高二数学寒假作业 第7天 空间向量(一)理
高二数学寒假作业 专题10 空间向量及运算(背)(1)
专题10 空间向量及其运算【背一背】一、空间向量的有关概念：１.在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模（AB），向量也用有向线段表示（AB a ，）．２．零向量：长度为０的向量叫做零向量，记为0．３．单位向量：长度为１的向量称为单位向量．４.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．５．相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -． 二、空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a b +；CA →＝OA →－OC →＝a b -. 加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝b a +(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝+)a b c +（； 向量的数乘运算及运算律(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作a λ，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同，λ<0时，λa 与向量a 方向相反，a 的长度是a 的长度的λ倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：(+)ab a b λλλ＝＋ ；结合律：()()a a λμλμ＝共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a 、b(b≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a b λ=(3)方向向量：如图l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+ ，其中向量a 叫做直线l 的方向向量．共面向量(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y)，使p xa yb =+．对空间任意一点O ，点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使OP OA xAB y AC =++．六、空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 ,a b 〈〉范围[0,]π,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律(3)数量积的性质两个向 量数量 积的 性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔0a b ⋅=. ②若a 与b 同向，则a·b ＝a b⋅；若反向，则a·b ＝a b-⋅.特别地：a·a ＝|a|2或|a|＝a·a.③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ba b⋅⋅④|a·b|≤|a|·|b|.七，空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的直角坐标运算律设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则 (1)a ＋b ＝112233()a b a b a b ＋，＋，＋； (2)a －b ＝112233()a b a b a b ---，，；(3)λa ＝123()a a a λλλ，，(λ∈R)；数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b ＝()a b λ⋅ 交换律 a·b ＝b a ⋅ 分配律 a ·(b ＋c)＝a b a c ⋅+⋅(4)a·b ＝112233a b a b a b ＋＋；(5)a ∥b ⇔112233()a b a b a b λλλλ∈R ＝，＝，＝； (6)a ⊥b ⇔1122330a b a b a b =＋＋.2．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z 1)、B(x2，y2，z2)，则AB →＝212121()x x y y z z －，－，－_.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (2)模长公式：若a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a ＝222123a a a ++，|b|＝b·b ＝222123b b b ++.(3)夹角公式：cos 〈a ，b 〉＝112233222222123123a b a b a b a a a b b b ++++++ (a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3))．(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则AB＝2AB =_()()()222212121x x y y z z ++---.。
2018年高二数学寒假作业(人教A版选修2-1)空间向量及其运算word版含答案
2018年高二数学寒假作业（人教A 版选修2-1）空间向量及其运算1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直2．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →²BC →<AE →²CD → B.AE →²BC →＝AE →²CD → C.AE →²BC →>AE →²CD →D.AE →²BC →与AE →²CD →的大小不能比较3． O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．－1 B.43 C.53 D.755． 在空间四边形ABCD 中，则AB →²CD →＋AC →²DB →＋AD →²BC →的值为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216 a B.66a C.156 a D.153a7．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________．8．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a²c＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．9．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →²QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．10．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心．(1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D.12．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→。
高二数学空间向量及其运算
高二数学空间向量及其运算嗨，大家好！今天咱们来聊聊高二数学里的一个神奇领域——空间向量。
别急，虽然这听起来有点儿高深，但咱们一步一步来，保证让你轻松搞懂。
相信我，空间向量就像是一位神秘的导游，带你领略数学的奇妙世界。
行啦，咱们不废话了，直接进入正题！1. 什么是空间向量？1.1 空间向量的基本概念首先，咱们得搞清楚，什么是空间向量。
简单来说，空间向量就是一种用来描述空间中位置关系的工具。
就好像你用箭头标记地图上的位置，空间向量就是数学中用来标记空间位置的“箭头”。
它有方向和长度，还能在空间中“移动”，不受限制。
1.2 空间向量的表示方法说到这里，大家可能会问：“那空间向量是怎么表示的呢？”其实很简单，咱们通常用一个字母加上箭头的方式，比如说 (vec{A}) 或者 (vec{B})。
如果你还记得初中学过的平面向量，那么空间向量也是类似的，只不过它多了一个“Z轴”，变成了三维空间的“箭头”。
2. 空间向量的基本运算2.1 向量的加法和减法现在我们来看看空间向量的基本运算——加法和减法。
其实，向量的加法就像是把两个箭头放在一起，然后画一个从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的新箭头。
减法就类似，咱们把第二个箭头翻转过来，然后加到第一个箭头上，得到的结果就是从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的箭头。
是不是很形象呢？2.2 向量的数量积接下来是向量的数量积，这个就有点儿高级了。
数量积，也叫点积，简单来说就是两个向量“互相投影”后得到的结果。
公式是 (vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| |vec{B}| cos theta)，其中 (theta) 是它们之间的夹角。
这个公式的意思就是，如果两个向量的夹角很小，它们的点积就会很大，夹角很大的话，点积就会很小。
3. 空间向量的应用3.1 向量在实际问题中的应用说了这么多，空间向量究竟有什么用呢？其实，空间向量在很多实际问题中都能派上用场。
高二数学空间向量练习题讲解
高二数学空间向量练习题讲解在高二数学学习中，空间向量是一个重要的概念。
掌握了空间向量的相关知识和技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与三维空间相关的问题。
