2023年江苏省盐城市中考数学专题练——8图形的变化

2023年江苏省盐城市中考数学专题练——8图形的变化一．选择题（共10小题）1．（2022•射阳县一模）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其左视图是（）A．B．C．D．2．（2022•亭湖区校级一模）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．3．（2022•亭湖区校级三模）围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．4．（2022•建湖县一模）由4个大小相同的小正方体搭成的如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．（2022•盐城一模）图1和图2分别是用5个相同的正方体搭成的立体图形，则两个图的三视图中相同的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图6．（2022•亭湖区校级三模）一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（）A．4个B．5个C．6个D．7个7．（2022•滨海县一模）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．2B．3C．2√2D．3√2 8．（2022•亭湖区校级三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A'B'C'．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA的度数是（）A．90°B．80°C．50°D．30°9．（2022•亭湖区校级三模）如果△ABO与△DCO的相似比为1：2，则面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1 10．（2022•亭湖区校级一模）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD，②BC边上的角平分线AE，③BC边上的高AF，根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．（2022•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB 的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是：．12．（2022•滨海县一模）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝2，则S△ABC＝．13．（2022•建湖县二模）如图，有一张面积为30的△ABC纸片，AB＝AC，把它剪三刀拼成一个矩形（无缝隙、无重叠），且矩形的一边与AB平行，剪得矩形的周长为22，则sin ∠A的值为．14．（2022•盐城二模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点P 为矩形ABCD 内一点，满足∠APB ＝90°，连接C 、P 两点，并延长CP 交直线AB 于点E ．若点P 是线段CE 的中点，则BE ＝ ．15．（2022•盐城一模）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 边BC 和CD 上的点，把△CEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，再把△BEG 沿直线BG 折叠，点E 的对应点H 恰好落在对角线BD 上，若此时F 、G 、H 三点在同一条直线上，且线段HF 与HD 也恰好关于某条直线对称，则BD EF 的值为 ．16．（2022•盐城一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm ，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 km ．17．（2022•盐城一模）点P （﹣1，2022）关于x 轴对称的点的坐标为 ．18．（2022•滨海县一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A 'B 'C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为 ．三．解答题（共9小题）19．（2022•亭湖区校级三模）如图，在正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，过A 、B 、E 三点的⊙O 与BC 相交于点F ，连接DE 、AF ．（1）求证：△ACF ∽△DCE ；（2）当AE ＝AD 时，求证：直线DE 是⊙O 的切线．20．（2022•亭湖区校级一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB 和脚托CD 可分别绕点B ，C 旋转调整角度．“n °某某”模式时，表示∠ABC ＝n °，如“140°看电视”模式时∠ABC ＝140°．已知沙发靠背AB 长为50cm ，坐深BC 长为54cm ，BC 与地面水平线平行，脚托CD 长为40cm ，∠DCD '＝∠ABC ﹣80°，初始状态时CD ⊥BC ．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD '的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D 运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A ，D ′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：√3≈ 1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）21．