百千联考解析版：2020届高三第二次模拟考试卷 文数(一)
4
9．【答案】D
【解析】根据选项 D 运行程序得，第一次循环， S = 0 +1 = 1， i = 2 ，
第二次循环， S = 1+ 1 ， i = 3， 3
第三次循环， S =1+ 1 + 1 ， i = 4 ， 35
…，
依次类推，第1010 次循环， S =1+ 1 + 1 +L + 1 ， i = 1011，
3．【答案】C
【解析】∵ 0 <=a log8 7 < 1， 0 <=b log3 2 < 1，=c π0.1 > 1， 3a = log2 7 > log2 4 = 2 ， 3b = log3 8 < log3 9 = 2 ， ∴ b < a ，∴ b < a < c ．
4．【答案】D 【解析】如下图所示，
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．若复数 z 满足 (1+ 2i)z = 1− i ，则 z = （ ）
A． 2
B． 10 5
C． 10 3
D． 3 2 5
明理由．
二模测试卷 第 6 页（共 8 页）
（1）写出曲线 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc = 8 ，证明： （1） (4 + a)(4 + b)(4 + c) ≥ 216 ； （2） (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ≥ 48 ．
二模测试卷答案 第 1 页（共 10 页）
则有 1 = 5 −1 ，解得 x = 5 −1 ，
1+ x 2
2
∴ BC = 8 + 5x = 8 + 5× 5 −1 ≈ 8 + 5× 0.618 = 11.09 ． 2
5．【答案】A
【解析】函数 f (x) = ( 4 − x) cos x(−π ≤ x ≤ π 且 x ≠ 0) 为奇函数，排除 B，D 选项， x
（2）能否认为在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？
附： K 2 =
n(ad − bc)2
．
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
18．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 = −3 ， S6 = 0 ． （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）求使不等式 Sn > an 成立的 n 的最小值．
{ } 2．已知集合 A =x ∈ Z x < 3 ，=B {x x < −1或x > 2}，则 A I (ðR B) = （ ）
A．{0,1, 2}
B．{−1, 0,1}
C． {0, 3}
D．{−1, 0,1, 2}
3．已知 a = log8 7 ， b = log3 2 ， c = π0.1 ，则（ ）
A． x2 − y2 = 1 36
B． x2 − y2 = 1 54
C． x2 − y2 = 1 63
D． x2 − y2 = 1 45
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．曲线=y (3x2 − x)ex 在点 (0, 0) 处的切线方程为
．
14．已知数列 {an } 是等比数列，其前
B．
C．
D．
6．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法从中抽取 56 人做问卷调查，将 840 人按1， 2 ， 3 ， L ， 840 随机编号，若 442 号职工被抽到，则下列 4 名职工中未被抽到的是（ ）
A． 487 号职工
B． 307 号职工
C． 607 号职工
D． 520 号职工
7． tan 645° =（ ）
矩形，已知下图中最小正方形的边长为1，则矩形 ABCD 的长为（ ）（结果保留两位小数）
A．10.09
B．11.85
C． 9.85
二模测试卷 第 1 页（共 8 页）
D．11.09
5．函数 f (x) = ( 4 − x) cos x(−π ≤ x ≤ π 且 x ≠ 0) 的图象可能为（ ） x
A．
【解析】∵ (2a + b) ⊥ a ，∴ (2a + b) ⋅ a =0 ，即 2 | a |2 +a ⋅ b =0 ， a ⋅ b =−2 | a |2 ，
设 a 与 b 夹角为θ ，则有 cosθ = −2 | a |2 = −2× 3 = − 2 ，则夹角为 3π ．
|a|⋅|b| 3×2 6 2
20．（12 分）已知函数 f (x) =sin x − x cos x − 1 x3 ， f ′(x) 为 f (x) 的导数． 6
（1）证明： f ′(x) 在区间 (0, π ) 上不存在零点； 2
（2）若 f (x) > kx − x cos x − 1 x3 −1对 x ∈ (0, π ) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
= =
1
4m + m2 3(1− m2 1+ m2
)
（
m
为参数），以坐标原点
O
为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 2ρ sin(θ + π ) = 1． 6
由题意可知 MK = 1，设 KN = x ，则 MF = MN = 1+ x ， GF = GM + MF = 1+1+ x = 2 + x ， 则 FC= MN + OC= MN + HC= MN + GF= 1+ x + 2 + x= 3 + 2x ， ∴ BF =EF =EG + GF =FC + GF =3 + 2x + 2 + x =5 + 3x ， ∴ BC = BF + FC = 5 + 3x + 3 + 2x = 8 + 5x ， ∵ GM = 1 ， KN = x ，根据黄金矩形特点可知矩形 GMNQ 为黄金矩形，
B． 14 9
C． 2 3
D． 6 9
12．已知双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0, b
> 0) 的焦点为 F1(−3, 0) ，F2 (3, 0) ，过 F2 作直线 l 与双曲线
C 的右支交于点 A ， B 两点．若| BF2 |= 4 | AF2 | ，| AF1 |=| AB | ，则 C 的方程是（ ）
当 x = π 时， f (x) =( 4 − π) cos π =π − 4 > 0 ，排除 C．
π
π
6．【答案】D
【解析】由于组距为 840 = 15 ，因此选出的号码所成的数列是以15 为公差的等差数列， 56
