第三章 插补原理及控制方法
第三章 数控插补原理
解：插补完这段直线刀具沿Ｘ和Ｙ轴应走的总步数为 = x e + y e ＝5 + 3＝8。 Y 刀具的运动轨迹如图 E(5，3) 3
2 1 O 1 2 3 4 5 X
第二节 基准脉冲插补
插补运算过程见表：
循环序号 偏差判别 F ≥0 坐标进给 +X 偏差计算 Fi+1=Fi-ye
教案 3
终点判别
m
Y
m(Xm,Ym) B(XB,YB)
+Y2
2 m-R
若Fm=0，表示动点在圆弧上；
若Fm>0，表示动点在圆弧外； 若Fm<0，表示动点在圆弧内。
Rm
R A(XA,YA)
第Ⅰ象限逆圆弧
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
与直线插补同理，坐标进给应使加工点逼近给定圆弧,规定如下： 当Fm≥0时，向-X方向进给一步； 当Fm＜0时，向+Y方向进给一步。
教案 3
若Fi=0，表示动点在直线OE上，如P； 若Fi>0，表示动点在直线OE上方，如P′； 若Fi<0，表示动点在直线OE下方，如P″。
O
xi 第Ι象限直线
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
坐标进给应逼近给定直线方向，使偏差缩小的方向进给一步，由插补装 置发出一个进给脉冲控制向某一方向进给。
教案 3
直线线型 进给方向 偏差计算 直线线型
L1、L4 L2、L3 +X -X Fi+1=Fi-ye L1、L2 L3、L4
偏差计算
Fi+1=Fi+xe
注：表中L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、第Ⅱ、 第Ⅲ、第Ⅳ象限直线，偏差计算式中xe、ye均代 入坐标绝对值。
插补原理及控制方法
CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 和圆弧轨迹进行控制。 和圆弧轨迹进行控制 。 上图为加工某一轮廓时的刀具轨 迹曲线， 运动进行切削加工。 迹曲线，加工时要求刀具沿曲线L运动进行切削加工。 我们可以进行这样的分析， 我们可以进行这样的分析 ， 首先将曲线 L 分割为 l0、 若干段， l1、…li、…lN若干段，再用直线和圆弧代替这些小的曲 线段， 足够小时， 就接近了原曲线； 线段 ， 当逼近误差 δ 足够小时 ， 就接近了原曲线 ； 然后 运动的合成， 数控系统通过各坐标方向 最小位移量 运动的合成 ， 不断 地控制刀具相对工件运动， 走出直线和圆弧， 地控制刀具相对工件运动 ， 走出直线和圆弧 ， 从而非常 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线。 数字化 ” 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线 。 这体现出了 “ 数字化” 的概念。 的概念。 这种在允许误差范围内， 用沿直线或圆弧（ 这种在允许误差范围内 ， 用沿直线或圆弧 （ 逼近函 合成的分段运动代替任意曲线运动， 数 ） 的 最小位移量 合成的分段运动代替任意曲线运动 ， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法 ， 是数字控制的基本 构思之一，这个过程就是插补。 构思之一，这个过程就是插补。
插补开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算 N 终点判别 Y 插补结束
二、逐点比较法直线插补 如图所示， 如图所示 ， 对 XY平面第 平面第 一象限直线段进行插补。 一象限直线段进行插补 。 直 线段起点位于坐标原点O， 线段起点位于坐标原点 ，终 点 位 于 A （ Xe,Ye ） 。 设 点 P （ Xi， Yi） 为任一动点 （ 加 ， ） 为任一动点（ 工点、插补点） 工点、插补点）。 点在直线OA上时 上时， 当P点在直线 上时， 点在直线 XeYi – XiYe = 0 当P点在直线 上方时， 点在直线OA上方时， 点在直线 上方时 XeYi – XiYe > 0 点在直线OA下方时 下方时， 当P点在直线 下方时， 点在直线 XeYi – XiYe < 0
第三章、插补计算原理与速度控制
第三章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制第一节 概述一、插补的基本概念如何控制刀具或工件的运动是机床数字控制的核心问题。
要走出平面曲线运动轨迹需要两个运动坐标的协调运动，要走出空间曲线运动轨迹则要求三个或三个以上运动坐标的协调运动。
