2018年天津市高考理科数学模拟试卷3
难度：难度：难度：知识点：
答案：解析：的 ，则输入的 ， 不可能为A ．，B ．，D
该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行该算法后输出的为 ．
程序框图
难度：难度：知识点：
答案：解析：
双曲线 离心率为 A ．B 设 ，即有
即为 由 ，可得 的斜率为可得
的斜率为两式相乘可得，即有 ，又因为 即有
双曲线的简单几何性质
【2016•大连市甘井子区期末】
难度：难度：难度：
设直线 与 且对数函数
的增长速度越来越慢，直线 中取
得
所以则实数 的取值范围是
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
难度：2016•南通市启东市期中】
如果复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么复数的乘除运算
难度：知识点：答案：
解析：2014•黄冈市武穴市名校模拟】 【2014•如图，已知球
是棱长为 的正方体
．
根据题意知，平面 是边长为 三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，
内切圆的半径是组合体
难度：2015•佛山市一模】
在极坐标系中，曲线
：
．
因为曲线
的极坐标方程为 所以曲线 的普通方程是 因为曲线 的极坐标方程为 所以曲线 的普通方程是 因为曲线 ：所以令 ，则 ，点解得
．
极坐标与极坐标方程
难度：知识点：答案：解析：
2017•揭阳市惠来县月考】
如图，在正方形
内任取一点，取到函数．
根据题意，正方形
的面积为由几何概型的概率公式得，点落在阴影部分的概率为几何概型
难度：
解析：如图，
分别以，所在直线为，
则，，，
因为，
所以，
又，得
设，则
由，得
所以，
则
，满足，则
难度：
均值不等式的应用
由，得
当且仅当时等号成立．
小题，15-18题13分，19-20题14分，共
难度：难度：
难度：
难度：，四边形 是矩形，难度：知识点：
答案：I. 求证：平面在梯形
因为 四边形 所以 所以
又因为 平面所以
平面与平面垂直关系的性质
难度：
II. 当 为何值时，
在梯形
中，设
因为 ，而
所以 ，
所以
并且 所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又因为 平面，
所以
平面
．
难度：答案：求二面角 的平面角的余弦值．
；由（）知，以点 为原点，
则 ，
，，
因为 ，设
为平面
的法向量，由，
设
为平面
的法向量，由，
所以
由图知二面角 的平面角为锐角，即
的余弦值为
二面角利用向量的坐标运算解决立体几何问题
佛山市禅城区期中】
为单调递增的等差数列，
，且
难度：难度：
难度：
难度：
难度：知识点：
答案：（1）设直线 、 的斜率分别为（2）求直线 的斜率的最小值．
；(1)设
由 即 轴，得所以直线 的斜率 直线 的斜率
此时
，即
为定值
(2)设 ，．由题意，得直线 的方程为 则直线 的方程为 由
得
由 ，得
则 同理可得 ，
则 由 ，得 ．所以 当且仅当
，即 ．
直线与椭圆的位置关系椭圆中的动态性质证明
衡水市武邑县名校模拟】 【2016•南昌市一模】
难度：难度：
难度：。
2018年天津市河西区高三三模数学(理)(解析版)
2018年天津市河西区高三三模数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先通过解分式不等式化简集合，再利用集合的补集和交集运算进行求解.详解：因为，所以，则.点睛：解分式不等式的主要方法是将其等价转化为整式不等式，主要题型有：①；②；③.2. 若实数，满足，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：画出约束条件表示的可行域，平移直线，由图判断目标函数取最大值时的位置，可求出最大值.详解：作出表示的可行域，如图，平移直线，由图可知目标函数在的交点处取最大值为，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3. 执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，；不满足条件，，执行循环体，；不满足条件，，执行循环体，；不满足条件，，执行循环体，；不满足条件，，执行循环体，；不满足条件，，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 设，则“”是“直线和直线平行”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先求出两直线垂直的充要条件，再利用集合间的包含关系进行判定.详解：若直线和直线平行，则，即，即“”是“直线和直线平行”的充分必要条件.点睛：本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.5. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先由正弦定理将角角关系转化为边边关系，再利用余弦定理进行求解.详解：因为，所以，即，则，又，则.点睛：本题考查正弦定理、余弦定理等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.6. 已知双曲线：的虚轴长为8，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.详解：由虚轴长为可得，右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，，解得，则双曲线的方程为，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. ... ... ... ... ... ... ... ... ...7. 已知正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合对进行搭配，利用柯西不等式求解即可.详解：正数满足，则，，故，的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查柯西不等式求最值，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答8. 设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据基本函数的单调性判定函数在上单调递减，再利用函数的奇偶性判定函数在上单调递增，将不等式恒成立问题转化为恒成立，平方转化为一次不等式恒成立问题. 详解：易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，则由，得，即，即在上恒成立，则，解得，即的最大值为.点睛：1.利用函数的奇偶性判定函数的单调性时，要熟记“奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反”；2.处理一次项系数含字母的一次不等式恒成立问题时，为了避免讨论一次项系数的符号，往往判定区间上的两端点对应的函数值恒正或恒负.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 某校有高级教师26人，中级教师104人其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__________人．【答案】182【解析】设该校其他教师有x人，则＝，∴x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．10. 设复数满足，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在第__________象限．【答案】四【解析】分析：利用复数模的公式先求出，再利用复数代数形式的除法运算化简，求出的坐标可得结论.详解：由，得，复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故答案为四.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11. 设，则 __________．【答案】211【解析】分析：将变形为，再利用赋值法进行求解.详解：将化为，令，得，令，得，则.点睛：本题考查二项式定理、赋值法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.12. 已知向量，满足，，，则__________．【答案】【解析】由已知有，将代入方程组，解得。
2018年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)
2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R ，集合A ＝{x|0<x <2}，B ＝{x|x ≥1}，则A ∩(∁R B)＝（ ） A.{x|0<x ≤1} B.{x|0<x <1}C.{x|1≤x <2}D.{x|0<x <2}2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0 ，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A.6B.19C.21D.453. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A.1B.2C.3D.44. 设x ∈R ，则“|x −12|<12”是“x 3<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知a =log 2 e ，b =ln 2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b6. 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A.在区间[3π4, 5π4]上单调递增 B.在区间[3π4, π]上单调递减 C.在区间[5π4, 3π2]上单调递增 D.在区间[3π2, 2π]上单调递减7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=18. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →⋅BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. i 是虚数单位，复数6+7i1+2i =________．10. 在(x −2√x )5的展开式中，x 2的系数为________．11. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M−EFGH 的体积为________．12. 已知圆x 2+y 2−2x =0的圆心为C ，直线{x =−1+√22ty =3−√22t，（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．13. 已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a+18b 的最小值为________．14. 已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0 ．若关于x 的方程f(x)＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos (B −π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a =2，c =3，求b 和sin (2A −B)的值．16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． (i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；(ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．17. 如图，AD // BC 且AD =2BC ，AD ⊥CD ，EG // AD 且EG =AD ，CD // FG 且CD =2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA =DC =DG =2．