初四数学圆(一)
鲁教版初四数学第四章圆综合复习
鲁教版初四数学第四章圆综合复习一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．【经典例题精讲】例1 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．2．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．3．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．4．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．3．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．4垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．【经典例题精讲】1已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．2．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．3.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．【经典例题精讲】1.四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．7．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【经典例题精讲】1.（2011北京中考20题）如图，在ABC △中，A B A C =，以AB 为直径的O 分别交A C 、BC 于点D 、E ，点F 在A C 的延长线上，且12CBF CAB∠=∠. ⑴ 求证：直线BF 是O 的切线； ⑵ 若5A B =，sin 5C BF ∠=BC 和BF 的长.2．（2011西城一模21题）如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BFA ＝32，求△ACF 的面积．3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．4已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．F5已知：如图，以△ABC 的一边BC 为直径作半圆，交AB 于E ，过E 点作半圆O 的切线恰与AC 垂直，试确定边BC 与AC 的大小关系，并证明你的结论．6．已知：如图，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．7．已知：如图，PA ，PB ，DC 分别切⊙O 于A ，B ，E 点．(1)若∠P =40°，求∠COD ；(2)若P A =10cm ，求△PCD 的周长．8.已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．(2011东城二模20题). 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED =45︒． (1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为3，sin ∠ADE =65，求AE 的值．B（2011丰台一模20题）．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△A E C ，且点E 恰好落在直径AB 上.（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论. （2）若OB =BD =2,求CE 的长．（2011丰台二模20题）. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 边相切于点D ，联结AD. （1）求证：AD 是∠BAC 的平分线； （2）若AC = 3，tan B =34，求⊙O 的半径.（2011石景山一模20题）．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若33sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径．（2011石景山二模20题）．已知：如图，ABC AF 为△的角平分线，以BC 为直径的圆与边AB 交于点,D E 点为弧BD 的中点，联结CE 交AB 于H ，AC AH =． （1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）若6=AC ，10=AB ，求EC 的长．（2011大兴二模20题）．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）如果⊙O 的直径为9，cos B ＝13，求DE 的长(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．【经典例题精讲】已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．12．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】1．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为( )．2．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )．A．240°B．120°C．180°D．90°3．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为( )．A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm4．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )．A．120°B．1 80°C．240°D. 300°1长为半径作5.已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，a2，，，求阴影部分的面积．6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，,3BC以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与=4围成的阴影部分的面积．三、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．2、圆中较特殊的辅助线1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．2)．将割线、相交弦补充完整．3)．作辅助圆．。
初四数学-圆的基础知识点及基础题型-新课-11月
4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
正多边形的中心：所有对称轴的交点；
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
圆的知识点总结及题型分析
知识点一、圆的定义及有关概念
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
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已知：如图，OA,OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上则∠ACB的度数为( )
A..45°B.35°C.25°D.20°
【尝试】
.如图，半圆的直径 ，点C在半圆上， ．
（1）求弦 的长；
（2）若P为AB的中点， 交 于点E，求 的长．
2.已知：如图，在 △ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
8
2.1 圆(1)
如何判断点与圆的位置关系？ 只需要比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系.
知识运用
如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合． （1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？ （2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．
A
（P.39）“尝试与交 流”
A
如图，已知线段PQ＝2cm. Q P （1）画出下列图形： 到点P的距离等于1cm的点的集合； B 到点Q的距离等于1.5cm的点的集合． （2）在所画图中，到点P的距离等于1cm，且到点Q的距离等于 1.5cm的点有几个？请在图中将它们表示出来． （3）在所画图中，到点P的距离小于或等于1cm，且到点Q的距 离大于或等于1.5cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来 ．
知识运用
例1 已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm， 那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为 4cm、3cm呢？ 解： 设⊙O的半径为rcm，点P到圆心O的距离为dcm． 由题意得，r＝4cm． 当d＝4.5cm时， ∵ d＞r，∴点P在⊙O外． 当d＝4cm时， ∵ d＝r，∴点P在⊙O上． 当d＝3cm时， ∵ d＜r，∴点P在⊙O内．
O
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离 为d，那么___________________________.
