21.2.2公式法解一元二次方程第二课时
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
21.2.2一元二次方程的解法——求根公式法(2)
例1. 解方程:
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
(1)x(2)
2 -7x+2x =4
2 (4) 2x -9x+8=0
用公式法解一元二次方程的步骤: (1)化：把一元二次方程化为一般形式; (2)定：确定a、b、c的值; 2 (3)判：求出b -4ac的值,判断根的情况; 2 (4)代：若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
(4)写：写出x1，x2
2. 用公式法解下列方程:
(1) 3x 1 2 3x
2
(2) 0.2 x 1.2x 0.55 0
2
2 2 1 (3) x x 1 0 3 2
(4) (x-1)(6-x)=6
３. 用公式法解下列方程:
x(x+1)+7(x-1)=2(x+2)
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
拓展与提高
2 1.x是什么值时,y=x -5x+4
的值分别是0,4?
2.解下列关于x的方程： 2 2 2x -mx-m =0
拓展与提高
求差
3.试比较代数式2x2-x-5与x-7 的值的大小。
2 解：2x -x-5-（x-7）
2 =2x -2x+2
2 =2(x -
2 2 x+0.5 -0.5 )+2
2 =2(x-0.5) -0.5+2
2 =2(x-0.5) +1.5
7 145 7 145 方程的根x1= , x2= . 6 6
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》(第2课时)教案
21.2解一元二次方程(2)【教学目标】知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程2.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程3.会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况过程与方法：经历探索求根公式的过程，发展学生合情的推理能力情感态度价值观：通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心【教学重难点】教学重点：求根公式的推导和公式法的应用．教学难点：一元二次方程求根公式法的推导．【教学过程】一、复习引入1. 用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=522.用配方法解一元二次方程的步骤．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知【探究】如果一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它的根，请同学独立完成这个问题．解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - 因为a ≠0，所以4a 2≥0.式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -+，x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．定义：一般地，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即△=b 2-4ac 归纳：当△>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根；当△=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根；当△<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数根．定义：当△≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．总结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a 、b 、c 的值。
初中数学21.2.2 公式法解一元二次方程教案-第2课时教案
XXX中学统一备课用纸二、知识提升例1：已知关于x的一元二次方程()011222=-+++mxmx有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为___________.变式训练：1.已知关于x的一元二次方程()01212=+--xxa有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_______________.2.已知关于x的一元二次方程()01212=+--xxa有两个实数根，则a的取值范围为_____.3.已知关于x方程()01212=+--xxa有实数根，则a的取值范围为_______________. 4.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )三、拓展训练().kkxkxx的取值范围，求）若方程有一根小于（实数根；）求证：方程总有两个（的一元二次方程：已知关于例121202232=+++-挑战自我：已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程04122=-+-mmxx的两个实数根。
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围；(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(3)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？。
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
【教育资料】21.2解一元二次方程21.2.2公式法第2课时用公式法解一元二次方程学习专用
第2课时 用公式法解一元二次方程基础题知识点 用公式法解一元二次方程1.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是(D)A.a ＝3，b ＝2，c ＝3B.a ＝－3，b ＝2，c ＝3C.a ＝3，b ＝2，c ＝－3D.a ＝3，b ＝－2，c ＝32.方程x 2＋x －1＝0的一个根是(D)A.1－ 5B.1－52C.－1＋ 5D.－1＋523.一元二次方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是(A)A.p±p 2－4q 2B.－p±p 2－4q 2C.p±p 2＋4q 2D.－p±p 2＋4q24.一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为5.用公式法解下列方程： (1)4x 2－4x ＋1＝0；解：Δ＝(－4)2－4×4＝0， x ＝4±08＝12.∴x 1＝x 2＝12.(2)x 2＋2x ＝0；解：Δ＝22－4×1×0＝4， x ＝－2±42×1，∴x 1＝0，x 2＝－2. (3)2x 2－3x －1＝0；解：Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17， x ＝3±172×2，∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.