（2022•盐城一模）如图，已知矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，将△BDE 沿BE 折叠得到△BFE ，连接DF ．（1）初步探究如图1，当ADAB =1，BF 落在直线BA 上时．①求证：∠EBA ＝∠FDA ；②填空：AFAE = ；（2）深入思考如图2，当AD AB =n （n ≠1），BF 与边AD 相交时，在BE 上取一点G ，使∠BAG ＝∠DAF ，AG 与BF 交于点H ．求AF AG 的值（用含n 的式子表示），并说明理由；（3）拓展延伸 在（2）的条件下，当n =√2，E 是AD 的中点时，若FD •FH ＝12，求AG 的长．22．（2022•射阳县一模）如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，∠MPN 的度数是 ；（2）探究证明若△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点DE 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图2，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸若△ABC 中∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝13，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ＝5，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图3．①△PMN 是 三角形．②若△PMN 面积为S ，直接利用①中的结论，求S 的取值范围．23．（2022•射阳县一模）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB ﹣CE ﹣EF 和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8cm ，已知BC ＝58cm ，CD＝30cm，DE＝12cm，EF＝68cm，cos∠ACD=45，当A，E，F在同一水平高度上时，∠CEF＝135°．（1）求AC的长；（2）为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至AB∥EF，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长a＝100cm的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据：√2≈1.4）．24．（2022•盐城一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）（2）若△ABC中AB＝10，BC＝15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．25．（2022•盐城一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．（1）如图1，入射光线AB经过平面镜OM与ON反射后的反射光线是CD，若CD∥AB，则∠MON的度数为．（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄BP上的点C处安装一平面镜，BP与屏幕MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜C反射后，在MN上形成一个光点E．已知当AB⊥BP，MN⊥BP时，AB＝25，BC＝16，DE＝50．①求BD的长．②将手柄BP在原有位置绕点B按逆时针方向旋转一定角度α得到BP′（如图3），点C的对应点为C′，BP′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜C′反射后，在MN上的光点为E′．若tanα=724，则D′E′的长为多少？26．（2022•亭湖区校级三模）如图①，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的一段AC＝30cm．另一段BC＝20cm．已知两个固定扣之间的距离AB＝30cm．（1）求点C到AB的距离；（2）如图②，将该门挂扶“正”（即AC＝BC），求∠CAB的度数．（参考数据：sin49°≈0.75，cos41°≈0.75，tan37°≈0.75，cos53°≈0.6，tan53°≈4 3）27．（2021•亭湖区校级模拟）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．特例探究：（1）填空：如图3，当α＝30°时，CQCM=，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；如图4，当α＝45°时，CQCM=，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；一般结论：（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；问题解决（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．2023年江苏省盐城市中考数学专题练——8图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022•射阳县一模）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B．2．（2022•亭湖区校级一模）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：这个组合体的左视图如下：故选：B．3．（2022•亭湖区校级三模）围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．4．