烟台2019-2020高二数学试题
山东省烟台市2019-2020学年高二上学期期末学业水平诊断数学试题及答案
9.已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 A，B，C 共面”的充分条件的是
A. OM = 2OA − OB − OC C. OM = OA + 1 OB + 1 OC
23
B. OM = OA + OB − OC D. OM = 1 OA + 1 OB + 1 OC
Q，其中点 A，P 在第一象限，则| 2 | AP | + | QB | 的最小值为
A. 2 2 + 3
B. 2 2 + 5
C. 4 2 + 5
D. 4 2 + 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）给出以下条件：① x R, ax2 + ax +1 0 ，②方程 x2 + y2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， a −1 5− a
A. x R, 2x−1 0
B.有的梯形对角线相等 D.不是梯形的四边形对角线不相等
B. x [0, ], x sin x
C. x0 R, tan x0 = 2
D. x0 (0, +), log2 x0 1
4.已知空间向量 a = ( +1,1, ), b = (6, −1, 4) ，若 a∥b ，则 + =
12 3
x2 y2 D. + = 1
18 9
2019-2020学年山东省烟台市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山东省烟台市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}2．已知a＝log3，b＝（），c＝log，则a，b，c的大小关系为A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c3．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，3]C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，3）D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]4．已知函数f（x）＝x2+ax+a2+1为偶函数，则f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x﹣y+1＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣1＝0 5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[20，80）（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．86．若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为（）A．a＜1或a＞4B．a≥4C．1＜a＜4D．1≤a≤47．函数f（x）＝ln的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝，若f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1），则x的取值范围为（）A．≤x≤1B．≤x≤3C．x≥D．0＜x≤3二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．下列四个命题中，为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），2x＝B．“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．“函数f（x）在（a，b）内f′（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内单调递增”的充要条件D．已知f（x）在x0处存在导数，则“f'（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的必要不充分条件10．已知函数f（x）＝a+，则（）A．对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减B．存在实数a，使函数f（x）为奇函数C．对任意实数a，函数f（x）在（0，+∞）上函数值均大于0D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＞1的解集为（0，2）11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝（）x﹣a（a为常数），则（）A．当0≤x≤0.2时，y＝5xB．当x＞0.2时，y＝（）x﹣0.1C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下12．已知函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（）A．f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2）B．存在实数a，使得f（a）＞2C．方程f（x）＝﹣1有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D．当k＜1时，函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点三、填空题（共4小题）.13．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y＝[]的值域为．15．设x1满足2x+2x＝3，x2满足22﹣x＝2x﹣1，则x1+x2＝．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝0时，不等式f（x）＜0的解集是；若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}．（1）若m＝1，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有3个零点，求a的取值范围．19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+x﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）若存在k∈[﹣1，1]，使不等式f（t2+t+k）+f（﹣2t2+2kt+3）＜0成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，证明：f（x）≥a﹣alna．21．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足：①y与（x+）成正比，其中t为常数，且t∈[1，16]；②当x＝2时，y＝4+t；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值．22．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x），a∈R．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3﹣4ln2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}【分析】可知阴影部分表示的集合为∁B（A∩B），从而进行交集和补集的运算即可．解：A∩B＝{1}，∴∁B（A∩B）＝{0，2}，故选：C．2．已知a＝log3，b＝（），c＝log，则a，b，c的大小关系为A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c 的大小关系．解：∵，，，∴c＞b＞a．故选：B．3．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，3]C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，3）D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．解：由题意，得，∴，解得﹣5＜x＜﹣1或﹣1＜x≤3，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2+ax+a2+1为偶函数，则f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x﹣y+1＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣1＝0【分析】先根据f（x）为偶函数求出a的值，然后对f（x）求导，得到f（x）在x＝1处的切线斜率，再求出切线方程．解：∵f（x）为偶函数，∴a＝0，∴f（x）＝x2+1，∴f'（x）＝2x，又f（1）＝8，∴f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），故选：A．5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[20，80）（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先计算出100mL血液中酒精含量，再计算n小时后血液中酒精含量，列出不等式，求得结果．【解答】∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝160×0.7n，故选：C．6．若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为（）A．a＜1或a＞4B．a≥4C．1＜a＜4D．1≤a≤4【分析】求出函数的导数，得到f′（x）＝0有变号零点，结合二次函数的性质可求．解：f′（x）＝3x2+2（2﹣a）x+，若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，故△＝4（7﹣a）2﹣4a＞0，解得：a＞7或a＜1，故选：A．7．函数f（x）＝ln的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可判断出函数f（x）为奇函数，于是排除选项A和D；再对比选项B和C，只需计算x＝时的函数值y，并与0比较大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A 和D；又因为f（）＝ln＝ln＜0，所以排除选项C，故选：B．8．已知函数f（x）＝，若f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1），则x的取值范围为（）A．≤x≤1B．≤x≤3C．x≥D．0＜x≤3【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，据此可得原不等式等价于f（log3x）≤f（1），则有log3x≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝＝e x﹣e﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝e x﹣e﹣x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1）⇒f（log3x）﹣f（﹣log3x）≤8f（1）⇒f（log3x）≤f （1）⇒log3x≤1⇒0＜x≤3，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列四个命题中，为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），2x＝B．“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．