根据四个选项可知， 487 − 442 =15× 3 ， 442 − 307 =15× 9 ， 607 − 442 =15×11，
故选 A，B，C 选项的职工都被抽到．
7．【答案】B
【解析】 tan = 645° tan(540° +1= 05°) tan= 105° tan(60° + 45°)
= tan 60° + tan 45° = 3 +1 =−2 − 3 ． 1− tan 60°⋅ tan 45° 1− 3
8．【答案】D
35
2019
退出循环，此时输出的 S 是1+ 1 + 1 +L + 1 的值．
35
2019
二模测试卷答案 第 2 页（共 10 页）
10．【答案】B
【解析】依题意，可知双曲线的一条渐近线为 bx − ay = 0 ，
．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某
中学一年级100 名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：
二模测试卷 第 3 页（共 8 页）
（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；
A． −2 + 3
B． −2 − 3
C． 2 − 3
D． 2 + 3
8．若向量 a ， b 满足| a |= 3 ， | b |= 2 6 ，且满足 (2a + b) ⊥ a ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
π
A．
3
2π
B．
3
π
C．
4
3π
D．
4
9．如图给出的是计算1+ 1 + 1 +L + 1 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（ ）
此
卷
只
装
订
不
密
封 座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
2020 届高三第二次模拟考试卷
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（二）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合且，则A的非空真子集的个数为A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足，则A. 2B. 4C.D. 53.▱ABCO，O为原点，，，则B点坐标为A. B. C. D.4.袋中有4个球，3个红色，1个黑色，从中任意摸取2个，则恰为2个红球的概率为A. B. C. D.5.已知，则A. B. C. D.6.若双曲线C：的渐近线与圆相切，则C的渐近线方程为A. B. C. D.7.已知等差数列的前n项和满足：，则A. 4aB.C. 5aD.8.李冶，真定栾城今河北省石家庄市栾城区人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”在数学上的主要贡献是天元术设未知数并列方程的方法，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著测圆海镜中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为A. ？B. ？C. ？D. ？9.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知：在R上为增函数．，，则M，N的大小关系是A. B.C. D. M，N大小不能确定11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为A.B.C. 3D.12.已知则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.过上一点作曲线的切线，则切线方程为______．14.已知x，y满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知椭圆C：，的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线E：的焦点重合．椭圆C与抛物线E交于A，B两点，A，，B三点共线，则椭圆C的离心率为______．16.数列满足：，且恒成立，则m的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在中，．Ⅰ求角C；Ⅱ若，求周长的最大值．18.如图，在四棱锥中，，，，为锐角，平面平面PBD．Ⅰ证明：平面ABCD；Ⅱ与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积．19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量单位：只如表：x1415161718频数4560756060厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理．Ⅰ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元关于A饭店当天需求量单位：只，的函数解析式；Ⅱ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值；Ⅲ时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率．20.已知抛物线上有两点A，B，过A，B作抛物线的切线交于点，且．Ⅰ求p；Ⅱ斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M，N两点，直线交抛物线于C，D 两点，求四边形MNDC面积的最大值．21.已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线为自然对数的底数．Ⅰ求；Ⅱ设函数，讨论函数的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为．Ⅰ当时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ直线l交椭圆C于A，B两点，且A，B中点为，求直线l的斜率．23.已知函数．Ⅰ若恒成立，求实数a的取值范围；Ⅱ的解集为，求a和m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合且，2，3，4，，故A的子集个数为，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合且，2，3，4，，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，▱ABCO中，有，又由，，则，，则，则；故选：A．