同角三角函数关系
同角三角函数的两个基本关系式
同角三角函数的两个基本关系式
同角三角函数是指在一个角度上的正弦、余弦和正切的比值关系。
这三个函数在数学中有很重要的应用，特别是在三角学和几何学中。
第一个基本关系式是正弦函数的定义：在一个角度上，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
用数学符号表示，正弦函数可以表示为sin(θ) = opposite/hypotenuse，其中θ代表角度，opposite代表对边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。
第二个基本关系式是余弦函数的定义：在一个角度上，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
用数学符号表示，余弦函数可以表示为cos(θ) = adjacent/hypotenuse，其中θ代表角度，adjacent代表邻边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。
这两个基本关系式可以帮助我们计算任意给定角度上的正弦和余弦值。
它们是通过比较三角形的不同边的长度与斜边的长度来定义的。
这些定义为我们提供了一种准确计算角度上三角函数值的方法，在解决各种问题时非常有用。
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点[归纳·知识整合]1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α3＝1，tan4α＝sin 4αcos 4α等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立．2．诱导公式即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝12，则sin α的值为( )A ．±12B.12C.32D ．±32解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－12，∴sin α＝±1－cos α2＝±32.2．tan 690°的值为( ) A ．－33B.33C. 3 D ．－ 3解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为( )A ．－13B ．－53C.13D.53解析：选Csin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝13.4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜32π，则cos α－sin α＝________.解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝43π，∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 43π＝－cos π3＋sin π3＝－12＋32＝3－12.答案：3－125．计算sin 10π3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝⎛⎭⎫4π＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3－2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4－tan π3 ＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.答案：－332＋1[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[自主解答] (1)法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257.保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由例题可知 tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87. (2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.———————————————————同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝38，∴cos α＝±64.[例2] (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． [自主解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝co s(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.——————————————————— 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( )A.916 B ．－916C ．－34D.34(2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 解析：(1)选B ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34.∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916.(2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 答案： 3[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)∵当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)∵当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.———————————————————1．三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. 2．求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．3．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：∵sin A ＋cos A ＝2， ∴1＋2sin A cos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4.∵3cos A ＝－2cos(π－B )， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝32. ∵0＜B ＜π，∴B ＝π6.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π12.∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.1个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限． 1个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小、化到锐角为终了．3种方法——三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区[典例] (2011·重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. [解析] 依题意得sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.[答案] 43[易误辨析]1．解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sin α的两个值而致误； (2)只注意到α的范围，但判断错sin α的符号而导致tan α的值错误． 2．由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角α的范围，则sin α或cos α的符号应有两种情况，不可漏掉． (2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sin α或cos α的符号，不合题意的一定要舍去．[变式训练]1．(2013·福州模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－55. 