初二数学八年级下第十八章第二节《特殊的平行四边形》——矩形
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
2024八年级数学下册第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形1矩形课件新版新人教版
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别提醒 ●直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个
面积相等的等腰三角形 . ●此性质与“直角三角形中 30°角所对的直角边
等于斜边的一半” 都是解决线段倍分关系的重 要依据.
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知2－讲
说明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是 根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的 . 将矩形 沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半的模型 .
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知1－练
例1 如图 18.2-1，在▱ ABCD 中，点 E， F 为 BC 边上的点， 且 BE=CF， AF=DE. 求证：▱ ABCD 是矩形 .
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明 .
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证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
知1－练
∴ AB=CD，∠ B+ ∠ C = 180° .
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知1－练
解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质” 进 行计算 .
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求：(1)对角线的长； 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC=BD， OA=OC=OB=OD. 又∵∠ BOC=120°，∴∠ AOB=60° . ∴△ AOB 是等边三角形 ，∴ OA=AB=6. ∴ BD=AC=2OA=2×6=12.
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(2)求证： BD=2AC； 证明：由(1)可知BD＝2AE，∠AEC＝∠C， ∴AC＝AE.∴BD＝2AC.
知2－练
感悟新知
(3)若 AE=8.5， AD=8，求△ ABE 的周长 . 解：在 Rt△ ABD 中，AD＝8，AE＝8.5， ∴BD＝2AE＝17，BE＝8.5. ∴AB＝ BD2－AD2＝ 172－82＝15. ∴△ABE 的周长为 AB＋BE＋AE＝15＋8.5＋8.5＝32.
《特殊的平行四边形-矩形》课件人教版 八年级下册
从这里展开快乐的翅膀
3.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∠ACB=30°，则∠AOB=（ B） A.30° B.60° C.90° D.120°
4.矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ，已知 ∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（ 6 ） 条.
5.矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ，下列说法错 误的是（ D ） A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD
18.2 特殊的平行四边形
从这里展开快乐的翅膀
6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、 BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=（5cm）.
18.2 特殊的平行四边形
四、课堂小结
从这里展开快乐的翅膀
1.本节课你学会了哪些知识？你还有什么困惑？ 2.在本节课的学习中，你想对同学们说要注意什么？
A.10cm B.12cm C.14cm D.16cm
18.2 特殊的平行四边形 》
从这里展开快乐的翅膀
谢谢，再见！ 从这里展开快乐的翅膀
2.利用这种性质我们来观看一个动 画演示.
18.2 特殊的平行四边形
二、探索新知
从这里展开快乐的翅膀
1.矩形的定义： 结合刚才的动画演示，你能叙述什么样的图形是矩形吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形定义的两个条件：
一是 平行四边形
；
二是 有一个角是直角 .
18.2 特殊的平行四边形
从这里展开快乐的翅膀
18.2 特殊的平行四边形
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五、布置作业
必做题：教材第53页练习2及例1中的变式3； 选做题：1.如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3， 将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF 的长为________． 2.Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是BC、AB的 中点，且AC=6cm，AB=8cm，则△ADE的周长是（ ）
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形教案 (新版)新
所以AC=BD=2OA=8(cm)，即矩形对角线长8cm。
方法小结: 如果矩形两条对角线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形.