（2022•建湖县一模）由4个大小相同的小正方体搭成的如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．5．（2022•盐城一模）图1和图2分别是用5个相同的正方体搭成的立体图形，则两个图的三视图中相同的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图【解答】解：图1的主视图为底层是三个小正方形，上层的左侧是一个小正方形；图2的主视图为底层是三个小正方形，上层的由侧是一个小正方形，故主视图不相同；图1和图2的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；图1和图2的俯视图相同，均为底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形；故选：D．6．（2022•亭湖区校级三模）一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（）A．4个B．5个C．6个D．7个【解答】解：如图所示，由俯视图易得：最底层小立方块的个数为4，由其他视图可知第二层有1个小立方块，那么共有4+1＝5个小立方块．故选：B．7．（2022•滨海县一模）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．2B．3C．2√2D．3√2【解答】解：由旋转性质可知，AO＝A'O＝2，∠AOA'＝90°，∴△AOA'为等腰直角三角形，∴AA'=√AO2+A′O2=√22+22=2√2．故选：C．8．（2022•亭湖区校级三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A'B'C'．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA的度数是（）A．90°B．80°C．50°D．30°【解答】解：由题意可得△ABC≌△A'B'C，∴∠B ＝∠B '＝110°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B＝180°﹣40°﹣110°＝30°，故选：D ．9．（2022•亭湖区校级三模）如果△ABO 与△DCO 的相似比为1：2，则面积之比为（ ）A ．1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：1【解答】解：∵△ABO 与△DCO 的相似比为1：2，∴S △ABOS △DCO =（12）2=14． 故选：B ．10．（2022•亭湖区校级一模）如图为一张锐角三角形纸片ABC ，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ，②BC 边上的角平分线AE ，③BC 边上的高AF ，根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：①BC 边上的中线AD ：如图1，使点B 、C 重合，中点为点D ，连接AD ，此时AD 即为BC 边上的中线；②BC 边上的角平分线AE ：如图2，沿直线AE 折叠，使AB 与AC 重叠，此时AE 即为BC 边上的角平分线；③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2022•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB 的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是：a＝2√5．【解答】解：若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则PD+PE取得最小值，作点E关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，则PD+PE＝PD+PE'＝DE'，∵A（3，3），B（6，0），∴OA＝AB=√32+32=2√3(2√3)2+(2√3)2=62，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠ABO ＝45°，∵点D 、E 是OB 的三等分点，∴OD ＝DE ＝EB ＝2，根据轴对称的性质可得，∠ABE ＝∠ABE '＝45°，EB ＝E 'B ＝2，∴∠EBE '＝90°，∴PD +PE =PD +PE ′=DE ′=√42+22=2√5，即a =2√5时，只存在唯一一个点P 使得PD +PE ＝a ，当P 在A 点时，PD +PE ＝2√10，P 在B 点时PD +PE ＝6，∴PD +PE 的最大值为2√10，最小值为2√5，∴a =2√5或2√10，12．（2022•滨海县一模）如图，DE 是△ABC 的中位线，F 为DE 中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，若S △EFG ＝2，则S △ABC ＝ 48 ．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，∴D 、E 分别为AB 、BC 的中点，过D 作DM ∥BC 交AG 于点M ，如图：∵DM ∥BC ，∴∠DMF ＝∠EGF ，∵点F 为DE 的中点，∴DF ＝EF ，在△DMF 和△EGF 中，{∠DMF =∠EGF ∠DFM =∠GFE DF =EF ，∴△DMF ≌△EGF （AAS ），∴S △DMF ＝S △EGF ＝2，GF ＝FM ，DM ＝GE ，∵点D 为AB 的中点，且DM ∥BC ，∴AM ＝MG ，∴FM =12AM ，∴S △ADM ＝2S △DMF ＝4，∵DM 为△ABG 的中位线，∴DM BG =12， ∴S △ABG ＝4S △ADM ＝4×4＝16，∴S 梯形DMGB ＝S △ABG ﹣S △ADM ＝16﹣4＝12，∴S △BDE ＝S 梯形DMGB ＝12，∵DE 是△ABC 的中位线，∴S △ABC ＝4S △BDE ＝4×12＝48，故答案为：48．13．