答案自测题-第3章系统的时域分析

第3章 自测题
1. 某LTI 连续系统，输入)()sin()(y )(t u t t t u f π=→，则)2(2)(2--t u t u 产生的零状态
响应= ，该系统的冲激响应)(t h = ，)(t r 的零状态响应=
解：由线性时不变性质，)(2t u )()sin(2t u t π→，)2-(2t u )2()]2(sin[2--→t u t π，所
以)2(2)(2--t u t u )]2()()[sin(2--→t u t u t π
由系统的微分性质，)(t h =)()cos()]'()[sin(t u t t u t πππ=——因果系统
由系统的积分性质，)(t r 的零状态响应=)()sin(t u t π的一次积分=⎰∞-t
dx x u x )()sin(π=
⎰>00)sin()(t dx x t u π=)()]cos(1[1t u t ππ-——输入r(t)是因果信号，输出也是因果的。

2. 因果系统指：输入是因果信号，则零状态响应输出一定是 因果 信号。

3. 某LTI 因果系统的方程为)()(6)('5)("t f t y t y t y =++，初始状态1)0(=-y ，
2)0('=-y ，输入信号)()(t u e t f t -=，完成下列过程：
一、求零输入响应)(t y x
解：(1) 特征方程为065s 2=++s ；特征根为=1s -2 ，=2s -3
(2) )(t y x 形式由 特征根 决定，)(t y x =t t Be Ae 32--+，-≥0t
(3) 由初始状态求解)(t y x 表达式中的待定系数，得)(t y x =t t e e 324-5--，-≥0t
二、求单位冲激响应)(h t ，[注意：本方法仅仅适用于方程右边只有)(f t 一项]
解：(1) )(h t =(t t Be Ae
32--+))(u t ，[因果系统，输入)(t δ是因果信号，所以)(h t 一定是
因果信号！]
(2) 等效初始状态：由于方程右边只有)(f t 一项，不必对h(t)中的u(t)求导，即求解待定系
数时，不要h(t)表达式中的u(t) ⎩⎨⎧+====++
B A 0)0(h 3B -2A - 1)0(h'，解出待定常数A=1，B=-1，)(h t =)()(32t u e e t t --- 三、求输入信号)()(t u e t f t
-=[因果]产生的零状态响应)(t y f ---也一定是因果的！
解：)(t y f =)(*)(t h t f =*-)(t u e t )()(32t u e e t t ---= )()5.0(32t u e e e t t t ---+-
本例的全响应=)(t y t t e e 324-5--+)5.0(32t t t e e e ---+-=0,345.032>-+---t e e e t t t
*全响应有时可以分解为自由响应+强迫响应；其中0,3432>---t e e
t t 与齐次解形式一致，称为 自由响应或 固有响应；0,5.0>-t e t 形式与 激励的形式一致，称为 强迫响应
*全响应有时可以分解为瞬态响应+稳态响应；全响应中，∞→t 时衰减为零的部分称为瞬
态响应，∞→t 时振幅或或幅度不变的部分称为稳态响应。