根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得，求出、的坐标，计算可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量的加法运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：设3个红球分别为a，b，c，黑球为m．所有2个红球的取法有3种：ab，ac，bc．所有不同的取法有6种：ab，ac，bc，am，bm，cm，故所求概率为．故选：D．设3个红球分别为a，b，c，黑球为利用列举法能求出从中任意摸取2个，恰为2个红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：，故．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．根据题意，设双曲线C的渐近线为，由直线与圆的位置关系可得，解可得k的值，将k的值代入直线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线C的渐近线为，即，若双曲线C：的渐近线与圆相切，则圆心到渐近线的距离，解可得，则C的渐近线方程为故选B．7.答案：B解析：解：，．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：由题知，，，，由勾股定理可知．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：C解析：解：令，解得，分别为的y轴右侧由左往右最近的三条对称轴．要满足图象在上有且仅有两条对称轴，只需，解得．故选：C．只要保证在y轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在内，第三条在外即可，由此构造不等式组．本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决的性质的基本路子，属于中档题．10.答案：B解析：解：由题意，，，又，且是R上的增函数，，即．故选：B．根据是R上的增函数即可得出，从而得出，并且可得出，从而可得出M与N的大小关系．本题考查了增函数的定义，分段函数的单调性，对数的运算性质，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：，，，，．最长的棱的长度为3．故选：C．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.答案：B解析：解：，时，，，即，故，故．故选：B．时，，推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：或解析：【分析】设切点为，然后利用表示切线方程，再根据切线过求出，进而得到切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．【解答】解：设上的切点为，则切线的斜率，在上，，切线方程为，在切线上，，或，切线方程为或，故答案为：或．14.答案：解析：解：x，y满足线性约束条件表示的可行域如图：目标函数化为，时，可知：最优解在直线上，而在可行域内，且满足故可知：实数k的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：如图，根据题意可得抛物线准线l过左焦点，作交于点l于点，则则易得四边形是正方形，故椭圆C的离心率．故答案为：．作出图形，作准线l交于点l于点，则可得四边形是正方形，所以离心率即可．本题考查椭圆离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．16.答案：9解析：解：由，得：．两式相减得：，故．令，则．两式相减得：，故．而当时，，故m的最小值为9．故答案为：9．先由题设条件求出，再求其前n项和，然后处理m的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及前n项和的最值，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ由，可得：，可得，因为，可得．Ⅱ由题意可得：，可得：，当时，周长取最大值为．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，结合范围，可求C的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质即可求解，即可得解周长的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：作于M，则由平面平面平面．取AD中点为Q，则．又为锐角，点M与点B不重合．平面．又，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故平面ABCD．Ⅱ解：由Ⅰ知：平面PBD，故即为AD与平面PBD所成角，．在中，，故，，，．而，故所求表面积为：．解析：Ⅰ作于M，则平面PBD，取AD中点为Q，推导出平面由此能证明平面ABCD．Ⅱ由平面PBD，得即为AD与平面PBD所成角，由此能求出三棱锥的表面积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、锥体表面积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ当时，，当时，，，由，得；Ⅱ由Ⅰ知，，，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值为元．Ⅲ当时，，当时，鸡厂当天在A饭店得到的利润元，鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率为．解析：Ⅰ根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量，剩下的鸡只能以每只元的价格处理，建立分段函数模型，再将代入求解；Ⅱ由Ⅰ知，将代入，得，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，再由平均数公式求解；Ⅲ当时，，把代入求得，再由表中记录，利用频率求概率．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．20.