第三章 插补原理及控制方法
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第三章 插补原理及控制方法
控
制
方
法
插补计算的任务就
是对轮廓线的起点到终
点之间再密集地计算出
有限个坐标点，刀具沿
第 着这些坐标点移动，来 三 逼近理论轮廓，以保证 章 切削过程中每一点的精
度和表面质量。
插
补
插补的实质是根据有限的信息完成 “数据
原 理 及
密化” 的工作，即数控装置依据编程时的有 限数据，按照一定方法产生基本线型 (直线、
补 期的进给段(轮廓步长)，即用弦线或割线逼
原 理
近轮廓轨迹。
及
控
制
方
法
数据采样插补运算分 两步完成。
第一步为粗插补，在给定
起点和终点的曲线之间插
入若干个点，即用若干条
第
微小直线段来逼近
三 章
给定曲线，每一微小直线段的长度⊿L都相等，且与
给定进给速度有关。粗插补在每个插补运算周期中计
算一次，因此，每一微小直线段的长度与进给速度F
章
插 补
若m在OA直线上方，则
yj ye xi xe
原
理
即 xe yj xi ye 0
及
控 制
若m在OA直线下方，则 yj ye
方
xi xe
法
即 xe yj xi ye 0
由此可以取
Fi j xe y j xi ye
第
偏差判别函数为
三
章
插 补
若Fi j ＝0，表明 m 在直线上；
原 理
第一、偏差判别 判别实际加工点相对规定几
第
何轨迹的偏离位置，然后决定刀具走向；
三 第二、进给运动 控制某坐标轴使工作台进给
章
一步，向规定的几何轨迹靠拢，缩小偏差；
第三章 数控插补原理
解：插补完这段直线刀具沿Ｘ和Ｙ轴应走的总步数为 = x e + y e ＝5 + 3＝8。 Y 刀具的运动轨迹如图 E(5，3) 3
2 1 O 1 2 3 4 5 X
第二节 基准脉冲插补
插补运算过程见表：
循环序号 偏差判别 F ≥0 坐标进给 +X 偏差计算 Fi+1=Fi-ye
教案 3
终点判别
m
Y
m(Xm,Ym) B(XB,YB)
+Y2
2 m-R
若Fm=0，表示动点在圆弧上；
若Fm>0，表示动点在圆弧外； 若Fm<0，表示动点在圆弧内。
Rm
R A(XA,YA)
第Ⅰ象限逆圆弧
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
与直线插补同理，坐标进给应使加工点逼近给定圆弧,规定如下： 当Fm≥0时，向-X方向进给一步； 当Fm＜0时，向+Y方向进给一步。
教案 3
若Fi=0，表示动点在直线OE上，如P； 若Fi>0，表示动点在直线OE上方，如P′； 若Fi<0，表示动点在直线OE下方，如P″。
O
xi 第Ι象限直线
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
坐标进给应逼近给定直线方向，使偏差缩小的方向进给一步，由插补装 置发出一个进给脉冲控制向某一方向进给。
教案 3
直线线型 进给方向 偏差计算 直线线型
L1、L4 L2、L3 +X -X Fi+1=Fi-ye L1、L2 L3、L4
偏差计算
Fi+1=Fi+xe
注：表中L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、第Ⅱ、 第Ⅲ、第Ⅳ象限直线，偏差计算式中xe、ye均代 入坐标绝对值。
数控技术数控插补原理
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2
3.1.1 插补的基本概念
插补运算具有实时性，其运算速度和精度会直接影响数 控系统的性能指标。 插补可描述为“以脉冲当量为单位，进行有限分段，以 折代直，以弦代弧，以直代曲，分段逼近，相连成轨 迹”。 用微小直线段来拟合曲线图片如下图：
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3
3.1.2 插补方法的分类
终点判别 N=10 N=10-1=9 N=9-1=8 N=8-1=7 N=7-1=6 N=6-1=5 N=5-1=4 N=4-1=3 N=3-1=2 N=2-1=1 N=1-1=0
14
3.2.1 四方向逐点比较法
（3）四方向逐点比较法圆弧插补
圆弧曲线的加工分逆圆弧插补（G03）和顺圆弧插补（G02）
图3-16 函数的积分示意图
22
3.2.3 数字积分法
(2) 数字积分法的基本原理
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3.2.3 数字积分法
曲线y=f(x)的DDA插补器框图
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3.2.3 数字积分法
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25
3.2.3 数字积分法
(3) DDA法直线插补 说明（一）
第3章 数控插补原理
3.1 插补原理简介 数控编程人员根据零件图编写出数控加工程序后，通过 输入设备将其传送到数控装置内部，然后通过数控系统 控制软件的译码和预处理，开始针对刀具补偿计算后的 刀具中心轨迹进行插补运算。