本文将通过对几道典型的高二数学空间向量练习题的讲解，帮助大家更好地掌握空间向量的应用。
1. 题目：已知向量a = (2, -1, 3)和向量b = (4, 2, -1)，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量的数量积是指两个向量的对应分量的乘积之和。
假设向量a = (a1, a2, a3)和向量b = (b1, b2, b3)，则它们的数量积可以表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
根据给定的题目信息，我们可以计算得到向量a与向量b的数量积：a·b = (2 * 4) + (-1 * 2) + (3 * -1) = 8 - 2 - 3 = 3因此，向量a与向量b的数量积为3。
2. 题目：已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的向量积。
解析：向量的向量积又称为叉乘，其结果是一个新的向量，新向量与原来的两个向量都垂直，并符合右手定则。
向量a与向量b的叉乘可以表示为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
根据给定的题目信息，我们可以计算得到向量a与向量b的向量积：a ×b = (2 * 6 - 3 * 5, 3 * 4 - 1 * 6, 1 * 5 - 2 * 4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)因此，向量a与向量b的向量积为(-3, 6, -3)。
3. 题目：已知平面P的法向量为n = (1, -2, 3)，平面P上一点A的坐标为(1, 2, 3)，求平面P的方程。
解析：对于平面上的一个点A(x, y, z)和平面的法向量n = (a, b, c)，平面的方程可以表示为ax + by + cz = d。
北京市房山区房山中学高二数学 寒假作业 空间向量与立
空间向量与立体几何一、选择题1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM --=2C ．1123OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．OC OB OA OM 313131++=4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +u u uv u u u v 等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =u u u r a ，CB =u u u rb ，1CC =u u u u rc ， 则1A B =u u u r （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A u u u u r 、1D C u u u u r、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =u u u r u u u r,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．101013 若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A 2B 2-C 2-或552 D 2或552-14 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A 不等边锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形15 若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A 19B 78-C 78D 141916 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A21 B 22 C －21 D 0 二、填空题1 若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________2 若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________3 已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______4 已知向量,3,5k r j i b k j i m a ρρρρρρρρ++=-+=若//a r b ρ则实数=m ______，=r _______5 若(3)a b +⊥r r )57(b a ρρ-，且(4)a b -⊥r r)57(b a ρρ-，则a ρ与b ρ的夹角为____________6 若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =ρ，则=z y x ::________________7 已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ρρρρρρ===,,，用a ρ，b ρ，c ρ表示N M ρ，则N M ρ=_______________8 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为9．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．10．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m ，n 的夹角为 ．11．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．三、解答题1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小2 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；3、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．4、在正方体1111D C B A ABCD -中， 如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）cos 1,CB EF ．D C BA VzyxS B CDA5、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ．6、如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．。
高中 空间向量及其运算 知识点+例题+练习
教学内容空间向量及其运算教学目标.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.重点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系难点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系教学准备教学过程自主梳理1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得p＝x a＋y b，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O有，OP→＝________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________________，把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若b≠0，则a∥b⇔________⇔__________，________，______________，a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝________________________________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝__________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB→|＝______________________________.教学效果分析教学过程3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝②l∥α⇔v＝x v1＋y v2其中v1，v2为平面α内不共线向量，x，y均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).教学效果分析教学过程探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．教学效果分析教学过程探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.教学效果分析教学过程探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．教学效果分析教学过程(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．6. (2010·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，则λ＝________.7．(2010·铜川一模)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________．(填所有正确的序号) 8．(2010·丽水模拟) 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．二、解答题(共42分)9．(14分) 如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点教学效果分析E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.10．(14分)(2009·福建)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．11. (14分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．。