答案：解：Ⅰ过点Q作的切线，方程设为，即，代入，由即，化为，由，可得两切线相互垂直，可得它们的斜率之积为，．Ⅱ由题意可得直线MN：，联立抛物线方程，可得，即有，故．由CD：，联立抛物线方程，可得，且由，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC的高为，故，令，则，．在上，，S递增；在上，，S递减．故当时，S取最大值为．解析：Ⅰ设过Q的切线方程为，联立抛物线的方程，再由相切的条件：判别式为0，再由两直线相互垂直的条件：斜率之积为，结合韦达定理，可得所求值；Ⅱ由直线MN的方程和抛物线方程联立，求得，由CD的方程联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得，求得梯形MNDC的高，由梯形的面积公式可得四边形MNDC面积S，运用换元法和导数，求得单调性和最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．21.答案：解：．在处的切线方程为，即，，．在处的切线方程为，故．，，令，则，当时，有两根，，且，，，在上，；在上，，此时，又时，，时，，故在和上，各有1个零点；当时，最小值为，故仅有1个零点．当时，，其中，同，在与上，各有1个零点，当时，，仅有1个零点，时，对方程，．方程有两个正根，，．在上，；在上，；在，．由，故，．，，，，故．故在上，，在上，；在上，有1个零点，当时，恒成立，为增函数，仅有1个零点．综上，或时，有1个零点，或时，有2个零点．解析：Ⅰ根据条件求出与的公切线方程，然后建立关于a，b的方程，再求出；Ⅱ先求出的解析式，然后令，得到，再对m分类，讨论函数的零点个数．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性和函数零点的判断，考查了分类讨论思想和方程思想，属难题．22.答案：解：Ⅰ直线l的普通方程为：；椭圆C的直角坐标方程为：．Ⅱ将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：，由题意得：，故，所以直线l的斜率为．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当且仅当时取等号，故的最小值为，或．Ⅱ由不等式解集的意义可知：时，，即，解得或4．时，如图所示：不合题意，舍去；时，如图所示：由与，解得：．即，综上，，．解析：Ⅰ根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解；Ⅱ不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得或再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。
百千联考解析版：2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(二)
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（2）设 P 是椭圆 C2 上非顶点的动点， P 与椭圆 C1 长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭 圆 C1 交于点 E ， F ． ①求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； ②直线 AF 与直线 BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．
+L
+1． bnbn+1
二模测试卷 第 3 页（共 8 页）
18．（12 分）如图，四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥ 平面 ABCD ， E 为 PD 的
中点．
（1）证明： PB∥平面 AEC ； （2）设 PA = 1， AD = 3 ， PC = PD ，求三棱锥 P − ACE 的体积．
D． (−2, −1) U(0, +∞)
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积
为（ ）
A． 4 3
B． 2 3
C． 2
D． 3 2
x − y + 2 ≥ 0
9．若点
(x,
y)
满足线性条件
x
+
y
≥
0
，则=z 2x + y 的最大值为（ ）
5x + y − 8 ≤ 0
20．（12 分）椭圆 C1 与 C2 的中心在原点，焦点分别在 x 轴与 y 轴上，它们有相同的离心率 e =
2020年6月百校联盟普通高中2020届高三毕业班教育教学质量监测联考(全国Ⅱ卷)语文试题(解析版)
绝密★启用前百校联盟普通高中2020届高三毕业班教育教学质量监测联考(全国Ⅱ卷)语文试题(解析版)2020年6月注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.本试卷满分150分,测试时间150分钟。
4.考试范围:高考全部内容。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
在大数据基础上，深度学习和强化学习技术势如破竹，正引领着时下人工智能的热潮。
一方面，相比于二十世纪八十年代的浅层神经网络，深层神经网络不仅在图像、语音及自然语言处理等方面大放异彩，而且与人类大脑神经系统的多层结构更加相似;另一方面，强化学习通过与环境互动所获得的奖惩来调节系统权重结构，使主体在最大化期望奖励诱导下不断修订从状态到动作的映射策略，从而实现快速提升系统性能的目的。
前者受到认知神经科学的启发，后者则与心理学中经典的行为主义范式如出一辙。
更不必说，为了改进深度学习和强化学习技术而引入的注意力、长短时记忆等机制几乎是直接照搬了心理学术语，用心理学词汇和理论武装人工智能现已蔚然成风。
这并不奇怪，毕竟人工智能的核心目标就是研发愈加接近人类的高级的智能系统，而真正的智能也必然具有一定的心理活动。
在这种情况下，公众对人工智能的期望水涨船高，人工智能“友善论”或“威胁论”的论调层出不穷，文学和影视作品则及时将其呈现到人们的眼前，仿佛类人智能机器人明天就会到来一般。
与此同时，人工智能产品也迅速地向心理学领城渗透。
例如，基于面部表情的情绪识别系统，基于大数据分析技术的舆情分析或自杀预警系统，基于GIS的大规模人群跟踪调查系统，基于VR技术的心理健康干预系统，基于行为特征的测谎系统等等。
遗憾的是，琳琅满目的各色项目解决的只是心理学的应用问题，而对于心理学核心的理论问题却没有什么实质性的帮助。
实际上，当前人工智能领域中主流的深度学习和强化学习与人脑和心理差距甚远。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