数学·思考
甲、乙两人分别站在图中⊙O上的A、B两点处，他 俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来参加，并分别站 在了图中所示的P、Q两点处． 如果你是甲同学，你会有怎样的看法？ B( 乙 ) Q(丁) 圆内各点到圆心的距离都小于半径． 圆外各点到圆心的距离都大于半径． O
2.1
圆
数学·思考
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一 周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 圆是一条封闭的曲线. 要确定一个圆,必须确定圆的 圆心 和 半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”．
初四数学圆(1—6节)复习学案
初四数学圆（1—6节）复习学案一、构建网络：圆的定义：锐角三角形的三个点确定一个圆：直角三角形确定圆的条件：钝角三角形定理：圆内接边形：推论：对称轴是：圆的有关性质定理：轴对称性垂径定理推论：定理：圆心角圆中心对称性和旋转不变性：推论：定理：圆周角推论：点在圆外：点与圆的位置关系点在圆上：点在圆内：相交相离判定：直线与圆的位置关系切线相切性质：三角形的内切圆圆与圆的位置关系常用的辅助线：1、有关弦的计算：2、见直径3、见切点，证切线4、相交两圆 ，相切两圆二、巩固网络：1.在直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(-3,4)的位置在( ).(A)⊙O 内 (B)⊙O 上 (C)⊙O 外 (D)不能确定2.下列语句中正确的个数是( ).①平行四边形的四个顶点在同一圆上 ②矩形的四个顶点在同一圆上③菱形的四个顶点在同一圆上 ④正方形四边中点在同一圆上(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3.已知:如图1,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E,若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).(A)4 (B)34.四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在BC 延长线上.若∠A=50o ,则∠DCE 等于( ).(A) 40o (B) 50o(C) 70o (D) 130o 图15.下列命题中:①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三个顶点的距离相等；④度数相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心； ⑦相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的是个数有( )个.(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6回思：本题中的假命题，你能说出他错误的原因或者举出反例吗？三、当堂达标1.如图，PA 切⊙O 于点A ，该圆的半径为3，PO=5，则PA 长为2.如图：AB 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B ＝70°，则∠BAC ＝3.已知：如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为⊙O 上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=12cm ， 则△PEF 的周长为4. 已知两圆的半径分别为4cm 和5cm ,公共弦长为6cm ,则圆心距是5.已知：如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，C 为⊙O 上一点,∠P =50°，则∠ACB ＝回思：上题中都用到了哪些知识？用到哪些辅助线？你总结出了哪些解题规律？四、范例尝试：例1：已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是⊙O 的切线．回思：本题用到了哪些知识？证切线的辅助线是，证直角的思路是五、自我检测：1、在上题中，若已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，DC 是⊙O 的切线．切点为D ，那么OC 与AD 之间存在怎样的位置关系？2、如图一，AB 为⊙O 的直径，要使直线EF 为⊙O 的切线，还需要添加什么条件？（写出三种不同条件） ）如图二，AB 不是⊙O 的直径，O （请写出两中不同的条件）范例尝试例2：已知:如图,⊙O 1和⊙O 2交于CD 两点，O 1O 2延长线与⊙O 1相交于点A,AC 与AD 的延长线分别与⊙O 2相交开E,F 两点. 求证:(1)CD ∥EF (2)CE=DF回思：相交两圆的辅助线是 ，它所起到的作用是自我检测B C B1、⊙O 与⊙A 相内切，若OA=3，⊙O 的半径为7，则⊙A 的半径为 。
中考数学《圆（一）》专题练习含答案解析
