新湘教版八年级数学上册2.1.3三角形(第3课时)
三角形的内 角和等于 180°
几何与代数的综合运用！
课本练习
1.填空：
(1)在△ABC中，∠A=60°，∠B= ∠C,则∠B=
60° ，
30° (2)在△ABC中,∠A-∠B=50°,∠C-∠B=40°,则∠B＝____.
2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°, 求∠DAC的度数。 A
B
36°
76°
D
C
A
E
1
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. (等量代换)
2
B
C
D
证法3：过点A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE,
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°, (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. (等量代换)
湘教版数学八年级上册
本节内容 本课内容 2.1.3
三角形
(第3课时)
内角三兄弟之争在一个直角三角源自里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常
团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大 说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来 了„„”“为什么？” 老二很纳闷.
一个三角形的三个内角中，最多有几个锐角？ 最多有几个直角？最多有几个钝角？ 分析：由三角形的内角和定理可知：三角形的三个 内角之和等于1800，因此一个三角形中最多有3个 锐角；最少有2个锐角；最多有1个直角；最多有1 个钝角。
（1）三个角都是锐角 的三角形叫锐角三角形。
三 角 （2）有一个角是直角 形 的三角形叫直角三角形。 直角边 的 分 直角三角形用符号“Rt△”来表示。 类
分析： 证法一：过A作EF∥BC，
∴ ∠B=∠2,
(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1. (两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. (等量代换)
E
2
B
A
1
F
C
三角形的内角和定理
由此得到：三角形的内角和等于1800.
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA， ∴∠A=∠1, (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.
个直角. 个钝角.
（3）一个三角形中至少有
个锐角.
.
（4）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 【提示】 根据三角形的内角和可得出结论. 答案:（1）1 （2）1 （3）2 （4）60° 4.在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:2:4,求∠A,∠B, ∠C的度数. 解：设每一份角为x°，则∠A＝2x°,∠B=2x°,
∠C=4x° ，
由三角形内角和定理，可得：2x+2x+4x=180,
解得 所以2x=2×22.5=45, 4x=4×22.5=90. 答： ∠A 为45°，∠B为45°, ∠C为90°. x=22.5,
巩固提高
1.如图∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE中， ∵∠C=∠D=90°. ∴ ∠ CAE+∠AEC=90°. ∠ DBE+∠BED=90° ∵∠AEC=∠BED， ∴ ∠CAE=∠DBE. (等角的余角相等)
E
A
B
C
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的
线叫作辅助线. 辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁 内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 思考：我们还学习过哪些数学思想？
分类讨论思想；
数形结合思想；
换元思想；
整体思想；
例3.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C比 ∠B 大150，求∠A ，∠B， ∠C的度数。 解：设∠B为x0,则 ∠A为(3x)0, ∠C为（x+15)0, 根据三角形的内角和定理得： x+(3x)+（x+15)=180 解得x=33 ∴3x=99，x+15=48 答： ∠A ，∠B， ∠C的度数分别为990，330，480。
同学们，你们知道其中的道理吗？
三角形的三个内角和是多少?
1800
你有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看 通过以上操作发现 可以将三角形的三 个角拼成一个平角。 那么怎样运用几何知识来说明呢?
【合作探究】 1.如图：已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
B C 分析：关键是将三个角之和转化为一个平角！
（3）有一个角是钝角 的三角形叫钝角三角形。
斜边
直角边
1.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4， 那么这个三角形是（ A.直角三角形 B.锐角三角形 ） C.钝角三角形 D.等边三角形 x=20.所以三
【解析】选B.设每一份角为x°，则三个角分别为2x°,3x°,4x° ， 由三角形内角和定理，可得：2x+3x+4x=180，解得
个角的度数分别为40°，60°, 80°，所以这个三角形为锐角三角形
2.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°. 【解析】直角三角形中有一直角为90°，所以另外两锐角的和为 90° ，因为一个锐角为40°, 所以另一个锐角是50°.
3.（1）一个三角形中最多有 （2）一个三角形中最多有
A C
E
D
B
2.如图，∠C=90°, ∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？
为什么？
解：在Rt△ABC中， ∠A+ ∠2 =90°. ∵∠1=∠2,
E C A D 1
2
B
∴∠A+∠1=90°,
∴∠ADE= 180°- ∠A- ∠1
=90°
∴△ADE是直角三角形.
辅助线 通过本课时的学习，需要我们掌握： 证法 转化为一个平 角或同旁内角 互补 求角度 应用
湘教版八年级数学 2.1 三角形(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
方法点拨：从边的角度判断三角形的形状 , 若只 能判断出有两条边相等则此 三角形是 等腰三角形；若能 判断出三 边 相等 , 则此三角形是等边三角形 .
感悟新知
知2－练
2-1.有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等
腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分
类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相
(2)内角：如图 2.1-1， ∠ A， ∠ B， ∠ C 叫作△ ABC 的
内角 .
(3)边：如图 2.1-1，线段 AB， BC， CA 叫作△ ABC 的边 .
感悟新知
知1－讲
2. 三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的 大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写 字母表示.
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P44 练习 T1 ]如图 2.1-2，在△ ABC 中， D， E 分别是 BC， AC 上的点，连接 BE， AD 交于点 F. (1)图中共有多少个三角形？请写出来 . (2)△ BDF 的三个顶点，三条边，三个内角分别是什么？ (3)以 AB 为边的三角形有哪些？ (4)以∠ C 为内角的ABC 的三边长分别为 a，b，c，试判断△ ABC 的形状 . (1)三边长满足 (a － b)2+| b － c |=0； (2)三边长满足 (a － b)(b － c)=0.
感悟新知
知2－练
解题秘方：要判断三角形的形状，可根据“是否 有边相等” 来判断，所以从条件中分 析出三边的关系是解决本题的关键 .
(1)三边长满足 (a － b)2+| b － c |=0；
解：因为 (a － b )2+| b － c |=0 ，所以 a － b =0， b － c =0. 所以 a=b=c. 所以△ ABC 为等边三角形 .