机床数控系统要解决的关键问题是控制刀具与工件运动 轨迹的问题，就是如何根据控制指令和数据进行脉冲数 目分配的运算，即插补运算。 插补技术是机床数控系统的核心技术，插补算法的选择 直接影响到精度、速度和加工能力。
插补原理及控制方法
CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 和圆弧轨迹进行控制。 和圆弧轨迹进行控制 。 上图为加工某一轮廓时的刀具轨 迹曲线， 运动进行切削加工。 迹曲线，加工时要求刀具沿曲线L运动进行切削加工。 我们可以进行这样的分析， 我们可以进行这样的分析 ， 首先将曲线 L 分割为 l0、 若干段， l1、…li、…lN若干段，再用直线和圆弧代替这些小的曲 线段， 足够小时， 就接近了原曲线； 线段 ， 当逼近误差 δ 足够小时 ， 就接近了原曲线 ； 然后 运动的合成， 数控系统通过各坐标方向 最小位移量 运动的合成 ， 不断 地控制刀具相对工件运动， 走出直线和圆弧， 地控制刀具相对工件运动 ， 走出直线和圆弧 ， 从而非常 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线。 数字化 ” 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线 。 这体现出了 “ 数字化” 的概念。 的概念。 这种在允许误差范围内， 用沿直线或圆弧（ 这种在允许误差范围内 ， 用沿直线或圆弧 （ 逼近函 合成的分段运动代替任意曲线运动， 数 ） 的 最小位移量 合成的分段运动代替任意曲线运动 ， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法 ， 是数字控制的基本 构思之一，这个过程就是插补。 构思之一，这个过程就是插补。
插补开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算 N 终点判别 Y 插补结束
二、逐点比较法直线插补 如图所示， 如图所示 ， 对 XY平面第 平面第 一象限直线段进行插补。 一象限直线段进行插补 。 直 线段起点位于坐标原点O， 线段起点位于坐标原点 ，终 点 位 于 A （ Xe,Ye ） 。 设 点 P （ Xi， Yi） 为任一动点 （ 加 ， ） 为任一动点（ 工点、插补点） 工点、插补点）。 点在直线OA上时 上时， 当P点在直线 上时， 点在直线 XeYi – XiYe = 0 当P点在直线 上方时， 点在直线OA上方时， 点在直线 上方时 XeYi – XiYe > 0 点在直线OA下方时 下方时， 当P点在直线 下方时， 点在直线 XeYi – XiYe < 0
第三章、插补计算原理与速度控制
第三章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制第一节 概述一、插补的基本概念如何控制刀具或工件的运动是机床数字控制的核心问题。
要走出平面曲线运动轨迹需要两个运动坐标的协调运动，要走出空间曲线运动轨迹则要求三个或三个以上运动坐标的协调运动。
运动控制不仅控制刀具相对于工件运动的轨迹，同时还要控制运动的速度。
直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，因此大多数CNC 系统一般都具有直线和圆弧插补功能。
对于非直线或圆弧组成的轨迹，可以用小段的直线或圆弧来拟合。
只有在某些要求较高的系统中，才具有抛物线、螺旋线插补功能。
一个零件加工程序除了提供进给速度和刀具参数外，一般都要提供直线的起点和终点，圆弧的起点、终点、顺逆和圆心相对于起点的偏移量。
所谓插补是指数据密化的过程。
在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，使机床加工出所要求的轮廓曲线。
对于轮廓控制系统来说，插补是最重要的计算任务，插补程序的运行时间和计算精度影响着整个CNC 系统的性能指标，可以说插补是整个CNC 系统控制软件的核心。
人们一直在努力探求一种简单而有效的插补算法，目前普遍应用的算法可分为两大类：一类是脉冲增量插补；另一类是数据采样插补。
二、脉冲增量插补脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补。
该插补算法主要为各坐标轴进行脉冲分配计算。
其特点是每次插补的结束仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的方式输出给步进电动机。
脉冲增量插补在插补计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，驱动各坐标轴的电动机运动。
在数控系统中，一个脉冲所产生的坐标轴位移量叫做脉冲当量，通常用δ表示。
脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。
普通精度的机床取mm 01.0=δ，较精密的机床取mm 001.0=δ或mm 005.0。
插补原理
F8=F7-2x7+1=0
x8=4, y8=0
终点判别 Σ=4+4=8 Σ=8-1=7
Σ=7-1=6
Σ=5 Σ=4 Σ=3 Σ=2 Σ=1 Σ=0
图 3.4 逐点比较法圆弧插补轨