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN // 平面CDE ；（2）求二面角E −BC −F 的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60∘，求线段DP 的长．18. 设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．19. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB|⋅|AB|=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线l:y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值．20. 已知函数f(x)=a x ，g(x)=log a x ，其中a >1． (1)求函数ℎ(x)=f(x)−x ln a 的单调区间；(2)若曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线与曲线y =g(x)在点（x 2, g(x 2)）处的切线平行，证明x 1+g(x2)=−2lnln a；ln a(3)证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．参考答案与试题解析2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x<1}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．2.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z＝3x+5y的最大值．【解答】由变量x，y满足约束条件{x+y≤5 2x−y≤4−x+y≤1y≥0，得如图所示的可行域，由{x+y=5−x+y=1解得A(2, 3)．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，3.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题主要考查循环结构的程序框图．【解答】解：运行程序，Ni=10是整数，T=1，i=3；N i =203不是整数，i=4；Ni=5是整数，T=2，i=5，退出循环．输出T的值为2．故选B．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由|x−12|<12可得−12<x−12<12，解得0<x<1；由x3<1，解得x<1；故“|x−12|<12”是“x3<1”的充分不必要条件，故选A．5.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：因为1=log22<log2e<log24=2，所以1<a<2；因为0<ln2<ln e=1，所以0<b<1；因为log1213=log23>log2e，所以c>a．所以c>a>b．故选D．6.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．【解答】解：将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度， 得到的函数为：y =sin 2x ，增区间满足：−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ， 减区间满足：π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ，k ∈Z ，∴ 增区间为[−π4+kπ, π4+kπ]，k ∈Z ， 减区间为[π4+kπ, 3π4+kπ]，k ∈Z ，∴ 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度， 所得图象对应的函数在区间[3π4, 5π4]上单调递增．故选A ． 7.【答案】 C【考点】双曲线的渐近线 双曲线的离心率 双曲线的标准方程【解析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，可得CD 是双曲线的一条渐近线, y =ba x ，即bx −ay =0，F(c, 0)，因为AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， FE ⊥CD ，ACDB 是梯形， F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc √a 2+b2=b ， 所以b =3，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2， 可得c a =2， 可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选C ． 8.【答案】 A【考点】二次函数在闭区间上的最值 平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴， 过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴，∵ AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1， ∴ AN =AB cos 60∘=12，BN =AB sin 60∘=√32， ∴ DN =1+12=32， ∴ BM =32，∴ CM =MB tan 30∘=√32， ∴ DC =DM +MC =√3，∴ A(1, 0)，B(32, √32)，C(0, √3)， 设E(0, m)，∴ AE →=(−1, m)，BE →=(−32, m −√32)，0≤m ≤√3，∴ AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =(m −√34)2+32−316=(m −√34)2+2116，当m =√34时，取得最小值为2116． 故选A ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.【答案】 4−i 【考点】 复数的运算 【解析】根据复数的运算法则计算即可． 【解答】解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i 5=4−i ，故答案为：4−i 10. 【答案】5 【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：(x −2√x )5的二项展开式的通项为:T r+1=C 5r⋅x 5−r ⋅2x)r =(−12)r⋅C 5r ⋅x10−3r 2．由10−3r 2=2，得r =2．∴ x 2的系数为(−12)2⋅C 52=52．故答案为：52． 11. 【答案】112【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意知，四棱锥M −EFGH 为正四棱锥，正方形EFGH 的边长为√(12)2+(12)2=√22，四棱锥M −EFGH 的高为12，所以四棱锥M −EFGH 的体积为13×(√22)2×12=112．故答案为：112． 12. 【答案】12【考点】直线与圆的位置关系参数方程与普通方程的互化【解析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离， 计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出△ABC 的面积． 【解答】解：圆x 2+y 2−2x =0化为标准方程是(x −1)2+y 2=1，圆心为C(1, 0)，半径r =1； 直线{x =−1+√22t y =3−√22t 化为普通方程是x +y −2=0，则圆心C 到该直线的距离为d =2=√22， 弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√1−12=2×√22=√2，∴ △ABC 的面积为S =12⋅|AB|⋅d =12×√2×√22=12．故答案为：12． 13.【答案】14【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值． 【解答】解：由题知a −3b =−6，因为2a >0，8b >0，所以2a +18≥2×√2a +18=2×√2a−3b =14．当且仅当2a =18b ，即a =−3b ，a =−3，b =1时取等号．故答案为：14． 14.【答案】 (4, 8) 【考点】分段函数的应用 【解析】分别讨论当x ≤0和x >0时，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】当x ≤0时，由f(x)＝ax 得x 2+2ax +a ＝ax ， 得x 2+ax +a ＝0， 得a(x +1)＝−x 2， 得a =−x 2x+1，设g(x)=−x 2x+1，则g′(x)=−2x(x+1)−x 2(x+1)2=−x 2+2x(x+1)2，由g′(x)>0得−2<x <−1或−1<x <0，此时递增，由g′(x)<0得x <−2，此时递减，即当x ＝−2时，g(x)取得极小值为g(−2)＝4， 当x >0时，由f(x)＝ax 得−x 2+2ax −2a ＝ax ， 得x 2−ax +2a ＝0，得a(x −2)＝x 2，当x ＝2时，方程不成立， 当x ≠2时，a =x 2x−2 设ℎ(x)=x 2x−2，则ℎ′(x)=2x(x−2)−x 2(x−2)2=x 2−4x (x−2)2，由ℎ′(x)>0得x >4，此时递增，由ℎ′(x)<0得0<x <2或2<x <4，此时递减，即当x ＝4时，ℎ(x)取得极小值为ℎ(4)＝8， 要使f(x)＝ax 恰有2个互异的实数解， 则由图象知4<a <8，三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 【答案】解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得asin A =bsin B ， 得b sin A =a sin B ， 又b sin A =a cos (B −π6)． ∴ a sin B =a cos (B −π6)，即sin B =cos (B −π6) =cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sin B ，∴ tan B =√3，又B ∈(0, π)，∴ B =π3．(2)在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3， 由余弦定理得b =√a 2+c 2−2ac cos B =√7， 由b sin A =a cos (B −π6)， 得sin A =√3√7， ∵ a <c ， ∴ cos A =√7，∴ sin 2A =2sin A cos A =4√37， cos 2A =2cos 2A −1=17，∴ sin (2A −B)=sin 2A cos B −cos 2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 【考点】两角和与差的余弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）由正弦定理得b sin A =a sin B ，与b sin A =a cos (B −π6)．由此能求出B ．（2）由余弦定理得b =√7，由b sin A =a cos (B −π6)，得sin A =√3√7，cos A =√7，由此能求出sin (2A −B)．【解答】解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得asin A =bsin B ， 得b sin A =a sin B ， 又b sin A =a cos (B −π6)． ∴ a sin B =a cos (B −π6)，即sin B=cos(B−π6)=cos B cos π6+sin B sinπ6=√32cos B+12sin B，∴tan B=√3，又B∈(0, π)，∴B=π3．(2)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a2+c2−2ac cos B=√7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=√3√7，∵a<c，∴cos A=√7，∴sin2A=2sin A cos A=4√37，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2A cos B−cos2A sin B=4√37×12−17×√32=3√314．