导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用
放缩技巧与放缩法 讲义--高考数学压轴题微专题-解析版
放缩技巧与放缩法放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.在高考命题的热点一一数列不等式的证明一一中有广泛的应用,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考量.常用的放缩法有增项,减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质,利用已知不等式(如均值不等式,柯西不等式、排序不等式等)、利用函数的性质、利用三角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在.虽然各版教材关于不等式放缩的技巧要求并不高,但高考中和全国数学联赛中经常把对这种方法的考查作为命题的热点,特别是在压轴题中,数列不等式的证明是常考题型.放缩法主要有直接放缩、裂项放缩,并项放缩,加强放缩等几种类型.(1)直接放缩:为了证明不等式A<B,可找一个(或多个)中间量C作比较,若能确定A<C与C<B同时成立,则A<B显然正确(实质就是运用不等式基本性质中的传递性).所谓“放”即把A放大到C,再把C 放大到B;反之,由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”,统称为放缩法,放缩法是一种技巧性较强的不等变形,关键是放,缩适当,跨度合理,放不能过头,缩不能不及.(2)裂项放缩:在证明数列不等式中涉及数列求和时,经常出现这类技巧.放缩法常用的结论如下：①1k=2k+k>2k+1+k=2(k+1-k);1 k =2k+k<1k+k-1=2(k-k-1)k∈N*,k>1②1k2<1k(k-1)=1k-1-1k;1k2>1k(k+1)=1k-1k+1;③1k2<1k2-1=1(k-1)(k+1)=121k-1-1k+14绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(3)并项放缩:有些不等式问题,直接放缩无法办到,如果对原不等式中的项进行适当重组,可使原问题出现“柳暗花明又一村”的境地,并项放缩是局部调整法最为简单的一种.G・波利亚也说过“局部提示整体”,局部调整,分段逼近是导致不等式证明,特别是数列不等式证明得以解决的重要分析.(4)加强放缩:有些数列不等式问题若直接证明命题比证明其某个加强命题更困难.这时,我们不妨“欲擒故纵",先通过证明原命题的某个“更强的命题”,从而“顺手牵羊”地解决原命题,这种证明方法称为加强命题法,这是证明数列不等式问题的一种有效方法.总之,有关不等式的证明,在对问题作细致观察的基础上,展开丰富的联想,开启创造性思维的大门,将待处理的问题变化(转化)为目标模式或规范问题,从而使原问题得到解决,是化归思想的体现,运用放缩法证明不等式,其实质是化归思想的运用.典型例题1设a,b,c均为非负实数,求证：a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c)【分析】运用基本不等式证明不等式有时会出现“放缩过头”的状况,使证明陷入僵局,如用a2+b2≥2ab,则有a2+b2≥2ab,同理b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,于是有ab+bc+ca≥a+b+c,而实际上,a+b2≥ab,b+c2≥bc,c+a2≥ca,可得a+b+c≥ab+bc+ca,两者矛盾,说明上述用a2+b2≥2ab来缩小a2+b2有点过头,所以用放缩法变形应当把握好放缩的尺度,注意“适度".【证明】由a2+b2≥2ab,得2a2+b2≥(a+b)2{,即a2+b22≥a+b2,也即a2+b2≥22(a+b).同理可得b2+c2≥22(b+c),c2+a2≥22(c+a).∴a2+b2+b2+c2+c2+a2≥22(a+b)+22(b+c)+22(c+a)=2(a+b+c).2若n是正整数,求证:112+122+132+⋯+1n2<2.【分析】本不等式左边项数很多,不能直接通分,要通过适当放缩才能得出证明.可利用1k2<1k(k-1)=1 k-1-1k进行放大再裂项实施.【证明】∵1 k2<1k(k-1)=1k-1-1k,k=2,3,4,⋯,n.∴1 12+122+132+⋯+1n2<11+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n-1)n=1+1-12+1 2-1 3+⋯+1n-1-1n=2-1n<2 3已知:a,b,c,d都是正数.求证:1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2【分析】与上例类似,本题不能直接通分,只有采用放缩法,即分母放大分数值缩小,且用ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)放大,方可获证.【证明】ba+b+c +cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d =a+b+c+da+b+c+d=1又由ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)可得ba+b+c <b+da+b+c+d,cb+c+d<c+aa+b+c+d,dc+d+a<d+ba+b+c+d,ad+a+b <a+ca+b+c+d,∴b a +b +c +c b +c +d +d c +d +a +a d +a +b <b +d a +b +c +d +c +a a +b +c +d+d +b a +b +c +d +a +c a +b +c +d =2(a +b +c +d )a +b +c +d =2.综上,1<b a +b +c +c b +c +d +d c +d +a +a d +a +b <2得证.4已知:数列a n 满足S n =n 2a n n ∈N * ,S n 是a n 的前$n $项的和,a 2=1.(1)求S n ;(2)证明:32≤1+12a n +1 n <2.【分析】第(1)问,通过累成法求通项a n ，再求前n 项和S n ;第(2)问,通过二项展开式直接放缩.注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.【解析】(1)当n ≥2时,有\S n =n 2a n,①S n +1=n +12a n +1,② ②-①得(n -1)a n +1=na n ,即a n +1a n =n n -1.∴a n =a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅⋯⋅a 3a 2⋅a 2=n -1n -2⋅n -2n -3⋯⋅21⋅1=n -1,又a 1=12a 1,得a 1=0,故S n =n 2a n =n (n -1)2(2)【证明】1+12a n +1 n =1+12n n =C 0a +C 1n ⋅12n +C 2n ⋅12n 2+⋯+C r n ⋅12n r +⋯+C n n ⋅12nn .因此,1+12n n ≥C 0n +C 1n ⋅12n =32(当n =1时取等号).另一方面,易证2n +12n <2n -k 2n -(k +1)(k =0,1,⋯,n -1),则1+12n n =2n +12n n <2n 2n -1⋅2n -12n -2⋯⋯⋅n +1n=2因此,有32≤1+12a n +1n <2,当n =1时,32=1+12⋅1,左边等号成立.5已知：各项均为正数的数列a n 的前$n $项和为S n ,且a 2n +a n =2S n .(1)求证:S n <a 2n +a 2n +14;(2)求证:S n 2<S 1+S 2+⋯+S n <S n +1-12.【分析】第(1)问,运用基本不等式放缩;第(2)问,放缩后构造成等差数列求和.【证明】(1)在条件中,又由条件a 2n +a n =2S n ,有a 2n +1+a n +1=2S n +1,将这两式相喊,∵a n +1=S n +1-S n ,有a n +1+a n a n +1-a n -1 =0.∵a n >0,∴a n +1+a n >0,故a n +1-a n =1.