运动控制不仅控制刀具相对于工件运动的轨迹，同时还要控制运动的速度。
直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，因此大多数CNC 系统一般都具有直线和圆弧插补功能。
对于非直线或圆弧组成的轨迹，可以用小段的直线或圆弧来拟合。
只有在某些要求较高的系统中，才具有抛物线、螺旋线插补功能。
一个零件加工程序除了提供进给速度和刀具参数外，一般都要提供直线的起点和终点，圆弧的起点、终点、顺逆和圆心相对于起点的偏移量。
所谓插补是指数据密化的过程。
在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，使机床加工出所要求的轮廓曲线。
对于轮廓控制系统来说，插补是最重要的计算任务，插补程序的运行时间和计算精度影响着整个CNC 系统的性能指标，可以说插补是整个CNC 系统控制软件的核心。
人们一直在努力探求一种简单而有效的插补算法，目前普遍应用的算法可分为两大类：一类是脉冲增量插补；另一类是数据采样插补。
二、脉冲增量插补脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补。
该插补算法主要为各坐标轴进行脉冲分配计算。
其特点是每次插补的结束仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的方式输出给步进电动机。
脉冲增量插补在插补计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，驱动各坐标轴的电动机运动。
在数控系统中，一个脉冲所产生的坐标轴位移量叫做脉冲当量，通常用δ表示。
脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。
普通精度的机床取mm 01.0=δ，较精密的机床取mm 001.0=δ或mm 005.0。
插补原理及控制方法课件
基于粒子群优化算法的路径规划
02
利用粒子群优化算法的群体搜索特性，寻找最优解，提高插补
路径的合理性。
基于模拟退火算法的路径规划
03
利用模拟退火算法的全局搜索能力，寻找最优解，提高插补路
Байду номын сангаас径的合理性。
结合机器学习算法优化插补控制参数
基于神经网络的参数优化
利用神经网络的自学习能力，根据历史数据学习最优参数，提高插补控制的精度。
案例二：圆弧插补算法的实现与优化
圆弧插补定义
圆弧插补原理
圆弧插补算法实现
圆弧插补优化
圆弧插补是指通过在两个给定 点之间插入若干个点，以绘制 圆弧的插补算法。
通过确定圆心和半径，以及起 始点和终点，计算出各点的坐 标值。常用的算法包括中心法 、极坐标法和参数方程法等。
一种常见的实现方法是使用参 数方程，通过设置起始点、终 点和圆心位置，以及需要插入 的点数，计算出各点的坐标值 。
一种常见的实现方法是使用参数方程，通过设置 起始点和终点，以及需要插入的点数，计算出各 点的坐标值。
直线插补原理
通过计算两个点之间的斜率和截距，确定直线方 程，然后根据需要插入的点数，计算出各点的坐 标值。
直线插补优化
对于复杂图形，需要优化直线插补算法，以减少 计算量和提高效率。一种常见的方法是使用样条 曲线插补，将直线分成若干段，每段使用不同的 斜率和截距。
对于复杂图形，需要优化圆弧 插补算法，以减少计算量和提 高效率。一种常见的方法是使 用样条曲线插补，将圆弧分成 若干段，每段使用不同的半径 和中心位置。
案例三：多轴插补算法的实现与优化
• 多轴插补定义：多轴插补是指通过同时控制多个轴的运动，以实现复杂形状的 插补算法。
第三章 数控系统插补原理
第三章 数控系统插补原理3.1 概述3.2 基准脉冲插补3.2.1 逐点比较插补法3.2.2 数字积分插补法3.3 数据采样插补3.3.1 直线函数法3.3.2 扩展DDA 法3.4 刀具补偿原理3.5 CNC 装置的加减速控制零件的轮廓形状是由各种线型组成的，这些线形包括：直线、圆弧以及螺旋线、抛物线、自由曲线等。
因此如何控制刀具与工件的相对运动，使加工出来的零件满足几何尺寸精度和粗糙度的要求，是机床数控系统的核心问题。
数控加工中是利用小段直线或圆弧来逼近或拟合零件的轮廓曲线。
3.1 概述插补运算是根据数控语言G 代码提供的轨迹类型（直线、顺圆或逆圆）及所在的象限等选择合适的插补运算公式，通过相应的插补计算程序，在所提供的已知起点和终点的轨迹上进行“数据点的密化”。
过去，插补是由硬件实现的；现在的CNC 系统，插补工作一般是由软件实现的。