16.【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【考点】互斥事件的概率加法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(I)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；(II)利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A 发生的概率为67．17. 【答案】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(2, 0, 2)，F(0, 1, 2)，G(0, 0, 2)，M (0,32,1)，N(1, 0, 2)．（1）证明：依题意DC →=(0,2,0)，DE →=(2,0,2)． 设n 0→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DE →=0，n 0→⋅DC →=0，即{2y =0，2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0→=(1,0,−1)， 又MN →=(1,−32,1)，可得MN →⋅n 0→=0，又因为直线MN ⊄平面CDE ， 所以MN // 平面CDE ．（2）解：依题意，可得BC →=(−1,0,0)，BE →=(1,−2,2)，CF →=(0,−1,2)． 设n →=(x,y,z)为平面BCE 的法向量， 则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即{−x =0，x −2y +2z =0，不妨令z =1，可得n →=(0,1,1)． 设m →=(x,y,z)为平面BCF 的法向量，则{m →⋅BC →=0，m →⋅CF →=0，即{−x =0，−y +2z =0，不妨令z =1，可得m →=(0,2,1)． 因此有cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=3√1010，于是sin ⟨m →,n →⟩=√1010． 所以，二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．（3）解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0, 2])，则点P 的坐标为(0, 0, ℎ)， 可得BP →=(−1,−2,ℎ)．易知，DC →=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ⟨BP →,DC →⟩|=|BP →⋅DC →||BP →||DC →|=√ℎ2+5．由题意，可得√ℎ2+5=sin 60∘=√32，解得ℎ=√33∈[0, 2]．所以，线段DP 的长为√33． 【考点】直线与平面所成的角 直线与平面平行 【解析】 此题暂无解析 【解答】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(2, 0, 2)，F(0, 1, 2)，G(0, 0, 2)，M (0,32,1)，N(1, 0, 2)．（1）证明：依题意DC →=(0,2,0)，DE →=(2,0,2)．设n 0→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DE →=0，n 0→⋅DC →=0，即{2y =0，2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0→=(1,0,−1)， 又MN →=(1,−32,1)，可得MN →⋅n 0→=0， 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN // 平面CDE ．（2）解：依题意，可得BC →=(−1,0,0)，BE →=(1,−2,2)，CF →=(0,−1,2)． 设n →=(x,y,z)为平面BCE 的法向量， 则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即{−x =0，x −2y +2z =0，不妨令z =1，可得n →=(0,1,1)． 设m →=(x,y,z)为平面BCF 的法向量， 则{m →⋅BC →=0，m →⋅CF →=0，即{−x =0，−y +2z =0，不妨令z =1，可得m →=(0,2,1)． 因此有cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=3√1010，于是sin ⟨m →,n →⟩=√1010． 所以，二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．（3）解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0, 2])，则点P 的坐标为(0, 0, ℎ)， 可得BP →=(−1,−2,ℎ)．易知，DC →=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ⟨BP →,DC →⟩|=|BP →⋅DC →||BP →||DC →|=√ℎ2+5．由题意，可得2=sin 60∘=√32，解得ℎ=√33∈[0, 2]．所以，线段DP 的长为√33． 18. 【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵ q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴ b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2kn k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0． ∵ q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴ b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2kn k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．19. 【答案】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2=59，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，|FB|=a ，|AB|=√2b ．由|FB|⋅|AB|=6√2，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2）设点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2, y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ|sin ∠AOQ =y 1−y 2． 又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB，且∠OAB =π4，故|AQ|=√2y 2．由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．由方程组{y =kx,x 29+y 24=1，消去x ，可得y 1=√9k 2+4，易知直线AB 的方程为x +y −2=0，由方程组{y =kx,x +y −2=0，消去x ，可得y 2=2k k+1．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得56k 2−50k +11=0，解得k =12或k =1128． 所以k 的值为12或1128． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2=59，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，|FB|=a ，|AB|=√2b ．由|FB|⋅|AB|=6√2，可得ab =6，从而a =3，b =2． 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2）设点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2, y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ|sin ∠AOQ =y 1−y 2．又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB ，且∠OAB =π4，故|AQ|=√2y 2．由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．由方程组{y =kx,x 29+y 24=1，消去x ，可得y 1=√9k 2+4，易知直线AB 的方程为x +y −2=0，由方程组{y =kx,x +y −2=0，消去x ，可得y 2=2k k+1．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得56k 2−50k +11=0，解得k =12或k =1128． 所以k 的值为12或1128．20.【答案】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x −x ln a ，有ℎ′(x)=a x ln a −ln a ， 令ℎ′(x)=0，解得x =0．由a >1，可知当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：(0, +∞)；(2)证明：由f ′(x)=a x ln a ，可得曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线的斜率为a x 1ln a ． 由g ′(x)=1x ln a，可得曲线y =g(x)在点（x 2, g(x 2)）处的切线的斜率为1x 2ln a．∵ 这两条切线平行，故有a x 1ln a =1x 2ln a，即x 2a x 1(ln a)2=1，两边取以a 为底数的对数，得log a x 2+x 1+2log a ln a =0， ∴ x 1+g(x 2)=−2lnln a ln a；(3)证明：曲线y =f(x)在点(x 1,a x 1)处的切线l 1:y −a x 1=a x 1ln a(x −x 1)， 曲线y =g(x)在点(x 2, log a x 2)处的切线l 2:y −log a x 2=1x2ln a(x −x 2)．要证明当a ≥e 1e时，存在直线l ，使l 是曲线y =f(x)的切线，也是曲线y =g(x)的切线， 只需证明当a ≥e 1e 时，存在x 1∈(−∞, +∞)，x 2∈(0, +∞)使得l 1与l 2重合， 即只需证明当a ≥e 1e 时，方程组{a x 1ln a =1x2ln a①，a x 1−x 1a x 1ln a =log a x 2−1ln a②.由①得x 2=1a x 1(ln a)2，代入②得： a x 1−x 1a x 1ln a +x 1+1ln a+2lnln a ln a=0③.因此，只需证明当a ≥e 1e时，关于x 1 的方程③存在实数解．设函数u(x)=a x −xa x ln a +x +1ln a+2lnln a ln a，即要证明当a ≥e 1e 时，函数y =u(x)存在零点．u′(x)=1−(ln a)2xa x ，可知x ∈(−∞, 0)时，u′(x)>0；x ∈(0, +∞)时，u′(x)单调递减. 又u′(0)=1>0，u′(1(ln a)2)=1−a1(ln a)2<0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u′(x 0)=0，即1−(ln a)2x 0a x 0=0． 由此可得，u(x)在(−∞, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0)．