隔板法在解排列组合问题中的应用

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专题十一:隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

专题十一:隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

隔板法在解排列组合问题中的应用隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法,本文将将通过例题将这种方法作以介绍,供同学们学习时参考.一、将n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法.解析:将20个小球分成三组需要两块隔板,将20个小球及两块隔板排成一排,两块隔板将小球分成三块,从左到右看成三个盒子应放的球数,每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置,先从这22个位置中取出两个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有222C 种不同的放法,再将小球放入其他位置,由于小球与隔板都无差别,故小球之间无序,只有1种放法,根据分步计数原理,共有222C ×1=231种不同的方法.点评:对n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组,允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组,需要1m -块隔板,将这n 件物品和1m -块隔板排成一排,占1n m +-位置,从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有11m n m C -+-种不同的方法,再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种放法,根据分步计数原理,共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一种隔板与物品的排法对应于一种分法,故有11m n m C -+-种分法.二、将n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),每人(或位置)必须有物品问题例2将20个优秀学生名额分给18个班,每班至少1个名额,有多少种不同的分配方法?分析:本题是名额分配问题,用隔板法.解析:将20个名额分配给18个班,每班至少1个名额,相当于将20个相同的小球分成18组,每组至少1个,将20个相同的小球分成18组,需要17块隔板,先将20个小球排成一排,因小球相同,故小球之间无顺序,是组合,只有1种排法,再在20个小球之间的19个空档中,选取17个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有1719C 种不同的放法,根据分步计数原理,共有1719C 种不同的方法,因17块隔板将20个小球分成18组,从左到右可以看成每班所得的名额数,每一种隔板与小球的排法对应于一种分法,故有11m n m C -+-种分法.点评::对n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),每个人(或位置)必须有物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组,每组不空的问题.将n 件物品分成m 组,需要1m -块隔板,将这n 件物品排成一排,因物品无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种排法,再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板,占1n m +-位置,从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有11m n C --种不同的放法,根据分步计数原理,共有1×11m n C --=11m n C --种不同排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一种隔板与物品的排法对应于一种分法,故有11m n C --种分法.对相同物品分配问题,注意某若干组能否为空,能为空和不能为不空,方法不同,要体会和掌握.。

拓展隔板法在高中数学解题中的应用

拓展隔板法在高中数学解题中的应用

拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法,即拓展隔板法,在高中数学解题中的应用十分广泛。

它是一种利用排列组合思想解决问题的方法,常被用于解决组合数学、排列组合、概率等问题。

隔板法的应用范围涉及数学、物理、化学等多个学科,其思想灵活、简单易懂,因而备受青睐。

本文将从隔板法的原理、应用及高中数学解题实例三个方面进行探讨,希望能为读者带来一些启发和帮助。

一、隔板法的原理所谓隔板法,是指在一列物体中插入一定数量的隔板,以便将这列物体分成多个子集。

在数学中,我们通常使用这一方法来解决排列组合问题。

具体来说,隔板法适用于以下两类问题:1. 将n个相同的物体分成m份,每份至少一个的分法。

其中第一类问题对应于排列问题,而第二类问题对应于组合问题。

接下来我们通过具体的实例来解释这两类问题的解决方法。

对于这类问题,我们可以设想有n个相同的物体和m-1个隔板,我们需要将这些物体放置在m个容器中。

我们可以将这些容器从左到右编号为1,2,...,m,其中第i个容器表示第i-1个和第i个隔板之间的物体数量。

那么问题就变成了,如何将n个相同的物体和m-1个隔板进行排列,使得满足每一个容器内至少有一个物体。

根据排列数的性质,我们可知,这个问题的解法个数为C(n+m-1, m-1)。

隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用,尤其在排列组合和概率相关的问题中经常能见到。

下面我们通过几个典型的高中数学解题实例来说明隔板法的应用。

1. 高中生在选修课选课时,需要选择4门课程,学校提供了10门可供选择的课程。

请问一共有多少种不同的选课方案?这是一个典型的排列问题,也是一个非常简单的例子。

我们可以使用隔板法来解决这个问题。

这个问题可以看作是将10门可供选择的课程分成4份,每份至少一个的排列问题。

根据隔板法的原理,这个问题的解法个数为C(10+4-1, 4-1) = C(13, 3) = 286种。

2. 有4个红色的球、3个蓝色的球和2个绿色的球,现在需要从这些球中选择3个球,问一共有多少种不同的选择方案?通过以上实例的分析,我们可以看出,隔板法在解决高中数学排列组合问题中的应用非常广泛,而且思路和方法也非常简单。