3.1.1 插补的基本概念3.1.2 插补原理所谓插补就是指数据点的密化过程：对输入数控系统的有限坐标点（例如起点、终点），计算机根据曲线的特征，运用一定的计算方法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，以满足加工精度的要求。
目前应用的插补算法分为：逐点比较插补法、数字积分插补法和数据采样插补法。
前两种方法也称作脉冲增量插补法。
y x图3.3.2 插补轨迹A(8,6)O用折线来加工直线的例子。
图3.3.8 逆圆插补轨迹A(6,0)B(0,6)插补轨迹理想轨迹yxO用折线来加工圆弧的例子。
3.1.3 脉冲增量插补脉冲增量插补，适用于以步进电机为驱动装置的开环数控系统。
其特点是：每次插补计算结束后产生一个行程增量，并以脉冲的方式输出到坐标轴上的步进电机。
单个脉冲使坐标轴产生的移动量叫脉冲当量，一般用δ来表示。
其中逐点比较插补法和数字积分插补法得到了广泛的应用。
下面分别讲述。
逐点比较法的基本原理是计算机在控制过程中逐点地计算和判断加工偏差，并根据偏差决定下一步的进给方向，以折线来逼近直线或圆弧曲线。
第三章 插补原理及控制方法
逼近误差（直线逼近曲线）、计算误差和圆整误差
要求：综合效应（轨迹误差）不大于系统的最小运动指令或脉冲当量。
3。合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性——插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度。
(3)偏差计算 根据递推公式算出新加工点的偏差值。
(4)终点判别 用来确定加工点是否到达终点。
若已到达，则应发出停机或转换新程序段信号。一般用X和Y坐标所要走的总步数J来判别。令J=Xe+Ye，每走一步则了减1，直至J=0。
实际加工中零件形状各式各样:
由直线、圆弧组成的零件轮廓；
由诸如自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。
为满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应与零件轮廓形状一致，但实际应用时往往用一小段直线或圆弧去逼近，从而使得控制算法简单，计算量减少。
综上所述，系统的刀补工作状态，始终存有三个程序段的信息。
刀具补偿的转接处理是对所有的编程轨迹作矢量处理，
综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤(节拍)，即：
(1)位置判别 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。
(2)坐标进给 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定沿哪个方向进给一步。
数字积分器的工作原理
求函数y=f(t)在区间[t0,tn]的定积分
即求
若将积分区间[t0,tn]等分成很多小区间△t(其中△t=ti+1,ti)，则面积S可近似看成为很多小长方形面积之和，即
如将△t取为一个最小单位时间(即一个脉冲周期时间)，即△t=1，则
插补原理及控制方法
坐标计算 X0 = XA=10 Y0 = YA=0 X1 = X0 -1=9 Y1 = Y0=0 X2= X1=9 Y2 = Y1+1=1 X3= X2=9 Y3 = Y2+1=2
终点判别 n=0； N=12
第 三 章 插 补 原 理 及 控 制 方 法
1 2 3
F0 = 0 F1 = -19 ＜0 F2 = -18 ＜0
第 三 章
2-1 逐点比较法插补
一、逐点比较法直线插补 Y
2018年12月10日星期一
偏差判别函数 当M在OA上，即F=0时；
i e
Y Y F<0 插 FX Y XY 0 F=0 X X 补 X 原 O 当M在OA下方，即F<0时； 理 Yi Ye 及 插补规则 FX Y XY 0 控 当F0，则沿+X方向进给一步 X X e 制 当F<0，则沿+Y方向进给一步。 i 方 4 法
i e
e i i e
F>0
· ··
M(Xi,Yi)
Y Y A(Xe,Ye) X X
i
FX Y XY 0
e i i e
e
当M在OA上方，即F>0时；iee来自iie
数 控 技 术
2-1 逐点比较法插补
2018年12月10日星期一
偏差判别函数的递推形式 设当前切削点(Xi,Yi)的偏差为F=Fi=XeYi-XiYe 则根据偏差公式
2 2 2 i i i
R
O A(X0,Y0)
X
偏差判别式
F X Y R
9
数 控 技 术
2-1 逐点比较法插补
偏差判别函数的递推形式 设当前切削点M(Xi,Yi)的偏差为 i 则根据偏差公式
数控技术第3章插补原理
