以通用条分法进行边坡稳定分析
一个用于边坡稳定分析的通用条分法
(7)
为简化书写，省去了各分量下标 i (土条编号)。 符号含义如图 1 所示：F 为安全系数； Sa 为条底可 获得的抗剪力， Sa = cl + N ′ tan ϕ ， c ， ϕ ， l 分别 为条底粘聚力、摩擦角、长度； Sm 为条底发挥的抗 剪力；U α 为孔隙水压力；W 为土条重力； N ′ 为条
作者简介： 张鲁渝(1974–)，男，2004 年于重庆后勤工程学院获博士学位，现为清华大学博士后，主要从事岩体本构及边坡稳定分析方面的研究工 作。E-mail：zly1974@ 。
第 24 卷
第3期
张鲁渝. 一个用于边坡稳定分析的通用条分法
•497 •
有效地将二维迭代过程转化为一维迭代，在国外应 用较广。文[3 ，4]从二维迭代入手，推导了可用于 Newton-Raphson 迭代所需的导数公式，可实现二阶 收敛，是一种较为快速的收敛法。上述 2 种方法各有 千秋，前者编程实现简单，对迭代初值要求不高， 但求解速度与精度相对后者较低；后者需要用到根 值附近的导数值，且实现编程又较前者复杂。 本文首先介绍了通用条分法 GLE(generalized limit equilibrium method)的基本方程[5]。它直接将条间力 合力的大小和方向作为未知数，通过定义不同的条 间力倾角函数，可以方便地模拟各种严格条分法， 如 Spencer 法[6]、离散化的 Morgenstern-Price(M-P) 法(M-P 的积分形式见文[7， 8])及各种基于力平衡的 简化法，如不平衡推力法、陆军工程师团法、罗厄 法等。方程的求解基于 Rapid Solver 法，本文详细 地给出了 Rapid Solver 法的求解过程。算例分析表 明，GLE 具有较高的数值精度和实用价值，且方程 形式简单、易于编程。
基于Bishop条分法的边坡稳定分析及支护方案
关键词:边坡稳定性;路堑边坡;
B
i
shop 条分法;桩 － 墙复合抗滑结构
中图分类号:
U４１８．
５＋２ 文献标识码:
B 文章编号:
０５－００６５－０７
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建设,造成 了 很 多 高 临 空 面 的 边 坡 出 现,使 周 边 道
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精度更高、计算思路更加清晰,被认为是计算边坡问
路、设施存在极大的安全隐患,破坏后可能造成很大
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边坡稳定性分析
T f = N tan ϕ = W cosθ tan ϕ
式中 N 是单元体自重在坡面法线方向的
分力，ϕ 是土的内摩擦角。无粘性土土
T
θ
θN
W
坡的稳定安全因数定义为最大抗剪力与 剪切力之比，即
图 8.2.1 均质无粘性土坡稳定性分析
Ks
= Tf T
= W cosθ tanϕ = tanϕ W sinθ tanθ
均质无粘性土坡如图 8.2.1 所示，土坡的坡角θ，土的内摩擦角ϕ 。现从坡面上任取
一侧面竖直、底面与坡面平行的土体单元，假定不考虑该单元土两侧应力对稳定性的影响。
设单元体的自重 W，则它下滑的剪切力就只有 W 在顺坡方向的分力
T=Wsinα
阻止土体下滑的力是此单元体与下面土体
之间的抗剪力，其所能发挥的最大值为
（3）人工填筑的土堤、土坝、路基等，形成地面以上新的土坡。由于这些工程的长度很 大，边坡稍微改陡一点，往往可以节省工程量。
由此可见，土坡稳定在工程上具有很重要的意义，影响土坡稳定的因素很多，包括土坡 的边界条件、土质条件和外界条件。具体因素如下：
（1）边坡坡角θ，坡角θ越小就越安全但不经济；坡角θ太大，则经济而不安全。 （2）坡高 H，试验研究表明，其它条件相同的土坡，坡高 H 越小，土坡越稳定。 （3）土的性质，土的性质越好，土坡越稳定。例如，土的重度γ和抗剪强度指标 c、φ 值大的土坡，比γ、c、φ小的土坡更安全。 （4）地下水的渗透力，当土坡中存在与滑动方向一致的渗透力时，对土坡不利。如水库 土坝下游土坡就可能发生这种情况。 （5）震动作用如强烈地震、工程爆破和车辆震动等，会使土的强度降低，对土坡稳定性 产生不利影响。 （6）施工不合理，对坡角的不合理开挖或超挖，将使坡体的被动抗力减小。这在平整场 地过程中经常遇到。不适当的工程措施引起古滑坡的复活等，均需预先对坡体的稳定性作出 估计。 （7）人类活动和生态环境的影响。