答案：－552．(2013·泰州模拟)若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516.∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ.∴cos θ－sin θ＝－154. 答案：－154一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45 B.35 C ．－45D ．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin 2 α＋cos 2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－45解析：选B cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35. 3．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.4．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.5．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：08．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________.解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1可得，sin α＝±23，∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α＝－23. 答案：－239．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12，或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.12．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式成立，即有⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ②由诱导公式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ③3cos α＝2cos β， ④ ③2＋④2得sin 2α＋3cos 2α＝2，解得cos 2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)．∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析：选B ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ， sin 80°＝1－k 2，∴tan 80°＝1－k 2k，tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k. 2．sin 585°的值为( ) A ．－22B.22C ．－32D.32解析：选A 注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选B ∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.4．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°· (－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．解：∵由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0，则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π2.故cos 2θ＝－1－sin22θ＝－725.。
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指在同一角度下的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们之间存在一些基本的关系，在数学中具有重要的应用。
以正弦函数和余弦函数为例，它们之间的基本关系是：
sinθ + cosθ = 1
这个关系可以通过勾股定理和单位圆的概念得到。
我们可以将一个角度θ对应的单位圆上的点记作(P, Q)，其中P表示点在x轴上的坐标，Q表示点在y轴上的坐标。
此时，正弦函数和余弦函数可以分别表示为：
sinθ = Q
cosθ = P
根据勾股定理可以得到：
P + Q = 1
将正弦函数和余弦函数代入上式，得到：
sinθ + cosθ = Q + P = 1
这就是同角三角函数之间的基本关系。
同样的方法也可以推导出其他的基本关系。
在实际应用中，同角三角函数的基本关系可以用于求解各种三角函数的值，简化计算过程，提高计算精度。
同时，它们也是学习高等数学、物理等学科的基础。
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第25讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式6种题型总结
第25讲同角三角函数基本关系式及诱导公式6种题型总结【考点分析】考点一：同角三角函数基本关系①平方关系：1cos sin 22=+αα．②商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；考点二：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；②无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；③当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【典例例题】题型一：同角三角函数公式求值【例1】已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A ．10B ．10C ．10-D ．10【例2】已知12cos 13α=-，α是第三象限角，求sin α，tan α的值.【题型专练】1.已知13sin ,,322ππαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α=___________．2.下列四个命题中可能成立的一个是（）A ．1sin 3α=且2cos 3α=B ．sin 0α=且cos 1α=-C ．tan 1α=且cos 1α=-D ．sin tan cos ααα-=（α为第二象限角）3.已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C ．5D ．题型二：弦的齐次式问题【例1】已知角α的终边过点()13-，，求：①tan α；②sin cos sin 2cos αααα+-；③sin cos αα⋅【例2】已知tan 3α=，则ααααα222cos sin 21sin 2cos sin 2---___________．【例3】已知θ是第四象限角，()1,M m 为其终边上一点，且sin 5m θ=，则2sin cos sin cos θθθθ-+的值（）A ．0B ．45C ．43D ．5【题型专练】1.已知tan 2α=，则sin 2cos 3cos 2sin αααα+-的值为（）A ．4B ．4-C ．54D ．54-2.已知π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且332cos sin sin cos 5x x x x +=-，则tan x =（）．A ．2-B ．12-C ．52-D ．3-3.若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ的值是（）A ．310-B ．310C ．310±D ．344.若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则()=++θθθθθcos sin cos sin 21sin （）A ．65-B ．25-C ．65D ．25题型三：知一求二问题【例1】已知(0,π)α∈，且1sin cos 5αα+=，给出下列结论：①ππ2α<<；②12sin cos 25αα=-；③3cos 5α=；④7cos sin 5αα-=-.其中所有正确结论的序号是（）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④【例2】已知0x π-<<，1sin cos 5x x +=，求下列各式的值.