圆（一）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．三、解答题（共5小题）26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．圆（一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．【解答】解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；∴∠BCD=∠A=38°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．【解答】解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=（180°﹣∠BOC）=×（180°﹣144°）=18°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．【解答】解：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=∠AOD=20°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理．【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为25度．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=40°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为2．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．【解答】解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，∴∠D=∠BAC=28°．故答案为：28°．【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．三、解答题26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．。
圆的认识(一)第1课时
第1课时
1.使学生在画圆的过程中，认识圆，掌握圆的各部分名称。 2.通过动手操作、实验观察探索出圆的特征及同一个圆里半
径和直径的关系。 3.初步学会用圆规画圆，培养学生的作图能力。
重点
在动手操作中掌握圆的特征，学会用圆规画圆的 方法。
Байду номын сангаас难点
理解圆上的概念，归纳圆的特征。
1.下面各图哪些是四边形？
2.用你喜欢的方式画一个四边形。 方法很多，可以借助直尺画，可以描出一 个四边形的边缘。
这些物体上都有什么？
圆
你觉得哪种方 式游戏公平？
第 一 种
不公平。每个小朋友离靶子的距离不同。
第 二 种
不公平。每个小朋友离靶子 的距离不完全相同。
第 三 种
公平。每个小朋友离靶子 的距离相同。
站成圆形最公平，蕴含着什么数学道理呢？
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
画一画，你 能想办法画 出一个圆吗？
用圆规画圆
1.把圆规的两脚分开， 定好两脚间的距离 （以3厘米为例）。
2.把有针尖的一只脚固定 在一点（即圆心）上。
3.把装有铅笔尖的一只脚 旋转一周，就画出一个圆。
照样子画一画。
认一认。
C
初四数学教案
内含
2.本节课你用到的数学思想方法有哪些？
3、通过本节课学习你还有什么收获或困惑
（六）布置作业（1分钟）
课堂作业：习题2. 3
板书设计
课题：圆和圆的位置关系
1位置关系等价条件3.应用
2.相切时，切点在连心线上
学生练习区
教后小记
5.⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是( )A.1或5 B.1 C.5 D.1或4
6.两圆相切，圆心距为9 cm，已知其中一圆半径为5 cm，另一圆半径为_____.
（五）课堂小结：（2分钟）1、填表
名称
图形
公共点
圆心与半径的关系
相离
外切
相交
初四数学教案
课题：圆和圆的位置关系（1）
课型：新授课
备课时间11.6
序号：
主备人：刘芝
使用人：
上课时间：
领导签字：
教学目标
1、了解两个不等的圆与圆之间的五种位置关系。
2、了解两圆的位置关系与两圆圆心距d，半径R和r的数量关系之间的联系。
教学重点
理解圆心距与两圆半径之间的数量关系与圆与圆的位置关系是等价的
引入新课：点和圆的位置关系有3种，直线和圆的位置关系有3种。本节课我们将类比地学习圆和圆的位置关系．
探索新知（一）（6分钟）
1、用两个圆形纸片操作移动过程，说出你发现的不同位置关系。
并给它们命名
观察五种位置关系下的交点个数，你能根据“交点个数”对这五种位置进行分类吗？请讨论。
3.出示图片：比眼力，比速度，说出两圆的位置关系
4.观察思考课本39页：这些图形是轴对称图形吗？相切时，切点与对称轴有什么位置关系？
初四数学知识点总结
初四数学知识点总结数学是一门非常复杂的学科，下面是为大家整理的初四数学知识点总结两则，希望能帮助到大家！初四数学知识点总结：圆的知识点总结一圆的定理1.1不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.2垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.3弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
2024年初中数学圆的知识点总结(2篇)
2024年初中数学圆的知识点总结____年初中数学圆的知识点总结1. 圆的定义和性质- 圆是平面上的一组点，这些点与给定点的距离相等。
给定的点叫作圆心，距离叫作半径。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，且两端点在圆上。
- 圆的弦是圆上任意两点之间的线段。
- 圆的弧是圆上两点之间的一段曲线部分。
- 圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
2. 圆的公式和关系- 圆的周长公式：C = 2πr，其中 C 为周长，r 为半径，π 为圆周率（近似值为3.14159）。
- 圆的面积公式：A = πr²，其中 A 为面积，r 为半径。
- 两个圆的大小关系：若圆 A 的半径大于圆 B 的半径，则圆 A 的面积大于圆 B 的面积，圆 A 的周长大于圆 B 的周长。
3. 圆的幂定理- 幂定理：给定一条直线和一个圆，若直线与圆相交于两个点，这两个点构成的线段平方的积等于直线与圆外一点之间线段的积。