排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用

排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用

排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法:当要求某几个元素必须相邻(挨着)时,先将这几个元素看做一个整体,(比如:原来3个元素,整体考虑之后看成1个元素)然后将这个整体和其它元素进行考虑。

这时要注意:一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。

插空法:当要求某几个元素必须不相邻(挨着)时,可先将其它元素排好,然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。

插隔板法:指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。

题目特点:“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。

例1:一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法? A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着,那么三个节目有4个空,又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着,那么三个节目有4个空,这就相当于考虑两个数在4个位置的排列,由24综上得,共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。

例2:A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两人不站一起,共有()种站法。

A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑,因A、B两人不站一起,故可考虑的位置C、D、E,C、D、E三个人站在那有P=12。

一共留出4个空,将A、B分别放入这4个空的不同的空中,那就是4个空中取2个空的全排列,即24P=6,综上,共有6*12=72种这样考虑了之后,还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题,即23例3:A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两人必须站一起,共有()种站法。

A.120B.72C.48D.24捆绑法:此题和上一题实质是一样的,我们来这样考虑,A、B两人既然必须站在一起,那么索性我们就把他P=24,又因为A、B两人虽然是站们看成一个人,那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列,即44P=2,综上,共有48种。

拓展隔板法在高中数学解题中的应用

拓展隔板法在高中数学解题中的应用

拓展隔板法在高中数学解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法。

它主要用于解决组合数学和概率问题,在排列组合、二项式定理、数列问题等方面有广泛的应用。

下面将详细介绍拓展隔板法在高中数学解题中的应用。

拓展隔板法用于排列组合问题中。

在求解排列组合问题时,常常需要将一组物品分成若干个部分。

将10个不同的球分成3组,每组至少有1个球,可以采用拓展隔板法。

我们可以在10个球之间插入2个隔板,即在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这11个物品之间插入2个隔板,将这11个物品分成3组。

这样,在每两个隔板之间的物品即为一组。

该方法可以使排列组合问题更加直观、具体。

拓展隔板法也可以用于概率问题的解决。

在概率问题中,我们常常需要考虑某些事件出现的可能性。

在一次摸球中,从10个球中摸3个,其中红球、蓝球、绿球至少各有1个的情况数,可以采用拓展隔板法。

我们可以在10个球之间插入2个隔板,将其分成3个部分。

这样,每一部分的球数即为红球、蓝球、绿球的数量。

在计算可能性时,可以根据每个部分球的数量进行排列组合,最后相乘得到总的可能性。

拓展隔板法还可以用于解决数列问题。

在数列问题中,通常涉及到找规律、推导公式等,而拓展隔板法可以帮助我们把数列中的元素进行分类。

求解Fibonacci数列中第n个数的问题,可以采用拓展隔板法。

我们可以将Fibonacci数列的前n个数分类,将相同的数放在一组内,采用排列组合的思想求解每个组内的可能性,最后得到总的可能性。

这样,我们可以更好地理解数列中元素的分布规律,更快地推导出数列的通项公式。

拓展隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用。

它可以帮助我们处理排列组合、概率、数列等问题,使解题更加直观、具体。

通过运用拓展隔板法,我们能够更好地理解和解决各种数学问题,提高解题的思维能力和技巧。

在高中数学学习中,熟练掌握和灵活运用拓展隔板法是十分重要的。

隔板法的应用

隔板法的应用

隔板法在解决排列组合问题中的应用(一):问题提出:在解决排列组合问题时常常会遇到这样一类问题;例如:例1:某校高二年级有三个班级,现要从中选出五人组成篮球队,且规定每班至少有一人参加,则有多少种分配方案。

解(一):用常规解法,分类;第一类:有一个班三人,其余两班各一人;共有13c 种方法;第二类:有两个班各两人,剩下一个班一人;共有23c 种方法;综上:共计13c +13c =6种方法。

解(二):分析:此题就是把五个名额要分配到三个班中去,可以看作要把五个无差异的元素分成三组,那么只需将五个元素分隔开来即可,即就是从四个空中找出两个把五个元素分成三组即可。