∵a≥e1e，故lnln a≥−1，∴u(x0)=a x0−x0a x0ln a+x0+1ln a +2lnln aln a=1x0(ln a)2+x0+2lnln aln a≥2+2lnln aln a≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+x ln a，当x>1ln a时，有u(x)≤(1+x ln a)(1−x ln a)+x+1ln a +2lnln aln a=−(ln a)2x2+x+1+1ln a+2lnln aln a．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e 1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性对数的运算性质【解析】（1）把f(x)的解析式代入函数ℎ(x)=f(x)−x ln a，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；（2）分别求出函数y=f(x)在点（x1, f(x1)）处与y=g(x)在点（x2, g(x2)）处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；（3）分别求出曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2, log a x2)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥e 1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，x2∈(0, +∞)使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥e1e时，方程a x1−x1a x1ln a+x1+1ln a +2lnln aln a=0存在实数解．然后利用导数证明即可．【解答】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x−x ln a，有ℎ′(x)=a x ln a−ln a，令ℎ′(x)=0，解得x=0．由a>1，可知当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：(0, +∞)；(2)证明：由f′(x)=a x ln a，可得曲线y=f(x)在点（x1, f(x1)）处的切线的斜率为a x1ln a．由g′(x)=1x ln a ，可得曲线y=g(x)在点（x2, g(x2)）处的切线的斜率为1x2ln a．∵这两条切线平行，故有a x1ln a=1x2ln a，即x2a x1(ln a)2=1，两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logaln a=0，∴x1+g(x2)=−2lnln aln a；(3)证明：曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线l1:y−a x1=a x1ln a(x−x1)，曲线y=g(x)在点(x2, log a x2)处的切线l2:y−log a x2=1x2ln a(x−x2)．要证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥e1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，x2∈(0, +∞)使得l1与l2重合，即只需证明当a≥e1e时，方程组{a x1ln a=1x2ln a①，a x1−x1a x1ln a=logax2−1ln a②.由①得x2=1a x1(ln a)2，代入②得：a x1−x1a x1ln a+x1+1ln a+2lnln aln a=0③.因此，只需证明当a≥e1e时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u(x)=a x−xa x ln a+x+1ln a+2lnln aln a，即要证明当a≥e1e时，函数y=u(x)存在零点．u′(x)=1−(ln a)2xa x，可知x∈(−∞, 0)时，u′(x)>0；x∈(0, +∞)时，u′(x)单调递减.又u′(0)=1>0，u′(1(ln a)2)=1−a1(ln a)2<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)=0，即1−(ln a)2x0a x0=0．由此可得，u(x)在(−∞, x0)上单调递增，在(x0, +∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0)．∵a≥e1e，故lnln a≥−1，∴u(x0)=a x0−x0a x0ln a+x0+1ln a+2lnln aln a=1x0(ln a)2+x0+2lnln aln a≥2+2lnln aln a≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+x ln a，当x>1ln a时，有u(x)≤(1+x ln a)(1−x ln a)+x+1ln a+2lnln aln a=−(ln a)2x2+x+1+1ln a+2lnln aln a．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．。
2018年高考天津卷理科数学真题及答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并
在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么()()()
P A B P A P B .
如果事件A，B相互独立，那么()()()
P AB P A P B .
棱柱的体积公式V Sh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱。
天津市耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(解析版)
耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题，对应点坐标为：为第二象限的点。
考点：复数的运用及几何意义。
.2.已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x＋4y的最小值是( )A. 38B. 5C. －6D. －10【答案】C【解析】【分析】作出可行域，由z＝2x＋4y可得：，作直线，平移直线，当直线经过可行域且在y轴上截距最小时，z有最小值.【详解】作出可行域，如图所示，平移目标函数经过点A(3，－3)时，z＝2x＋4y取得最小值－6，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划及应用，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．3.“”是“x＋y>3”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】当时，根据不等式的性质可知x＋y>3成立，反之不成立，可知结论.【详解】若x>1，y>2，则x＋y>3，故充分性成立，反之，若x＝0，y＝5满足x＋y>3，显然不满足x>1且y>2，故必要性不成立，∴是x＋y>3的充分不必要条件，故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质和充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力，属于中档题．4.某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】根据框图，分析循环结构，模拟运算过程即可.【详解】第1次循环：S＝99，k＝1；第2次循环：S＝96，k＝2；第3次循环：S＝87，k＝3，第4次循环：S＝60，k＝4；第5次循环：S＝－21，k＝5不满足条件，退出循环，输出k＝5，故选D.【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，意在考查学生读图，识图能力,属于中档题．5.已知双曲线(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据渐近线与抛物线准线交点坐标，可知P的值，写出抛物线焦点坐标，可求双曲线中，再结合双曲线渐近线即可求出b,从而求出焦距.【详解】∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－2，－1)，∴＝－2，即p＝4，∴抛物线焦点F(2,0)，又双曲线左顶点(－a,0)到抛物线焦点距离为4，∴a＝2，又点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，∴渐近线方程为y＝x，∵a＝2，b＝1，∴c＝，∴双曲线的焦距为2c＝2，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线，抛物线的标准方程和几何性质，意在考查学生的运算求解能力,属于中档题．6.对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－)，则a，b，c大小关系是( )A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．7.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，则ω的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简函数f(x)，要使在(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，即使得sin＝成立，需满足：3π－<＋ωπ≤4π＋即可.【详解】f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin，∵x∈(0，π)，∴ωx＋∈，要使在(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，即使得sin＝成立，需满足：3π－<＋ωπ≤4π＋，解得<ω≤，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象性质，意在考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．8.已知函数，函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，则k的取值范围是( )A. (－2－，0]∪B. (－2＋，0]∪C. (－2－，0]∪D. (－2＋，0]∪【答案】D【解析】【分析】g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，即方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解. 【详解】∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，∴方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：当－k＝0即k＝0时有三个交点，当y＝－kx＋与f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时可求得k＝－2＋，当y＝－kx＋与f(x)＝，x≥0相切时可求得k＝，故由图可得－2＋<k≤0或k＝时函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，即函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)9.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．【答案】78【解析】【分析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.【详解】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为×390＝78人．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．10.