四、巩固新知，当堂训练（15分钟）
如图，已知△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC＝______ cm;
6.学习例1，你有不同的解法吗？
7.完成练习。
三、合作探究，解决疑难（15分钟左右）
1.师生共同探讨自学提纲的内容。
2.探讨性质1的证明。
已知：四边形ABCD是矩形，求证：∠A=∠B=∠C=∠D=900。
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC ，
∴∠A+ ∠B=1800。
又∵∠A＝900，∴∠B ＝900。
所以∠ABC=∠DCB=90°。
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形。
3.你能归纳矩形的几种判定方法吗？
4.例1 已知：在△ABC中,AB=AC, D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE、BC于点E、F。求证：四边形AECF是矩形。
学生分组讨论，合作学习。
二、导入新课、揭示目标（2分钟左右）
1.会证明矩形的判定定理。
2.能运用矩形的判定定理进行计算与证明。
3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明。
三、学生自学，质疑问难（10分钟左右）
自学提纲：
阅读课本内容，完成以下任务
1.矩形特有的性质有哪些？
2.请你说说矩形的性质1 、性质2的逆命题，猜想一下他们是真命题吗？
讨论补充记录
板书
设计
教 学 反 思
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形(第1课时)教案
18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时【教学目标】知识与技能:1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题.3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.过程与方法:经历探索矩形的概念和性质及推论的过程,发展合情推理的意识;掌握几何思维方法.情感态度与价值观:培养严谨的推理能力,及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值.【重点难点】重点:理解矩形的定义,掌握矩形的性质.会用矩形的性质进行计算或证明.难点:掌握直角三角形斜边上的中线的性质及应用.会用矩形的性质进行计算或证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课1.平行四边形有哪些性质?2.我们知道三角形具有稳定性,平行四边形也具有稳定性吗?3.在推动平行四边形的过程中,什么发生变化了?什么没变?4.在上述变化过程中,你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形?矩形是我们生活中常见的图形,你还能举出矩形在生活中应用的例子吗?你能总结出矩形的定义吗?矩形具有什么性质,这一节我们就来探究.二、探究归纳活动1:矩形的定义:(1)平行四边形有哪些性质?(动态课件演示)边:平行四边形的对边相等.角:平行四边形的对角相等,邻角互补对角线:平行四边形对角线互相平分对称性:中心对称图形(2)演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义.(3)矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).(4)矩形与平行四边形、四边形之间的联系与区别.矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.活动2:探究矩形的性质:1.问题探索:(1)改变平行四边形活动框架的一个内角α的大小,使α逐渐变为90°时,如图:在变化过程中,①平行四边形的内角度数发生了改变, 一个内角α变为90°,其余三个内角也都变为90°;②对角线发生了改变,变成相等;③平行四边形的边长没有改变,对边的位置关系没有改变.(2)变化后的平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.2.思考:矩形的对角线具有什么性质?提示:相等且互相平分3.归纳:矩形的性质:(通过和学生一起逐一探究得到矩形的性质)(1)矩形的对边平行且相等.(2)角:矩形的四个角都是直角.(3)对角线:矩形的对角线相等.(4)对称性:矩形既是轴对称图形又是中心对称图形.(并与平行四边形的性质比较).活动3:探究直角三角形斜边上的中线的性质:1.问题:如图,通过以上对矩形性质的探究,你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗?有多少个等腰三角形吗?你能发现线段AO,CO,BO,DO之间的大小关系吗?这四条线段与AC,BD又是什么关系呢?如果只看直角三角形ABC, BO是什么边上的什么线?你能说说这个结论吗?2.探索:教师引导学生探索:如图,一张矩形纸片,沿着对角线剪去一半,你能得到什么结论?在Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段?它的长度与斜边AC有什么关系?一般地,这个结论对所有直角三角形都成立吗?3.归纳:直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.即BO=AC.活动4:例题讲解【例1】在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为点F.求证:DF=DC.