共24c =6种方法。

例2:某校高二年级有10个班级,现要从中选出18人组成篮球队,且规定每班至少有一人参加,则有多少种分配方案。

分析:若用常规解法,分类则比较麻烦;若把此题看作要把18个无差异的元素分成10组,即就是从17个空中找出9个把18个元素分成10组即可。

解起来则比较简单。

解:共917c 种方法。

例3:有90枝玫瑰花,要分给10个人,每人至少一支,不同的方法有多少种。

分析:把此题看作要把90个无差异的元素分成10组,即就是从89个空中找出9个把90个元素分成10组即可。

解:共989c 种方法。

(二):结论:我们可以看到,以上三个问题有一个共同特点:就是要把n 个无差异的元素分到m 个不同的组中去,要求(1) n ≥m ;(2) 每组至少分到一个元素;(3) 每组都不相同;这样的问题我们都能看作是:把n 个无差异的元素分成m 组,即就是从n-1个空中找出m-1个把m 个元素分成n 组即可。

就像在n-1个空中插入m-1个隔板把m 个元素分成了n 组。

共计11--m n c 方法; 我们把它形象的称为就是隔板法。

(三):应用:例4:某公司有7个车队,每个车队至少4辆车,现从中抽出10辆,每个车队至少一辆组成运输队,则不同的方法有多少种。

分析:此题看作要把10个无差异的元素分成4组;(1)10≥4;(2)每组至少分到一个元素;(3)每组都不相同;解:方法总数为3c。

利用隔板法巧解排列组合问题四个方面

利用隔板法巧解排列组合问题四个方面

利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)隔板法就是在n 个元素间,插入()1b -个板,把n 个元素分成b 组的方法。

一、放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子,有多少种不同的放法?解析:取3块相同隔板,连同8个相同的小球排成一排,共11个位置。

由隔板法知,在11个位置中任取3个位置排上隔板,共有311C 种排法。

所以,把8个相同的球放入4个不同的盒子,有311165C =种不同方法。

点评:相同的球放入不同的盒子,每个盒子放球数不限,适合隔板法。

隔板的块数要比盒子数少1。

二、指标分配问题。

例2、某校召开学生会议,要将10个学生代表名额,分配到某年级的6个班中,若每班至少1个名额,有多少种不同分法?解析:名额与名额是没有差别的,而班级与班级是有差别的,把10相同的名额分配到6个不同的班级,适合隔板法。

分两步。

第一步:6个班每班先分配1个名额,只有1种分法;第二步:将剩下的4个名额分配给6个班。

取615-=块相同隔板,连同4个相同名额排成一排,共9个位置。

由隔板法知,在9个位置中任取5个位置排上隔板,有59C 种排法。

由分步计数原理知:10个学生代表名额,分配到某年级的6个班中,每班至少1个名额,共有59126C =种不同分法。

点评:名额与名额是没有差别的,而班级与班级是有差别的,所以适合隔板法。

三、求n 项展开式的项数。

例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项?解析:用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中,把标有i x ()125i =L ,,,的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ,,,,,记作i x 的i k 次方。

这样,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法,就对应着展开式中的每一项。

取514-=块相同隔板,连同10个相同的小球排成一排,共14个位置。

隔板法解决排列组合问题

隔板法解决排列组合问题

隔板法解决排列组合问题Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)排列组合计数问题,背景各异,方法灵活,能力要求高,对于相同元素有序分组问题,采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

例1、(1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种(2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问不同放法有多少种(3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种解:(1)将12个小球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中选出3个,放上“隔板”,若把“1”看成隔板,则如图00隔板将一排球分成四块,从左到右可以看成四个盒子放入的球数,即上图中1,2,3,4四个盒子相应放入2个,4个,4个,2个小球,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有311C=165种。

(2)法1:(分类)①装入一个盒子有144C=种;②装入两个盒子,即12个相同的小球装入两个不同的盒子,每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子,即12个相同的小球装入三个不同的盒子,每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子,即12个相同的小球装入四个不同的盒子,每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

法2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的12个小球任意装,即16个小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个的装法有315455C =种。

(3)法1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩2个小球,则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子,共有124410C C +=种。