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|<1}，则A∩B＝________.【答案】【解析】【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算即可.【详解】A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1},B＝{x||x－1|<1}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生基本的计算能力，属于中档题．11.已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B在直线(t为参数)上，则|AB|的最小值为________．【答案】【解析】【详解】由ρ＝2cosθ＋2sinθ得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心M(1,1)，半径r＝，由(t为参数)得x－y－4＝0，∵A在圆M上，B在直线x－y－4＝0上，∴|AB|min＝d M－r＝.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．12.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为________．【答案】【解析】试题分析：由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示，由底面边长为,高为,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为:,由棱柱高为,可得球心距为,故外接球的半径为:,故外接球的表面积,故答案为.考点：1、几何体的三视图及空间想象能力；2、几何体外接球的性质及求表面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图及空间想象能力、几何体外接球的性质及求表面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.13.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则的值为_______________．【答案】14.【解析】【分析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得的值。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学试题及详解
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （）(A){01}x x <≤(B){01}x x << (C){12}x x ≤<(D){02}x x <<1．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A B x =<<R ，故选B ．(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为（）(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D)452．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=-+=⎧⎨⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为max 35325321z x y =+=⨯+⨯=，故选C ．(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)43．【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N =，2i =，0T =， 20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =，故选B ．(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 4．【答案】A【解析】绝对值不等式111110122222x x x -<⇔-<-<⇔<<， 由311x x <⇔<，据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件．故选A ．(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） (A) a b c >> (B) b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>5．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减6．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（）(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D)22193x y -= 7．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()(),00F c c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b -=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率为2c e a ==，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．(8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为（） (A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 38．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得32E λ⎫⎪⎪⎝⎭，且331222AE λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，3322BE λ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：33312222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年普通高等学校招生统一考试理科数学真题及参考答案(天津卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .·棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð (A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 (A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uu rAE BE 的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年天津高考数学试卷(理科)
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2018年天津理）设全集为R ，集合{}20<<=x x A ，{}1≥=x x B ，则=⋂)(B C A RA ．{}10≤<x x B ．{}10<<x xC ．{}21<≤x xD ．{}20<<x x【答案】B【解析】由题意可得：{}1<=x x B C R ，结合交集的定义可得：.{}10)(<<=⋂x x B C A R 【考点】交集的运算法则+补集的运算法则 【难度】★★★2．（2018年天津理）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．19C ．21D ．45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点(2,3)A ，所以max 35325321z x y =+=⨯+⨯=. 本题选择C 选项.【考点】求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值， 【难度】★★★3．（2018年天津理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，10Ni=，结果为整数， 执行11,13T T i i =+==+=，此时不满足5i ≥；203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12,15T T i i =+==+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.故选择B 选项. 【考点】程序框图 【难度】★★★4. （2018年天津理）设R x ∈，则“2121<-x ”是“13<x ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 102121212121<<⇔<-<-⇔<-x x x ，由113<⇔<x x .据此可知2121<-x 是13<x 的充分而不必要条件.本题选择A 选项.【考点】绝对值不等式的解法+充分不必要条件 【难度】★★★5．（2018年天津理）已知e a 2log =，2ln =b ，31log 21=c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：1log 2>=e a ，)1,0(log 12ln 2∈==eb ，ec 2221log 3log 31log >==，据此可得：c a b >>.本题选择D 选项. 【考点】对于指数幂的大小的比较. 【难度】★★★6．（2018年天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间]45,43[ππ上单调递增 B ．在区间],43[ππ上单调递减 C ．在区间]2,4[ππ上单调递增D ．在区间],2[ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数sin(2)5y x π=+的图象平移变换的性质可知： 将sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin[2())]sin 2105y x x ππ=-+=则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k z ππππ-≤≤+∈，令1=k 可得函数的一个单调递增区间为]45,43[ππ，选项A 正确. 函数的单调递减区间满足：3222()22k x k k z ππππ+≤≤+∈， 即3()44k x k k z ππππ+≤≤+∈， 令1=k 可得函数的一个单调递减区间为]47,45[ππ，选项C ，D 错误；故选择A 选项. 【考点】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调性 【难度】★★★7．（2018年天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±，不妨设： 22(,),(,)b b A c B c a a-，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：221bc b d c -==，222bc b d c +==， 则12226,bcd d b c+===则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选择C 选项.【考点】待定系数法求双曲线的标准方程；渐近线方程 【难度】★★★★8．（2018年天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，BC AB ⊥，CD AD ⊥，︒=∠120BAD ，1==AD AB . 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为（ ）A ．1621 B ．23 C.．1625D ． 