“函数f（x）在（a，b）内f′（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内单调递增”的充要条件D．已知f（x）在x0处存在导数，则“f'（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的必要不充分条件【分析】根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于A，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于B，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于C，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于D，根据极值存在的条件即可判断；解：对于A，设f（x）＝2x﹣，x∈（0，1），因为f′（x）＝2x ln3+＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，而f（）＝﹣2＜0，f（1）＝1＞4，∴f（）f （1）＜0，对于B，“∀x∈R，x2+x﹣1＞4”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1≤0”B不正确；对于D，因为f（x）在x6处存在导数，根据极值点的定义可知，但是“f'（x0）＝0”不一定可以推出“x2是函数f（x）的极值点”，但是x＝0不是函数f（x）的极值点，D正确．故选：BC．10．已知函数f（x）＝a+，则（）A．对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减B．存在实数a，使函数f（x）为奇函数C．对任意实数a，函数f（x）在（0，+∞）上函数值均大于0D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＞1的解集为（0，2）【分析】根据各选项条件，逐一判断即可解出．对于A，判断函数f（x）的导数在（﹣∞，0）上的符号即可；对于B，根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数；对于C，赋值即可判断；对于D，根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断．解：对于A，当x∈（﹣∞，0），f′（x）＝＜0，所以，对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减，A正确；a+＝﹣（a+），变形可得，2a＝1，解得a＝，对于C，取a＝﹣10，f（1）＝﹣2＜0，C不正确；故选：ABD．11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝（）x﹣a（a为常数），则（）A．当0≤x≤0.2时，y＝5xB．当x＞0.2时，y＝（）x﹣0.1C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．解：当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.7k，故k＝5，故A正确；当x＞0.2时，把（0.2，1）代入y＝（）x﹣a可得：（）0.2﹣a＝2，∴a＝0.2，故B错误；故选：AD．12．已知函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（）A．f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2）B．存在实数a，使得f（a）＞2C．方程f（x）＝﹣1有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D．当k＜1时，函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点【分析】对f（x）求导得f′（x）＝，设g（x）＝1﹣xlnx，x∈（0，+∞），求导数分析g（x）单调性；根据各选项条件，逐一判断即可．对于选项A，由g（x）在（1，2）上单调性，且g（1）＞0，g（2）＜0，推出g（x）在区间（1，2）内存在零点x0，进而函数f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2），A正确；对于选项B，令h（x）＝f（x）﹣2＝x﹣（x﹣1）lnx﹣2，只需分析存在实数a，h（x）＞0，即可确定选项B是否正确．对于C选项，方程f（x）＝﹣1的根⇔f（x）+1＝0的根⇔x﹣（x﹣1）lnx+1＝0的根，设p（x）＝x﹣（x﹣1）lnx+1，只需确定函数p（x）的零点个数，即可确定选项C是否正确．对于D选项，函数f（x）与g（x）＝kx的图象交点⇔方程x﹣（x﹣1）lnx＝kx的根⇔＝k的根，令q（x）＝，只需分析q（x）的零点为2个时，k的取值范围，即可确定D是否正确．解：函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，x∈（0，+∞）；则f′（x）＝1﹣lnx﹣＝；g′（x）＝﹣lnx﹣1在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（1）＝4＞0，g（2）＝1﹣2ln2＝6﹣ln4＜1﹣lne＝0，所以函数f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，3），A正确；h′（x）＝1﹣lnx﹣＝；g（x）max＝g（）＝1﹣ln＝1+lne＞4，再结合A选项可知，g（x）有唯一的零点x0∈（1，2），且1﹣x0lnx0＝7，即lnx0＝当x∈（x5，+∞）时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，＝x0+lnx0﹣3＝x0+﹣3，x0∈（1，2），所以h（x）max＜0，对于C选项，方程f（x）＝﹣2的根⇔f（x）+1＝0的根，设p（x）＝x﹣（x﹣1）lnx+1，由g（x）＝1﹣xlnx的单调性可知，x→0时，g（x）→2；x→+∞时，g（x）→﹣∞．所以当x∈（0，x0）时，g（x）＞3，p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）max＝h（x0）＝x0﹣（x0﹣2）lnx0+1＝x2﹣x0lnx0+lnx0+1＝x0﹣1+lnx0+1所以p（x）＝x0+lnx0＞0，所以函数p（x）有两个零点，所以m﹣（m﹣2）lnm+1＝0，p（）＝﹣（﹣1）ln+1＝+（﹣6）lnm+1把①代入，得，对于D选项，即为＝k的根，q′（x）＝＝，t′（x）＝﹣1﹣＜0，又t（1）＝0，在（1，+∞）上，t（x）＜0，q′（x）＜3，q（x）单调递减，所以当k＜1时，q（x）有两个零点，即函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】由集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结解：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，∴a≥2，故答案为[8，+∞）14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y＝[]的值域为{﹣2，﹣1，0}．【分析】直接利用函数的取整问题和根类讨论思想的应用求出结果．解：由于[x]表示不超过实数x的最大整数，所以：当x∈（﹣1.5，0）时，＝﹣2，当x∈[2，3]时，．故答案为：{﹣2，﹣8，0}．15．设x1满足2x+2x＝3，x2满足22﹣x＝2x﹣1，则x1+x2＝2．【分析】令t＝2﹣x2得到2t+2t＝3，利用函数y＝2x+2x+3在（0，+∞）上单调递增，可得t＝x1，即2﹣x2＝x1，故可求得答案．解：因为x2满足24﹣x＝2x﹣1，即有＝2x2﹣1，令t＝2﹣x2，则x2＝2﹣t，则＝2x2﹣4可化为2t＝2（2﹣t）﹣1，即2t+3t＝3，因为函数y＝2x+2x+3在（0，+∞）上单调递增，又因为3t+2t＝3，即2﹣x7＝x1，故答案为：2．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝0时，不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，1）；若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是λ＜﹣2或0≤λ＜1．【分析】（1）分情况解不等式组求出x的范围；（2）对λ的取值范围进行讨论，得出f（x）的零点个数，得出答案．解：（1）λ＝0时，由f（x）＜0可得：或，解得0＜x＜3或﹣2＜x≤0，∴f（x）＜0的解集是（﹣2，5）．①若λ＜﹣2，则f（x）在（﹣∞，λ]上无零点，在（λ，+∞）上有两个零点0，1，符合题意；②若﹣6≤λ＜0，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上有两个零点0，1，不符合题意；③若0≤λ＜3，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上有1个零点1，符合题意；④λ≥4，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上无零点，不符合题意；综上，λ＜﹣2或0≤λ＜4．故答案为：（﹣2，1），λ＜﹣2或0≤λ＜7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}．（1）若m＝1，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝1代入，利用根式内部的代数式大于等于0求解x的范围可得A，求解指数函数的值域得到B，取并集得答案；（2）利用根式内部的代数式大于等于0求解x的范围可得A，由（1）可得B，再由q 是p的必要不充分条件，得A⫋B，转化为两集合端点值间的关系求解m的范围．解：（1）若m＝1，由x（2﹣x）≥0，得x（x﹣2）≤3，解得0≤x≤2．∴A＝[0，2]，∴B＝（1，4）．（2）由（x﹣m+1）（m+1﹣x）≥0，可得m﹣7≤x≤m+1．由（1）知B＝（1，8），则，解得2＜m＜7．∴实数m的取值范围是（2，7）．18．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有3个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x），令f′（x）＝0得x＝﹣或x＝﹣1，列表格分析随着x变化f′（x），f（x）变化情况，进而得出极值．（2）由（1）可知要使得函数f（x）有3个零点，只需，进而解出a的取值范围．解：（1）f′（x）＝3x2+8x+1，令f′（x）＝3x2+4x+1＝0，解得x＝﹣或x＝﹣5，x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣）﹣（﹣，+∞）f′（x）+0﹣8+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值a，当x＝﹣时，f（x）取得极小值a﹣．只需，解得0＜a＜．19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+x﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）若存在k∈[﹣1，1]，使不等式f（t2+t+k）+f（﹣2t2+2kt+3）＜0成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；（2）问题等价于f（t2+t+k）＜f（2t2﹣2kt﹣3），即t2+t+k＜2t2﹣2kt﹣3，于是原问题可化为，存在k∈[﹣1，1]，使得g（k）＝（1+2t）k﹣t2+t+3＜0有解，只需g（1）＜0或g（﹣1）＜0，得到关于t的不等式，解出即可．