隔板法排列组合题目

隔板法排列组合题目

隔板法排列组合题目排列组合是数学中的一个重要概念,通过排列和组合运算,可以计算出不同元素间的全排列和部分排列数量。

其中,隔板法是一种常用的求解排列组合问题的方法。

本文将通过一个具体的题目,介绍隔板法的应用。

一、题目描述及要求假设有一堆相同的小球,现在要将这些小球分成若干组,每组中小球的数量可以不同。

要求:1. 求出将 n 个小球分成 k 组的方法数量;2. 每组中至少有一个小球。

二、隔板法的应用隔板法是一种解决将对象划分成多个部分的方法。

对于题目中的要求,我们可以使用隔板法进行求解。

思路如下:1. 假设有 n 个小球和 k-1 个隔板,将 n 个小球和 k-1 个隔板排成一排;2. 每个小球都可以选择在哪个隔板前放置,而每个隔板将小球分为一组;3. 每个隔板前放置的小球数量就是该组的小球数量。

三、计算方法根据隔板法的思路,我们可以通过计算小球和隔板的排列组合数量来求解题目。

1. 小球和隔板一共有 n+k-1 个位置,其中 n 个位置放置小球,k-1 个位置放置隔板;2. 我们只需要确定放置小球的位置,即可确定每个隔板前的小球数量;3. 可以使用组合数学中的排列组合公式计算,即 C(n+k-1, n)。

四、题目求解按照上述计算方法,我们可以得出将 n 个小球分成 k 组的方法数量为 C(n+k-1, n)。

其中,C(m, n) 表示从 m 个元素中选择 n 个元素的组合数。

接下来,以一个具体的例子来进行求解。

假设有 6 个小球,要将其分成 3 组。

根据上述计算公式,我们有:C(n+k-1, n) = C(6+3-1, 6) = C(8, 6) = 28。

因此,将 6 个小球分成 3 组的方法数量为 28。

五、总结通过隔板法的应用,我们可以轻松求解排列组合问题,特别是将对象划分成多个部分的情况。

我们可以使用排列组合公式计算出将 n 个小球分成 k 组的方法数量,进而解决具体的问题。

隔板法不仅可以应用于数学领域,也可以在实际问题求解中发挥巨大的作用。

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隔板法在解排列组合问题中的应用
河南省三门峡市卢氏一高(472200)赵建文
隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法,本文将将通过例题将这种方法作以介绍,供同学们学习时参考.
一、将n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题
例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?
分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法.
解析:将20个小球分成三组需要两块隔板,将20个小球及两块隔板排成一排,两块隔板将小球分成三块,从左到右看成三个盒子应放的球数,每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置,先从这22个位置中取出两个位置放隔
板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有222C 种不同的放法,再将小球
放入其他位置,由于小球与隔板都无差别,故小球之间无序,只有1种放法,根据分步计数
原理,共有222C ×1=231种不同的方法.
点评:对n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组,允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组,需要1m -块隔板,将这n 件物品和1m -块隔板排成一排,占1n m +-位置,从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有11m n m C -+-种不同的方法,
再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种放法,根据分步计数原理,共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因
1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一种隔板与物品的
排法对应于一种分法,故有11m n m C -+-种分法.
二、将n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),每人(或位置)必须有物品问题
例2将20个优秀学生名额分给18个班,每班至少1个名额,有多少种不同的分配方法?
分析:本题是名额分配问题,用隔板法.
解析:将20个名额分配给18个班,每班至少1个名额,相当于将20个相同的小球分成18组,每组至少1个,将20个相同的小球分成18组,需要17块隔板,先将20个小球排成一排,因小球相同,故小球之间无顺序,是组合,只有1种排法,再在20个小球之间的19个空档中,选取17个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故
隔板有1719C 种不同的放法,根据分步计数原理,共有1719C 种不同的方法,因17块隔板将20个小球分成18组,从左到右可以看成每班所得的名额数,每一种隔板与小球的排法对应于
一种分法,故有11m n m C -+-种分法.
点评::对n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),每个人(或位置)必须有
物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组,每组不空的问题.将n 件物品分成m 组,需要1m -块隔板,将这n 件物品排成一排,因物品无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种排法,再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板,占1n m +-位置,从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组
合问题,故隔板有11m n C --种不同的放法,根据分步计数原理,共有1×11m n C --=11m n C --种不同排
法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一
种隔板与物品的排法对应于一种分法,故有11m n C --种分法.
对相同物品分配问题,注意某若干组能否为空,能为空和不能为不空,方法不同,要体会和掌握.。

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