（2022•建湖县二模）如图，有一张面积为30的△ABC 纸片，AB ＝AC ，把它剪三刀拼成一个矩形（无缝隙、无重叠），且矩形的一边与AB 平行，剪得矩形的周长为22，则sin ∠A 的值为 512或35 ．【解答】解：由题意知，CM ＝EG ，EF =12AB ，设AB ＝a ，CM ＝b ，∴12ab =30，a +2b ＝22， 解得a ＝12，b ＝5或a ＝10，b ＝6，当AB ＝AC ＝12，CM ＝5时，sin A =CM AC =512， 当AB ＝AC ＝10，CM ＝6时， sin A =CM AC =610=35， 故答案为：512或35． 14．（2022•盐城二模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点P 为矩形ABCD 内一点，满足∠APB ＝90°，连接C 、P 两点，并延长CP 交直线AB 于点E ．若点P 是线段CE 的中点，则BE ＝ 8﹣2√7 ．【解答】解：根据题意作出图形如下，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠CBE ＝90°，∵点P 是CE 的中点，∴PB ＝PC ＝PE ，∴∠BCE ＝∠PBC ，∴∠CPB +∠ABP ＝∠ABP +∠BAP ＝90°，∴∠BAP ＝∠PBC ＝∠ECB ，∵∠APB ＝∠CBE ＝90°，∴△APB ∽△CBE ，∴BP BE =AB CE ，设BE ＝x ，PB ＝PE ＝PC ＝y ，∴y x =√x 2+62，即y 2x 2=64x 2+36，∴y 2=64x 2x 2+36， ∵CE 2＝BE 2+BC 2，即4y 2＝x 2+36，∴256x 2x 2+36=x 2+36，∴（x 2+36）2＝256x 2，∴x 2+36＝16x ，解得x ＝8+2√7＞8（舍）或x ＝8﹣2√7．故答案为：8﹣2√7．15．（2022•盐城一模）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 边BC 和CD 上的点，把△CEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，再把△BEG 沿直线BG 折叠，点E 的对应点H 恰好落在对角线BD 上，若此时F 、G 、H 三点在同一条直线上，且线段HF 与HD 也恰好关于某条直线对称，则BD EF 的值为 2+√3 ．【解答】解：∵线段HF 与HD 关于某条直线对称，∴HF ＝HD ，∴∠HDF ＝∠HFD ，∵∠BHG ＝∠HDF +∠HFD ，∴∠BHG ＝2∠HFD ，由折叠可得：CF ＝FG ，CE ＝EG ＝HG ，∠CFE ＝∠GFE ，∠BHG ＝∠BEG ，∠CEF ＝∠GEF ， ∴∠BEG ＝2∠HFD ，∵∠BEG +∠CEG ＝180°，∴2∠HFD +2∠CEF ＝180°，∴∠HFD +∠CEF ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，∴∠CEF +∠CFE ＝90°，∴∠CFE ＝∠HFD ，∴∠CFE ＝∠HFD ＝∠GFE =13×180°＝60°，∴△HDF 是等边三角形，∴∠HDF ＝60°，HF ＝DF ，∵∠HDF ＝∠CFE ＝60°，∠C ＝∠C ，∴△CFE ∽△CDB ，∴BD EF =CD CF ，设CF ＝GF ＝a ，∵∠C ＝90°，∠CFE ＝60°，∴CE =√3CF =√3a ，∴CE ＝HG =√3a ，∴DF ＝HF ＝HG +FG =√3a +a ，∴CD ＝CF +DF ＝2a +√3a ，∴BD EF =CD CF =2a+√3a a =2+√3，故答案为：2+√3．16．（2022•盐城一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm ，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 31 km ．【解答】解：大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为31÷1100000=3100000（cm ）＝31（km ），故答案为：31．17．（2022•盐城一模）点P （﹣1，2022）关于x 轴对称的点的坐标为 （﹣1，﹣2022） ．【解答】解：点P （﹣1，2022）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2022），故答案为：（﹣1，﹣2022）．18．（2022•滨海县一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A 'B 'C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为 （1，﹣1） ．【解答】解：如图，点P 即为所求，P （1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．三．解答题（共9小题）19．（2022•亭湖区校级三模）如图，在正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，过A 、B 、E 三点的⊙O 与BC 相交于点F ，连接DE 、AF ．（1）求证：△ACF ∽△DCE ；（2）当AE ＝AD 时，求证：直线DE 是⊙O 的切线．【解答】（1）证明：如图所示，连接BE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝DCE ＝45°，在△BCE 和△DCE 中，{BC =DC ∠BCE =∠DCE CE =CE，∴△BCE ≌△DCE （SAS ），∴∠EBC ＝∠EDC ，∵EF̂=EF ̂， ∴∠F AC ＝∠EBC ，∴∠F AC＝∠EDC，又∴∠ACF＝∠DCE＝45°，∴△ACF∽△DCE；（2）证明：如图所示，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，由（1）知，∠F AC＝∠ECD，即∠OAE＝∠EDC，∴∠OEA＝∠EDC，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°，即∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠AED+∠OEA＝90°，∴∠OED＝90°，∴OE⊥ED，∴直线DE是⊙O的切线．