特殊的平行四边形-矩形
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
九年级数学第一讲特殊的平行四边形教师版
第一章特殊的平行四边形考点回顾：1、矩形的性质和判定性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形．判定：（2）有一个是直角的平行四边形叫矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2、菱形的性质与判定性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形叫菱形；（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形．3、正方形有一组邻边相等的矩形是正方形，或有一个角为直角的菱形是正方形．考点精讲精练：例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB和DE是否相等？并证明你的结论．证明：（1）∵AE、AD分别平分∠BAF，∠BAC，，∴AD⊥AE．（2）答：AB＝DE．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．∠BDA＝90°．又∵∠BEA、∠DAE都为直角，∴四边形ADBE为矩形．∴AB＝DE．变式练习1、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连AE，交BC于F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC＝2∠D，连AC，BE，求证：四边形ABEC为矩形．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB CD．又∵CE＝CD，∴AB EC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴ AF＝EF，BF＝CF，又∠AFB＝∠EFC，∴△ABF≌△ECF．（2）在□ABCD中，∠ABC＝∠D．∵∠AFC＝2∠D＝2∠ABC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB，∵FA＝FE，FB＝FC，∴FA＝FB＝FE＝FC．∴BC＝EA，∴四边形ABEC为矩形．例2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，过D点作DE∥AC，交BC的延长线于点E，如图所示．（1）求△BDE的周长；（2）点P为线段BC上的点，连PO并延长交AD于点Q，求证：BP＝DQ．解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，且OB＝OD．∵AB＝5，AC＝6，∴OA＝3．．∴BD＝8．∵AD∥BC，∴AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝6．BE＝2BC＝2AB＝10．∴△BDE的周长为8＋6＋10＝24．（2）证明：在菱形ABCD中，DA∥BC，∴∠ODQ＝∠OBP，∠OQD＝∠OPB．又OD＝OB，∴△BPO≌△DQO．∴BP＝DQ．变式练习2、如图，DE为□ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于F．（1）求证：四边形AEFD为菱形；（2）若∠A＝60°，AD＝5，求菱形AEFD的面积．证明：（1）∵DF∥AE，AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形．∴∠FDE＝∠AED．∵DE为∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠AED，∴□ABCD为菱形．（2）∠A＝60°，AD＝AE，∴△ADE为等边三角形．例3、如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明结论；（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形？证明你的结论．解：（1）∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）当点O为AC的中点时，四边形AECF为矩形．∵OA＝OC＝OE＝OF，∴四边形AECF为矩形．（3）当∠ACB＝90°时，为正方形．∵当∠ACB＝90°时，∵MN∥BC，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF．∴矩形AECF的对角线互相垂直，∴四边形AECF为正方形．变式练习3、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．（1）求证：BE＝DF；（2）连AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？证明你的结论．证明：（1）∵ AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DE．（2）四边形AEMF为菱形，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF．即CE＝CF，∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF为平行四边形．∵AE＝AF，∴□AEMF为菱形．备考模拟一、填空题1、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝__________．2、如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF 的面积为__________cm2．3、如图，四边形ABCD为矩形，点E在线段CB的延长线上，连DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为__________．4、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以为__________．5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．6、①如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边上的中点，则四边形EFGH 为__________．②若ABCD为平行四边形，则EFGH为__________．③若ABCD为矩形，则EFGH为__________．④若ABCD为菱形，则EFGH为__________．答案：1、135°2、3、4、15°；或165°5、6、①平行四边形；②平行四边形；③菱形；④矩形二、选择题7、如图，四边形ABCD是菱形，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC，CD上，且AB＝AE，则∠B＝（）．A．60°B．80°C．100°D．120°8、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折叠为EF，若∠EFC′＝125°，则∠ABE的度数为（）．A．15°B．20°C．25°D．30°9、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别为边AB，BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值为（）．A．3 B．4 C．5 D．610、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB于E，，则下列结论中正确的个数有（）．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④．A．1个B．2个C．3个D．4个11、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长为（）．A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.47-11 BBCCD三、综合题12、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并证明理由．（2）若AB＝6，BC＝8，求S四边形OCED．解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形．又∵矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED为菱形．（2）连OE．则四边形BCEO为平行四边形，∴OE＝BC＝8．．13、如图，边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连DP交AC于点Q．（1）试证明：无论P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积为正方形ABCD面积的？解：（1）∵AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ．（2）△ADQ的面积恰好为正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB 于F，则QE＝QF，．由△DEQ∽△DAP得，解得AP＝2．∴当AP＝2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的．14、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒，过点D作DF⊥BC于点F，连DE、EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．解：（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t．又∵AE＝t，∴AE＝DF．（2）能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∴AC＝2AB＝10．∴AD＝AC－DC＝10－2t．若使□AEFD为菱形，则需AE＝AD＝10－2t，即. 即当时，四边形AEFD为菱形．。