解：（1）由x＜0，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（e﹣x﹣x﹣1）＝﹣e﹣x+x+1，（6）当x≥0时，f′（x）＝1+e x＞0，又f（x）是R的奇函数，故f（x）在R递增，即t2+t+k＜2t2﹣2kt﹣3，于是原问题可化为，只需g（5）＜0或g（﹣1）＜0，由g（﹣1）＝t2﹣t+2＜0，解得：t＞1或t＜﹣3，故t＞1或t＜﹣1．20．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，证明：f（x）≥a﹣alna．【分析】（1）由题意得，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立⇒a≤xe x﹣1在（0，+∞）上恒成立，只需a≤g（x）最小值即可．令g（x）＝xe x﹣1，求导数，分析函数g（x）的单调性，得出g（x）的最小值，进而得出答案．（2）当a＞0时，f′（x）＝，由（1）知函数g（x）＝xe x﹣1在（0，+∞）上单调递增且g（x）∈（0，+∞），⇒存在唯一的x0＞0满足x0e＝a⇒e＝⇒x0﹣1＝lna﹣lnx0，且f（x0）为f（x）在（0，+∞）上取到最小值⇒f（x0）＝+ax0﹣a ﹣alna＝a﹣alna，不等式得证．解：（1）由题意得，f′（x）＝e x﹣1﹣≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤xe x﹣1在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）＝xe x﹣1在（2，+∞）上单调递增，（2）证明方法一：当a＞0时，f′（x）＝e x﹣1﹣＝，因此，存在唯一的x0＞7满足x0e＝a，因此f（x8）为f（x）在（0，+∞）上的极小值，也是最小值．因为x0e＝a，所以e＝，x0﹣1＝lna﹣lnx0，证明方法二：g′（x）＝e x﹣1﹣1，在（3，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥0，即e x﹣1≥x，令h（x）＝x﹣alnx，（a＞0，x＞0）所以在（0，a）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）min＝h（a）＝a﹣alna，由①②得e x﹣4﹣alnx≥a﹣alna．21．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足：①y与（x+）成正比，其中t为常数，且t∈[1，16]；②当x＝2时，y＝4+t；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值．【分析】（1）设y＝k（x+），结合当x＝2时，y＝4+t列式求得k值，可得函数解析式，再由题意求出x的范围可得函数定义域；（2）令y＝f（x）＝2x+，x∈[2，6]，t∈[1，16]．求得函数的导函数，然后对t分类可得y＝2x+在[2，6]上的单调性，然后求解最值，并求得相应的x值．解：（1）设y＝k（x+），当x＝2时，y＝k（2+）＝4+t，得k＝7．∴y＝2x+．∴函数定义域为x∈[2，6]．（5）令y＝f（x）＝2x+，x∈[2，6]，t∈[1，16]．当6≤t≤4时，y′≥0恒成立，y＝2x+在[2，8]上单调递增，当4＜t≤16时，y′＝．此时y max＝max{f（2），f（6）}．∴f（6）﹣f（2）＝12+﹣（4+t）＝8﹣；当12＜t≤16时，8﹣＜0，f（6）＜f（8），y max＝f（2）＝4+t．当12＜t≤16时，科研经费投入2千万元，利润增加值y的最大值为（4+t）千万元．22．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x），a∈R．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3﹣4ln2．【分析】（1）求导得f′（x）＝，x＞0，分当a＝0时，当a≠0时两大类情况讨论导数的正负，f（x）函数的单调性，进而得极值点个数．其中当a≠0时，令g （x）＝2ax2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣8a时，在分△＞0，△＝0，△＜0三种情况讨论函数g （x）的正负，即f′（x）的正负，函数f（x）的单调性，进而得极值点个数．（2）由（1）知，当a＞8时，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1+x2＝，x1x2＝，再代入f（x1）+f（x2）化简得f（x1）+f（x2）＝﹣ln（2a）﹣﹣1，a＞8，再令h（a）＝﹣ln（2a）﹣﹣1，a＞8，求导分析单调性得，h（a）的最大值，进而得出结论．解：（1）f′（x）＝+a（2x﹣1）＝，x＞0，当a＝0时，f′（x）＝＞6，f（x）在（0，+∞）单调递增，没有极值点．方程g（x）＝2ax2﹣ax+1＝0的两根为x1，x2，且x2＜x2，知g（x）＝0的两根x1，x2，满足x5＜0＜＜x5，当x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，若0＜a≤4时，则△≤0，g（x）＝2ax2﹣ax+3≥0，即f′（x）≥0恒成立，若a＞8时，则△＞0，注意到g（4）＝1，x1+x2＝，当x∈（0，x1），g（x）＞0，f′（x）＞8，f（x）单调递增，当x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上：当a＜0时，f（x）有一个极值点，当a＞4时，f（x）有两个极值点．且x1+x2＝，x1x8＝，＝ln（x1x2）+a（x5+x2）2﹣2ax7x2﹣a（x1+x2）＝﹣ln（2a）﹣﹣5，a＞8，则h′（a）＝（﹣ln2﹣lna﹣﹣1）′＝﹣﹣＜0，所以h（a）＜h（8）＝﹣3﹣4ln2，所以f（x1）+f（x4）＜﹣3﹣4ln2．。
山东省烟台市2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学试题
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设x R ∈，则“1x >”是“21x >”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.设命题p ：梯形的对角线相等，则p ⌝为（ ）A .梯形的对角线不相等B .有的梯形对角线相等C .有的梯形对角线不相等D .不是梯形的四边形对角线不相等3.下列命题中假命题为（ ）A .x R ∀∈,120x ->B .[]0,x π∀∈，sin x x >C .0x R ∃∈,0tan 2x =D .()00,x ∃∈+∞，20log 1x > 4.已知空间向量()1,1,a λλ=+，()6,1,4b μ=-，若a b ，则λμ+=（ ） A .3 B .3- C .5 D .5-5.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>,过M 的右焦点()3,0F 作直线交椭圆于,A B 两点，若AB 中点坐标为()2,1，则椭圆M 的方程为（ ）A .22196x y += B .2214x y += C .221123x y += D .221189x y += 6.在三棱锥P ABC -中，M 为PA 的中点，N 在BC 上，且2BN NC =,则（ ）A .112233MN PA PB PC =-++ B .112334MN PA PB PC =--+ C .112233MN PA PB PC =-+ D .112233MN PA PB PC =-+- 7.如图，已知两条异面直线a ，b 所成的角为θ，点M ，N 分别在a ，b 上，且MN a ⊥，MN b ⊥，P ,Q 分别为直线a ，b 上位于线段MN 同侧的两点，则PQ 的长为（ ）A BC D8.设抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，与圆22430x y x +-+=交于点P ，Q ，其中点A ，P 在第一象限，则2||||AP QB +的最小值为（ ）A .3B .5C .5D .3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件是（ ）A .2OM OA OB OC =--B .OM OA OB OC =+- C .1123OM OA OB OC =++D .111236OM OA OB OC =++10.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =,,,,E F P Q 分别为棱AB ，AD ，1DD ，1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A .AC BP ⊥B .1B D ⊥平面EFPQC .1BC 平面EFPQD .直线1A D 和AC 11.已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ）A .90CFD ∠=︒B .CMD ∆为等腰直角三角形C .直线AB 的斜率为D .AOB ∆的面积为4 12.已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若12||2||PF PF =且12PF F ∆的最小内角为30︒，则（ ）A .B .双曲线的渐近线方程为y =C .245PAF ∠=︒D .直线220x y +-=与双曲线有两个公共点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.“0x <”是“x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________.14.若“[]01,2x ∃∈，20010x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围为________.15.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于,A B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为_________.16.如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=.若BD AN ⊥，则λ的值为________；若M 为棱1DD 的中点，BM 平面1AB N ，则λ的值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.给出以下条件：①x R ∀∈，210ax ax ++≥，②方程22115x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，③函数3211()32a f x x x x -=-+无极值点.从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答. 己知p ：实数a 满足22110a m a m m -+++≤（）（），q ：实数a 满足________，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于23，离心率等于12的椭圆； （2）与椭圆2211625x y +=共焦点，且过点()4,5的双曲线. 19.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，FD ⊥平面ABCD ，BE FD ,且22DF BE ==.（1）求直线AD 和平面AEF 所成角的大小；（2）求二面角E AF D --的平面角的大小.20.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2PA AC BC ==.（1）若PA PB ⊥，求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角C PB A --的余弦值.21.已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程；（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点()12,0P ,233,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,431,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 的斜率k 的取值范围.。