20．（2022•亭湖区校级一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：√3≈ 1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）【解答】解：（1）∵“125°阅读”模式下∠ABC ＝125°，∴∠DCD '＝∠ABC ﹣80°＝125°﹣80°＝45°；（2）∵∠DCD ′＝45°，CD ＝40cm ，∴点D 运动的路径长为：45π×40180=10π（cm 2）；（3）如图，过点作AN ⊥BC ，交CB 的延长线于点N ，过点D ′M ⊥CD 于点M ，∵“150°听音乐”模式时∠ABC ＝150°，∴∠DCD '＝∠ABC ﹣80°＝150°﹣80°＝70°，∠ABN ＝30°，在Rt △ABN 中，BN ＝AB •cos30°＝50×√32=25√3≈43，在Rt △CMD ′中，MD ′＝CD ′•sin70°≈40×0.9＝36，∴点A ，D ′之间的水平距离为：BN +BC +MD ′＝43+54+36＝133（cm ）．21．（2022•盐城一模）如图，已知矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，将△BDE 沿BE 折叠得到△BFE ，连接DF ．（1）初步探究如图1，当AD AB =1，BF 落在直线BA 上时．①求证：∠EBA ＝∠FDA ；②填空：AF AE = 1 ；（2）深入思考如图2，当AD AB =n （n ≠1），BF 与边AD 相交时，在BE 上取一点G ，使∠BAG ＝∠DAF ，AG 与BF 交于点H ．求AF AG 的值（用含n 的式子表示），并说明理由；（3）拓展延伸 在（2）的条件下，当n =√2，E 是AD 的中点时，若FD •FH ＝12，求AG 的长．【解答】（1）①证明：如图1，∵AD AB =1，∴AD ＝AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，DA ⊥AB∴∠DAB ＝90°，由折叠可知∠FBE ＝∠DBE ，BF ＝BD ，∠BFE ＝∠BDE ＝45°，∵折叠时BF 落在直线BA 上，∴∠F AE ＝∠DAB ＝90°，∴∠AEF ＝45°＝∠BFE ，∴AE ＝AF ，在△EAB 和△F AD 中，{AB =AD ∠EAB =∠FAD AE =AF，∴△EAB ≌△F AD （SAS ），∴∠EBA ＝∠FDA ；②解：由①知：AE ＝AF ，∴AF AE =1，故答案为：1；（2）解：AF AG =n ，理由如下：如图2，延长BE 交DF 于点T ，由折叠可知BE 垂直平分DF ，∴DT ＝FT ，BT ⊥DF ，∴∠FDA +∠DET ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴DA ⊥AB ，∴∠ABE +∠AEB ＝90°，∵∠AEB ＝∠DET ，∴∠FDA ＝∠ABE ，又∵∠DAF ＝∠BAG ，AD AB =n （n ≠1）， ∴△DAF ∽△BAG ，∴AF AG =AD AB =n ；（3）解：如图3，延长BE 交DF 于点T ，连接FG ，∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE ，由折叠可知EF ＝DE ，BF ＝BD ，∴EF ＝DE ＝AE ，∴∠EDF ＝∠DFE ，∠EAF ＝∠EF A ，又∵∠EDF +∠DFE +∠EAF +∠EF A ＝180°，∴2（∠DFE +∠EF A ）＝180°，∴∠DFE +∠EF A ＝90°，即∠DF A ＝90°，由（2）知△DAF ∽△BAG ，∴∠AFD ＝∠AGB ＝90°，FD GB =AF AG =AD AB =n =√2，∴AG ⊥BE ，GB =√22FD ，AF =√2AG =√2xAD =√2AB ，∵BT ⊥FD ，∴∠DTE ＝∠AGE ＝90°，在△DTE 和△AGE 中，{∠DTE =∠AGE ∠DET =∠AEG DE =AE，∴△DTE ≌△AGE （AAS ），∴DT ＝AG ，设AG ＝x （x ＞0），则DT ＝x ，由折叠得：BE 垂直平分FD ，∴FT ＝DT ＝x ，FD ＝2DT ＝2x ，∴GB =√22FD =√22×2x =√2x ，∴AF ＝GB =√2x ，在Rt △AGB 中，AB =√AG 2+BG 2=√x 2+(√2x)2=√3x ，∵AD =√2AB ，∴AD =√2×√3x =√6x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，∴BF ＝BD =√AB 2+AD 2=√(√3x)2+(√6x)2=3x ，∵∠BAG ＝∠DAF ，∴∠BAG +∠DAG ＝∠DAF +∠DAG ，即∠BAD ＝∠GAF ＝90°，又∵∠AGB ＝90°，∴∠AGB ＝∠GAF ＝90°，∴AF ∥GB ，又∵AF ＝GB =√2x ，∴四边形ABGF 是平行四边形，∴FH ＝BH =12BF =12×3x =32x ，又∵FD •FH ＝12，∴2x •32x ＝12， 即x 2＝4，∵x ＞0，∴x ＝2，即AG ＝2．22．（2022•射阳县一模）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，∠MPN的度数是120°；（2）探究证明若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点DE分别在边AB，AC上，AD＝AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸若△ABC中∠BAC＝120°，AB＝AC＝13，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE＝5，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．