∴a n =1+(n -1)⋅1=n ,S n =n (n +1)2,∴S n =n (n +1)2<12⋅n 2+(n +1)22=a 2n +a 2n +14.(2)∵n <n (n +1)<n +1,∴n 2<n (n +1)2<n +12.∴S 1+S 2+⋯+S n =1⋅22+2⋅32+⋯+n (n +1)2<22+32+⋯+n +12=n 2+3n 22=S n +1-12S 1+S 2+⋯+S n >12+22+⋯+n 2=n (n +1)22=S n26已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=1+n 2na n (n =1,2,3⋯).求证:a n +1>a n ≥3-n +12n -1.【分析】运用累加法结合放缩法证明.【证明】∵a n +1=1+n 2na n ,∴a n +1与a n 同号,又∵a 1=1>0,∴a n >0即a n +1-a n =n 2n a n >0,即a n +1>a n ,∴数列a n 为递增数列.∴a n ≥a 1=1,即a n +1-a n =n 2n a n 运用累加法得:a n -a 1≥12+222+⋯+n -12n -1令S n =12+222+⋯+n -12n -1,∴12S n =122+223+⋯+n -12n 错位相㖪得:12S n =12+122+123+⋯+12n -1-n -12n ∴S n =2-n +12n -1,由a n -a 1≥S n =2-n +12n -1得a n ≥3-n +12n -1故得a n +1>a n ≥3-n +12n -1.7已知f (x )=-12x 2+x +1,x n +1=f x n ,n ∈N *,且1<x 1<2.(1)当n ≥2时,求证:1<x n <32;(2)试确定一个正整数N (N ≥2),使得当n >N 时,都有x n -2 <132.【分析】第(1)问，探究数列的单调性得到一个不等式模型依次放缩，逐步通向结论;第(2)问,将通项依等比递缩的形式进行放缩持续靠近目标.【解析】(1)证明∵x n +1=-12x 2n +x n +1=-12x n -1 2+32,∴x n +1<32,从而x n <32.又当1<x 1<2时,有x 2=-12x 1-1 2+32,故x 2是x 1∈(1,2)上的递㖅函数.∴x 2=-12x 1-1 2+32∈1,32 .同理可得x 3=-12x 2-1 2+32易知x 3是x 2∈1,32 上的递减函数,且x 3∈32-18,32 ⊊1,32 .由此依次迭代可得x n ∈1,32n ∈N *,n ≥2 .(2)因为x x +1-2 =-x 2n 2+x n +1-2 =-x 2n -22+x n -2 =x n -22 ⋅x n +2-2 <x n -22 ⋅32+2-2 <12x n -2 ∴x n -2 <12 x n -1-2<122 xn -2-2<⋯<124 xn -4-2|当n =0时,有x 6-4-2 =x 2-2 <12,由此可得,当取N =6时,能使得当n >N 时,都有x n -2 <132.强化训练1求证:1+12+13+14+⋯+12n -1+12n >1+n 2n ≥2,n ∈Z + .【解析】证明:先将原数列各项分别“组合”,得左=1+12+13+14 +15+16+17+18 +19+110+⋯+116+⋯+12n -1+1+12n -1+2 +⋯+12n >1+12+14+14 +18+18+18+18 +⋯+116+116+⋯+116+⋯+12n +12n +⋯+12n=1+12+12+⋯+12n 个=1+n 2.2已知数列a n 满足a 1=12且a n +1=a n -a 2n n ∈N * .(1)求证:1≤a n a n +1≤2n ∈N * ;(2)设数列a 2n 的前n 项和为S n .求证:12(n +1)≤S n n ≤12(n +1).【解析】证明:(1)由题意得a n +1-a n =-a 2n ≤0,即a n +1≤a n ,a n ≤12.由a n =1-a n -1 a n -1得a n =1-a n -1 1-a n -2 ⋯1-a 1 a n >0,由0<a n ≤12,得a n a n +1=a n a n -a 2n =11-a n ∈1,2 .即1≤a n a n +1≤2.(2)由题意得a 2n =a n -a n ,故S n =a 2n +a 2n +⋯+a 2n =a n -a 2 +a 2-a 3 +⋯+a n -a n +1 =a n -a n +1,由a 2n =a n -a n +1,得1a n +1-1a n =a n a n +1,又由1 知,1≤a n a n +1≤2,∴1≤1a n +1-1a n ≤2.即1≤1a 2-1a 1≤2,1≤1a 3-1a 2≤2,1≤1a 4-1a 3≤2,⋯,1≤1a n +1-1a n≤2,以上各式相加得n ≤12-1a n +1-1a 1≤2n .∴n +2≤1a n ≤2n +1 ,即12n +1 ≤a n +1≤1n +2,∴12-1n +2≤a 1-a n +1≤12-12n +1,即n 2n +2 ≤S n ≤n 2n +1 ,∴12n +2 ≤S n n ≤12n +1.3设数列a n 满足a n +1=a 2n -na n +1,n ∈N *.(1)当a 1=2时,求a 2,a 3,a 4,并由此猜测出a n 的一个通项公式(不需要证明);(2)当a 1≥3时,用数学归纳法证明a n ≥n +2;(3)当a 1=3时,求证:11+a 1+11+a 2+⋯+11+a n <12.【解析】(1)令n =1,a n =12 n +1<12.令n =2,则a 3=a 2=a 22-a 2+1=4-2+1=3;令n =3,则a 4=a 23-3a 3+1=16-12+1=5;猜测a n =n +1.(2)(1)当n =1时,a 1≥3=1+2,不等式成立;(2)假设当n =k 时结论成立,即a k ≥k +2,则a k +1=a 2k -ka k +1=a k a k -k +1≥k +2 k +2-k +1=2k +2 +1>k +3=k +1 +2.即n =k +1时,结论也成立,由(1)(2)可知,a n ≥n +2.(3)证明:由2 知,a n +1=a n a n -n +1≥2a n +1,即a n +1+1≥2a n +1 ,于是11+a n +1≤12⋅11+a n∴11+a n ≤12⋅11+a n -1≤12 2⋅11+a n -2≤⋯≤12 n -1⋅11+a 1=12 n +1故11+a 1+11+a 2+⋯+11+a n ≤12 2+12 3+⋯+12n +1=12 n 1-12 n1-12=12-12 n +1<12.。
高考秘籍 破解导数压轴题策略2导数不等式的证明 放缩法
导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。
不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。
数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。
尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻! 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