例如某全响应=)(t y 0),(sin 23432>+---t t e e t t ，瞬态响应为0,3432>---t e e
t t ，很快衰减到零，稳态响应为2sin(t), t>0
4. 利用常用卷积公式：
(1). )(e )(e t u t u bt at *=)(]e [e 1t u b a bt at --，当0=b 时，有结论：)(]1[e 1t u a
at - (2). )(e )(e t u t u at at *=)(e t u t at ，当0=a 时，有结论：)()(t )()(t r t u t u t u ==*
(3). )()(p )(p 2t t t ττττ∆=*，)()(p 2t t ττ∆、的波形图如下：
5. 填空：(1). 输出等于输入的恒等器，其=)(t h )(t δ；
(2). 延时T 秒的延时器，其=)(t h )(T t -δ；
(3). 微分器的输出等于对输入信号的一阶导数，其=)(t h )('t δ；
(4). 积分器的输出等于对输入信号的一次积分，其=)(t h )(t u ；
根据上述结果与LTI 系统)(t y f =)(*)(t h t f 的结论，完成下列计算
(1). )(*)(T t t f -δ=)(T t f -；)(*)(t t f δ=)(t f ； [任意信号的分解]
(2). =)('*)(t t f δ)('t f ；=-)1('*)(t t f δ)1('-t f ；=)(*)(t u t f )()1(t f -；
(3). 若)(*)()(t h t f t y =，则)(*)(21t t h t t f --=)(*)(*)(*)(21t t t h t t t f --δδ=
)(21t t t y -- ττ-01)
(2t τ∆t
6. 卷积积分的性质：交换律、结合律、[系统]微分特性、[系统]积分特性、等效特性
(1). 微分特性)
()('*)](*)([)('*)()('),
(*)()()('t y t t h t f t t f t f t h t f t y t f f f =→==→δδ (2). 积分特性)()(*)](*)([)(*)()(),(*)()()()1(
)1(t y t u t h t f t u t f t f t h t f t y t f f f --=→==→
7. 某LTI 因果系统的方程为)()2()1(5.2)(k f k y k y k y =-+--，初始状态1)1(=-y ，
2)2(=-y ，输入信号)()(k u t f =，完成下列过程：
一、求零输入响应)(k y x
解：(1) 特征方程为05.2121=+---z z ；特征根为=1z 0.5 ，=2z 3
(2) )(k y x 形式由特征根决定，)(k y x =k k B A )2()5.0(+，0k ≥
(3) 由初始状态求解)(k y x 表达式中的待定系数，得)(k y x =1)5.0(+k ，0k ≥ 二、求单位脉冲响应)(h k ，[注意：本方法仅仅适用于方程右边只有)(f k 一项]
解：(1) )(h k =])2()5.0([k k B A +)(u k ，[因果系统，输入)(k δ是因果信号，所以)(h k 一
定是因果信号！]
(2) 等效初始状态：1)0(h =，其它等于0；求待定系数时，不用考虑h(k)中的u(k)
⎩⎨⎧+==+== 0.5B
2A 0)1-(h B A 1)0(h ，解出待定常数 ，)k (h =)(])2(34)5.0(31[k u k k +- 8. LTI 系统A 的冲激响应为)1()(1-=t t h δ，LTI 系统B 的冲激响应为)()(2t u t h =，则系
统A 与系统B 级联构成的系统，其冲激响应为)1(u )(*)(21-=t t h t h
9. 线性卷积和==*=]1),0(0,0,1[]1,2,3),0(2,1[k k ]1,2,3,3),0(3,3,2,1[=k ；
)(f k 与)(h k 线性卷积和的计算式等于
∑∞-∞=-m m k h m )()(f ，=*)(u 2)(u 3k k k k )(]u 2[32
-3111k k k ++- 10. LTI 系统是因果系统的充要条件是： 冲激响应 是因果信号。

LTI 系统是稳定系统的充要
条件是： 连续的要求h(t)绝对可积，离散的要求h(k)绝对可和 。

某LTI 系统的冲激响应
为)(e t u t
-，该系统是否因果系统？ 是 ；是否是稳定系统？ 是 12. 卷积结果的起点时刻、终点时刻的如何确定？ 2信号的起点时刻之和~终点时刻之和
13. 已知)()(6)('5)("t f t y t y t y =++的冲激响应等于)(]e -[e (t)h 321t u t t --=，
则)()(')(6)('5)("t f t f t y t y t y +=++的冲激响应等于)(]2e [-e (t)h (t)h'3211t u t t --+=+
14. 已知)()2()1(5.2)(k f k y k y k y =-+--的脉冲响应等于)(])2(3
4)5.0(31
[k u k k +-， 则)1-()2()1(5.2)(k f k y k y k y =-+--的脉冲响应等于 )1(])2(34)5.0(31[11-+---k u k k。