特殊平行四边形——矩形
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。
2. 掌握矩形、菱形的判定方法。
二. 重点、难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。
特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。
2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。
三. 知识要点：1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
（2）矩形的特殊性质①矩形的对角线相等②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；④矩形的面积计算公式：（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。
2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。
（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。
）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。
4）矩形的判定与性质的区别2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（2）菱形的特殊性质①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。
的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？（4）菱形的判定条件①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形和圆B. 等边三角形、矩形、菱形C. 菱形、矩形和圆D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。
19.2特殊的平行四边形(矩形的定义及性质)
我们已经学习了平行四边形的定义、 性质和判定定理。大家回忆一下！
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 推论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理2：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四 定理3： 边形。 QQ：907948768 飞鱼工作室制作
且相等
邻角互补
平分
中心对称 图形
对边平行 四个角是 矩形 且相等 直角
A D O B C A
对角线互相 中心对称图 平分且相等 形，也是轴 对称图形
D O
B
C
作业
习题19.2
1 ，4，9题
预习矩形的判定定理
B C
A
D
探 究
我们根据平行四边形的性质来探究矩形的性质。
A O D
B
C
性质定理1：矩形的四个角都是直角
性质定理2：矩形的对角线相等
探 究
如图，在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O.根据 矩形的性质，我们知道， AO = CO = BO = DO = 1 1 2 AC = 2 BD，又AO为 △ABD的中线，因此，我 们得到直角三角形的一个 性质： 推论：
B
C O
OA = AB = 4 cm 矩形的对角线长AC = BD = 2OA = 8 cm
这节课我们学习了矩形的性质，矩形都有哪 些性质？
性质定理1：矩形的四个角都是直角 性质定理2：矩形的对角线相等 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
对比记忆
边 角 对角线 对称性
平行 对边平行 对角相等， 对角线互相 四边形
特殊的平行四边形知识梳理+典型例题
特殊的平行四边形知识点一：矩形1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、性质定理（1）矩形的四个角是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、判定定理（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形（2）对角线相等平行四边形为矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形归纳补充：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab知识点二：菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质定理：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四条边都相等的四边形是菱形※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形归纳补充:1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形2、性质定理（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。
（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形3、判定定理（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线相互垂直的矩形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形（4）有一个角是直角的菱形是正方形方法总结：（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
特殊的平行四边形-矩形课件
矩形的定义
1 定义
矩形是具有相等内角和 对边平行的四边形。
2 性质
3 应用
矩形的内角为90°，对边 相等且平行，对角线相 等。
矩形在建筑、制造和几 何户等。
平行四边形和矩形的区别
相同点
• 对边平行 • 具有四个角 • 四边形
不同点
• 矩形具有90°的内角 • 平行四边形的对边不一定相等 • 矩形的对角线相等
特殊的平行四边形-矩形 ppt课件
本PPT课件将介绍平行四边形和矩形两种特殊形状，以及它们的关系和区别。 了解它们的基本概念、性质和实际应用。
平行四边形的定义
定义
平行四边形是具有对边平行关系的四边形。
性质
平行四边形的对边相等且平行，相邻角相补为180°。
应用
平行四边形在建筑设计、绘画和计算机图形学中具有广泛的应用。
平行四边形和矩形的关系
1
平行四边形与矩形的关系
矩形是一种特殊的平行四边形，具有对边平行和内角为90°的特点。
2
矩形是特殊的平行四边形
矩形是只具有对边平行和内角为90°的平行四边形中的一种。
总结
1 基本概念和性质
平行四边形和矩形具有不同的定义、性质和应用。
2 区别和关系
矩形是一种特殊的平行四边形，其特点是具有90°的内角和对边平行。 通过本课件，您了解了平行四边形和矩形的基本概念、性质、区别和关系。希望本课件对您有所 帮助。感谢观看！
第一章《特殊的平行四边形》-矩形的性质(教案)
c)四个角都是直角：探讨矩形四个角都是直角的特点，及其在几何图形中的应用。