命题角度构造函数命题角度放缩法命题角度切线法命题角度二元或多元不等式的证明思路命题角度函数凹凸性的应用在求解过程中, 力求“脑中有’形’，心中有’数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合,寻找临界.命题角度2 放缩法【典例2】(石家庄市2018届高三下学期4月一模考试)已知函数f(x) = (x+b)(e x-a)(b>0)，在(―1,f (―1))处的切线方程为(e-1)x +ey + e—1 =0.(1 )求a,b ；(2 )若m<0,证明：f(x)>mx2+x.【解析】(1)a =1，b =1 ；(2 )由(1)可知f(x) =(x + 1)(e x—1)，f(0) =0, f (―1) = 0，2由m < 0，可得X 二mx + X，〔借助于已知参数的范围放缩〕令g(x) =(x +1 X eX T )-x，贝y g'(x) =(x +2 )e^2，当x<—2 时，g(x)=(x +2)e x-2£-2c0.当X > _2时，设h(x) =g (x) =(x + 2 )e X — 2，贝U h'(x) = (x + 3怡％；>0 ,故函数g'(x)在(—2,畑)上单调递增,又g(0)=0，所以当X 巳亠,0)时，g'(x)c0，当X 巳0,母)时，g'(x)A0,所以函数g(x)在区间(亠,0 )上单调递减，在区间(0,母上单调递增故g(x) >g(0) =0，即(X +1 X e X -1 )> X > mx2+x .故f(X)>mx +x.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标【典例3】(成都市2018届高中毕业班二诊理科)已知函数f(x)=xl nx + ax + 1,a亡R.(1 )当XA O时，若关于X的不等式f(x)>0恒成立，求a的取值范围;(2)当n亡N时，证明:n2n+42 23 2 n 中1c ln 22+l n2+L +ln2n<n n+1【解析】(1) [―1,址); 〔a = -1时的不等式是下问放缩的途径〕(2)设数列{a n},{b n}的前n项的和分别为S n = n2n+4,r，则10( n =1 ),由于an f jj Sn - Sn」(n H 2),，解得an =(n+1 X n+2)同理’所以只需证明a n cin2n+1<bn= 1n(n+1)由(1 )知a = -1 时，有xln X >x-1，即Inx〔本问放缩的途径令X = —- >1，贝y ln n+1 1--- >nn+1〔观察结构，合理代换所以ln n+1 (n +1 f (n +1)( n+2) n+1 n+2所以In22 +ln23+L +ln2n 2 n+2 2n+42再证明In2凹V 一1一，亦即Inn n f n +1\1现证明 2ln X <x --(x >1 ).x1 2 1令 h(x ) = 2ln x —x +-(x >1 )，贝y h7x )=- -1一飞X X X所以函数h(x )在(1,畑)上单调递减，h (x )v h (1 )=0 ,1所以当X"时，2lnx<x-恒成立,x因为ln^l a mnn+1-nJ n + 1 V nn ，V n j n +1 V n j n +1所以只需证2ln 匡€归-迟,V n T n〔观察结构，构造函数, 合理代换〕令 ％=厝>1，则 2ln $nV nyJ n +1〔利用构造函数的单调性, 合理代换〕综上，——后口!(n +1)(n +2)n V n (n +1 )，2 n +11 n --- n j ,{b n }分别求前n 项的和，得 —n — <l n 22 +l n 23+L 2n +4 2 【思路总结】待证数列不等式的一端是一 2 n +1 n + ln -- < ---- . n +1 n 项之和(或积)的结构，另一端含有变量 n 时,可以将它们 分别视为两个数列的前 n 项的和(或积)， 从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系 2ln x + 2 【典例4】(安徽省安庆市 2018届重点中学联考)已知函数 f (x )= Xe (1)求函数f (X )的单调区间;2 2(2)证明：当 x>0时，都有 f '(x )ln (x +1)cW+吕.e e• "一 “ . 2(1 -X —xlnX【解析】(1) f (x ) =xxen +1 1 nV n j n +1，‘ 2耳<0,X当 0 C X <1 时，1 —X >0, —XIn X 》0，所以 g (x )>0, f '(X )A 0 , 当 X >1 时，1 _x <0, —xIn X <0，所以 g(x )<0, f '(x )<0 , 所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,垃)上单调递减;2 2 / 1(2)要证明 f '(x )In (x +1)c*+^^，即证(1-x-xInx )In (x + 1)cl 1 + p (x , e e I e 丿令 g (X ) = 1 - x-xln X ，则 g '(x )=- 1一(In x +1 戸一2- In x , 〔拆分研究，逐个突破〕1 1当 0 c x < 2 时，g '(x )A 0，当 X A 2 时，g '(x )<0, e e 所以函数g (X 在〔0,丄〕上单调递增，在I e丿1 所以 1 —X —xIn X <1 +2 . ef 1 )要证(1-x -xInx )In (x +1)cl 1+右(x , I e 丿2 2 综上所述，当XA0时，都有f '(x )In (x +1)<W +令.e e【思路点睛】对于含有Inx 与e x型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征,灵活变形，脑中有"形”，注意重要不等式In x<x-1= eXXx + 1的合理代换.fq ,址〕上单调递减，g (x )< 1+三=1+4 , l e 丿 e ee只需再证ln (x + 1)c x 即可. 易证In x<x-1，当且仅当x=1时取等号(证明略)，所以 0<1 n (x + 1)v x ，。
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
导数大题放缩法题目
导数大题放缩法题目（最新版）目录1.导数大题放缩法题目的概述2.放缩法的基本原理3.放缩法在导数大题中的应用实例4.放缩法的使用技巧和注意事项5.结论正文一、导数大题放缩法题目的概述导数大题放缩法题目是高等数学中的一种题型，主要考察学生对导数知识的掌握程度以及运用放缩法解决实际问题的能力。
导数是函数在某一点变化率的极限，是研究函数变化规律的重要工具。
在解决导数大题时，放缩法是一种常用的解题方法，可以帮助学生快速找到解题思路。
二、放缩法的基本原理放缩法，顾名思义，就是将复杂的问题简化，从而使问题变得容易解决。
在导数大题中，放缩法的基本原理是通过对函数的某些部分进行放大或缩小，使函数在某一点的导数发生变化，从而简化原问题。
放缩法的使用需要遵循两个原则：一是放缩后的函数要容易求导；二是放缩过程中不能改变函数的连续性。
三、放缩法在导数大题中的应用实例下面我们通过一个具体的实例来说明放缩法在导数大题中的应用。
例题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 在 x = 1 处的导数。
解：我们可以通过放缩法来解决这个问题。
首先，我们对函数 f(x) 进行放缩，令 g(x) = f(x) - (x^3 - 3x^2 + 2x)，则 g(x) = -1。
对 g(x) 求导，得到 g"(x) = f"(x) - 3x^2 - 6x + 2。
将 x = 1 代入，得到 g"(1) = f"(1) - 3 - 6 + 2 = f"(1) - 7。
因为 g"(1) = -1，所以 f"(1) = -1 + 7 = 6。
所以，函数 f(x) 在 x = 1 处的导数为 6。
四、放缩法的使用技巧和注意事项1.选择合适的放缩函数：放缩函数的选择要根据具体问题来定，要求放缩后的函数容易求导，同时不放缩函数的连续性。
2.适度放缩：放缩的程度要适中，不能过度放大或缩小，以免影响问题的解决。
高中数学导数放缩法
高中数学导数放缩法
放缩法是一种应用较广泛的数学方法，可以帮助我们更准确地预测趋势。
它可以用于研究不同的模式，并帮助我们理解数学的性质。
放缩法的定义很简洁，可以理解为将待研究的函数缩放到另一个函数上。
它通常是利用比较简单的曲线对复杂曲线进行研究，以提升正确性。
这在高中数学中也被广泛应用。
放缩法在微积分科目中探讨变化的情况下比较重要，如识别函数的导数，判断函数的图形特征等。
比如，考生们可以通过放缩法来研究狭义直线段的性质，具体可以将端点和直线段的某点缩放到同一坐标系。
如果直线段的两个端点都缩放到横坐标或纵坐标的1，那么整条直线段就会缩放到一条平行于横坐标轴或纵坐标轴的直线，如此可以容易研究其斜率，表示为一个分数，有助于理解这条直线段的性质。
同理，放缩法也可以用于求取圆的半径、椭圆的长轴短轴，以及曲线的凸包和曲率等。
考生们只需要把函数中若干特定点进行缩放，
并运用对称性质、相似性质，就可以更加准确地研究函数的模型，从