百千联考解析版：2020届高三第二次模拟考试卷 理科数学(一)
任意一点，则 MN 的最小值为
．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 b = a sin A − c sin C ． sin B − sin C
（1）求角 A 的值；
（2）若 a = 3 ，设角 B = θ ，△ABC 周长为 y，求 y = f (θ ) 的最大值．
所以 A I B= {x −1 ≤ x < 5} ．
2．【答案】D
【解析】 z = 2i = 2i(1+ i) =i(1+ i) =−1+ i ，所以 z =−1− i ， z = 2 ． 1− i (1− i)(1+ i)
3．【答案】C
【解析】由题可知 a − c = (1− n, 4) ，
因为 (a − c) ⊥ b ，所以有 (1− n) × 2 + 2× 4 =0 ，得 n = 5 ．
S2
a
7．【答案】D
【解析】由题意，本题符合几何概型，区间[−3, 3] 长度为 6，
使得 3 − x ≥ 0 成立的 x 的范围为 (1,3]，区间长度为 2，
x −1
∴使得 3 − x ≥ 0 成立的概率为 2= 1= d ，
x −1
63
又 a2
+
a6
=−4
=2a4
，∴ a4
=−2
，∴ an
=−2 +
A．{x −1 < x < 5}
B．{x −1 ≤ x < 5}
C．{x −2 < x < 6}
D．{x −2 < x < 5}
江苏省百校联考2024届高三第二次考试语文试题及答案解析
江苏省百校联考2024届高三第二次考试语文试题一、现代文阅读(35 分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5 小题,19 分)阅读下面的文字，完成1~5题。
汤显祖年轻的时候怀有满腔经天纬地的济世热情。
汤显祖的政治理想，说来也很简单，就是经世致用，造福百姓，使人人冻馁无虞，安居而乐业；使人人乐于向善，民德归于淳厚。
在他看来，士大夫要先正其身，然后才能正人，而政治是否清明，老百姓日子是否好过，最终决定于士大夫和官员的德性和修养。
他曾经代拟过一篇《为士大夫喻东粤守令文》：“清吏之法法身，浊吏之法法人也。
”他所提出的“清吏”与“浊吏”两个概念，并不新鲜，但是，他的“法身”和“法人”的说法，却极为深刻，精辟地揭示了中国自古以来封建统治者的一种普遍德性：他们置身于法律之上，拿自己当法外的“特选之民”，高人一等，飞扬跋扈；他们的道德绳墨，只是用来裁制百姓，他们法律的刀斧，也只是用来宰割人民————他们教别人不要“利己”，自己却很少“利人”，教别人要“利人”，自己却专门“利己”。
在汤显祖看来，吃饭是老百姓的头等大事，而农业生产则是一个官员必须关心的头等大事。
他做官期间，曾多次下到乡里，劝农励耕。
他曾经在诗里记录过自己这方面的活动，在《丙申平昌迎春，晓云如金，有喜》里，他这样写道：“仙县春来仕女前，插花堂上领春鞭。
青郊一出同人笑，黄气三书有大年。
”可见，为了督促和鼓励农民耕地种田，他确实用了一番心思。
汤显祖的政绩，不仅当时就赢得了人民的敬意，为他建了“生祠”，直到清代顺治年间，遂昌知县缪之弼还为他建了“遗爱祠”。
如果说，汤显祖早期的两部剧作的主题，在探讨“至情”，那么，他晚年的写作，则在强化了反讽力度的同时，致力于寻求精神出路————解决自己的精神困境，回答那些与“生活哲学”有关的重大问题。
也就是说，汤显祖后期的“二梦”，是一种缘于精神焦虑的写作。
汤显祖的一生，几乎就在几种选择的困扰中度过。
他在《和大父游域西魏夫人坛故址诗》的序中说：“家君恒督我以检儒，大父辄要我以仙游。
2020届百校联考高考百日冲刺全国II卷文科数学试题一和答案详细解析及备考策略
多地确定高三返校时间，以“云考试”模拟测试
“真的很着急，希望赶紧开学，不过还是安全第一吧。”北京高三学生戴兆均纠结地说。
记者了解到，多地遵循高三、初三率先开学的原则，实行分类分批、错时错峰开学，已 有不少省份明确毕业生的开学返校日期。截至 3 月 30 日，贵州、新疆、西藏等 10 地高三年 级已开学，广西、江西、湖南、海南等省份定于 4 月 7 日高三、初三年级开学，辽宁省高三 年级 4 月中旬起返校。北京、上海、广东、湖北等省份还未明确开学时间。
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
D．b＜a＜c
13． （5 分）已知向量
，若
，则实数 λ 的值为
．
14．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 z＝3x﹣y 的最小值为
．
15．（5 分）《九章算术（卷第五）商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广
居家考试能否保证成绩的真实性？受访学生认为，“作弊没有意义，模拟考试的目的就 是为了测试真实水平。”厦门市教育科学研究院副院长傅兴春说，目前高三年级处于第二轮 复习阶段。线上考试的目的，一是让学生了解存在的知识缺陷，有的放矢地复习；二是让老 师深入了解学生学习情况，更有针对性地安排后期教学。
“云考试”面临技术、流程与公平挑战
【我说】在对高考考生压力来源的一次调查中，我们发现，考生真正的压力不是高考本 身，而是来自不合理的比较，但孩子的攀比心理有些并非来自他们自身，而是来自家长。
2020届百校联盟(全国卷)高三第二次调研考试数学(文)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第二次调研考试数学(文)试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1．若110b a <<，则下列不等式错误．．的是（ ） A.11a b a>- B.a b < C.||||a b > D.22a b >2．若复数()()122z i i =-+的模是（ ）A. 25B. 5前三个答案都不对 3． 用反证法证明命题“N b a ∈,，ab 可被5整除，则b a ,中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A ．b a ,都能被5整除B ．b a ,都不能被5整除C ．b a ,至多有一个不能被5整除D ．b a ,至多有一个能被5整除4．“1cos 22α=”是“6πα=”的（ ） A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件P QMNABCD5． 已知m,n 是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，， 则D. 