曲线如图2所示，由该图及式( 1)中B的定义可以看出，推力径向分量在初始阶段大约1/ 4的时间保持在使飞行器下降的方向上，以后逐渐变为指向飞行器上升方向以克服由于月球引力引起的径向速度。图3为月心距、
5.2.1系统模型
由于月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。而且从15 km左右的轨道高度软着陆到非常接近月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计。使用较为简单的二体模型就可以很好地描述这一问题。如图1所示，在惯性坐标系中，以月心为原点的极坐标形式受控飞行器动力学方程为：
式中： 是月球引力常数； 、 、 和 是飞行器月心距、极角、法向速度和横向速度； 是推力加速度； 是推力方向角(操纵角)，即推力方向与当地水平线的夹角。其中，推力加速度 ，T是发动机推力，其幅值恒定，且有 ； 和 分别是可供选择的推力幅值允许的上下限； 是飞行器在初始时刻的质量； 是燃料消耗率。
图1极坐标形式二体问题示意图
推得近月点的速度： ②
其中月球的平均半径 ，远月点的高度 ，近月点的高度 ，引力常数 ，月球质量 。
结合①②，且将代入数据之后可求得： ， 。
II、椭圆轨道的长轴（ ）与焦距（ ）的求法
行星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和，故当行星分别经过近月点和远月点时的机械能为：
，
，
由于行星在运动过程中只受到万有引力作用，所以遵循机械能守恒定律，故有：
极角、径向速度和横向速度的变化曲线。其中：月心距一直在减小；飞行器的横向速度也一直在减小；而径向速度沿指向月心方向，先增大后减小，其极值的大小超过了 ；软着陆飞行极角 。最终燃料消耗为飞行器总质量的 。
图2推力方向角变化曲线
图3飞行器轨道参数变化曲线
上述仿真结果有以下结论：
如果只考虑燃料最优的情况，在保障安全着陆的前提下，可以选择推力较大的发动机完成软着陆任务。
则动力学方程可改写成以下形式: ③
飞行器的初始条件和终端约束条件可改写：④Βιβλιοθήκη 推力幅值的约束改写为： ，⑤
性能指标改写为 ⑥
而在本题中
5.2.3数值算法模型
对此问题,采用参数化方法进行求解。作如下假设，推力方向角 可以表示成一个多项式的形式，即
⑦
上节中所描述的问题可由一个有约束的优化问题描述，所需优化的参量包括式③描述的飞行器4个状态变量在初始时刻和末端时刻的值、1个飞行时间变量、1个推力幅值变量和式⑥中用于描述飞行器推力方向角的4个参量 ，共计14个参量。这些参量应该满足以下8个约束条件，式描述的飞行器在初始时刻和末端时刻的6个等式约束和式⑤描述的飞行器推力幅值的2个不等式约束。优化目标为式⑥所描述的飞行器燃料消耗达到极小值。
。
由于近月点和远月点距月球的距离分别为 ， ，在近月点和远月点分别取极短的时间 ，则月球探测器与月球连线在这两段时间内扫过的面积分别为 ， 。
根据开普勒第二定律，
，
代入得： 。
联立得 ， ，
将公式变形得：
， ，
利用所求得的 ， 可以求得：
， 。
5.1.2第二次制动后的类平抛模型
5.2问题（2）——遗传算法模型的建立
对上述问题利用浮点数编码的遗传算法进行求解，步骤如下：
将n个取值范围给定的优化参量按一定的浮点数编码原则排列在一起成为一个个体，随机产生N个这样的个体作为初始种群；
计算每一个个体的性能指标,并对这N个个体进行排序；
选择出若干个性能指标取值较小的个体保留，并将其遗传到下一代；
将个体随机两两配对,按照指定的概率 进行交叉操作；
终端约束条件为：
其物理意义是飞行器降落到月球表面，速度为0。对于推力幅值恒定飞行器，性能指标可以表达为燃料消耗达到极小，即：
式中： 为发动机比冲；g为重力加速度； 为飞行器软着陆完成时刻。
5.2.2归一化模型
在轨道优化过程中，归一化处理是一种较为普遍采用的方法。由于状态变量的量级相差较大，在轨道积分的过程中会导致有效位数的损失。归一化处理可以克服这一缺点，提高计算精度。另外,由于对轨道的优化也要求优化变量尽可能地保持在相同的量级, 故作以下处理, 令:
5.1问题（1）——物理模型的建立
此处需要分成两个阶段，第一阶段为第一次制动后的沿椭圆轨道进行圆周运动，第二阶段为第二次制动后从近月点（离月面15 处）做类平抛运动。
5.1.1第一次制动后的椭圆模型
I、近月点与远月点的速度求法：
根据在万有引力下圆周运动公式：
推得远月点的速度： ①
同理也可求解近月点的速度，同样通过此公式：
在推力很大的情况下，飞行器会出现轨道高度持续快速下降的过程。飞行器在指向月心的径向方向上作用时间较长，总体飞行时间较短，轨道高度变化会很剧烈，飞行的月心极角较小，径向速度的最大值也会很大，径向和横向速度的变化就越剧烈。
5.2.5结束语
五、模型建立与求解
本题需要共需要建立三个模型，且分别对应解决问题（1）、（2）、（3），首先问题（1）需要我们根据必要的物理知识建立一个圆周运动和类平抛运动模型，来算出近月点和远月点的速度大小以及它们的位置坐标；问题（2）通过建立遗传算法模型，来决定最终的优化控制轨道，从而使推力、推力方向角、水平距离、竖直距离等因素吻合轨道模型，且使燃料最少；问题（3）只需要改变些许本身影响问题结果，但是却没有分析进去的因素，然后与模型（2）进行对比，进行误差分析和敏感性分析。