分析:连接DE,由四边形ABCD是矩形,AE=AD,从而得出∠DEC=∠AED,由DF⊥AE,得出∠DFE=∠C=90°,证得△DFE≌△DCE,得出结论.证明:连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.总结:矩形的性质的应用:1.证明线段平行、相等或倍分关系.2.证明角相等或求角的度数.【例2】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE 的周长为()A.20B.12C.14D.13分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,CD=BD,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.解:选C.∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,∴AD⊥BC,CD=BD=BC=4,∵点E为AC的中点,∴DE=CE=AC=5,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.总结:直角三角形斜边上中线的性质及应用1.性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形.2.作用:(1)证明线段的平行、相等或倍分关系.(2)证明角相等.(3)其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据.三、交流反思这节课我们学习了矩形的定义和性质,以及直角三角形斜边上的中线的性质.应用性质解决问题.1.矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形⇒3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4.矩形是轴对称图形,连接对边中点的直线是它的两条对称轴.四、检测反馈1.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是() A.8 B.6 C.4 D.22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是()A.20B.10C.5D.3.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12B.24C.12D.164.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC中点,则DE=________.5.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=_____.6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则CE的长为________.7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为________.8.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.(1)求证:△BEC≌△DFA.(2)求证:四边形AECF是平行四边形.9.如图,已知矩形ABCD中, F是BC上一点,且AF=BC , DE⊥AF ,垂足是E,连接DF.求证:(1)△ABF≌△DEA.(2)DF是∠EDC的平分线.五、布置作业教科书第60页习题18.2第1题.六、板书设计18.2.1矩形第1课时一、矩形的定义二、矩形的性质三、直角三角形斜边上的中线的性质四、例题讲解五、板演练习七、教学反思矩形是一种特殊的平行四边形,安排在平行四边形与菱形、正方形之间,它既是学生前面学习平行四边形的有关知识的进一步延伸,研究矩形的思想方法又为我们学习后面菱形、正方形奠定了基础,起着承上启下的作用.学生在小学阶段已经学习了长方形和正方形的相关知识,而矩形就是长方形,所以学生对矩形的基本知识已经有一定的了解,而且通过前一章探究平行四边形有关知识的培养,学生具有一定的独立思考和探究的能力.所以本节课主要在学生已有的认知水平上,在实际问题情景中,由学生自主探索发现矩形性质定理,使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程,亲身体验数学思想方法,培养学生能力,促进学生发展.矩形的定义既揭示了矩形的本质属性,也是矩形的一种重要的判定方法,是探索和掌握其性质的前提.因此把本节课的教学重点定为:矩形的定义及其性质定理并补充了练习2,即利用定义来判定矩形.通过对例1的分析,学生对矩形的轴对称性已经可以理解,所以把难点定在矩形性质的应用上.处理时,通过例1的一系列问题串来突破难点.通过把问题设置到实际情境中,让学生进一步体会到数学来源于生活,又服务于生活.通过本节课的学习渗透了一种转化的数学思想,在复杂图形中分离出基本图形是学生分析几何问题的一种重要思想.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形(1)课件
A.对边相等 C.对角互补
B.对角相等 D.对角线互相平分
第十二页，共十七页。
（ ） 3 直角 三角形中，两直角 边 .
(zhíjiǎo)
(zhíjiǎo)
长分别为12和5，则斜边的中线长是（D ）
A.26
B.13
C.8.5
D.6.5
第十三页，共十七页。
练习(liànxí)2：已知：如图，矩形ABCD的两条对角 线相交于点O，∠AOD=120°，AC=8cm，求 BC的长.（结果保留小数点后两位）
※推论 直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半.