湘教版八年级数学上册导学案 2.1第3课时 三角形的内角和定理
第3课时三角形的内角和定理1.知道三角形的内角和是180°,能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类,并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角,能应用三角形外角的性质解决相关问题.自学指导：阅读课本P46-48，完成下列问题.知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=50°.3.若△ABC中，∠A=40°，∠B=50°,则△ABC为直角三角形.4.如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图2，一个三角形有6个外角.每个顶点处有2个外角.图1 图25.如图1，△ABC中，∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.试猜想∠ACD与∠A,∠B的关系是∠A+∠B=∠ACD.6.试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1+∠2=∠A+∠B.即∠ACD=∠A+∠B.一般地，有下面的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.自学反馈1.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.一个三角形至少有( )A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角3.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去 4.判断下列∠1是哪个三角形的外角：5..求下列各图中∠1的度数.活动1 小组讨论例1 如图， AD 是△ABC 的角平分线， ∠B= 36°， ∠C= 76°， 求∠DAC 的度数.解：因为∠B= 36°， ∠C= 76°， 又∠BAC+∠B ＋∠C=180°， 所以 ∠BAC=68°.因为 AD 是△ABC 的角平分线， 所以 ∠DAC=21∠BAC =34°.例2 如图，∠CAD ＝100°，∠B ＝ 30°，求∠C 的度数.解：因为∠CAD 是△ABC 的外角，所以∠B+∠C= ∠CAD ，于是∠C = ∠CAD -∠B = 100°-30°=70°.活动2 跟踪训练1.在△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，则∠△ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这这块三角板的另一个角的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°3.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°4.如图，AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是（）A.63°B.83°C.73°D.53°5.在△ABC中，若∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=________.6.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为________.7.如图，在△ABC中，点D、E分别在ABAC上，若∠B+∠C=120°，则∠1+∠2=______.8.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=50°，试求：（1）∠D的度数；（2）∠ACD的度数．9.如图，△ABC中，∠A=80°，BE、CF相交于点O，∠ACF=30°，∠ABE=20°，求∠BOC的度数.10.已知，如图，BD 、CD 分别为∠EBC 和∠FCB 的平分线. （1）若∠A=80°，求∠D 的度数； （2）试探究∠D 和∠A 的数量关系；课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?教学至此，敬请使用《名校课堂》课时部分.【预习导学】 自学反馈1.B2.B3.C4.(1)△ABC （2）△ABD （3）△ABC （4）△ACE5.75° 125° 【合作探究】 活动2 跟踪训练1.D2.B3.C4.A5.50°6.100°7.120°8.（1）∵∠DAE=∠B+∠D ，∴∠D=∠DAE-∠B ，即∠D=50°-30°=20°． （2）∵AD 平分∠CAE ， ∴∠CAE=2∠DAE=100°． ∴∠BAC=80°． ∵∠B=30°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=110°.9. ∵∠A=80°，∴∠ACB+∠ABC=100°． 即∠ACF+∠BCF+∠ABE+∠CBE=100°， ∵∠ACF=30°，∠ABE=20°， ∴∠BCF+∠CBE=50°．在△BOC 中，∠BOC=180°-∠BCF-∠CBE=130°． 10.（1）∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=100°． ∴∠CBE+∠BCF=260°．∵BD 平分∠EBC ，CD 平分∠FCB ， ∴∠CBD+∠BCD=130°． ∴∠D=50°． （2）21∠A+∠D=90°.。
湘教版初中数学八年级上册认识三角形精品PPT
成三角形？
解:∵6+4>3
解: ∵最长线段是6cm
6+3>4
4+3=7>6
4+3>6
∴能组成三角形
∴能组成三角形
这判样断判三断条需线要段三能个否条件组，成你三一角定形希的望方有更法好：的判
断①方找法出吧最.想长想看线! 段。
②比较大小:较短两边之和与最长线段的大小 ③判断能否组成三角形。
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
想一想
有两根长度分别为5cm和8cm的
木棒，用长度为2cm的木棒与它们能
摆成三角形吗？为什么？长度为
13cm的木棒呢?
你能取一根木棒，与原来的
两根木棒摆成三角形吗？
两边之差第三边两边之和
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
3.性质的作用
(1)判断三条已知线段能否组成三角形.
(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围：
两边之差第三边两边之和
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
有 BD+DC >BC
A
（三角形的任意两边之和大于第三边）
又 AD = BD，
D
则 BD+DC = AD+DC = AC，所以
AC >BC.
B
C
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
3、已知三角形的两边a,b长分别
为2和3,则第1<三c边<5c的范围是
湘教版-数学-八年级上册-湘教版八年级上册2.1三角形
O
∠A = ∠C
A__O_ =_C__O_
D
C
∠AOD =∠COB
∴△AOD≌△COB（ASA）
牛刀小试
2、如图：要使△ABC≌△ABD，隐含的条件是 AB = AB ，请根 据所给的判定方法补充条件并填写证明过程。
C
1
A
2
（1）证明：
在△ABC与△ABD中
D
_A_B_ = _A_B_
∠__1_ = ___
在△ABC与△DEF中：
B
D
∠B = ∠E C
BC = EF
∠C = ∠F
E
F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
牛刀小试
1、 如图，要证明△AOD≌△COB，已知∠A=∠C，
隐含的条件∠AOD =∠COB，根据所给的判定方法， 需要补充条件 AO=C，O请填写证明过程。
A
B
证明：
在△AOD与△COB中：
_A_C_ = _A__D
∴△ABC≌△ABD（SAS）
3
B
4
（2）证明： 在△ABC与△ABD中
∠_1__ = _∠_2_
A__B_ = _A_B_ _∠_3_ = _∠___4__
∴△ABC≌△ABD（ASA）
例题讲解
已知：如图，点A、F、E、C在同一条直线上， AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D。求证：△ABE ≌ △CDF
作业
1、必做题： 第87页A组第3题，第4题。
2、选做题： 搜索一道关于全等三角形判定ASA定理应用的习 题，提交到班级QQ群和微信群里讨论分享。
3、相关网站： 数学中国 / 12999数学网/index.html
实际问题。
八年级（湘教版）数学上册教案：第2章三角形
第2章 三角形 2.1 三角形第1课时 三角形的有关概念及三边关系1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类.3.掌握三角形三条边之间的关系.(重点)自学指导：阅读教材P42～44，完成下列各题. (一)知识探究1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.2.等边三角形：三条边都相等的三角形.3.等腰三角形：有两边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.4.不等边三角形：三条边都不相等的三角形.5.三角形按边的相等关系分类：三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形6.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a ＋b>c ，b ＋c>a ，c ＋a>b 三个不等式同时成立. (二)自学反馈1.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.解：图中有5个三角形.分别是△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC. 2.下列长度的三条线段能否组成三角形？ (1)3，4，8；(不能)(2)2，5，6；(能)(3)5，6，10；(能)(4)5，6，11.(不能)用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能.活动1 小组讨论例如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC中，有BD＋DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边).又因为AD＝BD，则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，所以AC>BC.活动2 跟踪训练1.现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)A.10 cm的木棒B.20 cm的木棒C.50 cm的木棒D.60 cm的木棒2.看图填空，如图：(1)如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；(2)△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE；(3)△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E；(4)∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB.3.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米.(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4<10，所以此时不能构成三角形.即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米.活动3 课堂小结1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形的对、角、顶点及表示方法.2.三角形的分类：按边和角分类.3.三角形的三边关系：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边.第2课时三角形的高、角平分线和中线1.能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心.(重点)2.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.(难点)自学指导：阅读教材P44～45，完成下列问题.(一)知识探究1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.2.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.3.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.(二)自学反馈1.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)2.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)A.在△CDE中，∠C的对边是DEB.BD是△ABC的中线C.AD＝DC，BE＝ECD.DE是△ABC的中线3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)A.