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】 类型一、矩形1、（常州期末）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，AE ∥BC ，DE ∥AB ． 试说明： （1）AE=DC ；（2）四边形ADCE 为矩形．【思路点拨】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD ．结合中点的性质得到AE=CD ；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论． 【答案与解析】证明：（1）如图，∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．2、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．【答案与解析】解：设EF＝x，由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6，又∵在Rt△ADC中，22AC+=．6810∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，222DC FC DF +=，解得x ＝85，BF ＝DE ＝3.4，则DEF 1=DE AB 2S ⨯△＝12×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、（遵义）在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点F ． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．【答案与解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD ， 在△AFE 和△DBE 中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝12（BC－AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C；【解析】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF＝12CD，FG＝12AB，GH＝12CD，HE＝12AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN＝12BC，GN＝12AD，∴EG＝12（BC－AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故选C．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB＝CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．类型三、正方形5、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【思路点拨】（1）问通过证明三角形全等来证明角相等；（2）先证明四边形MPND是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形MPND是正方形.【答案与解析】证明：(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.(2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形.【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形.6、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式1】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．【变式2】（黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．【答案】65°.提示：∠ABE=90°-20°=70°，由正方形的性质知，∠BAC=45°，∴∠AEB=180°-45°-70°=65°，由正方形的对称性可知，∠AED=∠AEB=65°.【巩固练习】一.选择题1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．22.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.（武进区一模）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．32B232．75D24. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．207.（桂林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.48. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______.10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于_______.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.cm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16.（昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．三.解答题17.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．18.（无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．19.（崂山区一模）已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝CO＝DO，进而得到等腰三角形．2.【答案】B；【解析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝CD，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．3.【答案】D；4.【答案】D；5.【答案】A；6.【答案】B；【解析】根据矩形性质求出AO＝BO＝4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．7.【答案】B；【解析】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CD，即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B．8.【答案】C；【解析】OE＝a，则AD＝2a，菱形周长为4×2a＝8a.二.填空题9.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可． 10．【答案】24；11．【答案】).2,22(+；【解析】过D 作DH ⊥OC 于H ，则CH ＝DH ＝2，所以D 的坐标为).2,22(+ 12.【答案】4；【解析】根据菱形的性质得出OA ＝OC ，根据三角形的中位线性质得出OE ＝12AB ，代入求出即可．13.【答案】16；【解析】证△ABE ≌△ADF ，四边形AECF 的面积为正方形ABCD 的面积. 14．【答案】13； 【解析】设BD ＝x ，1412,62x x ⨯==，所以边长＝222313+=. 15.【答案】832cm ；43cm ；【解析】由题意知△ABC 为等边三角形，AE ＝23，面积为832cm ，BD ＝2AE ＝ 43cm .16.【答案】6.