而准确分析函数的特点和性质。
最后要提醒的是，放缩法是一种非常灵活的数学方法，通过不断
尝试和改进，可以辅助理解和分析各种函数的性质。
此外，需要注意
的是，放缩法的运用也必须遵守数学的相关定律和原则，以保证较高
的准确度。
总之，放缩法是高中数学中常用的一种研究数学模型的分析方法，在研究不同函数的性质时都很有用，可以帮助考生更准确地预测趋势。
只要认真研究、了解放缩法的运用方法，考生们就可以掌握这种数学
方法，更好地分析函数的模型和性质，为自己的学习和生活中把握更
多技术拓展工具。
2022高考数学函数与导数—导数中的放缩问题
函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->， 设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++， 当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性； （2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。
高考导数解答题中常见的放缩大法
For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高考数学导数专题专讲 专题15 导数中同构与放缩的应用(含答案)
专题15导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a ＞0且a ≠1时，有log a x x a =，(2)当a ＞0且a ≠1时，有log xa x a =再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x ＞0)(“e x ”三兄弟与“ln x ”三姐妹)(3)ln x x x x +=ｅｅ，ln ln()x x x x +=ｅ(4)ln x x xx -=ｅｅ，ln lnx x x x-=ｅ(6)ln x xx x -=ｅｅ，ln ln x x x x -=ｅ再结合常用的切线不等式：1x x ≥+ｅ，e x x ≥ｅ，ln 1x x ≤+，ln xx ≤ｅ等，可以得到更多的结论(7)ln ln 1x x x x x x +=≥++ｅｅ，ln ln()e 1xx x x x x +=≤-ｅ．ln (ln )x x xx x x +=≥+ｅｅｅ，1e ln ln()x xx x x x x x -+=≤ｅ＝ｅｅ．(8)ln ln 1x x xx x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤ｅｅ－１ln (ln )x x xx x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x--=≤ｅｅ(9)ln ln 1x xx x x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤－１ｅｅln (ln )x x x x x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x +-=≤ｅｅ[例1](1)已知1()ln x f x x x x +=+-ｅ，则函数()f x 的最大值为________．答案－2解析1ln 1()ln ln ln (ln 2)2x x x f x x x x x x x x x x +++=+-=+-≤+-++=-ｅｅ．(当且仅当x ＋ln x ＋1＝0取等号)．(2)函数ln 1()x x f x x+=-ｅ的最小值是________．答案1解析ln ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1()1x x xxx x x x x x x f x x x x x++----++--=-==≥=ｅｅｅ(当且仅当x＋ln x ＝0取等号)．(3)函数22ln ()1x x xf x x -=+ｅ的最小值是________．答案1解析22ln 2ln 2ln 2ln 12ln ()1111x x x x x x x x x f x x x x +--++-==≥=+++ｅｅ(当且仅当x ＋2ln x ＝0取等号)．[例2](1)不等式ln 10xxax x ---≥ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________．答案1解析min e ln 1e ln 1ln 10()x x xx x x x x ax x a x x-------≥⇔≤⇔ｅ恒成立ln e ln 1x x x x +--=ln 1ln 11x x x x++--≥=，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．(2)不等式(ln 1)0xx a x x -++≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．答案0a ≤＜１解析ln (ln 1)0(ln 1)0(ln 1)x x x xx a x x x a x x a x x +-++≥⇔-++≥⇔≥++ｅｅｅ，当x＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x x a x x +≤++ｅ，由于ln ln 1=1ln 1ln 1x xx x x x x x +++≥++++ｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a ≤１，故0a ≤＜１．(3)不等式(ln )0xx a x x -+≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．答案0a ≤≤ｅ解析ln (ln )0(ln )0(ln )(x x x x tx a x x x a x x a x x at +-+≥⇔-+≥⇔≥+⇔≥ｅｅｅｅ令ln )t x x =+⇔(0)00(0)tta t a t a a a t t ⎧≥<⎪≥⎧⎪⇔⇔≤≤⎨⎨≤⎩⎪≤>⎪⎩ｅｅｅｅ．(4)已知函数()ln 1(1)bxf x x a x x x =--->ｅ，其中b ＞0，若()0f x ≥恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．答案a b≤解析ln ln 1()0ln 11ln ln x b xb x x b xx f x x a x x x a x a x++--≥⇔≥++⇔--≥⇔≤ｅｅｅ，由于ln 1ln 11ln ln x b x x x b x x b x x+--++--≥=ｅ，当且仅当x ＋b ln x ＝0等号成立，所以a b ≤．(5)已知函数()ln 1xf x ax =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案a ≥１ｅ解析ln 1ln 10x xx a x a +--≥⇔≥ｅｅ，由于ln x ＋1≤x ，e x ≥e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则ln 11e exx x x +≥=ｅ，所以a ≥１ｅ．(6)已知不等式1ln xkx x -≥+ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案k ≤ｅ－1解析e lne 1ln x xxkx x k x x-≥+⇔≤-ｅ，由于e x ≥e x ，lne x ≤x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，所以xx ≥ｅｅ，lne 1x x≤则e lne 1x x x x -≥-ｅ，所以k ≤ｅ－1．(7)已知不等式ln 10axax xx -+--≥ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案1(]-∞， ｅ解析ln ln 1ln 1ln 1ln 10ax ax x x ax x ax x ax x ax x --++--=+--≥-+++--=ｅｅ，当且仅当－ax ＋ln x ＝0，即ln x a x =时等号成立，由ln x a x =有解，易得1a ≤ｅ．