烟台市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析
烟台市2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的电路有a ，b ，c ，d 四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为12且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（ ）A ．116B ．18C ．316D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率公式计算．把,c d 组成一个事整体，先计算它通路的概率． 【详解】记,c d 通路为事件M ，则213()1()24P M =-=， 所以灯泡亮的概率为113322416P =⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查相互独立 事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．2．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形条件，可知函数需满足max min min ()()()f x f x f x -<，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立. 【详解】根据题意，对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足max min min ()()()f x f x f x -<：对于①，()(0)xf x e x =>，如当1,1,10a b c ===时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，2()3(01)f x x x =+≤≤，则[]()3,4f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以②是“三角形函数”；对于③，12()(14)f x x x =≤≤，则[]()1,2f x ∈，当1,1,2a b c ===时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，221()12121x x xf x +==+++，由指数函数性质可得()()1,2f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题. 3．若a R ∈，则“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先将复数z 化简成z a bi =+形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出a 的取值范围，即可判断与0a >的关系． 【详解】22323223ai i ai z a i i i--===--，所以共轭复数23z a i =-+， 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以20a -<，解得0a > 所以“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >” 充要条件，故选C 【点睛】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出a 的取值范围，属于一般题． 4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x =D ．2log y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数． 【详解】 A ．1y x=-在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数； D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．5．二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式中5x20ax dx =⎰（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式可得a ，再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】 二项式（ax6的展开式中通项公式：T r+2=663()r r-（ax ）r ，令r=2，则T 6=56a 2x 2．∵x 256×6a 2，解得a=2． 则0a⎰x 2dx=1⎰x 2dx=3101|3x =13． 故选：A ．【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2xy =的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222xy -===【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题. 7．已知,,a b c ∈R ，命题“若22233a b c a b c ++=++≥，则”的否命题是 A ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++<B ．若3a b c ++=，则2223a b c ++<C ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥D ．若3a b c ++≥，则3a b c ++=【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据否命题的定义：即否定条件又否定结论， 命题“若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是 “若a+b+c≠3，则a 2+b 2+c 2＜3” 故选A 8．已知复数21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为2(2)(1)31222i i i i z i ++-===-+，所以复数z 在复平面内对应的点为31(,)22-，在第四象限，选D.9．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48C ．0.4D ．0.32【答案】B 【解析】 【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.10．二项式()521x -的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( )A ．20xB ．20x 和240x -C ．240x -和380xD ．380x【答案】C 【解析】 【分析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，进而可确定其最大值.【详解】因为二项式()521x -展开式的各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，易知当2k =或3时，5kC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项. 故第三项为252522352(1)80C x x ---=；第四项为353533252(1)40C x x ---=-.故选C 【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.11．己知命题P ：单位向量的方向均相同，命题q ：实数a 的平方为负数。
烟台高二期末考试数学试题
2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一、单项选择题C BD AC A B D二、多选题 9. BC 10. ABD 11. AD 12. ACD三、填空题13. 2a ≥ 14. {2,1,0}−− 15. 2 16. (2,1)−，2λ<−或01λ≤<注：16题第一空写作：(2,0](0,1)−，也给分. 四、解答题17.解：（1）若1m =，由(2)0x x −≤，解得02x ≤≤，所以[0,2]A =. …………………………………………2分 当03x <<时，18y <<，所以(1,8)B =. ………………………………………4分 所以[0,8)A B =. ……………………………………………5分（2）由(1)(1)0x m m x −++−≥，可得11m x m −≤≤+，所以集合[1,1]A m m =−+， ……………………………………………………7分 由（1）知(1,8)B =，因为q 是p 的必要不充分条件，则A B ≠⊂. …………………………………………8分 所以1118m m −>⎧⎨+<⎩，解得27m <<. …………………………………………………10分 18.解：（1）2()341f x x x '=++，令2()3410f x x x '=++=，解得13x =−或1x =−， ……………………………3分……………………………5分 中数所以，当1x =−时，()f x 取得极大值a ，当13x =−时，()f x 取得极小值427a −. ……………………………8分（2）要使函数()f x 有3个零点， 只需04027a a >⎧⎪⎨−<⎪⎩， ……………………………………10分 解得4027a <<. ………………………………………12分 19．解：（1）当0x <， 0x −>，又因为()f x 是奇函数，所以()()(e 1)e 1x x f x f x x x −−=−−=−−−=−++， ……………………………3分所以e 1,0()1e ,0x x x x f x x x −⎧+−≥=⎨+−<⎩. ………………………………………………4分（2）当0x ≥时，()1e 0x f x '=+>，所以()f x 在[0,)+∞上是增函数.又()f x 是为R 的奇函数，所以()f x 在(,)−∞+∞上是增函数. ……………………5分 于是22(+)(22+3)0f t t k f t kt ++−+<等价于22(+)(223)f t t k f t kt +<−−，即 22+223t t k t kt +<−−. ………………………………………………6分 于是原问题可化为，存在[1,1]k ∈−，使得2()(12)30g k t k t t =+−++<有解.………………………………………………………7分 只需(1)0g <或(1)0g −<， ………………………………………………9分 由2(1)340g tt =−++<得4t >或1t <−， ………………………………10分 由2(1)20g t t −=−+<得1t >或2t <−， ………………………………11分故1t <−或1t >. ………………………………12分 20.（1）由题意，1()e 0x a f x x −'=−≥在()0,+∞上恒成立. ………………………2分 即1e x a x −≤在()0,+∞上恒成立.令1()e x g x x −=，则1()(1)e 0x g x x −'=+>，所以1()e x g x x −=在()0,+∞上单调递增.…………………………………………4分 中数学于是()(0)0g x g >=，所以0a ≤. …………………………………………6分（2）当0a >时，11e ()e x x a x a f x x x−−−'=−=， 由（1）知，函数1()e x g x x −=在(0,)+∞单增，且()(0,)g x ∈+∞.