3【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则)210(，A ，)023(，B ，)230(，C ，)023(，-D ，点E 在CD 上，则)10(≤≤=λλ，设),(y x E ，则：)23,23(),23(λ=+y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+λλ232323y x ， 据此可得：)23,23,23(λλ-E ，且：31)22AE λ=+u u u r，3)2BE λ=-u u u r ，由数量积的坐标运算法则可得：331()(()222222AB BE λλλλ⋅=-+⨯+u u u r u u u r ，整理可得：23(422)(01)4AB BE λλλ⋅=-+≤≤u u u r u u u r ，结合二次函数的性质可知，当41=λ时，BE AB ⋅取得最小值1621. 本题选择A 选项.【考点】向量的数量积+向量的坐标运算+数量积的几何意义 【难度】★★★★第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（2018年天津理）i 是虚数单位，复数67i___________12i+=+． 【答案】4i -【解析】由复数的运算法则得：67i (67i)(12i)205412i (12i)(12i)5ii ++--==-++-. 【考点】复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【难度】★★★10．（2018年天津理）在5)21(xx -的展开式中，2x 的系数为____________.【答案】25【解析】结合二项式定理的通项公式有：r r r rrr r x C xx C T 2355551)21()21(--+-=-=，令2235=-r 可得：2=r ，则2x 的系数为：251041)21(252=⨯=-C . 【考点】二项式定理 【难度】★★★11．（2018年天津理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥EFGH M -的体积为__________.【答案】121 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为22的正方形，其面积21222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=EFGH S ， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为21=d ， 由四棱锥的体积公式可得：.121212131=⨯⨯=-EFGH M V 【考点】四棱锥的体积 【难度】★★★12．（2018年天津理）已知圆0222=-+x y x 的圆心为C ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=t y t x 223221(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为___________. 【答案】21【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：1)1(22=+-y x ， 直线的直角坐标方程为：)1(3+-=-x y ，即02=-+y x ， 则圆心到直线的距离：222201=-+=d ， 由弦长公式可得：2)22(122=-⨯=AB ， 则2122221=⨯⨯=∆ABC S . 【考点】直线与圆的位置关系+点到直线的距离.【难度】★★★13．（2018年天津理）已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为__________． 【答案】14【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+， 因为对于任意x ， 20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：31122284aa b b-+=+≥==. 当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【考点】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【难度】★★★★14．（2018年天津理）已知0>a ，函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤++=0,220,2)(22x a ax x x a ax x x f ，若关于x 的方程ax x f =)(恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】)8,4( 【解析】：分类讨论：当0≤x 时，方程ax x f =)(即ax a ax x =++22，整理可得：)1(2+-=x a x ，很明显1-=x 不是方程的实数解，则12+-=x x a ，当0>x 时，方程ax x f =)(即ax a ax x =-+-222， 整理可得：)2(2-=x a x ，很明显2=x 不是方程的实数解，则22-=x x a ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=0,20,1)(22x x x x x x x g ，其中）2-111(12+++-=+-x x x x ，424222+-+-=-x x x x原问题等价于函数)(x g 与函数a y =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数)(x g 的图象， 同时绘制函数a y =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0>a 观察可得，实数a 的取值范围是)8,4(.【考点】函数零点的求解与判断 【难度】★★★★15．（2018年天津理）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）b =；sin(2)A B -=【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0,π)B ∈，可得3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理及2,3,3a c B π===，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角差的正弦与余弦公式；3.二倍角的正弦与余弦公式；4.正弦定理、余弦定理 【难度】★★★16．（2018年天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）76． 【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2:2:3， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．)3,2,1,0()(37334=⋅==-k C C C k x P kk 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望712354335182351213510)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则C B A ⋃=，且B 与C 互斥，由（i ）知，)2()(==X P B P ，)1()(==X P C P ，故76)1()2()()(==+==⋃=X P X P C B P A P ．所以，事件A 发生的概率为76．【考点】超几何分布+分层抽样. 【难度】★★★ 17．（2018年天津理）如图，//AB BC 且BC AD 2=,CD AD ⊥,//EG AD 且AD EG =，//CD FG 且FG CD 2=， DG ⊥平面ABCD ，2===DG DC DA . （I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN//平面CDE ； （II ）求二面角F BC E --的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为︒60，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1010；(Ⅲ)33. 【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,2(E ，)2,1,0(F ，)2,0,0(G ，)1,23,0(M ，)2,0,1(N ．（Ⅰ）依题意)0,2,0(=，)2,0,2(=． 设),,(0z y x n =为平面CDE 的法向量，则 0000n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即 ⎩⎨⎧=+=02202z x y 不妨令1-=z ，可得)1,0,1(0-=n ．又3(1,,1)2MN =-u u u u r ，可得00=⋅n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN//平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得(1,0,0)BC =-u u u r ，(1,2,2)BE =-u u u r ，(0,1,2)CF =-u u u r．设),,(z y x n =为平面BCE 的法向量，则 0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即 ⎩⎨⎧=+-=-0220z y x x 不妨令1=z ，可得)1,1,0(=n ． 设),,(z y x m =为平面BCF 的法向量，则0m BC m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r 即 ⎩⎨⎧=+-=-020z y x 不妨令1=z ，可得)1,2,0(=m ．因此有10103,cos =<，于是sin ,10m n <>=u r r ． 所以，二面角F BC E --的正弦值为1010．（Ⅲ）设线段DP 的长为])2,0[(∈h h ，则点P 的坐标为),0,0(h ， 可得),2,1(h BP --=．易知，)0,2,0(=为平面ADGE 的一个法向量，故cos ,BP DC BP DC BP DC ⋅<==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由题意，可得2360sin 522==+︒h ，解得]2,0[33∈=h ． 所以线段DP 的长为33. 【考点】空间向量的应用+线面平行的证明+二面角 【难度】★★★★18．（2018年天津理）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为)(*N n S n ∈，{}n b 是等差数列，已知11=a ，223+=a a ，534b b a +=，6452b b a +=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为)(*N n T n ∈，（i ）求n T ；（ii ）证明)(222)2)(1()(*212N n n k k b b T n nk k k k ∈-+=++++=+∑ 【答案】(Ⅰ)12-=n n a ，n b n =；(Ⅱ)（i ）221--=+n T n n .（ii ）证明见解析.【解析】（I ）设等比数列{}n a 的公比为q .由11=a ，223+=a a可得022=--q q .因为0>q ，可得2=q ，故12-=n n a .设等差数列{}n b 的公差为d ，由534b b a +=，可得431=+d b 由6452b b a +=，可得 161331=+d b 从而 1,11==d b 故n b n = 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a ，数列{}n b 的通项公式为n b n =（II ）（i ）由（I ），有122121-=--=n nn S ，故.2221)21(2)2()12(111--=--⨯=-=-=+==∑∑n n T n nk nk n kkn （ii ）因为1222)2)(1(2)2)(1()222()2)(1()12112+-+=++⋅=++++--=++++++++k k k k k k k k k k k k b b T k k k k k k k （，所以222)1222()3242()2232()2)(1()(212342312-+=+-+++-+-=++++++=+∑n n n k k b b T n n n nk k k k Λ 【考点】数列通项公式+数列求和【难度】★★★★19．