△ABEB.△ADFC.△ABCD.△ABC，△ADF活动1 小组讨论例如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.(2)其中哪些三角形的面积相等？解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD ，△ADE ，△AEC ，△ABE ，△ADC ，△ABC. (2)因为AD 是△ABC 的中线， 所以BD ＝DC.因为AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 又S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，所以S △ABD ＝S △ADC .活动2 跟踪训练1.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B) A.高线 B.中线 C.角平分线 D.不确定2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180°，使点B 落在点B ′的位置，则线段AC(D)A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上都对3.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC ＝4 cm 2，则S △ABE 的面积是1cm 2.活动3 课堂小结三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线.第3课时三角形内角和定理1.知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题.(重点)自学指导：阅读教材P46～48，完成下列问题.(一)知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(二)自学反馈1.△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.3.求下列各图中∠1的度数.解：75°，125°.活动1 小组讨论例在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.活动2 跟踪训练1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)A.45°B.60°C.75°D.90°2.如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)A.63°B.83°C.73°D.53°3.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为20°，∠ACD的度数为110°.活动3 课堂小结2.2 命题与证明第1课时定义与命题1.知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题.2.能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题.(重难点)自学指导：阅读教材P50～52，完成下列问题.(一)知识探究1.对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.2.对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.3.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每一个命题都有逆命题.(二)自学反馈1.下列语句中，属于定义的是(D)A.两点确定一条直线B.平行线的同位角相等C.两点之间线段最短D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离2.下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？(1)负数都小于零；(2)当a＞0时，|a|＝a；(3)平角与周角一定不相等.解：(1)(2)(3)都是命题.3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)对顶角相等；解：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.(2)同位角相等.解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.活动1 小组讨论例1判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值.解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题.例2指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)两直线平行，同位角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.逆命题是：同位角相等，两直线平行.(2)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.可以改写成“如果有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.(3)对顶角相等.解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.逆命题是：相等的角是对顶角.活动2 跟踪训练1.下列语句中，是命题的是(B)A.连接A、B两点B.锐角小于钝角C.作平行线D.取线段AB的中点M2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)能被2整除的数必能被4整除；解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.(2)异号两数相加得零.解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零.3.写出下列命题的逆命题.(1)直角三角形的两个锐角互余；解：两个锐角互余的三角形是直角三角形.(2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0.活动3 课堂小结第2课时真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例.(重点)2.知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系.3.知道公理与定理的区别，认识公理是进行逻辑推理的基本依据.自学指导：阅读教材P53～55，完成下列问题.(一)知识探究1.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.2.如何判断一个命题为真命题，这个过程叫作证明.如何判断一个命题为假命题，这种方法叫作举反例.3.由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.4.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.基本事实和定理的相同点：都是真命题；不同点：基本事实是不需要证明的，而定理是需要经过证明.(二)自学反馈1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？(1)直角三角形的两锐角互余；解：真命题.(2)如果a>b，那么a2>b2.解：假命题，例如，a＝1，b＝－2，则a>b，而a2<b2.2.判断.(正确的打“√”，错误的打“”)(1)定理和公理都是真命题；(√)(2)定理是命题，命题未必是定理；(√)(3)公理是真命题，真命题是公理；()(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.()活动1 小组讨论例1有下面命题：①直角三角形的两个锐角互余；②钝角三角形的两个内角互补；③两个锐角的和一定是直角；④两点之间线段最短.其中，真命题有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个例2判断下列命题的真假，举出反例.①大于锐角的角是钝角；②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点.解：①②③假命题.①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2 跟踪训练1.下列命题中，真命题是(D)A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有且只有一条直线2.写出你熟悉的一个定理：两直线平行，同位角相等，写出这个定理的逆定理：同位角相等，两直线平行.3.下列命题是真命题吗？若不是请举出反例.(1)只有锐角才有余角；解：真命题.(2)若x2＝4，则x＝2；解：假命题，如x＝－2.(3)a2＋1≥1；解：真命题.(4)若|a|＝－a，则a<0.解：假命题，如a＝0.活动3 课堂小结第3课时命题的证明1.知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明.2.会证明文字类证明题.3.能利用反证法进行简单的证明.(重点)自学指导：阅读教材P55～57，完成下列问题.(一)知识探究1.数学上证明一个命题时，常常从命题的条件出发，通过一步步推理，最后证实这个命题的结论成立，这是证明的含义.也就是说，我们在证明一个命题时，将条件作为“已知”，结论作为“求证”.2.文字证明题的基本步骤：第1步：根据题意画出图形；第2步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证.第3步：通过分析，找出证明的途径，写出证明的过程.3.先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.基本思路归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.(二)自学反馈1.证明：三角形内角和为180°.解：已知：如图所示的△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图.∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.∵∠C＋∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.2.用反证法证明下题.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：假设∠A＋∠B≠90°，所以∠A＋∠B＋∠C≠180°，这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°.活动1 小组讨论例1已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：因为∠DAC ＝∠B ＋∠C ，∠B ＝∠C ， 所以∠DAC ＝2∠B. 又因为AE 平分∠DAC. 所以∠DAC ＝2∠DAE. 所以∠DAE ＝∠B. 所以AE ∥BC.例2 已知：∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设∠A ，∠B ，∠C 中没有一个角大于或等于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°， 则∠A ＋∠B ＋∠C<180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立. 因此，∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°. 活动2 跟踪训练1.如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P.求证：∠P ＝90°.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF ＝12∠BEF ，∠PFE ＝12∠DFE.∴∠PEF ＋∠PFE ＝12(∠BEF ＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF ＋∠PFE ＋∠P ＝180°， ∴∠P ＝90°.2.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A＋∠B，证明：假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2，∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2，∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B.活动3 课堂小结2.3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题.2.能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质.(重难点)自学指导：阅读教材P61～63，完成下列问题.(一)知识探究1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线.4.等边三角形三边相等，三个内角相等，且都等于60°.