(1)土质边坡稳定分析之条分法
因为
dW dW p( x) q sin e' ru sec sin e' dx dx dW ' ' ce sec cos e cos e' dx
' e
c 'cos ht e' e' sin cos 4 2 4 2
N，可能得到负值。这一现象不仅不合理，而且有时 '
' e 1
会导致数值计算不收敛的问题
x p s d G a (2．20) G( x) sec s x a
N sin T cos Q G cos 0
中，对
的假定是指土条间的总作用力G，而不是上条骨架
。如果将土骨架作为研究对象，那么就要对 G' 作假定了。因此，两种处理方法，尽管具有相同的 '
间的有效作用力 的倾角 ' G 差别。
力学背景，但由于处理细节不完全—致，其结果仍会有微小的
2.3 对坡外水体的处理
对图2．8(a)所示坡外有水的情况。此时，通常采用下面 三种处理方案。
' e ' n
' e
（2.1）
其中：
c' c K
' e
(2.2)
tan ' tan K
' e
(2.3)
τ为沿滑动面的切向力， ' n 为垂直于滑动面的正应力，
c' '
为土的有效粘聚力， 为有效内摩擦系数
1.2 摩尔－库仑强度准则
当土坡沿破坏面滑动时，在滑动面上，土体处处达到 ' n 和剪应力τ满足摩 极限平衡。针对某一条土体其正应力 尔－库仑强度准则：
路基边坡稳定性分析
长安大学
第四章 路基边坡稳定性分析
寻找最小稳定安全系数及最危险滑动面
假定 3～4个可能的滑动面，分别求出其相应的 K 值，绘 出 K～ω关系曲线，找出K min和与之对应的最危险滑动面。
国家级精品课程《路基路面工程》
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第四章 路基边坡稳定性分析
3. 均质砂质土路堑边坡
c ≠ 0，较小，φ 较大，无车辆荷载
假设楔体 ABD 沿AD滑动面滑动，取1m 长计， 则稳定
安全系数K ：
F N tan cL
N Gcos
K F G cos • tan cL
T
G sin
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第四章 路基边坡稳定性分析
寻找最小稳定安全系数及最危险滑动面
G hL . sin( ) 2 sin
按高度计算 加权平均坡度
(a) 折线形边坡 国家级精品课程《路基路面工程》
（b）阶梯形边坡
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第四章 路基边坡稳定性分析
三、汽车荷载当量换算
1. 换算原理 将车辆按最不利情况排列，并将车辆的设计荷载换算成
当量土柱高（即以相等压力的土层厚度来代替荷载），以h0
表示。
路基填料的重度γ
h0
γ
路基填料的重度γ
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第四章 路基边坡稳定性分析
本章内容
1 边坡稳定性分析原理 2 边坡稳定性分析的计算参数 3 边坡稳定性分析方法 4 浸水路堤稳定性分析 5 陡坡路堤的稳定性分析
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第四章 路基边坡稳定性分析
第一节 边坡稳定性分析原理
一、边坡稳定性分析方法
1. 工程地质法（比拟法） 比拟自然山坡、人工边坡，地层土质、水文状况，稳
边坡稳定性分析原理及防治措施
第一部分边坡稳定性分析原理及防治措施1.边坡稳定性基本原理1.1边坡稳定性精确分析原理要对边坡稳定性问题进行精确分析，首先要对材料性能进行透彻的的研究实验，查清它的各种应力--应变关系以及它的屈服、破坏条件。
假定这些问题都已查清，那么从理论上讲，边坡在指定荷载下的稳定性问题是可以精确解决的。
七步骤大致如下：（1）进行边坡在指定荷载下的应力、变形的精确分析。
分析过程中，要采用合理的数学模型来反映材料的特性，务使这种数学模型能够如实表达出材料的主要性能，例如应力—应变间的非线性、卸载增荷性质、屈服破坏性质等等。