若，，则6．有n 位学生的某班都参加了某次高三复习检测，第i 个学生的某科成绩记为ix （i=1,2,3，……，n ），定义i p =（不超过成绩i x 的该科该班人数）÷n 为第i 个学生的该科成绩的百分位。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(12)x≤4},B={x∈Z|−4≤x≤0}，则A∩B=()A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2.设复数z=4−2i7−3i，则复数z的虚部为()A. −1729B. 1729C. −129D. 1293.唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，则乙、丙两人同时被选中的概率为()A. 12B. 15C. 310D. 254.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，则双曲线C的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√22x C. y=±23x D. y=±32x5.已知命题p：∃x∈(0,π2)，tanx≤sinx，命题q：直线l1：2x−my+3=0与直线l2：x+my−1=0相互垂直的充要条件为m=±√2.则下列命题是真命题的为()A. ￢qB. p∨(￢q)C. ￢p∧qD. p∧q6.cos240°+2sin35°sin55°sin10°=()A. 34B. 14C. 12+√32D. 3√347.执行如图所示的程序框图，若输入x∈[−3,16]的，则输出的y属于()A. [3,8]B. [4,8]C. [−1,3]D. [−1,8]8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=3√2,b=4√3,B=2C，则△ABC的面积为()A. 20√2B. 20√3C. 10√2D. 10√311.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331612.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知实数x，y满足{y≥14x≥yx+y≤6，则z=3x−y的最小值为______．15.《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为______.(注：1丈=10尺，墓坑相对的侧面坡度相同),π]上的取值范围为16.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a n=(2a n+1)a n+1，其中a2=1．3}的前n项和S n；(1)求数列{1a n(2)若b n=a n+1a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1．618.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知离心率为12的椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−1,−32)，直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)两点，其中x 1，x 2≠±a ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若A(−a,0)，且AM ⊥AN ，探究：直线l 是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3√5cosθy =3+3√5sinθ(θ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=6cosα．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及M ，N 的极坐标(要求写出的极径非负，极角在[0,2π)上)．23.已知函数f(x)=|x+3|+|2x−4|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m>|x+3|−x2的解集为R，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵(12)x ≤4=(12)−2， ∴x ≥−2， ∴A =[−2,+∞)，B ={x ∈Z|−4≤x ≤0}={−4,−3,−2,−1,0}， 则A ∩B ={−2,−1,0}， 故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z =4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i 58=1729−129i ，∴复数z 的虚部为−129． 故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，基本事件总数n =C 53=10，乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，则乙、丙两人同时被选中的概率为p =m n=310．故选：C ．基本事件总数n =C 53=10，乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，由此能求出乙、丙两人同时被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】C【解析】解：依题意得，∀x∈(0,π2)，tanx=sinxcosx>sinx，故命题p为假命题；若直线l1：2x−my+3=0与直线l2：x+my−1=0相互垂直，则2−m2=0，解得m=±√2，故命题q是真命题；故￢q，p∨(￢q)，p∧q为假命题；￢p∧q为真命题．故选：C．先判断命题p，q的真假，再根据含逻辑连接词的命题真假表判断正误即可．本题考查了复合命题及其真假的判定，同时考查了三角函数和两直线垂直的充要条件，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：原式=cos240°+2sin35°cos35°sin10°=cos240°+sin70°sin10°=12+12cos80°+sin70°sin10°=12+12(cos70°cos10°−sin70°sin10°+2sin70°sin10°) =12+12(cos70°cos10°+sin70°sin10°) =12+12cos60°=34． 