（2018年天津理）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为35，点A 的坐标为)0,(b ，且26=⋅AB FB . （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线)0(:>=k kx y l 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AOQ PQAQ ∠=sin 425(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)14922=+y x ；(Ⅱ)21或2811 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有9522=a c ，又由222c b a +=，可得b a 32=．由已知可得，a FB =，b AB 2=， 由26=⋅AB FB ，可得6=ab ，从而3=a ，2=b ．所以，椭圆的方程为14922=+y x ．（Ⅱ）设点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ． 由已知有021>>y y ，故21sin y y AOQ PQ -=∠． 又因为OAB y AQ ∠=sin 2，而4π=∠OAB ，故22y AQ =．由AOQ PQAQ ∠=sin 425，可得2195y y =． 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=14922y x kxy 消去x ，可得49621+=k k y ． 易知直线AB 的方程为02=-+y x ，由方程组⎩⎨⎧=-+=02y x kx y 消去x ，可得122+=k ky ．由2195y y =，可得493)1(52+=+k k ， 两边平方，整理得01150562=+-k k ，解得21=k ，或2811=k ． 所以，k 的值为21或2811【考点】直线与椭圆的综合问题 【难度】★★★★20．（2018年天津理）已知函数xa x f =)(，x x g a log )(=，其中1>a .（I ）求函数a x x f x h ln )()(-=的单调区间；（II ）若曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 处的切线与曲线)(x g y =在点))(,(22x g x 处的切线平行，证明aax g x ln ln ln 2)(21-=+； （III ）证明当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间)0,(-∞，单调递增区间为)0(∞+，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】（I ）由已知，a x a x h xln )(-=，有a a a x h xln ln )(-='. 令0)(='x h ，解得0=x由，可知当x 变化时，)(x h '，)(x h 的变化情况如下表：所以函数)(x h 的单调递减区间为)0,(-∞，单调递增区间为)0(∞+，. （II ）由a a x f xln )(='，可得曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 处的切线斜率为a a x ln 1.由a x x g ln 1)(='，可得曲线)(x g y =在点))(,(22x g x 处的切线斜率为a x ln 12. 因为这两条切线平行，故有ax a a x ln 1ln 21=，即1)(ln 222=a a x x .两边取以a 为底的对数，得0ln log 2log 212=++a x x a ，所以aax g x ln ln ln 2)(21-=+. （III ）曲线)(x f y =在点),(11x a x 处的切线.)(ln :1111x x a a a y l xx -⋅=-曲线)(x g y =在点)log ,(22x x a 处的切线)(ln 1log :2222x x ax x y l a -⋅=- 要证明当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线， 只需证明当e e a 1≥时，存在),(1+∞-∞∈x ，),0(2+∞∈x ，使得1l 和2l 重合.即只需证明当e e a 1≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩有解，由①得22)(ln 11a a x x =，代入②，得.0ln ln ln 2ln 1ln 1111=+++-aa a x a a x a x x ③ 因此，只需证明当e e a 1≥时，关于1x 的方程③存在实数解. 设函数aaa x a xa a x u xx ln ln ln 2ln 1ln )(+++-=， 即要证明当e e a 1≥时，函数)(x u y =存在零点.x xa a x u 2)(ln 1)(-='，可知)0,(-∞∈x 时，0)(>'x u ； ),0(+∞∈x 时，)(x u '单调递减，又01)0(>='u ，01])(ln 1[2)(ln 12<-='a a a u ，故存在唯一的0x ，且00>x ，使得0)(0='x u ，即0)(ln 1002=-x a x a .由此可得)(x u 在),(0x -∞上单调递增，在)(0∞+，x 上单调递减.)(x u 在0x x =处取得极大值)(0x u .因为e e a 1≥，故1)ln(ln -≥a ， 所以.0ln ln ln 22ln ln ln 2)(ln 1ln ln ln 2ln 1ln )(02000000≥+≥++=+++-=aa a a x a x a a a x a a x a x u x x 下面证明存在实数t ，使得0)(<t u .由（I ）可得a x a x ln 1+≥， 当ax ln 1>时， 有aaa x a x a x x u ln ln ln 2ln 1)ln 1)(ln 1()(+++-+≤ aaa x x a ln ln ln 2ln 11)(ln 22++++-=，所以存在实数t ，使得0)(<t u因此，当e e a 1≥时，存在),(1+∞-∞∈x ，使得0)(1=x u .所以，当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线. 【考点】用导数求函数的单调性、极值(最值) 【难度】★★★★★。
2018年高考理科数学天津卷及答案解析
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+. ● 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.● 棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ● 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集为R ，集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，则()R A C B ⋂= ( )A .{}|01x x <≤B .{}|01x x <<C .{}|12x x ≤<D .{}|02x x <<2.设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为 ( )A .6B .19C .21D .453.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A .1B .2C .3D .4 4.设x R ∈，则“1122x -<”是“31x <”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知2log a e =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>6.将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A .在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B .在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减7.已知双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( ) A .221412x y -=B .221124x y -= C .22139x y -=D . 22193x y -=8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为()毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）A .2116B .32C .2516D .3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把答案填写在题中横线上) 9.i 是虚数单位，复数6+712ii=+ . 10.在5x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为 .11.已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .12.已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .13.已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 .14.已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .三、解答题：共80分。
2018年天津市和平区高考数学三模试卷(理科)
2018年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合＝，＝且，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】可解出集合，，然后进行并集的运算即可．【解答】＝，＝；∴＝．2. 设变量，满足约束条件，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】由＝得，作出变量，满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时也最小，将代入目标函数＝，得＝．3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得＝，＝不满足条件，＝，＝不满足条件，不满足条件，＝，＝不满足条件，满足条件，＝，＝不满足条件，不满足条件，＝，＝不满足条件，满足条件，＝，＝不满足条件，不满足条件，＝，＝此时，满足条件，退出循环，输出的值为．4. “函数＝在上单调递增”是“＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先根据复合函数的单调性得到，再判断““是““的什么条件即可．【解答】设＝，∵函数＝在上单调递增，∴＝在上单调递增，∴，由，不能推出，但是由能推出，∴ “函数＝在上单调递增”是“”的必要不充分条件．5. 设和分别为双曲线的左、右焦点，若，，为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过,点，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的标准方程【解析】根据双曲线的几何性质求得与的值，即可写出双曲线的方程．【解答】和分别为双曲线的左、右焦点，，，构成正三角形，∴，即有＝＝，∴＝；双曲线过点,，∴，解得＝，∴＝，∴双曲线方程为．6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数＝，则函数＝A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】化简函数的表达式，然后图象向左平移个单位得到函数的表达式的图象，即可得到函数的表达式，然后判定奇偶性即可得解．【解答】函数＝，图象向左平移个单位得到函数＝的图象，所以函数＝＝，∵＝＝＝，＝，∴函数＝是奇函数．7. 