分析工作要通过计算机和非线性有限单元法进行。
（2）这种精确计算的数学分析将给出各点应力、应变值。
例如，就抗剪问题讲，通过分析得到了每一点上的抗剪强度τ= c +fσ，从而可以算出每一部分点上的局部安全系数。
如果每一点上的K均大于1，整个计算体系在抗剪上当然是安全的。
如果有个别点已达屈服，则由于在计算程序中已反映力材料性质，这，表明这些部位已进入屈服状态。
只要这些屈服区是些部位的τ将自动等于τf孤立的、小范围的，而没有形成连贯的破坏面，那么，在指定荷载下该体系仍是稳定的。
进入屈服状态的部位大小，野可以给出一个安全度的概念。
反之，如果屈服的部位已经连成一个连贯的破坏面，甚至已求不出一个满足平衡要求的解答，就说明该体系在指定荷载下已不能维持稳定。
（3）如果要推算“安全系数”，首先要给出安全系数的定义。
第一种方法，是将荷载乘以K，并将K逐渐增大。
每取一个K值就进行如上一次分析，直到K达到某临界值，出现了连贯性断裂面或已无法求得解答为止。
这个临界值就是安全系数。
显然，这样求出的K具有“超载系数”性质。
第二种方法，是将材料的强度除以K，并用于计算中，逐渐增加K,使其强度逐渐降低，直至失稳。
相应的K值就是安全系数。
显然，这样求得的K具有“材料强度储备系数”的意义。
上述方法虽很理想，但是近期内还不能实现。
首先，要进行这种合理分析，必须对材料的特性有透彻、明确的了解。
边坡稳定性分析方法
边坡稳定性分析方法至今为止，广大学者针对边坡稳定性的分析方法主要包括以下两个方面。
(一)定性分析方法此方法的研究对象主要包括边坡稳定性的影响因素、边坡失稳破坏时的力学作用、边坡的工程价值等，以及结合边坡的形成历史，从定性的角度解释和说明了边坡的发展方向及稳定性情况。
该方法的优势在于充分地分析了影响边坡稳定性中各个因素的相互作用关系，能够快速地评价边坡的自稳能力。
具体包括以下几个方面：(1)自然历史分析法自然历史分析法主要是通过分析边坡发育历史进程中的各种自然影响因素，包括边坡自身的变形情况、发育程度以及边坡分布区域的地貌特征、岩层性质、构造活动等，进而评价边坡的总体情况和稳定性特征，同时也可以预测将来可能导致边坡变形和失稳的触发因素。
该方法对边坡稳定性所做出的评价是从边坡的自然演化方面入手的。
(2)工程地质类比法工程地质类比法首先需要对边坡概况进行充分了解，包括组成边坡的岩体岩性、产状和结构面特征。
然后将目前已知的边坡稳定性情况和需要研究的边坡进行对比，记录两者之间的相似性与差异性，以此分析出所要研究边坡的稳定性情况和破坏模式。
为了能够准确地类比分析，就需要对现有边坡的环境地质条件进行全面的调查记录，并建立数据库。
该方法能够大致判断出研究对象的稳定性发展状况和趋势。
(3)图解法图解法通过在示意图上表示出边坡本身各类参数的组合关系来对边坡的稳定情况、破坏特征、破坏因素以及未来的发展方向进行分析。
常用的图解法包括极射赤平投影、边坡等比例投影等。
该方法的优势在于可以直观地表示影响边坡稳定性的因素。
(二)定量分析方法此方法主要通过数值法和极限平衡法等数学手段，依靠计算软件，更加精确地给出满足实际情况的边坡稳定性分析结果。
(1)极限平衡法主要是按照摩尔-库伦强度准则，通过分析作用在土体上的静力平衡条件来判断边坡的稳定性情况，最常见的极限平衡法是条分法，该方法经过100多年的发展，已经成为目前工程实践中使用最为广泛的一种方法。
几种边坡稳定分析方法
常用条分法的核心假定与郑颖人统一格式验证1、简化Janbu法：假定：土条侧向力的倾角β为常数，等于边坡的平均坡度Ωα且为0，即β=Ωα=0。
验证：T i=tanβi E i，其中βi为定值，又β=0，则tanβi=0，即T i=0，所以对应统一格式T i=A i E i+X i，则A i=0，X i=0，符合假定统一格式。
2、陆军工程师团法：假定：土条侧向力的倾角β为常数，等于边坡的平均坡度Ωα，即β=Ωα。
验证：T i=tanβi E i，所以对应统一格式T i=A i E i+X i，则A i=tanβi=tanΩα，X i=0，符合假定统一格式。
3、罗厄法：假定：土条侧向力的倾角β等于该土条底面倾角α和顶面倾角Ω的平均值，即β=β’=（α+Ω）/2。
验证：T i=tanβi E i，所以对应统一格式T i=A i E i+X i，则A i=tanβi=tan（α+Ω）/2，X i=0，符合假定统一格式。