(8)已知函数()(ln )xf x x a x x =-+ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案(, )+∞ｅ解析ln ()(ln )(ln )x x xf x x a x x a x x +=-+=-+ｅｅ，令ln , t x x t =+∈R ，显然该函数单调递增，即e 0tat -=有两个根，即e t a t =有两个根，令e ()tg t t=，()g t 在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．min ()(1)e g t g ∴==，e a >．[例3](2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x ax =++.(1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)()f x 定义域是(0, )+∞，1()f x a x'=+，①当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；②当0a <时，由1()0f x a x '=+=，得10x a=->，当1(0, x a∈-时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，当1(, +)x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在定义域上单调递减，所以当1x a =-时，()f x 取得极大值．当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，因为()f x 有两个零点，所以1()0f a->，解得10a -<<．(2)要使()e xf x x ≤恒成立，只要ln 1x ax ++e xx ≤恒成立，只要e ln 1x x x a x--≤恒成立，令e ln 1()x x x g x x --=，则e ln 1x x x x--ln e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x +--++--=≥=，当且仅当时取等号．所以()e x f x x ≤恒成立，实数a 的取值范围为1a ≤．【对点精练】1．函数()ln xf x xx x =--ｅ的最小值为________．1．答案解析ln ()ln ln ln 1ln 1x x xf x x x x x x x x x x +=--=--≥++--=ｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．2．函数ln ()1xx xf x x -=+ｅ的最小值为________．2．答案1解析ln ln ln ln 1ln ()1111x x x xx x x x x f x x x x +--++-==≥=+++ｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．=++-ｅ的最大值是________．3．答案0解析ln ln 1ln 1()(ln 1)x x xxx xx x x x x f x x x x +-++-++-=++-==ｅｅｅｅｅln 1(ln 1)0xx x x x ++-++≤=ｅ(当且仅当x ＋ln x ＝0取等号)．44．答案1a ≤解析ln (1)ln 1x xx x x a x x a x --+≥⇔≤+ｅｅ，由于ln ln ln 11x x xx x xx x +--=++ｅｅln 1ln 11x x xx ++-≥=+，所以a ≤1．5．已知函数()(ln 1)x f x xa x x =+-++ｅｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．5．答案0a ≤＜ｅ解析ln ()0(ln 1)(ln 1)x x xf x x a x x a x x +≥⇔+≥++⇔+≥++ｅｅｅｅ，当x ＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x x a x x ++≤++ｅｅ，由于ln (ln )=ln 1ln 1x xx x x x x x ++++≥++++ｅｅｅｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a ≤ｅ，故0a ≤＜ｅ．6．已知函数2()ln 1xf x a x =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．答案2a ≥１ｅ解析22ln 1()ln 1exxx f x a x a +=--⇔≥ｅ，由于ln x ＋1≤x ，e 2x ≥2e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则2ln 112e 2e xx x x +≥=ｅ，所以2a ≥１ｅ．7．已知a ，b 分别满足23e e , (ln 1)e a a b b =-=，则ab ＝________．7．答案e 3解析同构化处理，并利用函数的单调性．222ln 232e e e e e e e ln e (ln 1)e ln e e e e ea a ab a a a b b b b b ⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，ln e e ln e e bab a =，令()e x f x x =，显然该函数单调递增，即()(ln )e b f a f =，即ln eb a =，则ab ＝e 3．8．已知x 0是函数22()e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=________．8．答案2解析22222222e e e e eln 2e2ln e ln ln ln(ln())ln()x x xx x x x x x x x x x x--+-⇔=-⇔=⇔+=+＝０，所以2e ln()x x=，即2ln x x -=，或2xx -=ｅ，则02000e ln ln 2x x x x -+=+=．考点二整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)f x 1－f x 2x 1－x 2>k (x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<kx 1－kx 2⇔f (x 1)－kx 1<f (x 2)－kx 2⇔y ＝f (x )－kx 为增函数；(2)fx 1－f x 2x 1－x 2<k x 1x 2(x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)>k (x 1－x 2)x 1x 2＝k x 2－k x 1⇔f (x 1)＋k x 1>f (x 2)＋kx 2⇔y ＝f (x )＋kx为减函数；含有地位同等的两个变x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：ln e (ln )e ()e e ln e ln e ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a a b f x x a b b b b f x x xa ab b f x x x ⎧≤−−−−→=⎪⎪≤−−−−−→≤−−−−→=⎨⎪+≤+−−−−→=+⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 如，322222ln ln ln ln xx x xx x me x x x x e x≥⇔≥⇔≥ｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：ln e e e () ln e e ()ln ln e ln ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a f x a b x b b x f x a b b x a a b b f x x x ⎧<−−−−→=⎪⎪⎪<−−−−−→<−−−−→=⎨⎪⎪-<-−−−−→=-⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 (3)和差：ln e e ln ()e e ln e ln e ln ()ln a b x aa a ab f x x a b b b b f x x x ⎧±>±−−−−→=±⎪±>±−−−−−→⎨±>±−−−−→=±⎪⎩构造函数两种同构方式构造函数同左 同右 如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)ax ax x ax x x ax x ax x ++>+++⇔+>++⇔>+ｅｅｅ．