①△PMN是等边三角形．②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值范围．【解答】解：（1）PM＝PN，∠MPN＝120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM=12EC，PN=12BD，PM∥AC，PN∥AB，∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠PNC＝∠B＝60°，∵∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠DCB+∠PNC＝120°，故答案为：PM＝PN；120°；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：连接BD，CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∵PN是△BCD的中位线，∴PN=12BD，PN∥BD，同理PM∥CE，PM=12CE，∴PM＝PN，∵∠DPN＝∠PNC+∠BCD＝∠DBC+∠DCB，∠MPD＝∠DCE，∴∠MPN ＝∠ABD +∠ACB ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形；（3）①连接BD ，CE ，由（2）同理可得，△PNN 是等边三角形，故答案为：等边三角形；②∵PN =12BD ，∴当BD 最大时，S 最大；当BD 最小时，S 最小，∵AB ＝13，AD ＝5，∴BD 最大为18，最小为8，∴PN 最大值为9，最小值为4，∴S 最大值为√34×92=81√34，S 的最小值为√34×42=4√3， ∴4√3≤S ≤81√34． 23．（2022•射阳县一模）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB ﹣CE ﹣EF 和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8cm ，已知BC ＝58cm ，CD ＝30cm ，DE ＝12cm ，EF ＝68cm ，cos ∠ACD =45，当A ，E ，F 在同一水平高度上时，∠CEF ＝135°．（1）求AC 的长；（2）为方便存放，将车架前部分绕着点D 旋转至AB ∥EF ，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长a ＝100cm 的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据：√2≈1.4）．【解答】解：（1）过点A 作AH ⊥CE ，垂足为H ，连接AE ，则A 、E 、F 在同一条直线上，∴∠AHE＝∠AHC＝90°，∵∠CEF＝135°，∴∠AED＝180°﹣∠CEF＝45°，∴∠HAE＝90°﹣∠AEH＝45°，∴AH＝HE，设AH＝HE＝xcm，∵CD＝30cm，DE＝12cm∴CE＝CD+DE＝42（cm），∴CH＝CE﹣EH＝（42﹣x）cm，在Rt△ACH中，cos∠ACD=CHAC=45，∴设CH＝4a，AC＝5a，∴AH=√AC2−CH2=√(5a)2−(4a)2=3a，∴tan∠ACH=AHCH=x42−x=3a4a=34，∴x＝18，经检验：x＝18是原方程的根，∴AH＝18，∴3a＝18，∴a＝6，∴AC＝5a＝30（cm），∴AC的长为30cm；（2）该滑板车折叠后能放进长a＝100cm的收纳箱，理由：过点D作DM⊥AB，垂足为M，延长MD交FE的延长线于点N，∵∠DEF ＝135°，∴∠NED ＝180°﹣∠DEF ＝45°，∴∠NDE ＝90°﹣∠NED ＝45°，∴ND ＝NE ＝DE •cos45°＝12×√22=6√2（cm ），在Rt △DMC 中，CD ＝30cm ，cos ∠ACD =45，∴CM ＝CD •cos ∠ACD ＝30×45=24（cm ），∵AC ＝30cm ，∴AM ＝AC ﹣CM ＝30﹣24＝6（cm ），∴折叠后的总长＝8+AM +NE +EF +8＝8+6+6√2+68+8≈98.4（cm ）＜100cm ，∴该滑板车折叠后能放进长a ＝100cm 的收纳箱．24．（2022•盐城一模）（1）如图△ABC ，请在边BC 、CA 、AB 上分别确定点D 、E 、F ，使得四边形BDEF 为菱形，请作出菱形BDEF ．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）（2）若△ABC 中AB ＝10，BC ＝15，求（1）中所作菱形BDEF 的边长．【解答】解：（1）如图菱形BDEF 即为所求；（2）∵四边形BFED 是菱形，∴DE ∥AB ，BF ＝EF ＝DE ＝BD ，∴△BAC ∽△DEC ，∴CD BC =DE AB ， ∴15−DE 15=DE 10，∴DE ＝6，∴菱形BDEF 的边长为6．25．（2022•盐城一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．（1）如图1，入射光线AB 经过平面镜OM 与ON 反射后的反射光线是CD ，若CD ∥AB ，则∠MON 的度数为 90° ．（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄BP 上的点C 处安装一平面镜，BP 与屏幕MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜C 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知当AB ⊥BP ，MN ⊥BP 时，AB ＝25，BC ＝16，DE ＝50．①求BD 的长．②将手柄BP 在原有位置绕点B 按逆时针方向旋转一定角度α得到BP ′（如图3），点C 的对应点为C ′，BP ′与MN 的交点为D ′，从A 点发出的光束经平面镜C ′反射后，在MN 上的光点为E ′．