等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.(二)自学反馈1.在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.(1)∵AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝CD；(2)∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠1＝∠2；(3)∵AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD.活动1 小组讨论例已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴BF＝CF，DF＝EF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.利用等腰三角形三线合一的性质求证.活动2 跟踪训练1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(B)A.80°B.50°C.40°D.20°2.如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)A.60°B.90°C.120°D.180°3.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为25°.活动3 课堂小结第2课时等腰三角形的判定1.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述.(重点)2.能运用判定定理解决一些实际问题.(难点)自学指导：阅读教材P63～65，完成下列问题.(一)知识探究1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2.等边三角形的判定定理：(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.观察思考，并在箭头上填上相应的条件.(二)自学反馈1.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形.要证一个三角形是等腰三角形，只需要证这个三角形中有两个内角相等即可.2.如图，兴趣小组在一次测量池塘宽度AB的实践活动中测得∠APB＝60°，AP＝BP＝200 m，他们便得出了结论：池塘宽度AB的长为200 m.他们的结论对吗？请说明理由.解：他们的结论对.因为AP＝BP，所以△ABP是等腰三角形.又∠APB＝60°，所以△ABP是等边三角形.所以AB＝AP＝200 m.活动1 小组讨论例1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE 为等腰三角形.证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.又因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.所以∠ADE＝∠AED.所以△ADE为等腰三角形.例2已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.求证：△ADE为等边三角形.证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.所以∠EAD＝∠BAC＝60°.又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形).活动2 跟踪训练1.已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(B)A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.不等边三角形2.下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是①④(只填序号).3.如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由.解：△DEF是等边三角形.理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2，∴∠FDE＝∠A＝60°.同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形.活动3 课堂小结2.4 线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质和判定1.通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质.识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.(重点)2.会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.(难点)自学指导：阅读教材P68～69，完成下列问题.(一)知识探究1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(二)自学反馈1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7 cm，那么ED＝7cm，如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝60°.2.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是(D)A.ED＝CDB.∠DAC＝∠BC.∠C＞2∠BD.∠B＋∠ADE＝90°3.如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3 cm，△ABC的周长为20 cm，则AC的长为7cm.活动1 小组讨论例已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA＝OB.同理：OB＝OC.∴OA＝OC.所以点O在AC的垂直平分线上.活动2 跟踪训练1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)A.6B.5C.4D.32.在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC的(D)A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝15.4.到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个.活动3 课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第2课时作线段的垂直平分线1.知道尺规作图法及其具体要求.2.会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法，理解作图的原理.(重难点)3.会用尺规作直线的垂线以及会写其作法，理解作图的原理.自学指导：阅读教材P70～71，完成下列问题.自学反馈1.尺规作图所用的作图工具是指(B)A.刻度尺和圆规B.不带刻度的直尺和圆规C.刻度尺和量角器D.量角器和圆规2.右图中的尺规作图是作(A)A.线段的垂直平分线B.一条线段等于已知线段C.一个角等于已知角D.角的平分线活动1 小组讨论例1 如图，已知线段AB ，作线段AB 的垂直平分线.解：作法：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D ；②过点C ，D 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线. 例2 如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？解：点P 与已知直线l 的位置关系有两种：点P 在直线l 上或点P 在直线l 外.(1)当点P 在直线l 上.作法：①在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA ，PB ，使PA ＝PB ； ②分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ；③过点C ，P 作直线CP ，则直线CP 为所求作的直线.(2)当点P 在直线l 外.作法：①以点P 为圆心，大于点P 到直线l 的距离的线段长为半径画弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ；③过点C ，P 作直线CP ，则直线CP 为所求作的直线.活动2 跟踪训练1.下列作图属于尺规作图的是(D)A.画线段MN＝3 cmB.用量角器画出∠AOB的平分线C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线D.已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2.△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有(C)A.AB＝ACB.AB＝BCC.AC＝BCD.∠B＝∠C3.过点P作直线l的垂线.解：略.活动3 课堂小结2.5 全等三角形第1课时全等三角形及其性质1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素.2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等.(重难点)自学指导：阅读教材P74～75，完成下列问题.(一)知识探究(1)下列图形中的全等图形是d与g、e与h.(2)如图，△ABC与△DEF能重合，则记作：△ABC≌△DEF，读作：△ABC全等于△DEF，对应顶点是A与D、B与E、C与F；对应边是AB与DE、AC与DF、BC与EF；对应角是∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.(二)自学反馈1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，CO＝BO，AO＝DO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD.2.△OCA≌△OBD，且OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.则△OCA的周长为13__cm.∠C＝110°，∠A ＝30°，则∠BOC＝140°.全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的周长相等.活动1 小组讨论例如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝3，DB＝4，∠A＝60°.(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；(2)求AC，DC的长及∠D的度数.解：(1)AB与DC、AC与DB、BC与CB是对应边；∠A与∠D、∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC是对应角.(2)∵AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，∴AC＝DB＝4，DC＝AB＝3.∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，∴∠D＝∠A＝60°.活动2 跟踪训练1.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.解：对应边有AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角有∠BAE与∠CAD.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.2.如图，△ABC≌△CDA.求证：AB∥CD.证明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥CD.注意对应关系.活动3 课堂小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.第2课时全等三角形的判定1—SAS1.体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，得出三角形全等的判定定理——边角边定理.2.能应用边角边定理证明两个三角形全等.(重难点)3.学会综合应用边角边定理以及几何的相关知识，进行简单的推理论证.自学指导：阅读教材P76～78，完成下列问题. (一)知识探究边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”). 用数学语言表述：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SAS). (二)自学反馈1.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，则需要增加的条件是(D)A.∠A ＝∠DB.∠E ＝∠CC.∠A ＝∠CD.∠ABD ＝∠EBC2.已知：如图，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB.求证：∠D ＝∠B.证明：在△AOD 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO （已知），∠AOD ＝∠COB （对顶角相等），OD ＝OB （已知）， ∴△AOD ≌△COB(SAS).∴∠D ＝∠B(全等三角形的对应角相等).要证∠D ＝∠B ，只要证△AOD ≌△COB.3.已知：如图，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD.求证：∠B ＝∠C.证明：∵在△ABD 与△ACD 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS).∴∠B ＝∠C.1.利用SAS 证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；2.证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”，“公共角、公共边”等.活动1 小组讨论例 已知：如图，AB 和CD 相交于点O ，且AO ＝BO ，CO ＝DO.求证：△ACO ≌△BDO.证明：在△ACO 和△BDO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠AOC ＝∠BOD （对顶角相等），CO ＝DO ，∴△ACO ≌△BDO(SAS).利用“SAS ”证明两个三角形全等，只要找到两条边及其夹角相等即可.活动2 跟踪训练1.已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD.求证：AD ∥BC.。