4.逐点比较法的速度分析 刀具进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的重要依据。 （1）直线插补的速度分析 直线加工时，有
（为 0.701f），进给速度在（1～0.707）f 间变化。 5.逐点比较法的象限处理 以上仅讨论了第一象限的直线和圆弧插补，对于其它象限的直线和圆弧，可采取不同
方法进行处理。下面介绍其中的两种。 （1）分别处理法 前面讨论的插补原理与计算公式，仅适用与第一象限的情况。对于其它象限的直线插补
和圆弧插补，可根据上面的分析方法，分别建立其偏差函数的计算公式。这样对于四个象限 的直线插补，会有 4 组计算公式，对于 4 个象限的逆时针圆弧插补和 4 个象限的顺时针圆弧 插补，会有 8 组计算公式，其刀具的偏差和进给方向可用图 3.7 的简图加以表示。
F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6
x2=3 y2=y1+1=1
F3=F2+2y2+1=-3
x3=4, y3=2
F4=F3+2y3+1=2
x4=3, y4=3
F5=F4-2x4+1=-3
x5=4, y5=0
F6=F5+2y5+1=4
x6=4, y6=0
F7=F6-2x6+1=1
x7=4, y7=0
步数
表 3.1 逐点比较法直线插补过程
偏差判别
坐标进给
偏差计算
第三章插补原理 课件
延边大学 工学院
12
● 顺圆插补
◆ F≥0，规定向 -Y 方向走一步
Yi +1 = Yi - 1 Fi +1 = X i2 + (Yi - 1) 2 - R 2 = Fi - 2Yi + 1
◆ Fi<0，规定向 + X 方向走一步
X i +1 = X i + 1 Fi +1 = ( X i + 1) 2 + Yi 2 - R 2 = Fi + 2 X i + 1
延边大学 工学院
19
逐点比较法的象限处理
● 分别处理法
四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4个象限的逆时针 圆弧插补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式
● 坐标变换法 用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限 顺圆插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象 限顺圆和第二、四象限逆圆插补的偏差计算
V = Vx = V y = k L xe y e
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26
DDA 直线插补（1）
由图中得出
V =V X =V Y = K L Xe Ye
△t时间内，X和Y方向移动的微小增量△x、△y ：
ΔX = KX e Δt
ΔY = KY e Δt
因此，动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标每经过一个单位
延边大学 工学院
终点判别 ∑=10 ∑=10-1=9 ∑=9-1=8 ∑=8-1=7 ∑=7-1=6 ∑=6-1=5 ∑=5-1=4 ∑=4-1=3 ∑=3-1=2 ∑=2-1=1 ∑=1-1=0
10
逐点比较法直线插补例
◆ 对于第一象限直线OA
第三章 插补原理及控制方法
2。插补的精度指标
逼近误差（直线逼近曲线）、计算误差和圆整误差
要求：综合效应（轨迹误差）不大于系统的最小运动指令或脉冲当量。
3。合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性——插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度。
(3)偏差计算 根据递推公式算出新加工点的偏差值。
(4)终点判别 用来确定加工点是否到达终点。
若已到达，则应发出停机或转换新程序段信号。一般用X和Y坐标所要走的总步数J来判别。令J=Xe+Ye，每走一步则了减1，直至J=0。
实际加工中零件形状各式各样:
由直线、圆弧组成的零件轮廓；
由诸如自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。
为满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应与零件轮廓形状一致，但实际应用时往往用一小段直线或圆弧去逼近，从而使得控制算法简单，计算量减少。
综上所述，系统的刀补工作状态，始终存有三个程序段的信息。
刀具补偿的转接处理是对所有的编程轨迹作矢量处理，
综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤(节拍)，即：
(1)位置判别 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。
(2)坐标进给 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定沿哪个方向进给一步。
数字积分器的工作原理
求函数y=f(t)在区间[t0,tn]的定积分
即求
若将积分区间[t0,tn]等分成很多小区间△t(其中△t=ti+1,ti)，则面积S可近似看成为很多小长方形面积之和，即
