利用导数研究函数的极值最值学案
3.3.2 利用导数研究函数极值
学习目标：
结合函数图像，了解函数在某点取得机制的必要条件和充分条件，会用导数
求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。
学习重点：利用导数求函数极值
教学过程
一．复习引入：
1.利用导数判断函数单调性的原理：
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么y=f(x)为这个区间内的 ；如果在这个区间内0y '<，那么y=f(x)为这个区间内的 。
2.求函数单调性的一般步骤
二．新课讲授：
（一）函数的极值:
1. 观察右下图为函数762)(23+-=x x x f 的图象,从图象我们可以看出哪些
的结论:
2.探索思考：
如图，函数y=f （x ）在4321,,,x x x x 等点的函数值与这些点附近的函数值有什
么关系？y=f （x ）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f （x ）的导数的符号有什么规律？
3.极值定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的
所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记
作 ， 是极大值点
（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有
的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记
作 ， 是极小值点
（3） 与 统称为极值
4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值
点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)
(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值. 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:
(1) ；
(2) ； (3) .
6.极值的几点说明：
思考：极值与最值的区别?
（二）函数的最大值和最小值:
在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内
连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值
(f (f
得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
利用导数求函数的最值步骤:
⑴ ；
⑵ .
三、典例剖析
例1.已知函数31()443
f x x x =-+ （1）求函数的极值
（2）求函数在区间[-3,4]上的最大值，最小值
变式
1、设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在x ＝1处取得极大值－2，则a ＝ 。
2、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是 。
例2:求函数f(x)=x+x
a 2
的极值
例3、设f(x)=5222
3
+--x x x , (1)求函数的单调区间；
(2)当x ∈［-1,2］时，f(x)<m 恒成立，求实数m 的取值范围.
四．巩固练习
独立完成课本P98 练习A 2（2），B 1。
五．反思领悟：（写出本节课你的所学、所思、所悟、所疑）
六．当堂检测：
1.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________.
2.函数f (x )=sin2x －x 在［－2π,2
π］上的最大值为_____；最小值为_______.
3、已知函数a x x x x f +++-=93)(23。
（1）求)(x f 的单调递减区间；
（2）若)(x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
利用导数研究函数的极值最值。我的公开课导学案
1. (选修2 2P319练习1改编)函数y=x2-4x+3在R上有极值,该值的大小为.
2. (选修1 1P80习题8改编)函数y=x3-3x+9的极小值是.
3. (选修1 1P76习题2改编)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点有个.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
课
堂
小
结
检
测
反
馈
1.函数f(x)=x3-3x+1,x∈[0,2]的最大值为.
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-x,则使得函数f(x)取得极大值的x=.
3.设函数f(x)= +ln x,则函数f(x)的极小值点为x=.
课
题
第19课时利用导数研究函数的极值、最值
主备人
审核
学
习
目
标
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
重点
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
难点
利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
(2)若函数f(x)有极大值28,求函数f(x)在[-3,3]上的最小值.
练习巩固
1.函数y=x3-3x2+5,x∈[-2,3]的值域为.
2.已知函数f(x)= x2+lnx,则f(x)在区间[1,e]上的最大值是.