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)e ln e ln 21ax x ax a x ax x x >−−−−−→>同乘(无中生有)，后面的转化同()；(2)ln ln 1e ln()e ln (1)1e ln ln(1)1e +ln x x x a x x a a ax a a a x a x x a a-->--⇔>--⇔->--−−−−−→->同加(无中生有)ln(1)ln(1)1ln(1)ln ln(1)x x x x x a x --+-=-⇔->-ｅ＋；(3)ln ln ln log e ln e ln 21ln x x a x a a xa x x a x x a>⇔>⇔> ()，后面的转化同()．【例题选讲】[例4](1)若1201x x <<<，则A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <解析设()e ln x f x x =-，则1()e x f x x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()xe g x x=，2(1)()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．(2)若120x x a <<<，都有211212ln ln x x x x x x -≤-成立，则a 的最大值为()A ．2１B ．1C ．e D ．2e解析121221ln ln 11x x x x x x -≤-，即121122ln ln 11x x x x x x +≤+，令ln 1()x f x x x =+，则()f x 在(0,)a 上为增函数，()0f x '∴≥在(0,)a 上恒成立，2ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，解得x ＝1，()f x ∴在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，1a ∴≤，a ∴的最大值为1，选B ．(3)已知2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(1, 2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析①当p >q 时，(1)(1)(1)(1)f p f q p q +-+<+-+即(1)(1)(1)(1)f p p f q q +-+<+-+，令()(1)(1)g x f x x =+-+，则(1)(1)g p g q +<+，()g x ∴在(1, 2)递减，即2()ln(2)(1)(1)g x a x x x =+-+-+，在(1, 2)递减，()0x '∴≤ｇ在(1, 2)上恒成立，()2(1)102ax x x '∴=-+-≤+ｇ在上恒成立，2276a x x ∴≤++在(1, 2)上恒成立，2min (276)15a x x ∴≤++=．②当p <q 时，同理可得出28a ≥，综上所述(, 15][28, )a ∈-∞+∞ [例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)2log 20kx x k -⋅≥解析2log 222log 20log 2(log )22x kx kx kx x k x x kx x kx -⋅≥⇔≥⋅⇔⋅≥⋅，()2x f x x =⋅．(2)2ln 0m xx x m -≥ｅ解析2ln 0ln ln ln(ln )ln mm xx m m mx x m x x x x x x x-≥⇔≥⇔+≥ｅｅ，()ln f x x x =+．(3)1(1)2()ln axa x x x+≥+ｅ解析22221(1)2(2ln 2ln ln ln ax ax axa x x ax ax x x x ax ax x x x x+≥+⇔+≥+⇔+≥+ｅｅｅ22ln 2ln ln ()ax x xax ax x x f x x x⇔+≥⋅+=+ｅｅ，ｅ(4)ln (1)xa x a x x x -++≥>ｅ解析ln ln ln ln x a x a a x xa a x a x x x x x x x ----++≥⇔+≥-⇔-≥-ｅｅｅｅ，()ln f x x x =-．(5)2ln 0x x x +=ｅ解析2ln 1111ln 0ln ln ln x xx x xx x x x x x x x x x+=⇔=-⇔=-⇔=-ｅｅｅｅｅ，()ln f x x x =．[例6](1)已知不等式log (0, 1)x a a x a a >>≠，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案1eea >解析ln ln ln log e (ln )e ln ln x x a x a a xa x x a x x a>⇔>⇔>⇔ln ln ln ln (ln )e (ln )e ()e (1)e ln eln ()ln (2) ln ln(ln )ln ln(ln )()ln (3)x a x x x a x ax a x f x x x x f x x x x a x a x x f x x x ⎧>→=⎪>→=⎨⎪+>+→=+⎩ (三种模式，只要写一种)，由(3)得，ln ln x a x >，即ln ln x a x >，由导数法可得1ln a >ｅ，从而所以1e e a >．(2)已知函数()ln(1)33f x m x x =+--，若不等式()3e x f x mx >-在(0, )+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．03m ≤≤B ．3m ≥C ．3m ≤D ．0m ≤解析ln(1)3(1)3e ln e 3e x x x m x x mx m +-+>-=-(同构)，令()ln 3g x m x x =-，由(1)(e )x g x g +>，且11e x x <+<，知()g x 在(1, )+∞为减函数，所以()3033mg x m x m x'=-≤⇒≤⇒≤．故选C ．(3)对任意0x >，不等式22e ln ln 0x a x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为________．解析2222e ln ln 02e ln2e ln 2ln 2ln ln(ln )x x x x x x x xa x a a x x x a a a a a-+≥⇔≥⇔≥⇔+≥+(积型同构取对数)，令()ln f x x x =+，则()f x 为增函数，由(2)(ln x f x f a ≥，得2ln x x a ≥，即2x x a ≥ｅ恒成立，令2()x xg x =ｅ，则212()xx g x -'=ｅ，易得max 11()()22eg x g ==，所以实数a 的最小值为12e ．(4)已知函数()ln()(0)xf x a ax a a a =--->ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．2(0, e ]B ．2(0, e )C ．2[1, e ]D ．2(1, e ]解析ln ln 1()ln()0ln (1)1ln ln(1)1x x x a x af x a ax a a a x a x x a--=--->⇔>--⇔->--⇔+-ｅｅｅｅln(1)ln e ln(1)x a x ->+-(和差型同构)，令()e x g x x =+，显然()g x 为增函数，则原命题等价于(ln )g x a ->(ln(1))ln ln(1)ln ln(1)g x x a x a x x -⇔->-⇔<--，由于ln(1)(2)x x x x --≥--，所以ln 2a <，即得20e a <<．