故选：A ．根据二倍角公式的关系将原式变形为12+12cos80°+sin70°sin10°，而80°=70°+10°，利用两角和的余弦公式化简即可得解．本题考查根据三角恒等变换化简求值，关键在于熟练掌握倍角公式和差公式及其逆用．7.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y ={log 2x x >1x 2−1x ≤1的值．若：−3≤x ≤1，则满足条件输出y =x 2−1∈[−1,8]， 若：1<x ≤16，则不满足条件，此时y =log 2x ∈(0,4]， 则：输出y ∈[−1,8]， 故选：D ．根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱． 则其表面积：S =2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于一般题．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用二倍角公式可求sinB，cosB，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求sinA，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵c=3√2,b=4√3,B=2C，∴由正弦定理bsinB =csinC，可得4√3sinB=3√2sinC，∴可得4√3sin2C =4√32sinCcosC=3√2sinC，可得cosC=√63，sinC=√33，∴sinB =2sinCcosC =2√23，cosB =cos2C =2cos 2C −1=13，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =2√23×√63+13×√33=5√39， ∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×3√2×5√39=10√2．故选：C ．11.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F 到其准线l 的距离为2，可得p =2， 所以抛物线的方程为：y 2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可得E(−1,y 2)，可得k EF =y2−1−1=4，所以y 2=−8，将y 2=−8代入抛物线中，64=4x 2，x 2=16， 及B(16,−8)，所以k BF =16−1−8=−158，所以直线AB 的方程为：y =−158(x −1)，与抛物线联立可得225x 2−706x +225=0， 所以x 1x 2=1，所以x 1=116， 所以|AF|=x 1+1=1716， 故选：C ．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p ，由题意可得p 的值，可求出抛物线的方程，设A ，B 的坐标，由题意可得E 的坐标，求出直线EF 的斜率，由题意可得E 的坐标，将E 的纵坐标代入抛物线求出B 的坐标，进而求出直线AB 的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A 的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4， 根据三角函数的值cos 34>sin 34，则c =43cos 34>b =43sin 34， 由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−65【解析】解：作出实数x ，y 满足{y ≥14x ≥y x +y ≤6，对应的平面区域如图： 设z =3x −y 得y =3x −z ， 平移直线y =3x −z ，由图象可知当直线y =3x −z 经过点A 时，{4x =y x +y =6解得A(65,245)， 直线y =3x −z 的截距最大，此时z 最小， 即z min =185−245=−65．故答案为：−65．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】52000立方尺【解析】解：对墓坑抽象出来的几何体进行分割，如图所示，∴该几何体的容积为：V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−−PQFD1)+V BQFD1−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000(立方尺)，故答案为：52000立方尺．对墓坑抽象出来的几何体进行分割，分别求体积，由此能求出该几何体的体积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、几何体体积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x−6×1−cos2x2+3=3√3sin2x+3cos2x=6(√32sin2x+12cos2x)=6sin(2x+π6)，当π2≤x≤π时，π≤2x≤2π，7π6≤2x+π6≤13π6，则当2x+π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sinπ6=6×12=3，当2x+π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]，故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．17.【答案】解：(1)解：∵a n =(2a n +1)a n+1，∴a n =2a n a n+1+a n+1，∴1a n+1−1a n =2，当n =1时，有a 1=(2a 1+1)a 2，∵a 2=13，∴a 1=1.∴{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴S n =n +n(n−1)2×2=n 2；(2)证明：由(1)知1a n=1+2(n −1)=2n −1，∴a n =12n−1．∵b n =a n+1a n+2=1(2n+1)(2n+3)=12[12n+1−12n+3]，∴T n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=12(13−12n+3)<16．