4、不平衡推力法（传递系数法）：假定：条间力与水平方向倾角βi等于该土条条底倾角αi，即βi=αi证明：由几何关系，T i =tanβi ∙E i ，套用条间力基本假定表达式：T i =A i ∙E i +X i ，则A i =tanβi ，X i =0。
由假定，βi =αi ，因此得到A i =tanαi ，X i =0。
5、Sarma 法（Ⅰ）：假定：条底与条块界面具有相同的安全系数，即F S = F S ’=[C avi ’h i + (E i -P wi )tan φ’avi ]/ T i ，tan φ’avi 为条块界面上的加权平均抗剪强度指标。
验证：由假定得T i =C avi ’h i /F S + (E i -P wi )tan φ’avi /F S= E i tan φ’avi /F S +C avi ’h i /F Si −P wi tan φ’avi /F S ，其中tan φ’avmi = tan φ’avi /F S ，C avmi ’=C avi ’/F Si ，所以对应统一格式T i =A i E i +X i ，则A i =tan φ’avmi ，X i =C avmi ’ h i −P wi tan φ’avmi ，符合假定统一格式。
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图 1 土条受力图
图 中 符 号 含 义 ：F 为 安 全 系 数 ；Sa 为 条 底 可 获 得 的 抗 剪 力 ，
Sa=cli+Nitgφ，c,φ,l 分别为条底粘聚力、摩擦角、长度；Sm 为条底已发挥的
抗剪力，Uαi 为孔隙水压力；Wi 为土条重力；Ni 为条底有效法向力；α 为
条底倾角；P 左 i,P 右 i 分别为土条左、右端条间力；hi，hi+1 分别表征条间力
左
icosθ2i+Smcosαi∑cosθ1i
(Ni+Uαi)sinαi]
-
∑P
左
i=0
（10）
从而可得：
∑Sm=
∑[P
左
icosθ1i+(Ni+Uαi)sinαi∑cosαi
P
左
icosθ2i]
=
cli+(Ni+Uαi)tgφ F
（11）
故
F=
∑[P
左
∑[cli+(Ni+Uαi)tgφ]cosαi icosθ1i+(Ni+Uαi)sinαi- P 左
— 526 —
（2）
又由 Mohr—— —Coulomb 强度准则：
Sa=cli+(Ni+Uαi)tgφ，
Sm=
Sa F
=
cli+(Ni+Uαi)tgφ F
（3）
通常我们易知 P 左 i 和 P 右 i 之间存在一定的关系，即： P 右 i- P 左 i = ΔPi
现以 P 右 i>P 左 i 为例 P 右 i=P 左 i+ΔPi 将（4）式分别代入（1）（2）式可得
度应该具有不同的折减系数，这有待于今后进一步研究
（4）影响边坡稳定的条件有很多，仅仅通过条间的剪切力确定是远
远不够的，比如说条块的形状，大小等都会对滑动趋势产生很大的影
响，因此在实际的工程运用中应该充分予以考虑。
参考文献 ［1］Lee W A，Lee T，Sharma S，et a1．Slope Stability an d Stabilization Method［s M］.New York：Wiley—Interscience Publication，1996 ［2］Fmdlund D C State of the art：analytical methods for slope stability analysi［s A］.In：Proceedings of the 4 International Symposium on Landslides ［C］.Toronto：Ont，1984.229- 250 ［3］张鲁渝.一个用于边坡稳定分析的通用条分法.岩石力学与工程 学报，2005.2 ［4］丁桦，张均锋，郑哲敏.关于边坡稳定分析的通用条分法的探讨. 岩石力学与工程学报，2004.11 ［5］朱大勇，钱七虎.严格极限平衡条分法框架下的边坡临界滑动 场.土木工程学报，2000，33 ［6］杨明成.基于力平衡求解安全系数的一般条分法. 岩石力学与 工程学报，2005.4
（4）
P 左 icosθ2i+Smcosαi- (Ni+Uαi)sinαi- (P 左 i+ΔPi)cosθ1i=0
（5）