如图，已知在梯形中，，＝，＝，且梯形的面积等于，则可取得的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用梯形的面积求出高，建立平面直角坐标系，利用坐标表示、，从而求出的最大值．【解答】梯形中，，＝，＝，设梯形的高为，则梯形的面积为＝，解得＝；建立平面直角坐标系如图所示，设，则，又，，∴，，∴＝，当＝时，取得最大值为＝．8. 若定义在上的函数，且＝，，函数＝在区间上的所有零点为，，…，，则等于（）A. B. C. D.【答案】【考点】函数与方程的综合运用【解析】作出函数图象，根据函数的对称性和交点个数得出答案．【解答】解；∵＝，∴的函数图象在上关于点对称，又＝，∴的周期为，∴的图象关于点对称，又的图象关于点对称，∴＝在上的所有零点两两关于点对称，作出与的函数图象如图所示：由图象可知与在区间上有个交点，∴＝＝．故选：．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.设________是虚数单位，复数________，则________等于________．【答案】,,,【考点】复数的模【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】，则．在（）的展开式中，常数项为________．【答案】【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据二项式展开式的通项公式求得展开式的常数项．【解答】（）的展开式中，通项公式为：•＝•，令，解得＝；∴展开式的常数项为：＝．若直线（________为参数）与曲线（为参数）相切，则实数________的值为________．【答案】,,或【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得的值．【解答】直线：（为参数）即＝．曲线：曲线（为参数）即＝，表示以为圆心，半径等于的圆．再根据圆心到直线的距离等于半径，可得，求得＝或，如图，将一块边长为的正方形铁片裁下四个全等的等腰三角形（阴影部分）把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积为，则正四棱锥的体积等于．【答案】．【考点】柱体、锥体、台体的体积【解析】设出所截等腰三角形的底边边长为，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．再由三元基本不等式即可得到所求最大值．【解答】如图，设所截等腰三角形的底边边长为，＝，解得＝，所得四棱锥的底面边长为，即＝＝＝＝四棱锥的斜高为：，四棱锥的高为：，该容器的体积为：．已知________________，则________的最小值为________．【答案】,,,【考点】基本不等式及其应用【解析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果．【解答】由于：，则：，则：＝，当且仅当：，即：时，代数式的最小值为．已知函数________________，若曲线________＝________________上的点________到________的距离为，则满足条件的________点共有________个．【答案】,,,,,,,,【考点】分段函数的应用【解析】作出分段函数的图象，考虑点，与圆心的距离，结合图象即可得到所求个数．【解答】作出分段函数的图象，可得点在图象上，且与圆心的距离等于半径，点与圆心的距离大于，则曲线＝上的点到的距离为，满足条件的点共有个，三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在中，已知内角，，的对边分别为，，，且＝，＝．若，求及的值；Ⅱ求角的取值范围．【答案】（本题满分为（1）在中，由余弦定理可得：＝＝，…分解得：＝，…分而，…分，…分可得：（）＝分（2）在中，由正弦定理可得，…分由＝，＝，可得：，…分∵，∴，…分∴，…分∵，可得，可得为锐角，…分∴的取值范围是：,]…分【考点】正弦定理【解析】Ⅰ由已知及余弦定理可得＝，进而根据余弦定理可求，，代入所求即可计算得解．Ⅱ由正弦定理可得，由范围，可求，结合大边对大角为锐角，进而可求的取值范围．【解答】（本题满分为（1）在中，由余弦定理可得：＝＝，…分解得：＝，…分而，…分，…分可得：（）＝分（2）在中，由正弦定理可得，…分由＝，＝，可得：，…分∵，∴，…分∴，…分∵，可得，可得为锐角，…分∴的取值范围是：,]…分在某班参加物理考试的学生中随机抽取名，他们的考试分数依次为：，，，，，，，，规定分数不低于的为“优秀”．Ⅰ求从这人中随机选取人，至多有人为“优秀”的概率；Ⅱ以这人的样本数据来估算整个班的总体数据，若从该班任选人，设表示被选出物理考试为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）设表示所取人中个人为“优秀”，至多有人为“优秀”记为事件，按照规定，被抽取的人中有人为“优秀”，依题意得．（2）由已知得的所有可能取值为，，，，＝＝（）．＝，＝，＝＝（）．∴随机变量的分布列为：．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】Ⅰ设表示所取人中个人为“优秀”，至多有人为“优秀”记为事件，按照规定，被抽取的人中有人为“优秀”，由此能求出从这人中随机选取人，至多有人为“优秀”的概率．Ⅱ由已知得的所有可能取值为，，，，由此能求出随机变量的分布列和．【解答】（1）设表示所取人中个人为“优秀”，至多有人为“优秀”记为事件，按照规定，被抽取的人中有人为“优秀”，依题意得．（2）由已知得的所有可能取值为，，，，＝＝（）．＝，＝，＝＝（）．∴随机变量的分布列为：．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，＝＝，＝，为的中点．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求证：平面平面；Ⅲ求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ依题意，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，为平面的一个法向量，∵，，∴ •，∴，∵平面，∴平面．，，设平面的法向量，则，取＝，得，同理，，，设平面的法向量，则，令＝，得，∵＝，∴，∴平面平面．Ⅲ由Ⅱ知平面的法向量，而平面的法向量，∴，．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【考点】直线与平面平行平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】Ⅰ依题意，，两两垂直以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．Ⅱ求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能证明平面平面．Ⅲ求出平面的法向和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：Ⅰ依题意，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，为平面的一个法向量，∵，，∴ •，∴，∵平面，∴平面．，，设平面的法向量，则，取＝，得，同理，，，设平面的法向量，则，令＝，得，∵＝，∴，∴平面平面．Ⅲ由Ⅱ知平面的法向量，而平面的法向量，∴，．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．已知数列满足条件＝，，对于，都有．Ⅰ设＝，求证：为等比数列；Ⅱ设，求证：．【答案】证明：Ⅰ＝，，对于，都有，可得当为奇数时，＝（）；当为偶数时，＝（）；＝＝（）（）＝（），则为首项为，公比为的等比数列；（），则（）（）．【考点】数列的求和数列递推式【解析】Ⅰ运用等比数列的定义和通项公式，讨论为奇数和偶数，即可定值；Ⅱ运用等比数列的求和公式可得（），则（），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】证明：Ⅰ＝，，对于，都有，可得当为奇数时，＝（）；当为偶数时，＝（）；＝＝（）（）＝（），则为首项为，公比为的等比数列；（），则（）（）．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点（点在第二象限），为坐标原点，椭圆的离心率为，且的最小值为．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点的直线与椭圆相切，分别交轴、轴于、两点，、为椭圆的两个顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最小值，并求出此时直线的方程．【答案】（1）设，，由，可得＝，依题意•＝＝，，当＝时，的最小值为，∴，由，解得＝，＝，＝，∴椭圆的方程为，（2）设直线＝，，由，得＝，依题意＝＝，即＝，则有，故,，由，得，令＝，得,，由,得，令＝，得,，而,，，∴四边形＝•，由＝，得，，∴四边形（）（)，•，••，（2）•，•，当且仅当，，即时，等号成立，此时，∴四边形的最小值为，直线的方程为．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】Ⅰ，，根据向量的数量积和二次函数的性质可得，再由，解得即可，Ⅱ设直线＝，，根据直线和椭圆相切，可得＝，分别求出，，，的坐标，根据四边形＝•，利用基本不等式即可求出．【解答】（1）设，，由，可得＝，依题意•＝＝，，当＝时，的最小值为，∴，由，解得＝，＝，＝，∴椭圆的方程为，（2）设直线＝，，由，得＝，依题意＝＝，即＝，则有，故,，由，得，令＝，得,，由,得，令＝，得,，而,，，∴四边形＝•，由＝，得，，∴四边形（）（)，•，••，（2）•，•，当且仅当，，即时，等号成立，此时，∴四边形的最小值为，直线的方程为．设函数＝．Ⅰ当＝时，求函数的最大值；Ⅱ令＝若其图象上的任意点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ当＝，＝时，方程＝（其中）有唯一实数解，求的值．【答案】（I）依题意，知的定义域为，当时，，令＝，解得＝．∵因为＝有唯一解，所以＝，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的极大值为，此即为最大值，，则有，在上恒成立，所以，，当＝时，取得最大值，所以因为方程＝有唯一实数解，所以＝有唯一实数解，设＝，则．令＝，＝．因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增当＝时，＝，取最小值．则既所以＝，因为，所以＝设函数＝，因为当时，是增函数，所以＝至多有一解．因为＝，所以方程的解为＝，即，解得．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；即函数的导数在小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值；研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程＝有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解．【解答】（I）依题意，知的定义域为，当时，，令＝，解得＝．∵因为＝有唯一解，所以＝，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的极大值为，此即为最大值，，则有，在上恒成立，所以，，当＝时，取得最大值，所以因为方程＝有唯一实数解，所以＝有唯一实数解，设＝，则．令＝，＝．因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增当＝时，＝，取最小值．则既所以＝，因为，所以＝设函数＝，因为当时，是增函数，所以＝至多有一解．因为＝，所以方程的解为＝，即，解得．。
2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品
x2
5． 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为 （
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分） 设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都 不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。