因此，存在唯一的00x >满足010e x x a −=， …………………………………8分且当00x x <<时，1e 0x x a −−<，即()0f x '<；当0x x >时，1e 0x x a −−>，即()0f x '>.因此0()f x 为()f x 在(0,)+∞上的极小值，也是最小值. …………10分下证：0()ln f x a a a ≥−.因为010e x x a −=，所以010e x a x −=，001ln ln x a x −=−， 于是0100()e ln x f x a x −=−0000(ln 1)ln a a a a x ax a a a x x =−−+=+−− …………………11分ln ln a a a a a a ≥−−=−，不等式得证. ………………………12分 21.（1）设()t y k x x =+， ………………………………………………………1分 当2x =时，4y t =+，可得2k =， …………………………………………2分 所以22t y x x=+， 因为x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；所以定义域为[2,6]x ∈， …………………………………………………3分 所以y 关于x 的函数表达式为22t y x x=+，[2,6]x ∈. ………………………4分 （2）令2()2t y f x x x==+，[2,6]x ∈，[1,16]t ∈. 则22222()2t x t y x x −'=−=. 中数学当14t ≤≤时，0y '≥恒成立，22t y x x=+在[2,6]上单调递增， 此时，max (6)123t y f ==+. ………………………………………………6分当416t <≤时，22(x x y x+−'=，()f x 在单调递减，在单调递增，此时，max max{(2),(6)}y f f =. …………………………………………8分 又(2)4f t =+，(6)123t f =+， 所以(6)(2)f f −=212(4)833t t t +−+=−， 当412t <≤时，283t −≥0，(6)(2)f f >，max (6)y f =. …………………10分 当1216t <≤时，283t −<0，(6)(2)f f <，max (2)y f =. …………………11分 综上：当112t ≤≤时，科研经费投入6千万元，利润增加值y 的最大值为(12)3t +千万元；当1216t <≤时，科研经费投入2千万元，利润增加值y 的最大值为(4)t +千万元. ………………………………12分 22. 解：（1）2121()(21)ax ax f x a x x x−+'=+−=，0x >. …………………1分 当0a =时，1()0f x x'=>，()f x 在()0,+∞单调递增，没有极值点； ……2分 当0a ≠时，令2()21g x ax ax =−+，设当280a a ∆=−>时，方程2()210g x ax ax =−+=的两根为12,x x ，且12x x <.若0a <，则280a a ∆=−>，注意到(0)1g =，1212x x +=，知()0g x =的两根12,x x 中数学满足12104x x <<<.当2(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当2(,)x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减，所以()f x 只有一个极值点； …………………4分若08a <≤，则0∆≤，2()210g x ax ax =−+≥，即()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,+∞ 单调递增，所以()f x 没有极值点； …………………………………………6分若8a >，则0∆>，注意到(0)1g =，1212x x +=，知()0g x =的两根12,x x 满足12104x x <<<.当1(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减； 当2(,)x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增；所以()f x 有两个极值点.综上：当0a <时，()f x 有一个极值点；当08a ≤≤时，()f x 没有极值点；当8a >时，()f x 有两个极值点. ……………………………………………8分（2）由（1）知， 当8a >时，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x +=，1212x x a=. 所以2212111222()()ln ()ln ()f x f x x a x x x a x x +=+−++− 212121212ln()()2()x x a x x ax x a x x =++−−+1ln1ln(2)1244a a a a =−−=−−−，8a >， ………………10分 令()ln(2)14a h a a =−−−，8a >. 则11()(ln 2ln 1)044a h a a a''=−−−−=−−<，所以()h a 在()8,+∞单调递减，所以()(8)34ln 2h a h <=−−，所以12()()34ln 2f x f x +<−−. ………………12分中数学。
2019-2020学年人教A版山东省烟台市高二第一学期期末检测数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末检测数学试卷一、选择题1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设命题p：梯形的对角线相等，则￢p为（）A．梯形的对角线不相等B．有的梯形对角线相等C．有的梯形对角线不相等D．不是梯形的四边形对角线不相等3．下列命题中假命题为（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈[0，π]，x＞sin xC．∃x0∈R，tan x0＝2 D．∃x0∈（0，+∞），log2x0＞14．已知空间向量＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），若∥，则λ+μ＝（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣55．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．6．在三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，则（）A．B．C．D．7．如图，已知两条异面直线a，b所成的角为θ，点M，N分别在a，b上，且MN⊥a，MN ⊥b，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）A．B．C．D．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A．B．C．D．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．AC⊥BPB．B1D⊥平面EFPQC．BC1∥平面EFPQD．直线A，D和AC所成角的余弦值为11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为D．△AOB的面积为412．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则（）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．∠PAF2＝45°D．直线x+2y﹣2＝0与双曲线有两个公共点三、填空题13．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．14．若“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”为真命题，则实数a的取值范围为．15．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则椭圆C的离心率为．16．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M 为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．给出以下条件：①∀x∈R，ax2+ax+1≥0，②方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，③函数f（x）＝+x无极值点．从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答．已知p：实数a满足a2﹣（2m+1）a+m（m+1）≤0，q：实数a 满足，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点（4，5）的双曲线．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF ＝2BE＝2．（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E﹣AF﹣D的平面角的大小．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC．（1）若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为60°，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．21．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．（1）求抛物线的方程：（2）已知P（x0，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k PM•k PN ＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．22．已如椭圆（a＞b＞0），四点P1（2，0），，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过左焦点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选：A．2．设命题p：梯形的对角线相等，则￢p为（）A．梯形的对角线不相等B．有的梯形对角线相等C．有的梯形对角线不相等D．不是梯形的四边形对角线不相等解：全称命题的否定是特称命题，所以命题：梯形的对角线相等的否定形式是：有的梯形对角线不相等．故选：C．3．下列命题中假命题为（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈[0，π]，x＞sin xC．∃x0∈R，tan x0＝2 D．∃x0∈（0，+∞），log2x0＞1解：对于A，根据指数函数值域为（0，+∞），所以∀x∈R，2x﹣1＞0，故A正确；对于B，当x＝0时，x＝sin x，故B错误；对于C，不妨取sin x0＝，cos x0＝，此时tan x0＝2，故C正确；对于D，不妨取x0＝4，则log2x0＝2＞1，故D正确．故选：B．4．已知空间向量＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），若∥，则λ+μ＝（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5解：∵＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），∥，∴，解得λ＝2，μ＝3，∴λ+μ＝2+3＝5．故选：C．5．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．解：直线AB的斜率k＝＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：+＝1，+＝1，相减化为：﹣＝0，又c＝3，a2＝b2+c2．