高中数学《函数极值,最值与导数》导学案
数学选修2-2导学案
二、认识新知 （一）、导数与极值
问题：如图表示跳水运动员，高度h 随时间t 变化的函
数
的图象
结论：
由图象我们知道，)(t h 在a t =处有极大值，此时：
函数)(t h 在a 处0)(='a h ，在a t =的附近 当 0>t 时,函数h(t)单调递增，0)(>'t h ; 当 0<t 时,函数h(t)单调递减, 0)(<'t h 。
2
() 4.9 6.510h t t t =-++
思考：
【问题】：对于任意的一般函数)(x f ，如果在某一点处有 极值，在该点处，导数有什么规律？ 请大家观察下列图象回答一下问题：
问题1：函数)(x f y =在点b a ,的函数值与这些点附近的点 的函数值有什么关系？
问题2：函数)(x f y =在点b a ,处的导数是多少？ 问题3：在点b a ,处函数)(x f y =的导数有什么规律？
结论：
1、在点a 处函数)(x f y =有极小值，此时： ①:点a 附近的点的函数值都大于)(a f ②：0)(='a f
③：在a 点的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f。
《1.3.2 利用导数研究函数的极值》教学案2
《1.3.2 利用导数研究函数的极值》教学案2 【学情分析】：在高一就学习了函数的最大(小)值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。
在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】：(1)理解极大值、极小值的概念.(2)能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.(3)掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤【教学过程设计】：课后练习1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立2、函数()323922y x x x x =---<<有( )A 极大值5，极小值27-B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值答案C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个答案A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→>4、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( )A ， 2B. 3C. 4D. 5答案： 5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x c x c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m=__________ 答案7、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；(1)求,a b 的值；(2)求函数y 的极小值 解：(1)'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩(2)32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。
高中数学_利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思
你能总结出利用导数求解函数极值的方法吗？【课题】《利用导数研究函数的极值》【学情分析】从学生的认知角度来看：1、在学习本节前，学生已有导数的概念及运算做基础，还学习了利用导数研究函数的单调性。
初步具备了运用导数研究函数的能力，但还不够深入，在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
2、学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的，而且学生自主探究、总结归纳问题的能力还不够理想，把实际问题抽象成数学问题的能力也有所欠缺，需要在老师的引导下进行学习3、本节课又为下节课的求最值做了很好的铺垫。
但对本部分的知识学生的理解能力不足，发现问题能力上可能很难满足本节课的要求。
但学生对新知识兴趣高，肯下功夫、思维活跃，会为本节课的顺利推进提供一定的保障。
从学生的能力储备来看：1、高二下学期的学生已经对高中数学体系有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、全班交流，培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。
2、学生已经具备了类比一类事物归纳总结另一类事物的共同点与不同点的能力；能够利用提供的实际问题情境和合适的探究材料主动探究出本节知识点。
《利用导数研究函数的极值》效果分析【课题】《利用导数研究函数的极值》【学习效果测评】【学习效果分析】一、优化教学目标，落实学习任务优化教学目标是课堂教学实施素质教育的前提。
本节课在目标确定上，都没有照搬“教参”，而是知识、能力、情感三个方面深入挖掘，精心设计。
在教学目标的落实上，认真钻研教材立足一个“细”字；挖掘教材立足一个“深”字；备写教案立足一个“精”字；设计师生活动立足一个“实”字；教法选择立足一个“活”字，使教学目标有重点，有层次，有启发性、实用性和指导性。
19选修1-1利用导数研究函数的极值和最值(教案教学设计导学案)(20210930014831)
个性化教课指导教课设计学生姓名上课时间2017 年月日年级高二学科教师姓名数学课题利用导数研究函数的极值和最值1、认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，掌握函数极教课目的值的判断及求法．并掌握函数在某一点获得极值的条件．2、理解函数最值的观点，认识其与函数极值的差别与联系，会求某闭区间上函数的最值．教课过程教师活动学生活动1.已知函数 f(x)＝x3＋ x－ 16，直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．2．设 f(x) ＝x3＋ax2＋ bx＋ 1 的导数 f′ (x)知足 f′ (1) ＝ 2a，f′ (2) ＝－ b，此中常数a， b∈R.求曲线 y＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程．3.已知函数f(x)＝ (ax2＋ bx＋ c)e x在 [0,1]上单一递减且知足f(0)＝ 1，f(1)＝ 0，求 a 的取值范围．[问题 1]求以下函数的极值：(1) f(x)＝1 x3－ x2－ 3x＋3； (2)f(x)＝ln x.3 x[问题 2] 已知函数f(x)＝ x3－ 3ax2＋ 2bx 在点 x＝ 1 处的极小值为－1，试确立 a，b 的值，并求 f(x)的单一区间．[ 问题 3]已知 a 为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求函数 f(x) 的极值，并画出其图象 (草图 )；(2)当 a 为什么值时，方程 f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？[ 问题 4]求以下各函数的最值：(1) f(x)＝－ x3＋ 3x， x∈[ －3，3] ；(2) f(x)＝ x2－54x(x＜ 0＝．[ 问题 5]已知函数f(x)＝ 2x3－ 6x2＋ a 在[－ 2,2]上有最小值－ 37，求 a 的值，并求f(x)在[－ 2,2] 上的最大值．[ 问题 6]设函数 f(x) ＝tx2＋ 2t2x＋ t－ 1(x∈ R，t>0) ．(1) 求 f(x)的最小值 h(t)；(2) 若 h( t)<－ 2t＋ m 对 t∈ (0,2) 恒建立，务实数m 的取值范围．