【解析】∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3，∴S 四边形ABCD =AB×3=BC×3， ∴AB=BC，∴平行四边形ABCD 是菱形，即四边形ABCD 是菱形． 如图，过A 作AE⊥BC，垂足为E ， ∵∠ABC=60°，∴∠BAE=90°﹣60°=30°， ∴AB=2BE，在△ABE 中，AB 2=BE 2+AE 2， 即AB 2=AB 2+32， 解得AB=2， ∴S 四边形ABCD =BC•AE=2×3=6．故答案是：6．三.解答题17.【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC ，∠A＝∠C， ∵在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CBE（SAS ）， ∴BF＝BE ． 18.【解析】 证明：（1）∵AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD⊥BC，且BD=CD ， ∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴四边形ADCE 是矩形；（2）∵四边形ADCE 是矩形， ∴OA=OC，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD∥AB 且OD=12AB. 19.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CB ，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°， 在△ABE 和△CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE=CE ．（2）解：点E 在BD 的中点时，四边形AFBE 是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∠F=∠AEB ，AF=AE ，BF=BE ， ∵∠BAD=90°，E 是BD 的中点， ∴AE=BD=BE=DE ， ∵AE=CE ，∴AE=BE=CE=DE=AF=BF ，∴四边形AFBE 是菱形，E 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴AE ⊥BD ，∴∠AEB=90°，∴四边形AFBE是正方形．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE ＝ AF，∴Rt RtABE ADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．A DB EFOC。
19.2特殊的平行四边形(矩形的定义及性质)
我们已经学习了平行四边形的定义、 性质和判定定理。大家回忆一下！
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 推论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理2：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四 定理3： 边形。 QQ：907948768 飞鱼工作室制作
且相等
邻角互补
平分
中心对称 图形
对边平行 四个角是 矩形 且相等 直角
A D O B C A
对角线互相 中心对称图 平分且相等 形，也是轴 对称图形
D O
B
C
作业
习题19.2
1 ，4，9题
预习矩形的判定定理
B C
A
D
探 究
我们根据平行四边形的性质来探究矩形的性质。
A O D
B
C
性质定理1：矩形的四个角都是直角
性质定理2：矩形的对角线相等
探 究
如图，在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O.根据 矩形的性质，我们知道， AO = CO = BO = DO = 1 1 2 AC = 2 BD，又AO为 △ABD的中线，因此，我 们得到直角三角形的一个 性质： 推论：
B
C O
OA = AB = 4 cm 矩形的对角线长AC = BD = 2OA = 8 cm
这节课我们学习了矩形的性质，矩形都有哪 些性质？
性质定理1：矩形的四个角都是直角 性质定理2：矩形的对角线相等 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
对比记忆
边 角 对角线 对称性
平行 对边平行 对角相等， 对角线互相 四边形
第一章《特殊的平行四边形》-矩形的性质(教案)
c)四个角都是直角：探讨矩形四个角都是直角的特点，及其在几何图形中的应用。
3.矩形的应用：运用矩形的性质解决实际问题，如求矩形的面积、周长等。结合实际案例，让学生感受矩形在生活中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过探究矩形的性质，使学生能够运用几何图形理解和解决实际问题，提高空间想象力和几何直观。
然而，我也注意到在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是因为他们对矩形性质的理解还不够深入。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些互动性更强的小组活动，让学生在实践中更好地掌握矩形的相关性质。
此外，在难点解析部分，我发现用简洁明了的语言和图示来学中，尽量采用直观、易懂的方式呈现知识点，帮助学生克服难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.发展学生的逻辑推理能力：在证明矩形性质的过程中，训练学生运用严密的逻辑推理，形成完整的证明思路，增强数学逻辑思维。
3.培养学生的数据分析能力：通过解决矩形相关实际问题，让学生掌握数据处理和分析的方法，培养在实际情境中运用数学知识的能力。
4.提高学生的数学建模素养：鼓励学生将矩形性质应用于实际问题，构建数学模型，提高运用数学知识解决现实问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一种特殊的平行四边形，其对角线相等，对边平行且相等，四个角都是直角。矩形在建筑、设计等领域有着广泛的应用。
特殊的平行四边形-矩形
数学教学设计
四边形的所有性质，矩形都有）
矩形作为特殊的平行四边形，它又有哪些特殊的性质？
●矩形的四个角都是直角（板书）
活动一：证明命题成立
提问,命题式证明的步骤是什么？ (师生互动共同完成)
（1）画图
（2）写出已知求证
（3）推理证明
活动二、观察周围是矩形形状的事物,动手测量出其两条对角线的长度关系.
●矩形的对角线相等
命题式证明 (教师提示,学生自行完成)
（4）画图
（5）写出已知求证
（6）推理证明
过渡语:通过以上学习、推理和证明,我们学习了矩形的定义和其两条特殊性质.它的定义是?他的两条性质分别是?
(三)课堂小结
矩形的定义：
矩形的性质：1、
2、
运用知识，解决问题:
１·假设你家正在装修房屋，加工厂送来一批窗门，家
长请你负责验收门框是否为矩形，你将有几种方法应对？特
别是当你手中只有能够度量长度的刻度尺时，你能胜任此工作吗？
２·如图4所示，已知四边形ABCD，∠B＝90°，AD∥BC，
AD＝BC，试说明四边形ABCD
交于点O，且AO＝BO＝CO＝DO，试说明四边形ABCD
布置作业:
P60习题2,习题3
板书设计:
18.2特殊的平行四边形
1.定义:有一个角是直角的平行四边形
2.性质:a.矩形的四个角都是直角
b.矩形的对角线相等。
特殊的平行四边形知识点归纳
矩形的性质：（1）边：矩形的对边平行且相等。
（2）角：矩形的四个角都是直角。
（3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分。
（4）对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4）。
矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（4）三个角都是直角的四边形是矩形。
菱形的性质：（1）边：菱形的对边平行，且四条边都相等（2）角：菱形的对角相等，邻角互补。
（3）对角线：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4条）（5）菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四边相等的四边形是菱形。
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
正方形的性质：（1）四边都相等，对边平行（2）四个角都是直角（3）对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
（4）中心对称图形，轴对称图形（4条对称轴）矩形的判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形。
（5）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形中点四边形：对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线垂直的四边形中点四边形矩形对角线相等且垂直的四边形中点四边形正方形。