如将△t取为一个最小单位时间(即一个脉冲周期时间)，即△t=1，则
逼近误差（直线逼近曲线）、计算误差和圆整误差
要求：综合效应（轨迹误差）不大于系统的最小运动指令或脉冲当量。
3。合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性——插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度。
(3)偏差计算 根据递推公式算出新加工点的偏差值。
(4)终点判别 用来确定加工点是否到达终点。
若已到达，则应发出停机或转换新程序段信号。一般用X和Y坐标所要走的总步数J来判别。令J=Xe+Ye，每走一步则了减1，直至J=0。
实际加工中零件形状各式各样:
由直线、圆弧组成的零件轮廓；
由诸如自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。
为满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应与零件轮廓形状一致，但实际应用时往往用一小段直线或圆弧去逼近，从而使得控制算法简单，计算量减少。
综上所述，系统的刀补工作状态，始终存有三个程序段的信息。
刀具补偿的转接处理是对所有的编程轨迹作矢量处理，
综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤(节拍)，即：
(1)位置判别 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。
(2)坐标进给 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定沿哪个方向进给一步。
数字积分器的工作原理
求函数y=f(t)在区间[t0,tn]的定积分
即求
若将积分区间[t0,tn]等分成很多小区间△t(其中△t=ti+1,ti)，则面积S可近似看成为很多小长方形面积之和，即
如将△t取为一个最小单位时间(即一个脉冲周期时间)，即△t=1，则
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使加工点移动一步到：M1 ( x i+1 , y j )
得： xi+1= xi + 1
第
三 章
yj = yj
则 M1点的偏差为：
y
A M( x i , y j )
插 补 原 理
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye
αi M1( xi+1 , y j )
= x e y j - ( xi + 1) ye o α
及 控
回到第一拍。
制
方
法
16
1．直线插补原理
以第一象限直线为例，假定直线OA起点
为坐标原点，终点A的坐标为 xe , ye ，m( xi
第
, y j )为加工点。
三
章
插 补 原 理 及 控 制 方 法
第一拍 偏差判别
若m在OyAj直线y上e ，则
xi xe
第 三
即 xe y j xi ye 0
第三章
插补原理及控制方法
一、插补的基本概念
机床数字控制的核心问题，就是如 何控制刀具或工件的运动。
第
对于平面曲线的运动轨迹需要两个
三 章
运动坐标协调的运动，对于空间曲线
或立体曲面则要求三个以上运动坐标
插 产生协调的运动，才能走出其轨迹。
补 原
在计算机数字控制机床中，各种轮
理 及
廓加工都是通过插补计算实现的。
一、 每走一步判断最大坐标的终点
第 坐标值(绝对值)与该坐标累计步数坐标
三 章
值之差是否为零，若等于零，则插补结
束。
插
二、 把每个程序段中的总步数求出
补 原 理 及
来，即n＝ xe ＋ ye，每走一步，进行减 1计算，直到 n＝0 时为止。
控
制
方
法
举例说明直线插补过程 设在第一象限加工一直线段OA，起点为坐
原 理
若Fi j ＞0，表明 m 在直线上方；
及 控
若Fi j ＜0，表明 m 在直线下方。
制
方
法
第二拍 坐标进给
y
对于第一象限的直线， 从起点(即坐标原点)出发， M (x i y j )
(Xe,Ye) A
第 三 章
当 Fij≥0 时 ， 沿 +x 方 向 走 一步；当Fij＜0时，沿+y 方向走一步。
补
原
理
及
控
制
方
法
基准脉冲插补的实现方法较简单(只
有加法和移位)，容易用硬件实现。而
且，硬件电路本身完成一些简单运算的
第 速度很快。目前也可以用软件完成这类 三 算法。
章
它仅适用于一些中等精度或中等速度
插 要求的计算机数控系统，即常用于步进
补 原
电机控制系统。
理
及
控
制
方
法
基准脉冲插补方法有下列几种：
设要加工第 I 象线逆圆弧AE, M为某一时刻加 工点，其坐标为（xi , y j）
第 当( R m > R ) ，M点在圆外
三
章
y
E
当( R m < R ) M点在圆内
插
补
原
理 及
当( R m = R ) M点在圆上
控
制
o
方
法
Rm
R
M (Xi,Yj)
A
x
35
由勾股定理得：
R
2 m
=
Xi2
+
Yj2
控 制 方
IV象限 -ΔY ）, 其坐标值加 Fi,j < 0 o 一。
Fi,j < 0
法
> Fi,j 0
32
程序流程
G01
N
Y
< Fi,j 0
第
Y
II或III ? N N
I或II ?