（1）sin cos x x -；（2）223sin 2sin cos cos x x x x -+.【例3】已知sin cos x x +=44sin cos x x +=（）A ．98B ．78C ．54D ．34）A．2或12B．2C．12D．12-【题型专练】1.已知13sin cos,644ππααα=-<<，则sin-cosαα的值等于（）A．3B．3-C．3-D．432.已知1sin cos2θθ-=，则33sin cosθθ-=______．3.已知π(,π)2α∈，且1sin cos5αα+=，则sin cosαα=－____.4.（多选）已知(0,)θπ∈，1sin cos5θθ+=，则下列结论正确的是（）A．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B．3cos5θ=-C．3tan4θ=-D．7sin cos5θθ-=5.已知1sin cos5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cosθθ-=（）A．15B．15-C．75D．75-题型四：诱导公式化简求值【例1】sin(9330︒)的值为（）A．2B．12-C．12D．2【例2】已知7πtan6a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23πcos3b=，33πsin4c⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．a b c>>C．b a c>>D．a c b>>【例3】(1)计算：3sin(90)5tan1805cos0sin540-+︒+︒+︒；(2)化简：()3sin2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαααπαππαπααπα-+------+.【例4】设()()()sinπcosπxf x a b xαβ++=+，其中,,,a bαβ∈R，若()20215f=，则()2022f=（）A．4B．3C．－5D．5【例5】已知sin(3π＋θ)＝13，则[]cos()cos cos()1πθθπθ+--＋cos(2)33sin cos()sin22θπππθθπθ-⎛⎫⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝____.【题型专练】1．35πsin6=（）2.cos 2040︒=（）A ．12B ．12-C ．2D ．3.化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（）A ．-sin θB ．sin θC ．cos θD ．-cos θ4.（1）化简：3sin(3)cos(2)sin 2cos()sin()παπαπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭-⋅--（2）求值：()()sin 150cos 210cos 420tan 60-︒⋅︒⋅-︒⋅︒5.已知()()()()()()sin cos 2tan tan sin f πβπββπββππβ--+=----.(1)若角β是第三象限角，且()1sin 5βπ-=，求()f β的值；(2)若2220β=︒，求()f β的值.题型五：诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用【例1】已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则cos()sin()παπα-++的值等于_______【例2】已知()1tan π2α-=2sin cos αα=-（）A ．14-B ．14C ．12D ．12-【例3】已知角94α+的终边经过点(2,4)-，则23sin sin()cos απαα-+=（）A ．4-B ．2-C ．3D ．9【例4】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+.(1)化简()f α；(2)若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.【题型专练】1.已知tan()2πα+=-，则2sin 3cos 2sin 5cos αααα+=-___________.2.已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，则2sin()3tan(3)4cos(3)a αππαπ-+-=-________．3.已知22sin(3)cos(5)()3cos ()sin ()22f παπααππαα-+=-++.（1）若tan 2α=，求()f α的值；（2）若12()25f α=，(0,)απ∈，求sin cos αα-的值.4.已知(),0θπ∈-，且sin θ，cos θ为方程250x x m -+=的两根．（1）求m 的值；（2）求()()()23sin cos 2sin 25sin 3sin sin cos 222πθπθπθππππθθθθ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．5.已知3cos 4cos()02παπα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值.（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）24sin 3sin cos ααα-.题型六：换元法、角的拼凑【例1】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【例2】已知5s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，则3cos 10πα⎛⎫ ⎝-⎪⎭=()A．3B．3-C．3D．3【例3】若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【题型专练】1.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．12BC．D ．12-2.若sin()63πα-=，则πcos()3α+=（）A．B．CD3.（多选）已知π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A．πcos 42α⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．π1cos 42α⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．5π1sin 42α⎛⎫+=⎪⎝⎭D ．5π1cos 42α⎛⎫-=-⎪⎝⎭。
届高三数学同角三角函数的基本关系
4 A.5 C．±45
B．－45 3
D.5
三基能力强化
解析：选 A.由 sin(π＋α)＝35，得 sinα
＝－35. 又 α 为第四象限角，
所以 cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα
＝ 1－sin2α＝
1－(－35)2＝45.
三基能力强化
4.如果 cosα＝15，且 α 是第四象限的
(2)为达到利用条件tanα＝2的目 的，将分母1变为sin2α＋cos2α，创造 分母以达到利用(1)的解法一的方法求 值．
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【 解 】 (1) 法 一 ： ∵tanα ＝ 2 ， ∴cosα≠0，
∴45ssiinnαα－＋23ccoossαα＝54cssoiinsnααα－＋32cccooosssααα cosα cosα
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sin2α＋3cos2α＝2，
∴cos2α＝12.
又∵α∈(－π2，π2)，∴α＝π4或 α＝－
π 4.
5分
将α＝π 4来自代入④
得
cosβ ＝
3 2
.
又
β∈(0，π)，
∴β＝π6，代入③可知符合. 8 分
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将 α＝－π4代入④得 cosβ＝ 23.又 β∈(0，π)， 11 分
角，那么 cos(α＋π2)＝________. 解析：α 是第四象限的角且
cosα＝15，
∴sinα ＝ － 1－cos2α ＝ －
2 5
6，
于是
cos(α＋
π2)＝－
sinα＝25
6 .
答案：25 6
三基能力强化
5．tan300°＋sin450°＝________.