即PA × PB = PC²，其中 P 是直线与圆相交的其中一个点，且 P、C、A、B 任意三点不共线。
4. 圆的切线和切点- 切线：过圆上一点，且与圆相切的直线叫作圆的切线。
- 切点：圆与切线相交的点叫作切点。
5. 判断圆与直线的位置关系- 圆与直线相离：如果直线上的任一点到圆的距离都大于半径，则称圆与直线相离。
- 圆与直线相交：如果直线上的某一点到圆的距离等于半径，则称圆与直线相交。
- 圆内切直线：如果直线上的某一点到圆的距离小于半径，则称圆内切直线。
- 圆外切直线：如果直线上的某一点到圆的距离大于半径，则称圆外切直线。
6. 判断圆与圆的位置关系- 圆的外切：当两个圆的圆心连线等于两个圆的半径之和时，这两个圆相外切。
- 圆的内切：当两个圆的圆心连线等于两个圆的半径之差时，这两个圆相内切。
- 圆的相离：当两个圆的圆心连线大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。
- 圆的相交：当两个圆的圆心连线小于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。
(完整)初中数学专题训练--圆--(1)圆的概念
精品设计圆的概念一、圆中相关概念的结构示意图圆()()⎩⎨⎧⇒⇒等圆大小半径同心圆位置圆心相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦二、知识应用知识点1：有关概念例题1、如图，圆中弦的条数为（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5说明：弦是圆上任意两点间的线段。
例题2、判断题（1）直径是弦（ ） （2）弦是直径（ ） （3）半圆是弧（ ） （4）弧是半圆（ ）（5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等（ ） 说明：通过原命题和逆命题的对比，深刻理解圆中概念的含意。
例题3、下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。
正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 说明：等弧是指弧的度数和长度都相等的弧，等弧只可能出现在同圆或等圆中。
例题4、画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1）经过点A ，且半径等于cm 2的圆的圆心轨迹；（2）边cm 1=BC ，面积为2cm 21的ABC ∆的顶点A 的轨迹.说明：根据给定的条件，探求并确定符合条件的轨迹图形，通常是转化为四个基本轨迹.（圆的轨迹、平行线轨迹、角平分线轨迹、线段中垂线轨迹）。
例题5、已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ACBD 一定是（ ）（A ）等腰梯形 （B ）菱形 （C ）矩形 （D ）正方形说明：问题的关键是①圆的两条直径具备什么性质？②构成特殊四边形的条件。
知识点2：相关计算与证明例题6、如图，在⊙O 中，AB 、CD 为直径，试说明AC 与BD 的位置关系。
说明：同圆的半径相等。
因此当圆中有多条直径或半径出现时，就有相等的线段和等腰三角形出现。
例题7、如图，CD 是⊙O 的直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且OC AB =，求A ∠的度数.B精品设计说明：因为同圆的半径相等，所以当圆中有两条半径出现，就有等腰三角形出现，于是可根据等腰三角形的性质定理求得，所以连结半径是常用的辅助线. 例题8、已知：如图，两同心圆的直径AC 、BD 相交于O 点.求证：AB=CD.说明：此题目不难，但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征。
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B
A P
C D A O
B
E 初四数学 圆（一）
考点综述：
圆（一）主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。
这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算。
典型例题：
1.（2007温州改编）如图，已知A C B ∠是⊙O 的圆周角，50A C B ∠=︒，则圆心角A O B ∠是（ ）
A ．︒25
B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
2.（2008重庆改编）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC ＝30°，则∠BAC 的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3.（2008台州）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90 的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②⑤ D ．②④⑤
4.（2007昆明）如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB ＝16cm ，OD ＝6cm ，那么⊙O 的半径是__________cm ．
5.（2007恩施）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A 、B 、C,已知A 点的坐标为（－3,5），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
6.（2007枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交⋂