桐城市四中八年级数学上册 第2章 三角形2.1 三角形第3课时 三角形的内角和练习 湘教版
第3课时三角形的内角和1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( ) A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．[2012·云南]如图2－1－29，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )图2－1－29A．40°B．45°C．50° D．55°3．[2012·梧州]如图2－1－30，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是( )图2－1－30A．10°B．12°C．15° D．18°4．如图2－1－31，直线a∥b，则∠A的度数是( )图2－1－31A．28°B．31°C．39°D．42°5．[2012·漳州]将一副直角三角板，按如图2－1－32所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ( )A．45° B．60°C．75° D．90°6．如图2－1－33，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于________．图2－1－337．如图2－1－34是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．8．一个零件的形状如图2－1－35所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°.检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？图2－1－35图2－1－32图2－1－349．如图2－1－36，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．图2－1－3610．如图2－1－37所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．图2－1－37答案解析1．B 【解析】 三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，所以三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.所以该三角形是锐角三角形．故选B.2．A 【解析】 因为∠B ＝67°，∠C ＝33°，所以∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－67°－33°＝80°.因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠CAD ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.故选A.3．A 【解析】 因为AD ⊥BC ，∠C ＝36°，所以∠CAD ＝90°－36°＝54°，因为AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝128°， 所以∠CAE ＝12∠BAC ＝12×128°＝64°，所以∠DAE ＝∠CAE －∠CAD ＝64°－54°＝10°.故选A. 4．C 【解析】 因为a ∥b ，所以∠DBC ＝70°，所以∠ABD ＝180°－70°＝110°，所以∠A ＝180°－31°－110°＝39°.故选C. 5．C 【解析】 如图，因为∠1＝90°－60°＝30°，所以∠α＝45°＋30°＝75°.故选C.第5题答图6．80° 【解析】 因为∠ACD ＝∠A ＋∠B ，所以∠A ＝∠ACD －∠B ＝120°－40°＝80°. 7．408．【解析】 可以先计算出合格时∠BDC 的度数．由于∠BDC 与∠A ，∠B ，∠C 不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线． 解：方法一：连接AD 并延长，如图(1)所示．第8题答图因为∠1＝∠3＋∠C ，∠2＝∠4＋∠B ，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C ＋∠4＋∠B ＝(∠3＋∠4)＋∠C ＋∠B ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C ， 所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC ＝131°. 由于零件中∠BDC ＝130°，所以可以断定这个零件不合格． 方法二：延长CD 交AB 于E ，如图(2)所示． 因为∠CEB ＝∠C ＋∠A ，∠CDB ＝∠CEB ＋∠B ，所以∠BDC ＝∠C ＋∠A ＋∠B ＝20°＋90°＋21°＝131°. 由于零件中∠BDC ＝130°，所以可以断定这个零件不合格．9．【解析】 运用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和建立∠3、∠4与∠1、∠2的关系，再用三角形内角和定理求出有关角的大小． 解：因为∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， 所以∠4＝2∠2，又因为∠3＝∠4， 所以∠3＝2∠2，所以∠2＝12∠3，在△ABC 中，∠2＋∠3＋∠BAC ＝180°，因为∠BAC ＝63°，所以12∠3＋∠3＋63°＝180°，所以∠3＝∠4＝78°，而∠DAC ＝180°－78°－78°＝24°. 10．解：因为∠AGL ＝∠A ＋∠B ，∠CHG ＝∠C ＋∠D ，∠ELH ＝∠E ＋∠F ，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝∠AGL ＋∠CHG ＋∠ELH (即△GHL 的外角和)． 所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°.3.3 轴对称和平移的坐标表示1 轴对称的坐标表示要点感知1 一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为__________，即横坐标__________，纵坐标互为__________.预习练习1-1 点A(1，-2)关于x轴对称的点的坐标是( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-1，-2)D.(1，2)要点感知2 一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于y轴的对称点的坐标为__________，即横坐标互为__________，纵坐标__________.预习练习2-1 点P(1，-2)关于y轴对称的点的坐标为__________.2-2 如图，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为__________.知识点1 关于x轴对称1.在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，则点A关于x轴的对称点坐标为( )A.(3,2)B.(2，-3)C.(-2,3)D.(-2，-3)2.已知点A(2，-3)与点B关于x轴对称，则点B在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知点A(m-1，3)与点B(2，n+1)关于x轴对称，则m=__________，n=__________.知识点2 关于y轴对称4.已知点P(-2，3)关于y轴的对称点为Q(a，b)，则a+b的值是( )A.1B.-1C.5D.-55.已知点P(3，-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1-b)，则ab的值为__________.知识点3 图形上点的对称问题6.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D 的坐标是__________.7.如图，在直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB=2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是__________.8.如图，在直角坐标系中，△OBC的顶点O(0，0)，B(-6，0)，且∠OCB=90°，OC=BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是( )A.(3，3)B.(-3，3)C.(-3，-3)D.(32，32)知识点4 对称的作图问题9.如图，已知平面直角坐标系中，A(-1，3)，B(2，0)，C(-3，-1),在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.10.如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(-4，6)，B(-6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( )A.(-4，6)B.(4，6)C.(-2，1)D.(6，2)11.已知点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )A.a＜-1B.-1＜a＜32C.-32＜a＜1 D.a＞3212.若点A(m+2，3)与点B(-4，n+5)关于y轴对称，则m+n=__________.13.写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：(1)点B，E的位置有什么特点？(2)从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？14.在直角坐标系中，已知点A(a+b，2-a)与点B(a-5，b-2a)关于y轴对称，(1)试确定点A、B的坐标；(2)如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积.15.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-1)，B(-3，-3)，C(-1，-3). （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标.16.如图所示，△COB 是由△AOB 经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点C 的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)若点M 的坐标为(x ，y)，则它的对应点N 的坐标为__________； (2)若点P(a ，2)与点Q(-3，b)关于x 轴对称，求代数式：1ab +()()111a b --+()()122a b --+…+()()11010a b --的值.参考答案要点感知1 (a ，-b) 不变 相反数 预习练习1-1 D要点感知2 (-a ，b) 相反数 不变 预习练习2-1 (-1，-2)2-2 (-1，3)1.B2.A3.3-44.C5.256.(2，1)7.-28.A9.图略，点A1，B1，C1的坐标分别为：A1(1，3)，B1(-2，0)，C1(3，-1).10.B 11.B 12.013.A(-2，0)，B(0，-2)，C(2，-1)，D(2，1)，E(0，2).(1)点B和点E关于x轴对称；(2)点B与点E，点C与点D，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数.14.(1)∵点A(a+b，2-a)与点B(a-5，b-2a)关于y轴对称，∴2250.a b aa b a--+-⎩+⎧⎨＝，＝解得13.ab⎧⎨⎩＝，＝∴点A,B的坐标分别为：(4，1)，(-4，1)；(2)∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为(-4，-1).∴△ABC的面积为：12×BC×AB=12×2×8=8.15.