若tanα=724，则D ′E ′的长为多少？【解答】解：（1）90°（2）①如图，由题意可得，∠ACB ＝∠ECD ，∠B ＝∠EDC ＝90°，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD ，∵AB ＝25，BC ＝16，DE ＝50，∴2550=16CD ，∴CD ＝32，∴BD ＝16+32＝48．答：BD 的长为48．②如图，过点A作AF⊥BC′于点F，过点E′作E′G⊥BP′于点G 在Rt△BDD′中可求DD′＝14，BD′＝50在Rt△ABF中可求BF＝7，AF＝24，得FC′＝9可设D′G＝7k，GE′＝24k，则D′E′＝25k得GC′＝50﹣16+7k＝34+7k由△AFC′∽△E′GC′得AFE′G=FC′GC′即2424k =934+7k，解得k＝17∴D′E′＝25k＝425．26．（2022•亭湖区校级三模）如图①，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的一段AC＝30cm．另一段BC＝20cm．已知两个固定扣之间的距离AB＝30cm．（1）求点C到AB的距离；（2）如图②，将该门挂扶“正”（即AC＝BC），求∠CAB的度数．（参考数据：sin49°≈0.75，cos41°≈0.75，tan37°≈0.75，cos53°≈0.6，tan53°≈4 3）【解答】解：（1）过点C作CH⊥AB于点H，如图．设BH ＝x ，则AH ＝30﹣x ．∵CH ⊥AB ，AC ＝30，BC ＝20，∴CH 2＝AC 2﹣AH 2＝BC 2﹣BH 2，即302﹣（30﹣x ）2＝202﹣x 2，解得x =203， ∴CH =√BC 2−BH 2=√202−(203)2=403√2（cm ）．（2）由已知，得AC ＝BC ＝25．∵AC ＝BC ，CH ⊥AB ，∴AH =12AB =15，∴cos ∠BAC =AH AC =0.6，∴∠BAC ≈53°．27．（2021•亭湖区校级模拟）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝α，点P 在AB 边上，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，△APQ 绕点A 逆时针方向旋转，如图2，连接CQ ．O 为BC 边的中点，连接PO 并延长到点M ，使OM ＝OP ，连接CM ．探究在△APQ 的旋转过程中，线段CM ，CQ 之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．特例探究：（1）填空：如图3，当α＝30°时，CQ CM = √32 ，直线CQ 与CM 所夹锐角的度数为 30° ；如图4，当α＝45°时，CQ CM = √22 ，直线CQ 与CM 所夹锐角的度数为 45° ； 一般结论：（2）将△APQ 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，线段CQ ，CM 之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ 与CM 所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；问题解决（3）如图4，在Rt △ABC 中，若AB ＝4，α＝45°，AP ＝3，将△APQ 由初始位置绕点A 逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q 到直线AC 的距离为2时，请直接写出线段CM 的值．【解答】解：（1）如图3中，连接PB ，延长BP 交CQ 的延长线于J ，延长QC 到R ，设AC 交BJ 于点K ．∵∠P AQ ＝∠BAC ，∴∠CAQ ＝∠BAP ，∵AQ AP =AC AB =cos30°=√32， ∴△QAC ∽△P AB ，∴QC PB =AC AB =√32，∠ABP ＝∠ACQ ， ∵∠AKB ＝∠CKJ ，∴∠CJK ＝∠BAK ＝30°，∵OP ＝OM ，∠POB ＝∠MOC ，OB ＝OC ，∴△POB ≌△MOC （SAS ），∴PB ＝CM ，∠BPO ＝∠M ，∴QC CM =√32，BJ ∥CM ， ∴∠RCM ＝∠J ＝30°．如图4中，同法可证CQ CM =√22，直线CQ 与CM 所夹锐角的度数为45°． 故答案为：√32，30°，√22，45°．（2）如图2中，连接PB ，延长BP 交CQ 于J ，延长QC 到R ，设AC 交BJ 于点K ．∵∠P AQ ＝∠BAC ，∴∠CAQ ＝∠BAP ，∵AQ AP =AC AB =cos α，∴△QAC ∽△P AB ，∴QC PB =AC AB =cos α，∠ABP ＝∠ACQ ，∵∠AKB ＝∠CKJ ，∴∠CJK ＝∠BAK ＝α，∵OP ＝OM ，∠POB ＝∠MOC ，OB ＝OC ，∴△POB ≌△MOC （SAS ），∴PB ＝CM ，∠BPO ＝∠M ，∴QC CM =cos α，BJ ∥CM ，∴∠RCM ＝∠J ＝α．（3）如图3﹣1中，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，连接PB ．∵△AQP ，△ABC 都是等腰直角三角形，AP ＝3，AB ＝4， ∴AQ ＝QP =3√22，AC ＝BC ＝2√2，∵QD ＝2，∴AD =√AQ 2−QD 2=(3√22)2−22=√22， ∴CD ＝AC ﹣AD =3√22，∴CQ =√QD 2+CD 2=22+(3√22)2=√342，∵CQBP =√22， ∴PB =√2QC =√17，∴CM ＝BP =√17如图3﹣2中，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，连接PB ．同法可得AD =√22，CD =5√22，∴CQ =√CD 2+QD 2=(5√22)2+22=√662， ∴CM ＝PB =√2CQ =√33， 综上所述，满足条件的CM 的值为√17或√33．。