Y
三
章
- ΔX
+ ΔX
- ΔY
+ ΔY
插
Xi+1=Xi+1
Yj+1=Yj+1
补
Fi+1,j = Fi,j - Ye
插
A (Xe,Ye)
y
补 =(xe yj-xi ye) / xe xi
原
理 及
令： Fi , j xe y j xi ye
M (Xi,Yj)
控
为偏差函数
制
方
法
αi
x
αo
28
若 F i , j 0，应 -ΔX 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i+1 , y j )
得： xi+1= xi + 1
x
及
控 制
=( x e y j - xi ye ) – ye
Fi+1 , j = F i , j - ye
方
法
22
若 F i , j < 0，应+ΔY 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i , y j +1 )
第
得： xi= xi
y
三 章
yj+1 = yj +1
则 M1点的偏差为：
M1( xi , y j+1 ) A
标原点，终点坐标为 xe ＝4， ye ＝5。
第 三 章
插 补 原 理 及 控 制 方 法
第 三 章 插 补 原 理 及 控 制 方 法
3-1 逐点比较法插补---不同象限直线插补
第二象限
tg αi= yj / xi tg α=ye / xe
第 三
tg αi- tg α
章
= yj / xi –ye / xe
理
加工要求；
及
控
4．硬件线路简单可靠，软件插补算法
制 方
简捷，计算速度快。
法
三、插补方法的分类
大多数数控机床的数控装置都具 有直线插补器和圆弧插补器。
第 三
根据插补所采用的原理和计算方
章 法的不同，可有许多插补方法。
插
目前应用的插补方法分为两类
补 原
基准脉冲插补
理
及
数据采样插补
控
制
方
法
(一)基准脉冲插补
插 补 原 理 及
Fi,j+1 = x e y j+1 - x i ye
M( x i , y j )
αi
= x e (y j +1) - xi ye o α
x
控 制
=( x e y j - xi ye ) + xe
F i ,j +1 = Fi ,j +x e
方
法
23
Fi,j 0 ，+ΔX ，Fi+1,j = Fi,j – ye
第一、偏差判别 判别实际加工点相对规定几
第
何轨迹的偏离位置，然后决定刀具走向；
三 第二、进给运动 控制某坐标轴使工作台进给
章
一步，向规定的几何轨迹靠拢，缩小偏差；
第三、偏差计算 计算新的加工点对规定轨迹
插
的偏差，作为下一步判别走向的依据；
补 原
第四、终点判别 判别是否到达程序规定的加
理
工终点，若到达终点则停止插补，否则再
补 期的进给段(轮廓步长)，即用弦线或割线逼
原 理
近轮廓轨迹。
及
控
制
方
法
数据采样插补运算分 两步完成。
第一步为粗插补，在给定
起点和终点的曲线之间插
入若干个点，即用若干条
第
微小直线段来逼近
三 章
给定曲线，每一微小直线段的长度⊿L都相等，且与
给定进给速度有关。粗插补在每个插补运算周期中计
算一次，因此，每一微小直线段的长度与进给速度F
第 三
当 Fi,j 0时，X轴向目标进给一步（I、IV象
限+ΔX , II、III象限-ΔX ）, 其坐标值加一。
章
y
Fi,j < 0 ， ΔY， Yj+1=Yj+1
插
Fi,j +1 = Fi,j +Xe
补
原 理
当Fi,j < 0时，y轴向目标进
> Fi,j 0
x
及 给一步（I、II象限+ΔY, III、
A
y
第
三 章
yj = yj
M(xi,yj)
则 M1点的偏差为：
α M1( xi +1, y j ) i
插 补
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye x
αo
原 理
= x e y j - ( xi + 1) ye
及
控 制
=( x e y j - xi ye ) – ye
Fi+1,j = Fi,j - ye
控
制
方
法
插补计算的任务就
是对轮廓线的起点到终
点之间再密集地计算出
有限个坐标点，刀具沿
第 着这些坐标点移动，来 三 逼近理论轮廓，以保证 章 切削过程中每一点的精
度和表面质量。
插
补
插补的实质是根据有限的信息完成 “数据
原 理 及
密化” 的工作，即数控装置依据编程时的有 限数据，按照一定方法产生基本线型 (直线、
理
及
控
制
方
法
二、插补器的基本要求
插补是数控系统的主要功能，它直接
影响数控机床加工的质量和效率。因此，
对插补器的基本要求是：