知识点一．函数极值的观点函数y＝ f (x)的图象如下图．思虑 1函数在x＝a点的函数值与这点邻近的函数值有什么大小关系？【分析】函数在点x＝ a 的函数值比它在点x＝ a 邻近的其余点的函数值都小．思虑 2为多少？在点x＝ a 邻近，函数的导数的符号有什么规律？【分析】＝ 0，在点 x＝a 邻近的左边 <0，右边 >0．思虑 3函数在x＝b点处的状况呢？【分析】函数在点x＝b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0，且在点 x＝b 邻近的左边 >0 ，右边<0．概括总结：（ 1）极小值点与极小值函数 y＝ f (x)在点 x＝ a 的函数值 f (a)比它在点x＝ a 邻近其余点的函数值都小，＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 <0，右边 >0．则把点 a 叫做函数y＝ f (x)的极小值点， f (a)叫做函数y＝ f (x)的极小值．（ 2）极大值点与极大值函数 y＝ f (x)在点 x＝ b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0；并且在点 x＝ b 邻近的左边 >0，右边 <0．则把点 b 叫做函数y＝ f (x)的极大值点， f (b)叫做函数y ＝ f (x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二求函数 y＝ f (x)极值的方法解方程＝ 0，当＝ 0 时，（ 1）假如在 x0邻近的左边> 0，右边< 0，那么 f (x0)是极大值．（ 2）假如在 x0邻近的左边< 0，右边> 0，那么 f ( x0)是极小值．知识点三函数的最值思虑 1如图，察看区间[a，b]上函数 f ( x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？【分析】 f (x1)、 f (x3 )、 f (x5)是极小值， f (x2)， f (x4)是极大值．思虑 2 在上图中，你能找出 f (x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值吗？【分析】函数 f (x)在 [ ，]上的最小值是 f (xa b3)，最大值是f (b)．概括总结：假如在区间 [a， b] 上函数 y＝ f (x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a，b]上必定能够获得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或__区间端点__获得．知识点四“最值”与“极值”的差别和联系（1）“最值”是整体观点，是比较整个定义域内的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较极值点邻近函数值得出的，拥有相对性．（2）从个数上看，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能一个都没有．（3）极值只好在定义域内部获得，而最值能够在区间的端点处获得，有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，特别数函数的连续函数的最值只需不在端点处获得必然是极值．知识点五求函数 y＝ f (x)在 [a， b]上的最值的步骤:（ 1）求函数 y＝ f (x)在 (a， b)内的极值．（2）将函数 y＝ f (x) 的各极值与 __端点处 ___的函数值 f (a) ，f ( b)进行比较，此中最大的一个是 ___最大值 ___，最小的一个是 ___最小值 __．【典例分析】【例 1】求以下函数的极值：(1) f(x)＝－ x3＋ 12x＋ 6；2x－2.(2) f(x)＝x2＋1【例 2】已知函数 f(x) ＝ x3＋ax2＋bx＋ c，且当 x＝－ 1 时获得极大值 7，当 x＝ 3 时获得极小值，试求函数 f( x)的极小值，并求 a， b， c 的值．【例 3】 a 为什么值时，方程 x3－ 3x2－ a＝ 0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？1【例 4】求函数f(x)＝3x3－ 4x＋4 在 [0,3] 上的极值及最大值与最小值．【例 5】若 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b， x∈ [ － 1,2] 的最大值是3，最小值是－ 29，求 a， b 的值．【例 6】设函数f(x)＝ 2x3＋ 3ax2＋3bx＋ 8c 在 x＝ 1 及 x＝2 时获得极值．(1)求 a， b 的值；(2)若对于随意的 x∈ [0,3] ，都有 f(x)＜ c2建立，求 c 的取值范围．1．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()①y＝ x3；② y＝x2＋1；③ y＝cos x－ 1；④ y＝ 2xA ．①②B ．②③C．③④ D ．①③2．已知函数f(x)的定义域为 (a， b)，导函数f′ (x)在 (a， b)上的图象如下图，则函数f( x) 在 (a， b)上的极大值点的个数为()A ．1 B．2 C．3 D ．43．函数 y＝ 3x3－ 9x＋ 5 的极大值为 ________．4．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 3x－9，若 f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，则a＝ ________.5．求以下函数的极值：(1) f(x)＝ x3－ 12x；1(2) f(x)＝ sin x＋2x， x∈ (0,2 π)．6．函数 f( x)＝ x3－3x(|x|＜1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值π7．函数 y＝ x－ sin x， x∈2，π的最大值是 ()πA ．π－ 1 B.2－1C．π D ．π＋ 18．函数 y＝e xx在 [0,2] 上的最大值为________．9．已知函数y＝－ x2－ 2x＋3 在区间 [a,2]上的最大值为154，则 a＝________.10．已知 a 为实数， f(x) ＝(x2－ 4)(x－ a)．(1)求导数 f′ (x) ；(2)若 f′ (－ 1)＝0，求 f(x)在 [ －2,2] 上的最大值和最小值．知识点一求函数极值的步骤：①求方程f′ (x)＝ 0 在函数定义域内的全部根；②用 f′ (x)＝ 0 的根将定义域分红若干小区间，列表；③由 f′ (x)在各个小区间内的符号，判断f′ (x)＝0 的根处的极值状况．(2)表格给出了当 x 变化时 y′，y 的变化状况，表格直观清楚，简单看出详细的变化状况，并且能判断出是极大值仍是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．知识点二已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，经过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，联合已知求出参数，从而使问题得以解决．知识点三相关恒建立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时第一要确立函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确立函数．一般地，若不等式 a≥ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是a≥ f(x) max；若不等式a≤ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是 a≤ f(x)min.