(5)对任意0x >，不等式1(e 1)2()ln ax a x x x+≥+恒成立，则实数a 的最小值为________．解析22221(e 1)2()ln (e 1)(1)ln (e 1)ln e (1)ln ax ax ax ax a x x ax x x x x x+≥+⇔+≥+⇔+≥+(积型同构)，令()(1)ln f x x x =+，则1()ln x f x x x +'=+，22111()=x f x x x x -''=-，易知()f x '在(0, 1)上递减，在(1, )+∞上递增，所以()(1)20f x f ''>=>，所以()f x 在(0, )+∞上单调递增，则22(e 1)ln e (1)ln (e )ax ax ax x x f +≥+⇔≥222ln ()e 2ln ax x f x x ax x a x ⇔≥⇔≥⇔≥，由导数法易证2ln 2e x x ≤，所以2ea ≥．(6)已知不等式1ln ea x x a x x ++≥对任意的(1, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为()A ．e -B ．e 2-C ．e -D ．2e-解析11ln ln ln e ln e ln e ea a a a x x a a x x x a x x x x a x x x x x --++≥⇔+≥-=-⇔-≥-，令()ln f x x x =-，则1()x f x x-'=，易知()f x 在(0, 1)上递减，在(1, )+∞上递增，所以(e )()x a f f x -≥，(1, )x ∈+∞ ，1e (0, )e x -∈．根据选项只讨论a ＜0的情况，当a ＜0时，(0, 1)a x ∈，e x a x -∴≤，ln xa x-∴≥．令()ln x h x x -=，则21ln ()(ln )xh x x -'=，所以()h x 在(1,e) 上递增，在(e, )+∞上递减，则max ()(e)e h x h ==-，即e a ≥-，故选C ．[例7]已知函数ln(1)()x f x x+=.(1)判断()f x 在(0, )+∞上的单调性；(2)若0x >，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>．解析(1)2ln(1)1()xx x f x x -++'=，令()ln(1)1x g x x x =-++，2()0(1)x g x x -'=<+，()g x ∴在(0, )+∞上单调递减，()(0)0g x g ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在(0, )+∞上单调递减．(2)要证2(e 1)ln(1)xx x -+>，即证：2ln(1)e 1x x x +>-即证：ln(1)e 1x x x x +>-即证：ln(1)ln(e 11)e 1x x x x +-+>-，令ln(1)()x h x x+=，即证：()(e 1)x h x h >-，由(1)，()h x 在(0, )+∞上单调递减，即证：e 1x x <-．令()e 1x s x x =--，()e 10x s x '=->，()s x ∴在(0, )+∞上单调递增，()(0)0s x s ∴>=，e 10x x ∴-->，即e 1x x <-．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，－2e －1，0∴所求三角形面积为12×2×|－2e －1|＝2e －1．(2)解法一：∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a<1，∴11e a<1，∴f 1a f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ---<，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1，∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二：f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．【对点精练】1．已知函数()ln ()xf x m x m =+∈R ｅ，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有1212()()f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是________．1．答案m≥0解析由1212()()f x f x x x ->-得，1122()()f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，12()()g x g x ∴>，()g x ∴在(0, )+∞单调递增，又()()xg x f x x mx x =-=+- ｅ，()10x mg x x'∴=+-≥ｅ，在(0, )+∞上恒成立，即(1e )x m x ≥-，令()(1e )x h x x =-，则()e (1)10x h x x '=-++<，()h x ∴在(0, )+∞单调递减，max ()0h x ∴=(但取不到)．∴m≥0．2．已知函数()xf x ax x =-ｅ，(0, )x ∈+∞，当x 2＞x 1时，不等式1221()()0f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(, e]-∞B ．(, e)-∞C ．e(, )2-∞D ．e(, ]2-∞2．答案D解析由1221()()0f x f x x x -<，得1122()()x f x x f x <，令()()g x xf x =，则()g x 在(0, )+∞上单调递增，又2()xg x ax =- ｅ，()20xg x ax '∴=-≥ｅ在(0, )+∞上恒成立，即e 2x a x ≤，令e ()2xh x x=，则2e (1)()2x x h x x -'=，令()0h x '=，则()h x 在(0, 1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，mine ()(1)2h x h ∴==，选D ．3．对不等式210xx λλ-≥ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．3．答案()xf x x =⋅ｅ解析2222ln 11ln 0ln 2ln 2(ln )2xx x x x x x x x x x x λλλλλλλλ-≥⇔≥⇔≥⇔≥ｅｅｅｅｅ--=ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．答案()ln f x x x =+解析2ln 0ln ln ln x x x xx x x x x x x -----=⇔-=+⇔+=+-ｅｅｅｅ．5．对不等式ln(1)2(1)2xa x x ax -+-≥+ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．5．答案()ln 2f x a x x =+解析ln(1)2(1)2ln(1)2(1)ln 2x x xa x x ax a x x a -+-≥+⇔-+-≥+ｅｅｅ6．设实数0λ>，若对任意的(0, )x ∈+∞，不等式ln 0xxλλ-≥ｅ恒成立，则λ的最小值为________．6．答案1e解析ln ln 0ln 0ln ln xx x xx x x x x x x x λλλλλλ-≥⇔-≥⇔≥=ｅｅｅｅ，令()e x f x x =，易知()f x 在(0, )+∞上递增，所以()(ln )f x f x λ≥，ln x x λ∴≥，ln x x λ∴≥．令ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，所以()h x 在(0,e)上递增，在(e, )+∞上递减，则max 1()(e)eh x h ==，即1e λ≥．