高二数学寒假作业(人教A版必修五)立体几何中的向量方法word版含答案
高二数学寒假作业（人教A 版必修五）立体几何中的向量方法1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴两平面法向量平行，∴－21＝－42＝k －2，∴k ＝4. 答案：C2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相关B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内解析：∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)4．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为B C 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，3)，C(0，2，0)，A(22，0，0)， M(2，2，0)．∴PM →＝(2，2，0)－(0，1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2，0)－(22，0，0)＝(－2，2，0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM.答案：C5．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．答案：C6．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.35解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D 1(0，0，2)．所以BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)．所以cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →|·|CD 1→|＝32×5＝31010. 答案：C7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216 a B.66a C.156 a D.153a 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A(a ，0，0)，C 1(0，a ，a)，N(a ，a ，a 2)．设M(x ，y ，z)，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， (x －a ，y ，z)＝12(－x ，a －y ，a －z) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216 a. 答案：A8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E(1，0，12)，D(0，1，0)，答案：B9．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC A 1B 1C 1＝S △ABC ·OP ＝334·OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3， 又0<∠OAP<π2，∴∠OAP ＝π3. 答案：B10．在四面体P-ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A.63B.33aC.a 3D.6a 解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，则P(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(0，0，a)．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵PA ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又△ABC 为等边三角形，∴H 为△ABC 的重心，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＝33a. ∴点P 到平面ABC 的距离为33a. 答案：B11．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1BC 1的法向量．则n·A 1B →＝0，n·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2， 于是n ＝(2，1，2)，D 1C 1→＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，D 1C 1→〉|＝13. 答案：1312．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12， ∴EF 和BC 1所成的角为60°.答案：60°13．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO.建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B(0，－12，0)， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则BA →·n ＝0，且BD →·n ＝0，∴y 02＋32z 0＝0且32x 0＋y 02＝0， 解之得y 0－3z 0，且y 0＝－3x 0，取x 0＝1，得平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，由于OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． ∴cos 〈n ，OA →〉＝55，∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案：25514．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．15．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．解析：以C 1为坐标原点建立如图所示的坐标系．∵A 1M ＝AN ＝2a 3，则M(a ，2a 3，a 3)，N(2a 3，2a 3，a)， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0，0，0)，D 1(0，a ，0)，∴C 1D 1→＝(0，a ，0)，∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.又C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案：MN ∥平面BB 1C 1C16．如图，四棱锥P ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．(1)∵PB →＝(2，0，－2)，EH →＝(1，0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH.∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH.(2)PD →＝(0，2，－2)，AH →＝(1，0，0)，AF →＝(0，1，1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF∩AH＝A ，∴PD ⊥平面AHF.17．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D.证明：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1，1，1)．∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)，BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·B 1B →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD∩BB 1＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.18．如图，在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所成直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C(t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D(0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0， ∴AC →⊥B 1D →，则AC ⊥B 1D.。
高二数学寒假完美假期作业：空间向量与立体几何
高二数学寒假完美假期作业：空间向量与立体几何
高二数学寒假完美假期作业：空间向量与立体几
何
数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
小编准备了高二数学寒假完美假期作业，具体请看以下内容。
1.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为PC 上一点，且PA∥平面BDM.