【典例 1】若 a≠ 0，试求函数f(x) ＝－2ax3－ x2＋ a2x2＋ 2ax 的单一区间与极值．3[变式 1] 设函数 f(x)＝－13x3＋x2＋( m2－1)x(x∈R)，此中m>0，求函数的单一区间与极值．[典例 2] 已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0)在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对随意x>0 ，不等式f(x)≥－ 2c2恒建立，求 c 的取值范围．[变式 2]已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0) 在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对 x>0，方程 f(x) ＝－ 2c2有解，求 c 的取值范围．1．函数 f( x)＝ 2－ x2－ x3的极值状况是()A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值2．函数f( x)＝ ax3＋bx 在x＝ 1 处有极值－2，则a， b 的值分别为( )A 1 3B 1,3C．－ 1,3 D．－ 1，－ 33．设函数f(x) ＝xe x，则 ()A ． x＝ 1 为 f(x) 的极大值点B ． x＝ 1 为 f(x) 的极小值点C． x＝－ 1 为 f(x) 的极大值点D ． x＝－ 1 为 f(x)的极小值点4．已知 f( x)＝ x3＋ax2＋( a＋ 6)x＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()A ． (－ 1,2)B ． (－ 3,6)C． (－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )D ． (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ )5．对于函数 f(x)＝ x3－ 3x2，给出命题：①f( x)是增函数，无极值；② f( x)是减函数，无极值；③ f( x)的单一递加区间为 (－∞， 0) ，(2，＋∞ )，单一递减区间为 (0,2)；④f(0) ＝ 0 是极大值， f(2)＝－ 4 是极小值．此中正确的命题有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个6．已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ c，其导数 f′ (x)的图象如下图，则函数的极小值是________．a＋ ln x7．函数 f( x)＝(a∈ R)的极大值为 ________．x8．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．9．以下说法正确的选项是()A．函数在其定义域内如有最值与极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B．闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之，如有极值，则必定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但如有极值，则可有多个极值10．函数 f(x)＝ 2x－A ．无最值cos x 在 (－∞，＋∞ )上( B．有极值)C．有最大值 D ．有最小值11．函数1f(x)＝ 2 x＋ x，x∈(0,5] 的最小值为( )A ．2B ．317C. 41 D．2 2＋212．函数 f(x)＝ x3－x2－x＋ a 在区间 [0,2] 上的最大值是3，则 a 的值为 ()A ．3B ．1C． 2 D．－113．已知函数f( x)， g(x)均为 [a， b] 上的可导函数，在[a， b]上连续且f′ (x)<g′ (x)，则 f(x) － g(x)的最大值为( )A ． f(a)－ g(a) C． f(a)－ g(b)B ．f(b)－D ．f(b)－g( b)g( a)a1．已知函数 f(x)＝x2＋ 2ln x，若当 a＞0 时，f(x)≥ 2 恒建立，则实数 a 的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ 2，且 f(x)的导函数f′ (x)的图象对于直线x＝ 1 对称．(1)求导函数 f′ (x)及实数 a 的值；(2)求函数 y＝ f(x)在[ － 1,2]上的最大值和最小值．3．设 f(x)＝ ln x， g(x)＝ f(x)＋ f′ (x)．(1)求 g( x)的单一区间和最小值；1(2) 求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)＜a对随意 x＞ 0 恒建立．4．已知函数f(x)＝ x3－ 3ax－ 1， a≠ 0.(1)求 f(x)的单一区间；(2) 若 f(x)在 x＝－ 1 处获得极值，直线y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，求m 的取值范围．5．已知函数f(x)＝ e x(ax＋ b) －x2－ 4x，曲线 y＝ f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程为y＝4x＋ 4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f(x)的单一性，并求 f(x)的极大值．。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
导数及其应用极值与最值教学设计
专题020：导数的应用(极值与最值)（教学设计）（师）考点要求：1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．4．复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.知识结构：1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法……列表法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤……列表法①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（一般情况下为单峰函数）(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．4．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．（定义域优先原则）(2)在实际问题中（一般情况下为单峰函数），如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．5．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 基础自测：1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案 D2．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极大值，有极小值C ．有极小值，无极大值D ．无极小值，无极大值 解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2 f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 ＋f (x )43因此有极小值无极大值． 答案 C3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )． A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0解得x ＝9(－9舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0，则当x ＝9时，y 取得最大值，故选C. 