3.矩形的应用：运用矩形的性质解决实际问题，如求矩形的面积、周长等。结合实际案例，让学生感受矩形在生活中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过探究矩形的性质，使学生能够运用几何图形理解和解决实际问题，提高空间想象力和几何直观。
然而，我也注意到在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是因为他们对矩形性质的理解还不够深入。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些互动性更强的小组活动，让学生在实践中更好地掌握矩形的相关性质。
此外，在难点解析部分，我发现用简洁明了的语言和图示来学中，尽量采用直观、易懂的方式呈现知识点，帮助学生克服难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.发展学生的逻辑推理能力：在证明矩形性质的过程中，训练学生运用严密的逻辑推理，形成完整的证明思路，增强数学逻辑思维。
3.培养学生的数据分析能力：通过解决矩形相关实际问题，让学生掌握数据处理和分析的方法，培养在实际情境中运用数学知识的能力。
4.提高学生的数学建模素养：鼓励学生将矩形性质应用于实际问题，构建数学模型，提高运用数学知识解决现实问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一种特殊的平行四边形，其对角线相等，对边平行且相等，四个角都是直角。矩形在建筑、设计等领域有着广泛的应用。
平行四边形的分类
平行四边形的分类
平行四边形是一种特殊的四边形，有着一些独特的性质和特征。
根据四边形的边和角的关系，平行四边形可以分为以下几种类型：
矩形
矩形是一种特殊的平行四边形，它的所有角都是直角（90度）。
矩形的对边长度相等，相邻边互相垂直。
矩形有一些重要的性质，
例如：对角线相等、对角线互相平分和面积计算公式（面积等于边
长乘积）。
正方形
正方形也是一种矩形，它具有所有矩形的性质，但更加特殊。
正方形的所有边和角都相等，每个角都是直角。
正方形的对角线长
度相等，对角线互相平分，并且对角线与边的关系可以用勾股定理
表示（对角线等于边长乘以根号2）。
长方形
长方形也是一种矩形，但它的相邻边长度不相等。
长方形的对
边长度相等，相邻边互相垂直。
长方形有与矩形相同的重要性质，
如对角线相等、对角线互相平分和面积计算公式。
平行四边形
除了以上特殊的类型外，一般的平行四边形没有特殊的名称。
它的对边互相平行，相邻边长度可能相等也可能不等。
平行四边形
具有一些重要的性质，如对角线互相平分和面积计算公式（面积等
于底边乘以高）。
需要注意的是，以上的分类与欧几里得几何学中的定义相对应。
在某些其他数学领域或上下文中，可能存在不同的定义和分类方式。
因此，在具体问题中，需要根据上下文和定义仔细考虑所涉及的平
行四边形类型。
总结一下，平行四边形的分类主要包括矩形、正方形、长方形
和一般的平行四边形。
每种类型都有其独特的性质和特征，用于描
述和解决各种几何问题。
19.2 特殊平行四边形 (第2课时)19.2.1矩形(矩形的判定)
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形 已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 ， 。 求证：四边形 是矩形。 求证：四边形ABCD是矩形。 A 是矩形 ， 证明: 证明 因为 AB=CD, BC=BC, AC=BD，
B D
C
矩形的判定方法： 矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 对角线相等且互相平分的四边为四边形ABCD是平行四边形， 因为四边形 是平行四边形， 是平行四边形 AC=BD， ， （或OA=OC=OB=OD） ）
方法1： 方法 ：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2： 方法 ：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 方法3： 方法 ：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？ 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； ）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； ）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形 ）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； ）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； ）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； ）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； ）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 ）一组邻边垂直， 矩形。 矩形。
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18.2.1 矩形》第一课时教学设计
学习目标：
1、理解矩形的概念，明解矩形与平行四边形的区别与联系；
2、探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决相关问题；
3、理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质。
学习重点：矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。
学习难点：矩形的性质的灵活应用。
学习过程：
一、情境引入
师：前面我们已经学习了平行四边形，你能用四根木条拼一个平行四
边形吗？
学生活动：试拼平行四边形。
师：你拼成的四边形形状唯一吗？
生：不唯一。
师：你能试拼出面积最大的平行四边形吗？
学生活动：能
师：面积最大的平行四边形的内角是多少度？
生：90度
师：有一个角是90 度的平行四边形叫做矩形，本节课我们就来探究
矩形的性质。
、学生自学:
自学提纲：自学课本P52— 53,回答以下问题：
1、什么样的图形叫矩形？
2、矩形是不是平行四边形？它具有平行四边形的性质吗？
3、矩形还具有什么性质？
4、你能证它的性质吗？
5、如图，矩形ABCD，对角线相交于0，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？
6、将目光锁定在Rt△ ABC中，你能发现B0与AC有什么关系？
三、展示归纳：
学生逐个回答自学提纲的内容，不会的和有疑问的请小组内其他同学回答，教师点拨。
四、变式练习
1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,且AC=2AB
求证：△ A0B是等边三角形。
（注意表达格式完整性与逻辑性）
2、本题若将“ AC=2AB改为2 BOC=120 ”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
3、本题若将2 BOC=120 ”改为/ ACB=30 ° , AB=4.
(1)判断△ AOD的形状；
(2)求对角线AC、BD的长
五、课堂小结
同学们，经过本节课的学习，你有哪些收获？(先学生个人汇报，后教师概括总结)。