※ 学到的数学思想有哪些？
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
问题：。有一个角是直角(zhíjiǎo)的平行四边形是矩形。从定义可以看出矩形是平行四边形，那么它具有平行 四边形的所有性质吗。求证：AC = BD。∴△ABC≌△DCB。例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°,AB=5㎝,求矩形对角线的长。∴ OA=OB。∴ OA=AB=5(㎝)。已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的 中线.。证明: 延长BO至D,使DO=BO,。练习1 选择题：
问题 ： (wèntí) 什么是平行四边形？它有哪些性质？
A D
B
C
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
A
D
B
C
ABCD
第一页，共十七页。
观察 演示并思 (guānchá) 考
第二页，共十七页。
18.2.1 矩形 (jǔxíng) 第三页，共十七页。
矩形 的定义： (jǔxíng)
有一个角是直角(zhíjiǎo)的平行四边形是矩形
新版新人教版八年级数学下册第十八章特殊的平行四边形18.2.1矩形
练习2 在“？”处填上恰当的条件：
四边形 ？
平行四边形
？
矩形
？
练习3 已知:四边形ABCD是矩形
(1)若已知AB=8 cm，AD=6 cm， D
C
则AC＝___1_0___ cm，
O
OB=____5___cm
A
Байду номын сангаас
B
(2)若已知 ∠DOC=120°，AC＝8 cm，则AD= __4___cm，
解：∵△OAB是等边三角形且四边形 ABCD的对角线AC、BD互相平分 ∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB= 60
∴∠AOD= 120 又AO=DO ∴∠ADC= 90 ∴四边形ABCD是矩形 AC=8 ，DC=4， AD= 4 3 ∴平行四边形ABCD面积为16 3
2、如图AC，BD是矩形ABCD的两条对 D
AB= _4___3_cm
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形
矩形的对边平行且相等 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两 条对称轴．
第18章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时
创设情景 明确目标 小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
合作探究 达成目标 同样，我们能否通过研究矩形性质的逆命题，得到 判定矩形的方法呢？
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形． 猜想2 三个角是直角的四边形是矩形．
问题3 如何证明这两个猜想？
证明猜想
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形． 在 ABCD中，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．
八年级数学下册第十八章平行四边形 特殊的平行四边形—矩形
八年级数学下册第十八章平行四边形特殊的平行四边形—矩形第一课时说课稿各位领导、老师们，你们好！首先，我对本节内容进行分析一、教材的地位和作用《矩形》是人教版教材第18章第2节内容。
在此之前，学生们已经学习了四边形与长方形（即矩形）的相关知识,这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫的作用。
因此，本节内容在本册数学教学中具有不容忽视的重要的地位。
本内容包含的一些知识，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是今后中考的必考内容。
二、教学目标根据本教材的结构和内容分析，结合九年级学生的认知结构及其心理特征，我制定了以下的教学目标：1、认知目标：掌握矩形的定义，能根据定义探究矩形的性质。
2.经历对矩形性质的探究过程，掌握矩形的性质及性质推论。
2、能力目标在探索矩形性质的过程中了解矩形与平行四边形之间的关系。
2.通过利用平行四边形的性质探究矩形性质的过程中，让学生感受：对新知识的探究可以利用自己已有的知识经验，培养学生动手实验，观察、推理的意识，初步体会一般到特殊、转化化归、类比迁移的数学思想。
3.通过对例题、练习的处理，使学生灵活掌握矩形的定义和性质，进一步提高学生运用数学语言合乎逻辑的进行推理的能力。
3、情感、态度、价值观在矩形性质的探究过程中体验探索与发现的快乐；在应用矩形性质的过程中获得成功的体验；通过在实物中抽象出矩形等教学活动进一步使学生感受数学与生活的密切联系。
三、说教学的重、难点本着初三新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下的教学重点和难点教学重点：重点的依据：只有掌握了矩形的性质和判断，才能理解和掌握教学难点：难点的依据：较抽象；通过数量关系来判断什么样的四边形才是矩形为了讲清教材的重、难点，使学生能够达到本节内容设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：四、说教法我们都知道数学是一门培养人的实践能力的重要学科。
因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。
我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。
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18.2.1 矩形(一)
一、教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
二、重点、难点
1．重点：矩形的性质．
2．难点：矩形的性质的灵活应用．
三、例题的意图分析
例1是教材P104的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．
四、课堂引入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1矩形的四个角都是直角．
矩形性质2矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=
2
1AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
五、例习题分析
例1 （教材P104例1）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这
个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AC 与BD 相等且互相平分．
∴ OA=OB ．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB 是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．
例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A
到BD 的距离AE 的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利
用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得
x=6． 则 AD=6cm ．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB ＝ AD×AB ，解得 AE ＝ 4.8cm ．
例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．
分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．
∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．
∴∠B=∠AFD．又AD=AE，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∴AF=BE．
∴EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
六、随堂练习
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（）．
（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．
（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
七、课后练习
1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．
4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．。