(P 左 i+ΔPi)sinθ1i- Smsinαi- (Ni+Uαi)cosαi- P 左 isinθ2i+Wi=0 由式（5）（6）分别可求得
（6）
ΔPi=
P
左
icosθ2i+Smcosαicosθ1i
科技信息
高校理科研究
以通用条分法进行边坡稳定分析
山东交通学院 曹丽娜 王日升
［摘 要］本文首先介绍了通用条分法的基本方程 。它直接将条间力合力的大小和方向作为未知数，并通过一系列的转化求得土条 间合力方向间的关系，从而易通过编程求得其安全系数。 ［关键词］通用条分法 边坡稳定 极限平衡
1.引言 条分法是一种基于极限平衡原理的稳定性分析方法，其可分为非 严格条分法与严格条分法两种。目前大多数常用的极限平衡条分法均 采用垂直条分法计算安全系数……，较为完备的是 Morgenstern 和 Price 提出的方法以及陈祖煜在此基础上发展的通用条分法。早期的一些方 法，如 Bishop 法、Spencer 法等，可以看作是它在一定假设条件下的简 化。在众多的条分法中，其核心问题就是如何对条间力进行假设，从而 使问题封闭可解。由于垂直条分法仅考虑了力(和力矩)的平衡，不涉及 材料的变形，因而，要得到封闭的解答须对滑体的受力特征进行一定的 假设。一般是从力和力矩平衡条件出发，以一种新的方式给出一般情况 下安全系数所应满足的关系。 2.平衡方程 严格法要求土条满足所有的静力平衡条件，即 2 个力平衡条件及 1 个力矩平衡条件。以土条为隔离体，其受力分析如图所示。
- P左 i
即：
tgθ1i=
P
左 isinθ2i+Smsinαi+(Ni+Uαi)cosαiPicosθ2i+Smcosαi- (Ni+Uαi)sinαi
Wi
（9）
从而得到 θ1i 与 θ2i 的关系，即 θ1i 可以用 θ2i 表示出来。
又因为所有的土条满足整体的力平衡状态，即有：
∑ΔPi=0
即：∑[P
hi'cosθ2i-
b 2
(cosθ2itgα- sinθ2i)
+
b 2
(tgθ1i- tgα) （14）
将（7）中的 ΔPi 代入上式
∑ ∑ hi=
P 左 icosθ1i P 左 icosθ2i+Smcosαi- (Ni+Uαi)sinαi
hi'cosθ2i-
b 2
(cosθ2itgα- sinθ2i)
+
b 2ห้องสมุดไป่ตู้
(tgθ1i- tgα)
（15）
其中 P 左 i，θ1i，θ2i，Sm 中的 F 为未知，又由式（9）可以得到 θ1i，θ2i 的关 系，即 θ1i 可以用 θ2i 表示出来，故 hi 是关于 hi'，P 左 i，θ2i，F 的函数。
我们可以假设初始植 hi'，P 左 i 均为 0 则可以通过（7）和（15）假设不
icosθ2i]
（12）
其中 P 左 i，θ1i，θ2i 为未知。
（2）土条的力矩平衡方程：
P 左 icosθ2i
(hi'-
b 2
tgα)+P
左
i
b 2
sinθ2i- P 右 icosθ1i
(hi+
b 2
tgα)+P 右 i
b 2
sinθ1i=0
（13）
∑ ∑ hi=
(P
左
P左 i i+ΔPi)cosθ1i
同的 θ2i，F 迭代求 hi 直到满足其最后的边界值为零为止。
3.结论
（1）本文在理论推导过程中采用了与经典公式不同的方法，即将条
间合力的大小，方向 P 左 i，θ1i，θ2i，Sm 作为未知数。
（2）此方法在计算过程中不需要对方程进行求导，因而通过编程求
得其安全系数。
（3）在通用条分法中，不同条块界面上剪切强度和滑动面上剪切强
的作用位置；θ2i,θ1i 分别为土条左、右条间力的水平倾角。
（1）由图可以分别建立水平竖直两个方向的平衡方程：
水平方向合力为零，即：
P 左 icosθ2i+Smcosαi- (Ni+Uαi)sinαi- P 右 icosθ1i=0 竖直方向合力为零，即：
（1）
P 右 isinθ1i- Smsinαi- (Ni+Uαi)cosαi- P 左 isinθ2i+Wi=0
(Ni+Uαi)sinαi
- P左 i
（7）
ΔPi=
P
左
isinθ2i+Smsinαi+(Ni+Uαi)cosαisinθ1i
Wi
- P左 i
（8）
二者相等可得：
P 左 icosθ2i+Smcosαi- (Ni+Uαi)sinαi cosθ1i
- P左 i
= P 左 isinθ2i+Smsinαi+(Ni+Uαi)cosαi- Wi sinθ1i