(4)(兰州中考)2y 2＋4y ＝y ＋2；解：2y 2＋3y －2＝0，Δ＝32－4×2×(－2)＝25， y ＝－3±252×2，∴y 1＝12，y 2＝－2.(5)x 2＋10＝25x ；解：x 2－25x ＋10＝0，∵Δ＝(－25)2－4×1×10＝－20<0， ∴此方程无实数解. (6)x(x －4)＝2－8x. 解：x 2＋4x －2＝0，Δ＝42－4×1×(－2)＝24， x ＝－4±242×1，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 易错点 错用公式6.用公式法解方程：2x 2＋7x ＝4. 解：∵a ＝2，b ＝7，c ＝4， ∴b 2－4ac ＝72－4×2×4＝17. ∴x ＝－7±174，即x 1＝－7＋174，x 2＝－7－174.上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c 的符号错误. 正解：移项，得2x 2＋7x －4＝0， ∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81. ∴x ＝－7±812×2＝－7±94.即x 1＝－4，x 2＝12.中档题7.方程2x 2＋43x ＋62＝0的根是(D)A.x 1＝2，x 2＝ 3B.x 1＝6，x 2＝ 2C.x 1＝22，x 2＝ 2D.x 1＝x 2＝－ 6 8.若(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，则x ＋y 的值是(C)A.2B.3C.－2或3D.2或－39.(攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为(C)A.－1或4B.－1或－4C.1或－4D.1或410.(许昌长葛月考)若实数m ，n 满足(m 2＋n 2)(m 2＋n 2－2)－8＝0，则m 2＋n 2＝4.11.(商丘拓城县月考)若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是1或－23.12.用公式法解下列方程：(1)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)； 解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0. x ＝9±732.∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732.(2)(x ＋2)2＝2x ＋4.解：原方程可化为x 2＋2x ＝0. x ＝－2±42＝－1±1.∴x 1＝0，x 2＝－2.13.一元二次方程x 2＋2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k的值.解：解x 2＋2x －54＝0，得x 1＝12，x 2＝－52.把x ＝12代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0，得(12)2－12(k ＋2)＋94＝0，解得k ＝3；把x ＝－52代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0，得(－52)2＋52(k ＋2)＋94＝0，解得k ＝－275. ∴k 的值为3或－275.综合题(1)将你发现的结论一般化，并写出来； (2)在实数范围内分解因式： ①x 2－5x ＋1； ②3x 2－7x ＋4.解：(1)发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1、x 2，则ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1)(x －x 2).(2)①解方程x 2－5x ＋1＝0，得 x 1＝5＋212，x 2＝5－212.∴x 2－5x ＋1＝(x －5＋212)(x －5－212).②解方程3x 2－7x ＋4＝0，得 x 1＝43，x 2＝1.∴3x 2－7x ＋4＝3(x －43)(x －1)＝(3x －4)(x －1).。
人教版数学九年级上册21.2.2公式法解方程教案
最后，我深感教学反思的重要性。通过反思，我可以更好地理解学生的需求，调整教学方法，让数学课堂变得更加生动有趣，也更具实效性。我会继续努力，让每一位学生都能在数学的学习中找到乐趣和成就感。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆与理解和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用抛物线模型来演示求根公式的应用。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过一元二次方程求根公式的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理与论证能力。
2.强化运算能力：引导学生运用求根公式解决实际问题，熟练掌握公式运算过程，提高数学运算速度和准确性。
3.增强数学建模能力：让学生在实际问题中运用一元二次方程求解，培养将现实问题抽象为数学模型的能力。
在案例分析环节，我尝试将实际问题引入课堂，让学生们看到数学知识在现实生活中的应用。从学生的反应来看，这种方法似乎能够激发他们的兴趣，但我也观察到，将问题转化为数学模型对他们来说并不容易。我考虑在接下来的课程中，增加一些关于如何建立数学模型的指导，帮助学生更好地理解这个过程。
实践活动和小组讨论的部分，学生们表现得相当积极。他们通过小组合作，不仅加深了对一元二次方程的理解，还学会了如何与他人合作解决问题。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，我需要适时地引导他们回到主题上来。
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C. k<1
D. k<1 且k≠0
思考：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为
互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解？
小
结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c
(4) x2 x 4 5 8x
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实根，则m的取值范围是—— .
2
注意：一元二次方程有实根，说明方程 可能有两个不等实根或两个相等实根的 两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
（2）当 b 2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。 b x1 x 2 ; 2a （3）当 b 2 4ac 0时，没有实数根。
师生互动 巩固新知
2
用公式法解下列方程：
3 x
1 3x 6 x 2 0 2 2 4x 6x 0
2
4x 8 4x 11
回顾与复习 一、解一元二次方程:
(1)2x 4x 1 0
2
(2)2 x 2 2 2 x 1 0
（3）x 17 8x
2
一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0） 2 （1）当b 4ac 0 时，有两个不相等的实数根。
2
b b2 4ac b b2 4ac x1 , ３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解