（1）图略，A1(-2，1)；（2）图略，A2(2，1).16.（1）（x,-y）（2）∵点P(a，2)与点Q(-3，b)关于x轴对称，∴a=-3，b=-2，∴1ab+()()111a b--+()()122a b--+…+()()11010a b--=16+112+120+…+1156=12-13+13-14+…+112-113=11 26.《第7章平行线的证明》一、选择题1．下列语句中，是命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（）A．25°B．35°C．50°D．65°3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．65°D．90°6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120°D．100°7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（）A．84°B．106°C．96°D．104°8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°二、填空题11．命题“对顶角相等”的条件是，结论是．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= ．13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是．14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= ，∠CED= ．15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= ．16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为度．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为°．18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度．三、解答题（共66分）19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= ；若∠A=n°，则∠BEC= ．【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）《第7章平行线的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．下列语句中，是命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断．【解答】解：A、是问句，不是命题；B、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题；C、对一件事情做出了判断，是命题；D、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题．故选C．【点评】命题分为真命题和假命题，注意假命题也是命题．2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（）A．25°B．35°C．50°D．65°【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC的大小．【解答】解：∵CB⊥DB，∴∠CBD=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠D=65°，∴∠C=25°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠C=25°．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°【考点】三角形内角和定理．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角，∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正确；∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB＞∠DEC，∵∠ADB＞∠ACB，∴∠ADB＞∠DEC，故D正确；∠DCE与∠ADB的大小无法比较．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角是解答此题的关键．5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．65°D．90°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【分析】由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°，∵∠1=50°，∴∠BEF=130°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=65°，∴∠2=∠BEG=65°．故选C．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120°D．100°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，∴∠ABD=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．故选C．【点评】此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单．7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（）A．84°B．106°C．96°D．104°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵a∥b，∴∠ABC=∠1=46°，∵∠A=38°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°，∴∠B=60°，∠C=90°，∴△ABC为直角三角形．故选B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°﹣55°=35°，∴∠2=35°．故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．二、填空题11．命题“对顶角相等”的条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．【考点】命题与定理．【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果…那么…”的形式，此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果…那么…”的形式可降低难度．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= 64°．【考点】平行线的性质．【分析】两直线平行，内错角相等，据此进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC=∠ACF，即70°+x=134°，解得x=64°．故答案为：64°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是50°．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠DFE度数，再根据平行线的性质，求得∠B的度数．【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°，∴∠DFE=50°，又∵AB∥CD，∴∠B=∠DFE=50°．故答案为：50°【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= 70°，∠CED= 110°．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°，根据平行线的性质得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可．【解答】解：∵∠A=∠F=40°，∴DF∥AC，∵∠D=70°，∴∠D=∠ABD=70°，∵DF∥AC，∴∠CED+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠C ED=110°，故答案为：70°，110°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= 120°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用内角和定理可列出关于∠2的方程，可求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2，∵∠3+∠4+∠DAC=180°，∴4∠2+100°=180°，∴∠2=20°，∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°，故答案为：120°．【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2的方程求出∠2是解题的关键．16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为22 度．【考点】平移的性质；同位角、内错角、同旁内角．【分析】由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM，即可得答案．【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，故∠WMS=∠OWM=22°；故答案为：22．【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为50或130 °．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；②当为钝角三角形时可画图为，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；故填50°或130°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 10 度．【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，则180°﹣5x=130°，即可求解．【解答】解：设∠A=x．∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，则180°﹣5x=130°，解，得x=10°．则∠A=10°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC 的外角是正确解答本题的关键．三、解答题（共66分）19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定．【专题】证明题．【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．【解答】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D 互余．20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的邻补角的度数．【解答】解：小刚的答案为50°．理由如下：如图，设∠1的邻补角为∠4，∵∠1=130°，∴∠4=180°﹣130°=50°，∵∠3是人字架三角形的外角，∴∠3=∠2+∠4，∴∠4=∠3﹣∠2=50°，∴∠3比∠2大50°．【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．【解答】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F∴△ABE≌△FDC（ASA），∴AE=FC．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据已知求得∠ACB=45°，进而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根据三角形内角和定理求得2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根据三角形内角和180°，从而求得∠3的度数．【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=45°，∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2，∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2，∵∠1=∠2，∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1，∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°，∴2（45°+∠1）+∠1=180°∴∠1=30°，∴∠3==75°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根据∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根据三角形内角和，求得∠EDF即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=110°，∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°，∴∠EDB+∠FDC=140°，即∠EDF=180°﹣140°=40°【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴∠2=∠4（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠3（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= 130°；若∠A=n°，则∠BEC= 90°+n°．