=-+>ｅ，若关于x 的不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．答案20e a <<解析1111()ln 0ln (ln 1)x x x x f x a ax a a ax a a ax x ++++=-+>⇔>-⇔>-⇔ｅｅｅｅ(ln ax >1)ax -e ⇔ln 1(ln 1)e ax ax --，ln 1e >(ln 1)e x ax x ax -∴-，令()e x g x x =，显然()g x 为增函数，则原命题等价于()g x >(ln 1)ln 1ln ln 1g ax x ax a x x -⇔>-⇔<-+，令()ln 1h x x x =-+，则1()x h x x-'=，所以()h x 在(0,1)上递减，在(1, )+∞上递增，则min ()(1)2h x h ==，所以ln 2a <，即得20e a <<．8．已知对任意0x >，不等式1(e 1)(1)ln 0kx k x x+-+>恒成立，则实数k 的取值范围为________．8．答案1(, )e+∞解析1(e 1)(1)ln 0(e 1)(1)ln e ln kx kx kx k x kx x x kx kx x x x x+-+>⇔+>+⇔+>+，即ln e ln e ln kx x kx kx x x +>+．令()e x f x x x =+，则()f x 在(0, )+∞上递增，所以()(ln )f kx f x >，所以ln kx x >，则ln x k x ∴>，由导数法易证ln 1e x x <，所以1ek >．9．已知0a <，不等式1ln 0a xx a x ++≥ｅ，对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是()A ．12e-B ．1e-C ．e -D ．2e-9．答案C 解析1ln ln 0ln a x x a a a a x x a x x x x x+---+≥⇔≥=ｅｅ，即ln ln e a x a x x x --≥ｅ，令()e x f x x =，则()f x 在(1, )+∞单调递增，即()(ln )a f x f x -≥，即ln a x x -≥，ln x a x ∴-≤．令()ln x g x x=，由导数法知min ()(e)e g x g ==，e a ∴≥-．故选C ．10．已知函数13()2ln ()m x f x x x m x =--ｅ，当e x ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为()A ．(, 4e]-∞B ．(, 3e]-∞C ．(, 2e]-∞D ．3e (, ]2-∞10．答案解析1113222()02ln ()2ln (1)ln (1)m m m x x x f x x x m x x x x x x x ---≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-ｅｅｅ，即212ln ln e(1)m x x m x x -≥-ｅ，令()e x g x x =，则()g x 在[e, )+∞单调递增，即2(ln )(1)m g x g x ≥-，当0m ≤时，212ln ln e (1)m x x m x x -≥-ｅ恒成立，当0m >时，2ln 12ln m x m x x x x ≥-⇒≤+，令()2ln h x x x x =+，则()2ln 30h x x '=+>，()h x ∴在[e, )+∞上单调递增，min ()(e)3e h x h ∴==．故选B ．。
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放缩思想在高考数学中的应用
高中阶段，在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。
其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。
例如，让我们证明x^2-2x+1≥0，这个题目对大家来说根本算不上问题。
但是如果让我们证明x^2-3x+e^x ≥0。
这个式子我们看起来非常陌生，我们对e^x 并不熟悉，我们不喜欢e^x 或者lnx,因此，我们可以把他们转化为x 的形式。
这道题目，我们可以先证明e^x ≥x+1，这里构造辅助函数f(x)=e^x-x-1即可证明，
证明后，我们可以得到x^2-3x+e^x ≥x^2-2x+1≥0当x=1时两等号成立。
在此，我给出以下4个常考的辅助函数供大家参考。
① e^x ≥x+1当x=0时等号成立
② lnx ≤x-1当x=1时等号成立
③ sinx ≤x 当x=0时等号成立
④ cosx ≤x+1当x=0时等号成立
接下来我们不妨来试一道高考题，2012年山东高考压轴题。
22(本小题满分13分)
已知函数f(x) = x e
k x +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，21)(-+<e x g 。
上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。
在第三问中，我们可以看出关键步骤就是把g(x)分成1+x/e^x和1-x-xlnx两部分，但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢？看完上面的文章，我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。
g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/e^x
看到这个函数，我们的第一反应应该是：这个函数不好做，e^x和lnx 太烦了，我们把它放缩一下。
把lnx换成x-1,把e^x换成x+1。
原式g(x)＜1-x-xlnx ①
①式≤1-x^2 ②
看到②式，很多人就会认为，呀！这么简单就做出来了？细心的朋友可能会发现，其实①式的推导存在着一定的问题。
已知lnx≤x-1 ③
那么-lnx应当≥1-x所以①式≥1-x^2 ④
如果我把x放缩成lnx-1行不行？利用-(x)≤-(lnx+1)
把①式化为1-x(lnx+1)≤1-（lnx+1）^2
但我们来仔细推敲一下，我们已知的是-x≤-(lnx+1)③
那么我们能不能通过③式得到-x(lnx+1)≤-(lnx+1)(lnx+1)呢？
显然这是不行的，因为lnx+1的符号未知。
当lnx+1≥0时是成立的
而当lnx+1≤0时
-x(lnx+1)≥-(lnx+1)(lnx+1)
接下来我们回归这道题目。
第一步把e^x放缩为x+1之后
g(x)＜1-x-xlnx
构造辅助函数h(x)=1-x-lnx即可，并不需要上述那些复杂的讨论，那些讨论，是为了方便大家了解在放缩应用的过程中容易出现的问题。
其实，我所列出的辅助函数，只不过是高考中最常见的4种函数的放缩方式，能解决大部分的问题，例如2014年新课标1卷，最后一问让我们证明f(x)=e^xlnx+2e x−1/x＞1 ①
标准答案所给的思路是将①式移项，得到
xlnx＞x e−x-2/e ②
证明②式左端函数最小值＞右端函数最大值。
这显然不是我们正常的思路，按照我们先前的思路，把e^x换成x+1 可以得到
f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex ③
把函数分成三个部分，2/e,xlnx,lnx+2/ex分别求导，可以轻松得到
f(x)＞1/e+ln2 ④
我们知道2.7<e<2.8
所以1/e＞1/3 ⑤
接下来我们只需要证明ln2＞2/3，即2^3=8＞e^2 ⑥
又因为e^2＜2.8^2=7.76＜8 ⑦
所以原式得证。
此外，除了上述4种函数，还有很多其他类型的辅助函数等着大家去发现，在这里我只举一个简单的例子
e^x≤x^2+1是成立的
但e^x≤x^n+1呢
请大家自行思索。
解决这类f(x)＜某定值a的问题的关键就是构造合适的辅助函数进行放缩，我们平常做的那些参考资料所给出的答案，往往只是一种过度格式化的答案，答案给出的解题过程并非我们思考的正常顺序。
例如，我们看到它构造一个辅助函数e^x≤x+1，但他为什么要构造这个函数呢？构造其他的辅助函数可以吗？这是我们应当思考的问题，这也是高中数学乃至高中教学过程中应当注意的问题。