数控技术第3章插补原理插补原理第三章插补原理插补原理§3.1一、基本概念概述插补(Interpolation):数控系统根据给定的进给速度和轮廓线形基本数据(直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终点坐标),在轮廓的已知点之间，运用一定的算法，形成一系列中间点坐标数据，从而自动的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹分析，以满足加工精度的要求。
插补原理插补是数控系统最重要的功能；插补实际是数据密集化的过程；插补必须是实时的；插补运算速度直接影响系统的控制速度；插补计算精度影响到整个数控系统的精度。
插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高次曲线插补器；根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件插补。
目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。
根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
插补原理脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线距离，称为脉冲当量，用δ表示。
一般0.01mm~0.001mm。
脉冲当量越小，则机床精度越高yA(xe,ye)ox插补原理二、插补方法分类 1.脉冲增量插补每次插补结束，在一个轴上仅产生单个的行程增量，以一个脉冲的方式输出给步进电动机，实现一个脉冲当量的位移。
进给速度与插补速度相关。
插补的实现方法简单，通常只用加法和移位即可完成插补，易用硬件实现，且运算速度快。
适用于以步进电动机为驱动装�Z的开环数控系统。
按插补运算方法，可分为逐点比较法和数字积分法等。
插补原理2.数字增量插补数控装�Z产生的是数字量，而不是单个脉冲。
插补程序以一定的周期定时进行，在每个周期内根据进给速度计算出坐标轴在下一个插补周期内的位移增量。
分为粗插补(用若干条微小直线段来逼近给定曲线)和精插补(在每一条微小直线段上进行数据的密化工作)。
插补运算速度与进给速度无严格的关系，可获得较高的进给速度插补算法复杂，对计算机有较高要求。
适用于以直流或交流伺服电动机为驱动的闭环或半闭环位�Z采样控制系统常用的数字增量插补有时间分割法和扩展数字积分法插补原理三、评价插补算法的指标稳定性指标：插补运算实际是一种叠代运算。
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控
制
方
法
插补计算的任务就
是对轮廓线的起点到终
点之间再密集地计算出
有限个坐标点，刀具沿
第 着这些坐标点移动，来 三 逼近理论轮廓，以保证 章 切削过程中每一点的精
度和表面质量。
插
补
插补的实质是根据有限的信息完成 “数据
原 理 及
密化” 的工作，即数控装置依据编程时的有 限数据，按照一定方法产生基本线型 (直线、
补 期的进给段(轮廓步长)，即用弦线或割线逼
原 理
近轮廓轨迹。
及
控
制
方
法
数据采样插补运算分 两步完成。
第一步为粗插补，在给定
起点和终点的曲线之间插
入若干个点，即用若干条
第
微小直线段来逼近
三 章
给定曲线，每一微小直线段的长度⊿L都相等，且与
给定进给速度有关。粗插补在每个插补运算周期中计
算一次，因此，每一微小直线段的长度与进给速度F
章
插 补
若m在OA直线上方，则
yj ye xi xe
原
理
即 xe yj xi ye 0
及
控 制
若m在OA直线下方，则 yj ye
方
xi xe
法
即 xe yj xi ye 0
由此可以取
Fi j xe y j xi ye
第
偏差判别函数为
三
章
插 补
若Fi j ＝0，表明 m 在直线上；
原 理
第一、偏差判别 判别实际加工点相对规定几
第
何轨迹的偏离位置，然后决定刀具走向；
三 第二、进给运动 控制某坐标轴使工作台进给
章
一步，向规定的几何轨迹靠拢，缩小偏差；
第三、偏差计算 计算新的加工点对规定轨迹
插
的偏差，作为下一步判别走向的依据；
补 原
第四、终点判别 判别是否到达程序规定的加
理
工终点，若到达终点则停止插补，否则再
补
原
理
及
控
制
方
法
基准脉冲插补的实现方法较简单(只
有加法和移位)，容易用硬件实现。而
且，硬件电路本身完成一些简单运算的
第 速度很快。目前也可以用软件完成这类 三 算法。
章
它仅适用于一些中等精度或中等速度
插 要求的计算机数控系统，即常用于步进
补 原