【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= 60°+n°；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．【解答】【问题】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°；由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=90°﹣n°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣n°）=90°+n°；探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=120°﹣n°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣n°）=60°+n°；（2）∠BOC=∠A．理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=∠A；（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．故答案为：130°，90°+n°；（1）60°+n°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．。
蒲县第二中学八年级数学上册第2章三角形2.1三角形第3课时三角形的内角和与外角教案新版湘教版9
第3课时三角形的内角和与外角【知识与技能】1.掌握三角形内角和定理.2.掌握三角形的内角与外角的关系.【过程与方法】通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力.【情感态度】让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣.【教学重点】三角形内角和定理.【教学难点】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.一、创设情境，导入新课我们都知道一个三角形的三个内角的和为180°，你知道三角形的内角和为什么是180°呢？【教学说明】通过问题，提高学生的学习兴趣.二、合作探究，探索新知1.每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个角的和为180°.为什么是180°?通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？开展小组竞赛（看哪个小组的发现多？说明清楚.），各小组派代表展示拼图，并说出理由.2.你能运用几何证明的方法证明三角形的三个内角的和为180°吗？试一试.【教学说明】学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180°，能够加深理解.3.议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？4.直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”,在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.5.三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻.6.探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【教学说明】通过证明，加深对定理的理解.三、运用新知，深化理解1.判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°.（×）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角. （√）2.已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（C）A.60°B.25°C.35°D.45°第2题图3.如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（B）A.50°B.40°C.70°D.35°第3题图4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：锐角三角形（3 、5）直角三角形（1、4、6）钝角三角形（2、7）5.在△ABC中：①∠A=35°∠C=90°则∠B=55°②∠A=50°∠B=∠C 则∠B=65 °③∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1则△ABC是直角三角形 .④∠A－∠C =35°，∠B－∠C =10°，则∠B =55° .6.在△ABC中∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.解：△ABC中,设∠A=x,则∠C=∠ABC =2xx+2x+2x=180°(三角形内角和为180°)∴得∠C=2x=72°在△BCD 中,∠BDC=90°则∠DBC =90°-∠C=18°7. 如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2为多少度？解：∵△ABC中，∠A=50°，∴∠AED+∠ADE=130°，∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）=230°.8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为多少度？【分析】如图连接CE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．解：如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．【教学说明】通过练习巩固本节课所学的内容.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.1”中第4、5、7 题.在教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始至终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力．通过有条理的表达“三角形内角和为180°”的拼图及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的证明过程，为今后的几何证明打下基础．专题18 一次函数中的待定系数法求解析式1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，∴D（3，5），把D（3，5）代入y＝﹣x+b中，﹣3+b＝5，b＝8，∴y＝﹣x+8，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣2，∴C（﹣2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D，设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10，∴P（0，﹣10）；（2）分三种情况：①当AP＝AM时，如图2，由（1）知：OP＝10，由勾股定理得：AP＝＝2，∵AB＝8，∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得：BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，∵PB＝18，∴BN＝＝9，∵AB＝8，∴AN＝9﹣8＝，∵AP＝PM，PN⊥AM，∴AM＝2AN＝2，∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，∵AN＝，PN＝9，设MN＝x，则PM＝AN＝x+，由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，，解得：x＝40，∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2﹣8或10或49．3、如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴A（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．设OC＝x，则AC＝BC＝x+1．在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2，即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4，∴C（4，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点，∴F为DG的中点．∴FG＝DF．∵在△BGF和△HDF中，，∴△BGF≌△HDF（ASA）．∴HD＝BG．∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC．∵HD∥CG，∴∠AHD＝∠ABC，∴∠HAD＝∠AHD．∴AD＝DH，∴AD＝BG．（3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M，在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝，∵CB＝CA，CH⊥AB，∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH．Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝，∵∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠BCH，∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH，∴∠BCA＝2∠BAO．又∵∠AFD＝2∠BAO，∴∠AFD＝∠BCA．又∵∠FAD＝∠BAC，∴△FAD∽△CAB，∴AF＝DF．又∵GF＝FD，∴△GAD为直角三角形．∴OG•OC＝OA2，∴OG＝．∴G（﹣，0）．∴AD＝BG＝．Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∵DM∥OA，∴，即，OM＝1，当x＝1时，y＝﹣x+3＝﹣+3＝，∴D（1，）．4、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x＝0时，y＝8，∴B（0，8），当y＝0时，﹣x+8＝0，x＝6，∴A（6，0）；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，由折叠得：AB＝AB'＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，a＝3，∴M（0，3），设AM：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图∵M（0，3），B′（﹣4，0），∴B′M＝5，当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；当B′M＝PM时，P3（4，0），当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，∴P4B′＝，∴OP4＝4﹣＝，∴P4（﹣，0），综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，即k的值是﹣1.5；（2）∵k＝﹣1.5，∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为（2，0），∴OB＝3，∵点A（2，0），∴OA＝2，∴△AOB的面积是＝＝3，又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，∴△AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，﹣a），∴1.5＝，得a＝1.5，∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．6、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC 时，求点P的坐标．