初中数学教学课例《特殊的平行四边形(矩形)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
(2)组织好小组展示和跨组自由交流，注意学习
时间分配，展示的质量和效率。
(3)组织小组同学交堂每时每刻学生的
动态，对发现的问题和讨论、交流等方面及时指导培训。
二、课堂流程
1.课堂导入----以活动的平行四边形的变化过程
完善学生的认知能力与应用水平。
通过图形性质定理的逆命题，先猜想提出判定图形是否成立的命题，然后运用演绎推理证明这些命题的真伪，得出图形的判定定理，进一步明确矩形的性质定理与判定定理之间的关系：从命题角度来说，判定定理与
相应的性质定理之间是互逆的。
教学目标
1.说出生活中的矩形实例，从边、角、对角线及对
称的角度总结矩形的性质与判定定理。
2.经历类比、猜想、发现结论、验证结论的过程，
形成研究特殊平行四边形的常用方法。
3.在探究的过程中体会类比与划归的数学思想，体
会数学与生活的紧密联系。
学生学习能
力分析
学生在小学阶段对长方形的学习与了解、从七年级开始数学说理的学习、以及前一节平行四边形内容的学习，都为本节课的学习打下了很好的学习基础与方法。学生动手能力和应用能力不强，说理过程的书写格式也有待于进一步规范。在小学阶段，学生对矩形虽有一定的学习与了解，但更多的是停留在表面的记忆和理解，
7.教师寄语以方形人生的小短句作为结束。使数学
中死板的图性变得有灵动性
课例研究综
述
本节课主要是与学生为主体，从课前的预习到课上的自主探究都体现出学生的自主性，其次从教室中的常
见图形抽象到我们的矩形，让学生体会到数学来源于生
活，最后利用所学知识解决生活中的实际问题，恰好体现了数学又应用于生活之中。探究过程中也强调了合作探究的重要性，整节课注重联系实际，拓展学生知识，
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∴ OA=OB
B
C
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
P95练习3：已知：如图，矩形ABCD
的两条对角线相交于点O，
∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形对
角解：线的在矩长形A.BCD中，
A
D
∵ ∠AOD=120° ∴ ∠AOB=60°
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
B
C
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 矩形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
A
D 如果
D
AB∥CD
B
C AD∥BC
四边形ABCD
边
B
C
ABCD
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四 边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分；
性质： 角
平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
同样对于平行四边形来说有特殊情 况即特殊的平行四边形，也就是这 堂课我们就来研究一种特殊的平行
四边形—— 矩形
两组对边 平行 一个角是 分别平行 四边形 直角 矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具备平行四边形所有的性质
直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA
Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
再探新知
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
1
求证: BO =2 AC
A
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
这是矩形所
O
特有的性质
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A
D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
小试牛刀
如图，在矩形ABCD中，找出
相等的线段与相等的角。
A
D
O
B
C
相等的线段： 已知四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
边 对边平行且相等 角 对角相等 对角线 对角线互相平分
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A
D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
对角线
矩形 的两条对角线相等 矩形的 两条对角线互相平分
观察并思考
下面这些物体是什么形状,它 们是轴对称图形吗?是中心对 称图形吗？有几条对称轴?
边
角
对角线 对称性
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 边形 且相等 邻角互补 相平分 称图形
矩形
对边平行 四个角 对角线互相 中心对称图形 且相等 为直角 平分且相等 轴对称图形
连结AD、DC.
O
∵AO=OC, BO=OD
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO=
1 2 BD=
1 2 AC
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交
于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对
角线的长？
A
D
解：∵ 四边形ABCD是矩形
o
∴AC与BD相等且互相平分
A.对角相等
B.对边相等 C.对角线相等
D.对角线互相平分
营中寻宝
D
C
O
• 已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
B
则AC＝___1_0___ ㎝ OB=____5___ ㎝
2.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= ___4__cm AB= __4__3_cm
营中寻宝
又∵AB = DC ， BC = CB
Bபைடு நூலகம்
C
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD 即矩形的对角线相等
矩形特殊的性质
从角上看：
矩形的四个角都是直角． 从对角线上看：
矩形的两条对角线相等．
矩形的两组对边分别平行 边
矩形的两组对边分别相等
A
D
O
B
C
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
角 矩形的四个角都是直角A ∴A∴O∴ABA=∴DDAC=C∥OB=C，CBOD，DC=DDO∥=BAA9BB00
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形；
边 两组对边分别相等的四边形；
平行四 边形的 判定：
一组对边平行且相等的四边形； 对角线 对角线互相平分的四边形；
角 两组对角分别相等的四边形；
情 景
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质，
创 设
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
A
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝
┓
B
D C
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝.
㎝，
※ 矩形的性质定理1
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理2
矩形的对角线相等.
※推论
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.
∵OA=OB
O
∴ △AOB为等边三角形
B
∴AB=OA=
1 2
AC=4cm
C
在Rt△ABC中，
BC= AC2 - AB2 = 82 - 42 = 48 ≈6.93（cm）
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
营中热身
矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( C )
A
D
AB=CD AD=BC AC=BD
OA=OC=OB=OD= 1 AC= 1 BD
相等的角：
2
2
B
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
O C
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有： △OAB △ OBC △OCD △OAD