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的基本关系如下：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。
(2)商数关系：sin2α/cos2α＝tanα。
同角三角函数关系式的常用变形：
(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。
诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
应用诱导公式时应注意的问题：
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定。
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼
同角三角函数基本关系式及诱导公式
√
21 A.25
25 B.21
4 C.5
5 D.4
解析 sin α· (sin α－cos α)＝sin2α－sin α· cos α
sin2α－sin α· cos α tan2α－tan α ＝ ＝ ， 2 2 2 sin α＋cos α tan α＋1 3 将 tan α＝－4代入， 3 3 2 － － － 4 4 21 得原式＝ 3 ＝25. 2 － ＋1 4
√
12 C.－ 5
12 D. 5
12 解析 因为 α 是第四象限角，sin α＝－13， 5 2 所以 cos α＝ 1－sin α＝13，
sin α 12 故 tan α＝cos α＝－ 5 .
解析 答案
3 2.(2017· 安徽江南十校联考)已知 tan α＝－4，则 sin α· (sin α－cos α)等于
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题组三 易错自纠 3 3π 5.设 tan α＝ 3 ，π<α< 2 ，则 sin α－cos α 的值为
√
1 3 A.－2＋ 2
1 3 B.－2－ 2
1 3 C.2＋ 2
1 3 D.2－ 2
解析
3 3π ∵tan α＝ 3 ，π<α< 2 ，
1 3 ∴sin α＝－2，cos α＝－ 2 ， 1 3 1 3 ∴sin α－cos α＝－2－－ ＝ 2 －2. 2
解析 tan α＋1 2＋1 原式＝ ＝ ＝3. tan α－1 2－1
3
.
π α － cos 2 4.[P28T7]化简 5 sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 · π ＋ α sin 2
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1.2.2同角三角函数关系
教学目标：
1、掌握同角三角函数关系式；
2、能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。
教学重点：
公式αα
αααtan cos sin ,1cos sin 22==+的推导及其应用 教学难点：
由一个三角函数值求其它三角函数；选择适当的推理途径证明恒等式 教学过程：
活动一
①由特殊角引入平方关系、商数关系；
②同角三角函数的基本关系：
▼平方关系：1cos sin 22=+αα ▼商数关系：)2
(,cos sin tan ππαααα+≠=k
③用定义证明上述二个公式。
活动二：能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。
问题一：利用同角三角函数的关系求某个角的三角函数值。
例1：已知54sin =
α，且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值。
例2：已知,5
12tan =
α求ααcos ,sin 的值。
例3：已知,2tan =α求（1）
ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- （2）αα22cos 3sin 2-
例4：已知2cos sin =+αα，
求（1）ααcos sin ，（2）αα22cos sin -。
问题二：利用同角三角函数的关系进行简单的化简。
例5、化简（1）,1sin 1tan 2-α
α其中α是第二象限角。
（2）,cos 1cos 1cos 1cos 1α
ααα-+++-其中α是第四象限角。
注：化简实际上也是一种恒等变形，通常要求化简的结果中，涉及的三角函数名称较少，
表达形式比较简单，特殊角的三角函数应求出它们的值
问题三：利用同角三角函数的关系进行简单的证明。
例6：求证：
α
αααsin cos 1cos 1sin -=+
反馈练习：
1、已知,54cos -
=α且α是第二象限角，求ααtan ,sin 的值。
2、已知21sin -
=α，求ααtan ,cos 的值。
3、若5
24cos ,53sin +-=+-=
m m m m θθ，则m 的值为
4、已知,3tan =α
求（1）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--，
（2）ααcos sin 21+
5、化简 （1）ααtan cos （2）α
α22sin 211cos 2-- （3）
α
αααsin 1sin 1sin 1sin 1-+++-，α是第二象限角。
6、已知θθcos ,sin 是关于x 的方程02=+-a ax x 的两个根).(R a ∈
（1）求θθ33cos sin +的值； （2）求θθtan 1tan +
的值。
7、已知()πθθθ,0,5
1cos sin ∈=+，求下列各式的值 θ
θθ
θθ
33cos sin )3(cos sin )2(tan )1(+-
6、证明：
（1）α
α22cos 1tan
1=+ （2）αααα2244cos sin cos sin -=-
（3）αααα2222sin tan sin tan -=。