解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点，设P（a，﹣a），∵PQ∥x轴，∴Q（﹣a﹣7，﹣a），∴PQ＝|a+7|，∵C（﹣3，4），∴OC＝5，∴PQ＝OC＝14，∴|a+7|＝14，∴a＝3或a＝﹣9，∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N 从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN∥x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）∵AC⊥x轴，点A（5，0），∴点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，∴OM＝6﹣2t，∵OM∥AN，MN∥x轴，∴四边形MOAN为平行四边形，∴OM＝AN，∴6﹣2t＝3t，解得，t＝，∴当MN∥x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，∵EF∥x轴，BM∥AN，∠AOE＝90°，∴四边形EOAF为矩形，∴EF＝OA＝5，EO＝FA，∵BM∥AN，∴△BDM∽△ADN，∴＝＝，∵EF＝5，∴DE＝2，DF＝3，∵BM∥AN，∴△BDE∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∵OB＝6，∴EO＝FA＝，∴CF＝AC﹣FA＝，∴CD＝＝．8、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：∴点D坐标（2，4）（2）∵直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴点B（0，8），点A（4，0），∵直线y＝x+3交y轴于点C，∴点C（0，3），∵AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，∴点E（4，5）∵点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，∴BC＝AE＝AC＝BE，∴四边形ACBE是菱形；（3）∵BC＝AC，∴∠ABC＝∠CAB，∵∠CGF＝∠ABC，∠AGF＝∠ABC+∠BFG＝∠AGC+∠CGF∴∠AGC＝∠BFG，且FG＝CG，∠ABC＝∠CAB，∴△ACG≌△BGF（AAS）∴BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，∴a＝±，∵点G在线段AB上∴a＝，∴点G（，8﹣2）9、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S△AOP：S△AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求△APC的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，∵点A（2，0），点B（﹣4，3），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE⊥x轴于E，过P作PD⊥x轴于D，4.2 不等式的基本性质第1课时不等式的基本性质1【知识与技能】1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式.【过程与方法】通过研究等式的基本性质过程,类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.【情感态度】通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.【教学重点】理解不等式的性质.【教学难点】理解不等式的性质.一、情景导入，初步认知我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质一：在等式的两边都（）或（）同一个________或________，等式仍然成立.等式的基本性质二：在等式的两边都（）或（）同一个________，等式仍然成立.请同学们大胆地猜想一下不等式有哪些基本性质？解一元一次方程有哪些基本步骤呢？一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类同呢？【教学说明】通过复习不等式性质以旧引新，为新知识的学习和应用作好铺垫，为下一步的类比、联想提供必要的生长点.二、思考探究，获取新知1.探究：（1）用不等号填空：5________3； 2________4；5+2________3+2；2+1________4+15-2________3-2；2-3________4-3.（2）水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果，在卖出akg梨和akg 苹果后，又分别购进了bkg的梨和苹果.请用“>”或“<”填空：100-a________84-a;100-a+b________84-a+b.(3)自己任意写一个不等式，在它的两边加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化，与同桌互相交流，你们发现了什么规律？【归纳结论】不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.用字母表示：若a>b，则a+c>b+c或a-c>b- c.2.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．（1）x+6>5; (2)3x<2x-2解:(1)不等式的两边都减去6，得：x+6-6>5-6即x>-1．(2)不等式两边都减去2x，得；3x-2x<2x-2-2x即x<-2．像上面这样，把不等式的某一项变号后移到另一边．称为移项，这与解一元一次方程中的移项相类似.3.动脑筋：我们知道在△ABC中，任意两边之和大于第三边，即，AB+AC>BC;AB+BC>AC;BC+AC>AB.那么三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？【教学说明】学生尝试将这个不等式变形.师生共同分析解答.【归纳结论】三角形任意两边之差小于第三边.三、运用新知，深化理解1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（D）A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>b>-a>-bD.a>-b>b>-a2.设a＜b．用“＞”或“＜”号填空.(1)a-1 < b－1；(2)a＋3 < b+3；(3)a+m < b+m;(4)a-c < b-c.3.用“＜”或“＞”填空：（1）若a－b＜c－b，则a < c（2）若a－b＞a则b < 0（3）若a＜b则a－b < 04.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．(1)x-7＞26 (2)3x<2x+1解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得x-7+7﹥26+7x﹥33(2)3x<2x+1为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去 2x ，不等号的方向不变 .3x-2x﹤2x+1-2xx﹤1【教学说明】让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材P135“练习”.新知识的生成，总觉得不是很到位的．由于没有亲自组织学生对新知识的由特殊到一般的探究过程，学生对不等式的性质的归纳总结到底处于一个什么层次，心里总是没有个底，从前面的回答来看，学生直接拿结论的现象比较严重，我们都很重视学生新知识的学习方法，为此，我也一再要求学生自学，本课在学生学习方法的指导上，丢下了这方面的指导和检查．。
新湘教版八年级上册初中数学 课时3 三角形的角 教学课件
（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
第二十一页，共三十七页。
新课讲解
练一练
2 判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.
（ ）×
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
（）
×
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
×
（4）三角形的外角和等于360°.
（）
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A，B两岛的 视角∠ACB是90度.
第九页，共三十七页。
新课讲解
练一练
1 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45 从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
知识点4 三角形外角和定理 思考 如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C
处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF =（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2） =2（∠1+∠2+∠3）.
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
23
l
证明：过点A作直线l，使得l//BC.
湘教版教材同步八上《三角形》总章课件
三角形中，有的三边各不相等，有的两边相 等，有的三边都相等.
两条边相等的三 角形叫作等腰三角形. 在等腰三角形中， 相等的两边叫作腰， 另外一边叫作底边， 两腰的夹角叫作顶角， 腰和底边的夹角叫作 底角，如图所示.
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或 正三角形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和 底边相等的等腰三角形.如图所示.
2. 三根长分别为2 cm，5 cm，6 cm的小木 棒能首尾相接构成一个三角形吗？
答：能，因为2+5>6；2+6>5；5+6>2，任意两边和大于第三边.
练一练：
1.已知三角形两边的 长分别为3cm和7c m， 则此三角形的第三边长 可能是（ D ）
A.12cm B.4cm
C.3cm D.6cm
做一做
有三根木棒，其长度分别为 2 cm， 3 cm，6 cm，它们能否首尾相接构成 一个三角形？
例题
如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD， 试判断AC与BC的大小.
解
在△BDC中，有BD+DC > BC（三角形的任
意两边之和大于第三边）. 又 AD=BD，则 BD+DC=AD+DC=AC， 所以 AC > BC.
任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了
做一做
什么？
事实上，三角形的三条中线相交于一点.我们把这三条 中线的交点叫作三角形的重心. 如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则 点G为的△ABC的重心.
例题
如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的
高， （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来. （2）其中哪些三角形的面积相等？
湘教版数学八年级上册《2.1 三角形》教案
2.1 三角形2.1.1 三角形的三边关系（第1课时）教学目的1.让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。
重点、难点1. 重点；三角形任何两边之和大于第三边的应用。
2．难点：已知三角形的两边求第三边的范围．教学过程一、复习提问1.三角形的三个内角和是多少?三角形的外角有什么性质?2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种?二、新授我们已探索了三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，今天我们要探索三角形的三边之间的不等量关系。
1．让学生拿出预先准备好的四根牙签(2cm，3cm，5cm，6cm各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么?从4根中取出3根有以下几种情况：(1)2cm，5cm，6cm(2)3cm，5cm，6cm(3)2cm，3cm，5cm(4)2cm，3cm，6cm经过实践可知(1).(2)可以摆出三角形，(3)、(4)不能摆成三角形。
我们可以发现在这三根牙签中。
如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。
这就是说：三角形的任何两边的和大于第三边。
2．下面我们再通过用圆规、直尺画三角形来验证画一个三角形；使它的三条边分别为7cm、5cm、4cm。
画法步骤如下：(1)先画线段AB=7cm(2)以点A为圆心，4cm长为半径画圆弧，(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连接AC、BC．△ABC就是所要画的三角形。
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等。
试一试：能否画一个三角形，使它的三边分别为(1)7cm，4cm，2cm(2)9cm，5cm，4cm大家在画图过程中，发现两条弧不会相交，这就是说不能作出三角形。