联立解得：a2＝18，b2＝9．可得：椭圆M的方程为：＝1．故选：D．6．在三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，则（）A．B．C．D．解：由M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，＝＝＝．故选：A．7．如图，已知两条异面直线a，b所成的角为θ，点M，N分别在a，b上，且MN⊥a，MN ⊥b，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）A．B．C．D．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和MN的平面为β，α∩β＝c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且MN⊥c．∵MN⊥b，∴MN⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作PG⊥c，垂足为G，则PG＝MN．根据两个平面垂直的性质定理，PG⊥α．连接QG，则PG⊥QG．在Rt△PQG中，PQ2＝PG2+QG2．在△NQG中，QG2＝NQ2+NG2﹣2NQ•NG•cosθ．又MP＝NG，PG＝MN，因此，PQ＝．故选：A．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．解：如图所示：因为圆的方程为x2+y2﹣4x+3＝0即为（x﹣2）2+y2＝1，所以圆心（2，0），半径R＝1，因为2|AP|+|QB|＝2（|AF|﹣R）+（|BF|﹣R），所以2|AP|+|QB|＝2|AF|+|BF|﹣3，因为|AF|＝x A+＝x A+2，|BF|＝x B+＝x B+2，所以2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3，设l：x＝my+2，所以，整理得x2﹣（4+8m2）+4＝0，所以x A x B＝4，则2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3≥2+3＝4+3，当x A＝，x B＝2时取等号，综上可知2|AP|+|QB|最小值为4+3，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A．B．C．D．解：．A.2﹣1﹣1＝0≠1，因此点M与点A，B，C不共面；B．等式化为：＝，因此点M与点A，B，C共面．C.1+≠1，因此点M与点A，B，C不共面；D.+＝1，因此点M与点A，B，C共面．故选：BD．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．AC⊥BPB．B1D⊥平面EFPQC．BC1∥平面EFPQD．直线A，D和AC所成角的余弦值为解：如图，对于A，BP在底面上的射影为BD，∵AC⊥BD，∴AC⊥BP，故A正确；对于B，假设B1D⊥平面EFPQ，则B1D⊥PQ，而PQ∥B1D1，则B1D⊥B1D1，而DD1⊥B1D1，假设错误，故B错误；对于C，BC1∥AD1∥FP，FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，则BC1∥平面EFPQ，故C正确；对于D，直线A1D与AC所成角为∠DA1C1，连接A1C1，DC1，求解三角形可得cos∠DA1C1＝，故D正确．故选：ACD．11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为D．△AOB的面积为4解：由题意由抛物线的对称性，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由题意可得直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为：x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），将直线AB与抛物线联立整理得：y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，A中，∵＝（﹣2，y1）•（﹣2，y2）＝（﹣2）（﹣2）+y1y2＝4﹣4＝0，∴，即∠CFD＝90°，所以A正确；B中，由A正确，不可能CM⊥DM，更不会∠C或∠D为直角，所以B不正确；C中，因为|AF|＝3|BF|，所以＝3，即y1＝﹣3y2，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∴，解得m2＝，m＝，所以直线AB的斜率为，所以C正确；D中，由题意可得弦长|AB|＝＝＝＝，O到直线AB的距离d＝＝＝，所以S△OAB ＝＝＝，所以D不正确，故选：AC．12．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则（）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．∠PAF2＝45°D．直线x+2y﹣2＝0与双曲线有两个公共点解：F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，如图，三角形△PF1F2是直角三角形，并且，可得：e＝，所以A正确；，可得渐近线方程：y＝x，所以B正确；直线x+2y﹣2＝0与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以D正确；故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．14．若“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．解：命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”是真命题，即有a＜x0﹣在[1，2]的最大值，由x0﹣在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，可得a＜，故答案为：（﹣∞，）．15．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则椭圆C的离心率为．解：过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B 两点，可知tan∠AFO＝，|OF|＝|OA|，所以tan∠AOx＝＝，所以A（，），代入椭圆方程可得：＝1，即，解得e＝．故答案为：．16．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．解：①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，∴•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝cos60°+λ﹣cos30°﹣λcos60°＝﹣+λ＝0．∴λ＝．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．∵BM∥平面AB1N，∴BM∥EF．∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．∵AA1∥DD1，A1F＝FM．∴AA1＝MP＝2D1P．∴＝＝2，∴＝．则λ＝．故答案为：﹣1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．给出以下条件：①∀x∈R，ax2+ax+1≥0，②方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，③函数f（x）＝+x无极值点．从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答．已知p：实数a满足a2﹣（2m+1）a+m（m+1）≤0，q：实数a 满足若选①：0≤a≤4；若选②：1＜a＜3；若选③：﹣1≤a≤3 ，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：p：因为（a﹣m）（a﹣m﹣1）≤0，所以m≤a≤m+1若选①：当a＝0时，符合题意；当a≠0时，得0＜a≤4，所以0≤a≤4，由已知得：[m，m+1]⫋[0，4]，所以，得0≤m≤3．若选②：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴，∴1＜a＜3，由已知得：[m，m+1]⫋（1，3），所以，得1＜m＜2若选③：f'（x）＝x2﹣（a﹣1）x+1，则△＝（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3由已知得：[m，m+1]⫋[﹣1，3]，所以，得﹣1≤m≤2．故答案为：选①：0≤a≤4，得0≤m≤3．若选②：1＜a＜3，得1＜m＜2若选③：﹣1≤a≤3，得﹣1≤m≤2．18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点（4，5）的双曲线．解：（1）由题意可知，，因为a2＝b2+c2，可得a＝2，若焦点在x轴上，椭圆的方程为，若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为，（2）椭圆的焦点为（0，±3），可设双曲线方程为，将点（4，5）代入可得整理可得，m2﹣50m+225＝0，解得m＝5或m＝45（不合题意），所以双曲线的标准方程为．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF ＝2BE＝2．（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E﹣AF﹣D的平面角的大小．解：（1）因为BE∥FD，所以B，E，F，D四点共面，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则，F（0，﹣1，2），E（0，1，1），，，，设＝（x，y，z）为平面AEF的一个法向量，则，令y＝1，得＝（，1，2）设直线AD和平面AEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝，所以直线AD和平面AEF所成角为45°．（2）由（1）可知，平面AEF的一个法向量为＝（），设＝（x，y，z）为平面ADF的一个法向量，则，令x＝，得＝（），因为＝0，所以二面角E﹣AF﹣D的平面角为90°．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC．（1）若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为60°，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解：（1）证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC ⊥AC，所以BC⊥平面PAC，由PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC，又因为PA⊥PB，PB∩BC＝B，所以PA⊥平面PBC，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC；（2）解：过P作PH⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH＝60，不妨设PA＝2，所以，以C为原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），，，，，，设＝（x1，y1，z1）为面PAB的一个法向量，则有，即，令，可得＝（3，6，），设＝（x2，y2，z2）为面PBC的一个法向量，则，即，令，得＝（﹣3，0，），所以cos＜＞＝＝﹣，所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．21．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．