【解析】(1)先对a n =(2a n +1)a n+1左右两边同时除以a n a n+1，得到1a n+1−1a n=2，再求出首项，说明{1a n}是等差数列，进而求得其前n 项和S n ；(2)先求出b n ，再利用裂项相消法求出T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列的前n 项的和的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，∵AB =2CD =2，∴DC =BE ， 又∠ABC =∠BCD =90°，∴DC//BE ， 则四边形DCBE 为平行四边形，可得BC//DE ． ∵DE ⊂平面PDE ，BC ⊄平面PDE ， 则BC//平面PDE ；(2)∵BC ⊥PD ，BC ⊥CD ，且PD ∩CD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ， 可得PF ⊥平面ABCD ，在Rt △PFA 与Rt △PFD 中，∵PA =PD ，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD=V B−PAD，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得BC//DE，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE；(2)由已知证明BC⊥平面PCD，可得平面PCD⊥平面ABCD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，得PF⊥平面ABCD，求解三角形求得AF=DF=PF=1，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．(2)表2中的数据整理如下，∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)．(3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)依题意，{c a=121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3c =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)可知A(−2,0)，联立{y =kx +mx 24+y 23=1可得，(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则△=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk3+4k 2,x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，∵AM ⊥AN ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0，∴m =2k 或m =27k ，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m =2k 时，直线l 的方程为y =k(x +2)，直线恒过(−2,0)，舍去； 当m =27k 时，直线l 的方程为y =k(x +27)，直线恒过(−27,0)； 综上，直线过定点(−27,0)．【解析】(1)根据离心率和椭圆经过的点，建立方程组即可求解；(2)设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理结合AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，建立等量关系求解．本题考查求椭圆的标准方程，解决直线过定点问题，关键在于熟练掌握直线与椭圆位置关系常用解题方法，利用韦达定理整体处理，属于中档题目．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C 1：x 2+(y −3)2=45，故x 2+y 2−6y =36，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2−6ρsinθ−36=0； 曲线C 2：ρ2=6ρcosα，即x 2+y 2−6x =0， 则曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−6x =0． (Ⅱ)联立{x 2+y 2−6y =36x 2+y 2−6x =0，两式相减可得x −y =6，即ρcosθ−ρsinθ=6，故√2ρcos(θ+π4)=6， 即直线MN 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2； 联立{x −y =6x 2+y 2−6x =0故x 2−9x +18=0，解得{x =3y =−3或{x =6y =0 故M ，N 的极坐标为M(3√2,7π4),N(6,0)或M(6,0),N(3√2,7π4)【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用求出结果．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x +3|+|2x −4|>8，当x <−3时，原式化为−x −3+4−2x >8， 故x <−73，解得x <−3；当−3≤x ≤2时，原式化为x +3+4−2x >8， 故x <−1，解得−3≤x <−1；当x >2时，原式化为x +3+2x −4>8，即x >3，解得x >3． 综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)； (Ⅱ)依题意，|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2， 即m >−x 2−|2x −4|，∵m >−x 2−|2x −4|对x ∈R 恒成立，令g(x)=−x 2−|2x −4|={−x 2+2x −4,x ≤2−x 2−2x +4,x >2={−(x −1)2−3,x ≤2−(x +1)2+5,x >2，∴g(x)max =g(1)=−3，∴m >−3， 故实数m 的取值范围是(−3,+∞)．【解析】(Ⅰ)由题意可得|x +3|+|2x −4|>8，由零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2，即m >−x 2−|2x −4|，由题意可得m >(−x 2−|2x −4|)max ，结合二次函数的最值求法和绝对值的定义，计算可得所求最大值，进而得到m 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。