隔板法解决排列组合问题高高三
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍拓展隔板法拓展隔板法是一种在数学解题中常用的技巧，通过将问题转化为排列组合的形式来解决。
在高中数学中，拓展隔板法被广泛应用于各种代数和几何问题中。
通过灵活运用拓展隔板法，可以简化复杂的计算过程，提高解题效率。
拓展隔板法的基本思想是将待解问题分解成若干个小问题，然后通过排列组合的方式进行求解。
通过设立虚拟的“隔板”，可以将问题中的元素进行分组，从而简化计算过程。
这种方法既简单又高效，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
在高中数学课程中，拓展隔板法被广泛运用于组合数学、概率论、代数和几何等方面。
通过掌握这一技巧，学生可以更快速地解决各种复杂的数学问题，提升他们的数学解题能力和思维能力。
深入理解和掌握拓展隔板法对高中数学学习至关重要。
通过不断练习和应用，学生能够在数学解题中游刃有余，取得更好的成绩。
1.2 阐述高中数学解题中的重要性在高中数学教学中，引导学生掌握拓展隔板法是非常重要的。
通过深入理解和练习拓展隔板法，学生不仅可以提高数学解题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和创新思维。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用将为学生打开一扇通往成功的大门，让他们在数学学习中游刃有余，取得更好的成绩。
2. 正文2.1 拓展隔板法在代数解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中非常有用的方法，特别在代数解题中更是发挥了重要作用。
通过拓展隔板法，我们可以更快更准确地解决各种代数方程和不等式问题，提高解题效率和准确度。
在代数解题中，拓展隔板法可以用来求解各种未知数之间的关系，尤其是在多元方程组中应用广泛。
通过将未知数之间用隔板隔开，我们可以清晰地看到它们之间的联系，从而更容易推导出正确的解法。
拓展隔板法在解代数方程组、求根式、化简分式等问题中都能起到关键作用。
在解决一个包含多个未知数的代数方程组时，我们可以利用拓展隔板法将各个未知数分开，逐步求解，最终得到所有未知数的具体数值。
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
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[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
隔板法的应用
隔板法在解决排列组合问题中的应用（一）：问题提出：在解决排列组合问题时常常会遇到这样一类问题；例如：例1：某校高二年级有三个班级，现要从中选出五人组成篮球队，且规定每班至少有一人参加，则有多少种分配方案。
解（一）：用常规解法，分类；第一类：有一个班三人，其余两班各一人；共有13c 种方法；第二类：有两个班各两人，剩下一个班一人；共有23c 种方法；综上：共计13c +13c =6种方法。
解（二）：分析：此题就是把五个名额要分配到三个班中去，可以看作要把五个无差异的元素分成三组，那么只需将五个元素分隔开来即可，即就是从四个空中找出两个把五个元素分成三组即可。
共24c =6种方法。
例2：某校高二年级有10个班级，现要从中选出18人组成篮球队，且规定每班至少有一人参加，则有多少种分配方案。
分析：若用常规解法，分类则比较麻烦；若把此题看作要把18个无差异的元素分成10组，即就是从17个空中找出9个把18个元素分成10组即可。
解起来则比较简单。
解：共917c 种方法。
例3：有90枝玫瑰花，要分给10个人，每人至少一支，不同的方法有多少种。
分析：把此题看作要把90个无差异的元素分成10组，即就是从89个空中找出9个把90个元素分成10组即可。
解：共989c 种方法。
（二）：结论：我们可以看到，以上三个问题有一个共同特点：就是要把n 个无差异的元素分到m 个不同的组中去，要求（1） n ≥m ；（2） 每组至少分到一个元素；（3） 每组都不相同；这样的问题我们都能看作是：把n 个无差异的元素分成m 组，即就是从n-1个空中找出m-1个把m 个元素分成n 组即可。
就像在n-1个空中插入m-1个隔板把m 个元素分成了n 组。
共计11--m n c 方法； 我们把它形象的称为就是隔板法。
（三）：应用：例4：某公司有7个车队，每个车队至少4辆车，现从中抽出10辆，每个车队至少一辆组成运输队，则不同的方法有多少种。
分析：此题看作要把10个无差异的元素分成4组；（1）10≥4；（2）每组至少分到一个元素；（3）每组都不相同；解：方法总数为3c。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．【答案】126【解析】12610x x x +++=的正整数解的组数为59987612624C ⨯⨯⨯==， 故答案为：126．例2．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为26C =15，故选： D例3．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项【答案】D 【解析】()112x y z ++展开之后必有形如a b c mx y z 的式子出现，其中,,,m R a b c N ∈∈，且11a b c ++=．构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法213C 种； 每组去掉一个小球的数目分别为()112x y z ++的展开式中,,x y z 各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故()112x y z ++的展开式中，合并同类项之后的项数为213131278 2C⨯==项．故选：D。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
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“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中
选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小
球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即12个相同
的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个盒子，即12个
相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有
4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4
个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3
15455
C=种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可
以装在1个盒子或两个盒子，共有12
4410
C C
+=种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小
球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3
510
C=
由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？
(2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？
（3）方程1231023x x x x ++++=的非负整数整数解有多少组？
解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3984C =种，
所以该方程有84组正整数解。
（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，
进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有313286C =种，所
以该方程有286组非负整数整数解。
（3）当10x =时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有311165
C =种。
当11x =时，转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有19C =9种；所以该
方程有165+9=174组非负整数整数解。
例3、已知集合{}I =1,2,3,4,5，选择 I 的两个非空子集,A B ，且A 中最大的元素比B 中最小的元素小，则选择方法有多少种？
解：由题意知,A B 的交集是空集，且,A B 的并集是I 的子集C ，所以C 至少含有两个元素，将C 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A ，后边的给B ，,A B 至少含有1个元素，设C 中有n 个元素，则转化为n 个相同的小球装入2个不同的盒子，则有
1n
C 种装法，故本题有2314151552535449C C C C C C C +++=种选择方法。
总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。
若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。