（1）求抛物线的方程：（2）已知P（x0，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k PM•k PN ＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．解：（1）由已知，直线AB的方程为，联立抛物线方程y2＝2px，消y可得，，所以x1+x2＝3p，因为|AB|＝x1+x2+p＝4p＝8，所以2p＝4，即抛物线的方程为y2＝4x．（2）将P（x0，﹣1）代入y2＝4x可得，不妨设直线MN的方程为x＝my+t（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，联立抛物线的方程y2＝4x，消x得y2﹣4my﹣4t＝0，则有y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，△＝16m2+16t，由题意＝＝＝﹣2，化简可得，代入△＝16m2+16t＝＝，此时直线MN的方程为，所以直线MN过定点．22．已如椭圆（a＞b＞0），四点P1（2，0），，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过左焦点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．解：（1）由椭圆的对称性，点P3，P4在椭圆上，代入椭圆可得，，若点在椭圆上，则有，联立无解，所以点P1（2，0）在椭圆上，代入椭圆可得，a2＝4，代入中解得，b2＝3，所以椭圆C的方程的为．（2）由（1）可知F1（﹣1，0），设直线AB的方程为，y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，则有，，且△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（4k2+3﹣m2）＞0，由题意可知，＝＝，化简整理可得，（m﹣k）（x1+x2+2）＝0，若m﹣k＝0，则直线AB的方程为y＝k（x+1），过点F1（﹣1，0），不满足题意所以x1+x2+2＝0，即，化简可得，，代入①中得，，整理可得16k4+8k2﹣3＞0，解得，所以直线l的斜率k的取值范围为或．。
烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(1,3)P -，则它的极坐标是（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 由22,tan yx y xρθ=+=计算即可。
【详解】在相应的极坐标系下821(3)2ρ=+-=，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan 3yxθ==-，所以3πθ=-.故选C. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
2．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A ．两个分类变量关系较强B ．两个分类变量关系较弱C ．两个分类变量无关系 ^D ．两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强. 故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.3．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.4．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=解得12λ=．所以双曲线的方程为2211224y x -=，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x y a b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y 轴上．5．设复数z 满足()1i z i +=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 算出z ，即可得z . 【详解】由()1i z i +=得，11122i z i i ==++，所以1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.6．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．2C ．12D 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 7．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数图象的对称性可得203cos xdx S π=⎰，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得()2203cos 3sin 3103S xdx xππ===-=⎰，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．8．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.9．已知复数511i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】将z 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案. 【详解】由题意，()()()251111111i i iz i i i i i ---====-+++-， 所以z 的虚部是1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.10．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上有,A B 两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B C ．12+ D 【答案】A 【解析】 【分析】讨论直线AB 的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线AB 的方程，根据OA OB ⊥及点O 到直线AB距离即可求得a b c 、、的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合OA OB ⊥及点到直线距离即可求得离心率。
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ）A ．23B ．13C ．1D ．0【答案】B【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B. 2．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定【答案】C【解析】【分析】 利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ．【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.3．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r r r r 且 则12m n+ 的最小值是（ ） A ．22B ．2 C ．322+ D ．422+【答案】C分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r r r r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+. 故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．若()()55234512345122x a x a x a x a x a x a x +++=++++，则135a a a a +++=（ ）A ．0B ．1-C ．243D ．2【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得510,1a a +==-，再分别求得2135,,,a a a a 的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得 510,1a a +=∴=-，且111552220,a C C =+=333335522160a C C =+=，55255552264a C C =+=，13512016064243a a a a ∴+++=-+++=，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]【解析】【分析】函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.【详解】二次函数()24f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.6．若全集{}2|280U x x x =--<，集合{}|1327x A x =<<，则U C A =（ ）A ．()0,3B ．(2,0)(3,4)-UC ．(2,0][3,4)-UD ．(2,1][2,4)-U 【答案】C【解析】【分析】分别化简求解集合U,A ，再求补集即可【详解】因为{|24}U x x =-<<，{|03}A x x =<<，所以][()2,03,4U C A =-⋃.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.7．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ= 【答案】D【解析】 分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ，化为极坐标方程为1sin ρθ=，故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 8．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<< 【答案】A【解析】【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B I 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题9．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )A ．π(5,-)3B ．4π(5,)3C ．2π(5,)3-D ．5π(5,)3- 【答案】D【解析】【分析】 由于3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【详解】点M 的极坐标为53π⎛⎫⎪⎝⎭，，由于3π 和53π-是终边相同的角， 故点M 的坐标也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故选D ．【点睛】 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．10．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得 () 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.11．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e 【答案】C【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln x a x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x g x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=， 当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．