(1)求证：M为PC中点;
(2)求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
2.如图，平面平面ABC，是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直线CD 和平面ODM所成角的正弦值.
3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.
(1)证明：PE
(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.
(1)证明：AC
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的。
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第7天 空间向量（1）
【课标导航】1.理解空间向量的概念; 2.掌握空间向量的运算. 一、选择题
1. 对于空间任一点O 和不共线的三点
A B C 、、有OP =xOA yOB zOC ++,其中
R z y x ,,.则1x y z ++=是四点P A B C 、、、共面的
( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则
( )
A ．x ＝1，y ＝1
B ．x ＝12，y ＝－12
C ．x ＝16，y ＝－32
D ．x ＝－16，y ＝2
3
3. 在棱长都相等的四面体
A BCD -中, E F 、分别为棱AD BC 、的中点,连接
AF CE
、,则直线AF CE 和所成角的余弦值为
( )
A.
2
3
B. 16 D. 13
4. 设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数
m 的值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D.1
2
5. 已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为
( ) A ．2 B ．3
C.
64
7
D.657
6. 已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与
平面
ABC 所成的角为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 7. 从点(2,1,7)A -沿向量(8,9,12)a =-的方向取线段长||34AB =,则B 点的坐标是 ( ) A. (14,19,17)--
B. (18,17,17)-
C. 7
(6,
,1)2
D.
11
(2,,13)2
--
8. ⊿ABC 的顶点分别是(1,1,2)A -,(5,6,2)B -,(1,3,1)C -,则AC 边上的高BD 等于 ( )
A. C. 4 D. 5 二、填空题 9. 在四面体O ABC -
中,OA a =,OB b =,OC c =,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,
则OE = .(,,)a b c 用表示
10. 已知在平行六面体1ABCD-A 111B C D 中,4,AB =3,AD =15AA =,0
90=∠BAD ,
01160DAA BAA =∠=∠,则1AC = .
11.已知(2,1,3)a =-,(1,4,2),b =--(7,5,)c l =,若,,a b c 共面,则l = 12．若19(0,2,
)8A ，5(1,1,)8B -，5
(2,1,)8
C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =
，则=z y x ::_______________
三、解答题
13. 已知长方体1111ABCD-A B C D ,点E F 、分别是上底面1111A B C D 和面11CC D D 的中心,求下列各题中,,x y z 的值. （Ⅰ）11AC xAB yBC zCC =++； （Ⅱ）1AE xAB yBC zCC =++； （Ⅲ）1AF xBA yBC zC C =++.
14. 设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．
15. 已知关于x 的方程22(2)350x t x t t --+++=有两个实根,(1,1,3)a =-， (1,0,2)b =-,c a tb =+. （Ⅰ）当||c 取最小值时,求t 的值;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下,求b 和c 夹角的余弦值.
16．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. （Ⅰ）求证：E 、F 、G 、H 四点共面；
（Ⅱ）求证：BD ∥平面EFGH ；
（Ⅲ）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有
=
4
1
（+++）.
【链接联赛】（2005一试2）空间四点A 、B 、C 、D 满足,11||,7||,3||===
,9||=则⋅的取值（ ）
A ．只有一个
B ．有二个
C ．有四个
D ．有无穷多个
第7天 空间向量（1）
1—8; C CA B, B A B D ; 9.111
244
a b c ++
657
12. 2:3:(4) 13.
⑴
1x y z ===；⑵
1
1,2
x y z ===
；⑶
11,1,22
x y z =-
== 14. 存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3. 15. ⑴当43t =-
时，||c
有最小值3
⑵-16.略 【链接联赛】A。