电机控制系统。
理
及
控
制
方
法
基准脉冲插补方法有下列几种：
基准脉冲插补又称为行程标量插补或 脉冲增量插补。
第
基本思想是采用折线来逼近曲线(包
三 章
括直线)。
插 补 原 理 及 控 制 方 法
这种插补算法的特点是每次插补结
束，数控装置向每个运动坐标输出基
准脉冲序列，每个脉冲代表了最小位
第
移，这个最小位移称为脉冲当量。
三
章
脉冲序列的频率代表了坐标运动速
插
度，而脉冲的数量表示移动量。
及 控
回到第一拍。
制
方
法
16
1．直线插补原理
以第一象限直线为例，假定直线OA起点
为坐标原点，终点A的坐标为 xe , ye ，m( xi
第
, y j )为加工点。
三
章
插 补 原 理 及 控 制 方 法
第一拍 偏差判别
若m在OyAj直线y上e ，则
xi xe
第 三
即 xe y j xi ye 0
理
及
控
制
方
法
二、插补器的基本要求
插补是数控系统的主要功能，它直接
影响数控机床加工的质量和效率。因此，
对插补器的基本要求是：
第 三
1．插补所需的原始数据较少；
章
2．有较高的插补精度，插补结果没有
累计误差，局部偏差不能超过允许的误差
插
(一般应保证小于规定的分辨率)；
补 原
3．沿进给路线，进给速度恒定且符合
第 三
其原理是：计算机在控制加工轨迹过程中
章
逐点计算和判断加工偏差以控制坐标进给方
向，从而按规定的图形加工出合格的零件。
插
补
从目前我国情况来看，是构成插补器应用
原 理 及
最多的一种插补原理，它能实现直线插补、 圆弧插补和非圆二次曲线插补，插补精度较
控
高。
制
方
法
15
逐点比较法特点是：计算机每控制机床坐标 （刀架）走一步时都要完成四个工作节拍。
1．数字脉冲乘法器插补法；
2．逐点比较法；
第 三
3．数字积分法；
章
4．矢量判别法；
插
5．比较积分法。
补
原
理
及
控
制
方
法
(二 )数据采样插补
数据采样插补又称为时间标量插补或数字 增量插补。
第
这类插补算法的特点是数控装置产生的不
三 章
是单个脉冲，而是标准二进制字。
数据采样插补采用时间分割的思想，根据
插 编程的进给速度，将轮廓曲线分割为采样周
第三章
插补原理及控制方法
一、插补的基本概念
机床数字控制的核心问题，就是如 何控制刀具或工件的运动。
第
对于平面曲线的运动轨迹需要两个
三 章
运动坐标协调的运动，对于空间曲线
或立体曲面则要求三个以上运动坐标
插 产生协调的运动，才能走出其轨迹。
补 原
在计算机数字控制机床中，各种轮
理 及
廓加工都是通过插补计算要轮廓轨迹
制 方
的拟合工作。
法
无论是普通数控(硬件数控NC)系统，
还是计算机数控(CNC)系统，都必须有
完成“插补”功能的部分，能完成插补
第 工作的装置叫插补器。
三
章
NC系统中插补器由数字电路组成，
插 称为硬件插补；而在CNC系统中，插补
补 原
器功能由软件来实现，称为软件插补。
插 补
和插补周期T有关，即⊿L＝FT。
原
第二步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直
理 及 控
线段的基础上再作“数据点的密化”工作。这一步 相当于对直线的脉冲增量插补。
制
方
法
数据采样插补方法适用于闭环、半 闭环以直流和交流伺服电机为驱动装 置的位置采样控制系统。
第
在实际使用中，粗插补运算通常用
三 章
若Fi j ＞0，表明 m 在直线上方；
及 控
若Fi j ＜0，表明 m 在直线下方。
制
方
法
第二拍 坐标进给
y
对于第一象限的直线， 从起点(即坐标原点)出发， M (x i y j )
(Xe,Ye) A
第 三 章
当 Fij≥0 时 ， 沿 +x 方 向 走 一步；当Fij＜0时，沿+y 方向走一步。
理
加工要求；
及
控
4．硬件线路简单可靠，软件插补算法
制 方
简捷，计算速度快。
法
三、插补方法的分类
大多数数控机床的数控装置都具 有直线插补器和圆弧插补器。
第 三
根据插补所采用的原理和计算方
章 法的不同，可有许多插补方法。
插
目前应用的插补方法分为两类
补 原
基准脉冲插补
理
及
数据采样插补
控
制
方
法
(一)基准脉冲插补
软件实现，而精插补既可以用软件也
可以用硬件来实现。
插 补 原 理 及 控 制 方 法
数据采样插补方法很多，下面是几 种常用的插补方法。
1．直线函数法；
第 三
2．扩展数字积分法；
章
3．二阶递归扩展数字积分插补法；
插
4．双数字积分插补法。
补
原
理
及
控
制
方
法
3-1 逐点比较法插补
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法） 又称区域判别法、醉步法。