12．已知a v ，b v 是两个向量，则“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断. 详解：由题得0a b ⋅=v v ，所以cos ,0a b a b =v v v v ，所以||0a =r 或||0b =r 或a b ⊥r r ，所以0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r .因为0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r 是0a =v 的必要非充分条件,所以“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的必要非充分条件.故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题：①曲线C 关于直线y =x 对称； ②曲线C 关于点1144⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）【答案】①③④⑤【解析】【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】对于①：曲线方程为1,(01,01)x y x y +=剟剟，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，所以 曲线C 关于直线y x =对称，故该命题是真命题；对于②：在第一象限内，因为点1(4，1)4在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方， 且为凹函数如图，所以曲线C 不关于点1144（，）对称，故该命题是假命题；对于③：||OP 22112+=44（）（） 对于④：因为函数为凹函数，所以当0x ≠，1时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值，所以该命题是真命题；对于⑤：曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积设为S ，则112001(1)(21)6S x dx x x dx =-=-=⎰⎰，故该命题正确. 故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.【答案】32π 【解析】【分析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1， 故圆柱的全面积是：2113221222πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090. 其中错误的是________．【答案】②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确； 回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力. 16．已知111()123f n n=++++L .经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______.【答案】()()1*322n n f n N ++>∈ 【解析】【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.【详解】观察已知中等式：()()2134222f f +=>=， ()()35238222f f +=>=， ()()43316232f f +=>=， ()()574332222f f +=>=，…， 则()()1*322n n f n N ++>∈， 故答案为：()()1*322n n f n N ++>∈. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）令1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，*n N ∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1n x g x nx=+；（2）(],1-∞. 【解析】 分析：（1）求出g x （）的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即(1)1ax ln x x≥+＋ 恒成立． 设()()φx ln 1x 1ax x+＝＋－ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x +-+，对a 进行讨论，求出h x （）的最小值，令0min h x ≥（） 恒成立即可； 详解：由题设得，g(x)＝1x x+ (x≥0)． (1)由已知，g 1(x)＝1x x+， g 2(x)＝g(g 1(x))＝111xx x x+++＝12x x +， g 3(x)＝13x x +，…，可得g n (x)＝1x nx +. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x)＝1x x+，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝1x kx +. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝1k k g x g x +＝11111x x kx x k x kx+=++++， 即结论成立．由①②可知， 结论对n∈N ＋成立．所以g n (x)＝1x nx+. (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥1ax x +恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－1ax x+ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x+-+， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥1ax x+恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥1ax x +不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．18．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π （1）证明：()cos 2sin cos sin nn i n θθθθ+=+；（2）z i =，利用（1）的结论计算10z ． 【答案】 (1)证明见解析.(2) ()5121. 【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当1n =时成立，假设当()*n k k N =∈时，命题成立，只需证明当1n k =+时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当1n =时，左边cos sin i θθ=+，右边cos sin i θθ=+， 所以命题成立2°假设当()*n k k N =∈时，命题成立， 即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， 则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k ki i i θθθθθθ++=++()()cos sin cos sin k i k i θθθθ=++()cos cos sin sin k k θθθθ=- ()sin cos cos sin i k k θθθθ++()()cos 1sin 1k i k θθ⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦所以，当1n k =+时，命题也成立综上所述，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+（n 为正整数）成立（2）1222z i i ⎛⎫==⨯- ⎪ ⎪⎝⎭11112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()101251212⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.19．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】 (1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在. 试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知R R ==，，解得a=1或a=138， 又∵S=πR 2<13， ∴a=1，∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点， 联立223{(1)4y kx x y =+-+=，，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k -2)2-21(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，解得13k <-或13k >+．x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2261k k++， 121211()()22OD OA OB x x y y =+=++u u u r u u u r u u u r ，，(13)MC =-u u u u r ，，假设OD uuu r ∥MC u u uu r ，则12123()x x y y -+=+，∴226226311k k k k -+⨯=++， 解得32626(1)(1)4k =∉-∞-⋃++∞，，，假设不成立． ∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.20．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，//,22DE AP AP AD DE ===.(Ⅰ)证明：平面//DCE 平面ABP ； (Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）直线CP 与平面DCE 6. 【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得//DC 平面ABP ，//DE 平面ABP .，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面DCE 的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果. 详解： (Ⅰ)因为//DC AB ，AB ⊂平面ABP ，DC ⊄平面ABP ， 所以//DC 平面ABP . 同理可得，//DE 平面ABP . 又DC DE D ⋂=,所以平面//DCE 平面ABP .（Ⅱ）（向量法）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知得，点(020)D ，，，()2,2,0C ,()0,2,1E ,()0,0,2P . 所以()2,2,2CP u u u v =--，()0,2,0AD =u u u v.易证AD ⊥平面DCE ，则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD =u u u v . 设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则()()0,2,0?2,2,2·3sin cos ,223AD CP AD CP AD CP θ--====⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v 。