BC 于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．
实战演练：
1.（2007宁德）如图，A B 是⊙O 的直径，20C ∠= ，则B O C ∠的度数是（ ） A ．40
B ．30
C ．20
D ．10
2.（2007宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3.（2007上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块
4.（2008庆阳）如图，A B 是⊙O 的直径，C D 为弦，C D A B ⊥于E ，则下列结论中不．
成立．．
的是（ ） A ．C O E D O E ∠=∠ B ．C E D E = C ．=O E B E D ． BD BC = 5.（2008黄石）如图，A B 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠= ，则
A D C ∠=
．
6.（2007重庆）已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙
O
A B D
C
O
A
B
B
∙
题图
于点E，∠BAC＝450。
给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；
④劣弧⋂AE是劣弧⋂DE的2倍；⑤AE＝BC。
其中正确结论的序号是.
7.（2007湘潭）如图，已知⊙O半径为5，弦A B长为8，点P为弦A B上一动点，连结O P，则线段O P的最小长度是．
8.（2007枣庄）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。
9.（2007呼和浩特）已知：如图等边A B C
△内接于⊙O，点P是劣弧 BC上的一点（端点除外），延长B P至D，使B D A P
=，连结C D．
（1）若A P过圆心O，如图①，请你判断PD C
△是什么三角形？并说明理由．
（2）若A P不过圆心O，如图②，PD C
△又是什么三角形？为什么？
10.（2007沈阳）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
应用探究：
1.（2007连云港）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕A B的长为（）
A．2cm B
．C
．D
．
2.（2007天津）已知，如图⋂BC与⋂AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
3.（2007烟台）如图，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么C D
A B
等于（）
A．sinαB．COSαC．tanαD．1
tanα
4.（2008兰州）如图，已知E F是⊙O的直径，把A
∠为60 的直角三角板ABC的一条直角边B C放在直线E F上，斜边A B与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿
D 图①
图②
A
C
O E
方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设POF x ∠= ，则x 的取值范围是（ ）
A ．3060x ≤≤
B ．3090x ≤≤
C ．30120x ≤≤
D ．60120x ≤≤ 5.（2007新疆）如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则∠BEC 的度数为（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°
6.（2008白银）高速公路的隧道和桥梁最多．图7是一个隧道的横截面，若它的形状是
以O 为圆心的圆的一部分，路面A B =10米，净高C D =7米，则此圆的半径O A =（ ） A ．5 B ．7 C ．
375
D ．
377
7.（2007贵阳）如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆P A 与点A 运动所形成的⊙O
交于B 点，现测得4cm PB =，5cm AB =．⊙O 的半径 4.5cm R =，此时P 点到圆心O 的距离是 cm ．
8.（2007淄博）如图，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD
⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。
9.（2008南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65 ．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台． 10.（200龙岩）如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .
11.（2008南通）已知：如图，M 是 AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O
的半径为4cm ，MN ＝
4．
（1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．
12.（2008镇江）推理运算：如图，A B 为⊙O 直径，C D 为弦，且C D AB ⊥，垂足为H ． （1）O C D ∠的平分线C E 交⊙O 于E ，连结O E ．求证：E 为 ADB 的中点； （2）如果⊙O 的半径为1
，C D =， ①求O 到弦A C 的距离；
②填空：此时圆周上存在 个点到直线A C 的距离为
12
．
A
A
B
D
E O C
H。