答案 C4．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)当x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时取得极小值．答案 2 5．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3例题选讲：例1：(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．分析：由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值，列表法．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.小结： 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤……列表法：(1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2：已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． 分析：先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0， 所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.小结：一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．例3：(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 分析： 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.小结：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 巩固作业： A 组： 一、选择题：1．如果函数428y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c =（ B ）()A 1()B 2()C 1-()D 2-2．下列函数中，0x =是极值点的函数是(B ）（A ）3y x =- （B ）2cos y x = （C ）tan y x x =- （D ）1y x=3．下列说法正确的是（D ）（A ）函数的极大值就是函数的最大值 （B ）函数的极小值就是函数的最小值 （C ）函数的最值一定是极值 （D ）在闭区间上的连续函数一定存在最值 二、填空题：4．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则点),(b a 为 ．答案：（-4,11） 5．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为427，极小值为0． 6．函数321()252f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞． 7．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
利用导数研究函数的极值教案
1已知 （ ）在 时取得极值,且 .
（1）试求常数 的值；
（2）试判断 是函数的极小值还是极大值,并说明理由.
学生活动
学生思考回答
学生回答
设计意图
复习基本概念
培养学生视图能力，数形结合思想
情感态度和价值观：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；
2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
教学模式
探究模式、课堂讨论模式、合作学习模式
重点
利用导数研究函数的极值
难点
函数的极值正向或逆向问题的考察
教具
学案
教学过程
教师活动
一知识回顾：
（1）极值的定义
（2）求极值的一般步堂小结
一利用导数求函数的极值方法:
(1)确定函数的定义域
(2)求导数f'(x)
(3)求方程f'(x) =0的全部解
(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负
(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
任课教师
陈雪艳
授课班级
高二（4）班
授课日期
2016．4．13
教学课题
利用导数研究函数的极值
教学目标
知识技能：
（1）了解函数在某点取得极值的必要条件;
（2）能利用导数求函数的极值及参数的值。
过程与方法：通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相互独立性的方法。
培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、方程的数学思想。
利用导数研究函数的极值导学案
利用导数研究函数的极值导学案【学习要求】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法.3．掌握函数在某一点取得极值的条件．【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.【知识要点】1．极值的概念已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为2．求可导函数f(x)的极值的方法（1）求导数f′(x)；（2）求方程的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)【问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．例1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．跟踪训练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值． 探究点二 利用函数极值确定参数的值问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．（1）试确定常数a 和b 的值；（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R .（1）求函数f (x )的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．【当堂检测】1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数存在极值的是 ( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3 3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >64．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为__________5．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________【课堂小结】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1．已知三次函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和1-=x 时取极值，且4)2(-=-f ．（1）求函数)(x f y =的表达式；（2）求函数)(x f y =的单调区间和极值2．若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围【教学反思】。