(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
常微分方程的发展史 毕业论文
常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程的基本理论与解法
常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。
本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。
通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。
常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。
2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。
3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。
4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。
二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。
1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。
2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。
3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。
它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。
三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。
1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。
3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。
通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程讲义++很详细
定值.方程(1.12)的初值问题常记为
(1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若已求出通解 ，只要把初值条件
代入通解中，得到方程
从中解出 C，设为
，代入通解，即得满足初值条件的解
.
对于 n 阶方程，若已求出通解 得到 n 个方程式
后，代入初值条件(1.15)，
(1.17)
2 讲 变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什
么是 21．什么是变量可分离方程？ 什形如
1． 或
（1.18）
（1.19） 的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微 分形式变量可分离方程． 方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x 的函数，另一个因式是只含 y 的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方 程
是未知函数对 t 导
数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为
(1.2) 将上式对 t 积分两次得
(1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.
一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所 介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程
（1.4）
（1.5）
(· =
)
（1.6）
(′=
)
（1.7）
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常 微分方程的一般形式可表为 （1.8） 如果在(1.8)中能将 y′解出，则得到方程 （1.9） 或 （1.10）
常微分方程的发展和应用
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔于1841年证明卡迪方程不存在一般初等解而中 断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。1873年， 德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。 在适定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年 和1876年给出常微分方程的逐次逼近法。皮亚拿在仅仅要求f (x)在(x0, y0)点邻域连续的条 件下证明了柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大发展。这些基本理论包括： 解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性， 奇解等等，这些问题是微分方程的一般基础理论问题。
运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常
微分方程求解。此外，常微分方程在化学、生物学、经济学和人口统计等领域都有应用。
常 微 分 方 程 在 物 理 学 中 应 用 的 典 型 例 子 要 属RLC电 路 。 包 含 电 阻R、 电 感L、 电
容C和 电 源 的 电 路 称 为RLC电 路 ， 根 据 电 学 知 识 ， 电 流I经 过R，L，C的 电 压 降 分 别
对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知 函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段：
发展初期是会具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通 解”时代。就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作 出现在数学家们彼此的通信中，1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方 程”这个数学名词。常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的其雏形的出现甚至比微
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第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2(1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到了Legendre 多项式. 与此同时, Hermite C 研究了方程20y xy y λ'''-+=, 得到了其幂级数解,当λ为非负偶数时即为著名的Hermite 多项式. Tchebyshevy 在研究方程22(1)0x y xy p y '''--+=的解时, 得到了Tchebyshevy 多项式.1821年, Gauss 研究了Gauss 几何方程(1)[(1)]0x x y y y γαβαβ'''-+-++-=.这个方程及其级数解2(1)(1)(,,,)1112(1)F x x x αβααββαβγγγγ++=+++⋅⋅⋅+&&& 早已为人们所熟知了，因为它已由Euler 研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel 函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss 还建立了著名的关系式()()(,,,1)()()F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-. Gauss 还建立了此级数的收敛性。
记号(,,,)F x αβγ应归源于Gauss.这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍.奇点理论、自守函数19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。
存在性定理和Sturm-Liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。
另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel 方程、Legendre 方程、Gauss 超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解， 也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。
对于这个问题，Gauss 关于超几何级数的工作指明了道路。
先导者是Riemann 和Fuchs （Weierstrass 的学生和他在柏林的继承者）。
此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L 奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。
奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为()(1)1()()0n n n y p z y p z y -++⋅⋅⋅+=的线性常微分方程，其中()i p z 除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。
此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。
这方面的重要工作还有Briot A A 和Bouquet J 的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs 和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J 的工作和Klein F 在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。
此方程源于著名的N 体问题。
N 体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N 个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。
在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。
我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。
所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。
1877年Hill George William （美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有卓越创见性的论文。
1878年，他在AJM 上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论。
Hill 的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解。
于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组。
知道了某些积分后，他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程22()0,d x t x dt θ+= 其中()t θ为π周期的偶函数。
Hill 证明了此二阶方程存在周期解，因而证实了月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究。
在他的证明中，首先将()t θ展开为Fourier 级数，然后用待定系数法确定级数解。
他的方法用到了无穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作一直受人嘲笑。
1885-1886年，Poincare 证明了Hill 的证明手法的收敛性。
Poincare 对Hill 的成就的注意和完善，使Hill 和有关课题著名了。
Poincare 参与了Hill 方程的研究，在Hill 的工作的刺激下，Poincare 为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了常微分方程定性研究的新时代。
4、常微分方程定性理论阶段：19世纪末期和20世纪初期从时间上看, 19世纪末期和20世纪初期是常微分方程发展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展, 都与Poincare 的工作相联系。
一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是Poincare 的定性理论；三是Liapunov 的稳定性理论.Poincare 的定性理论在代数学中，五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍Sturm 创立用代数方法决定实根个数的新成就。
类似地，在非线性方程一般不能求``初等解"的事实下，Poincare 独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支。
1881-1886年, Poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳定性等问题的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.1892年至1898年间, Poincare 刻画了天体力学系统运动的特征, 并引导到微分方程定性理论的创立. 他发现微分方程的奇点起着关键作用.他把奇点分为鞍点、结点、焦点和中心四类, 讨论了解在各种奇点附近的性态. Poincare 将他的论文定名为《论微分方程所定义的积分曲线》是突出了他所研究的主题和应用的方法。
这一新分支的内容包括奇点附近积分曲线的分布、极限环（即孤立周期解）、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解附近积分曲线的情形等等。
Poincare关于常微分方程定性理论的一系列课题, 成为动力系统理论的开端.Poincare的定性理论在研究思想上成功突破了常微分方程定量求解的束缚, 其创新之处体现在以下几个方面：由复域的研究又转到实域的研究，由定量研究转向定性研究，由分析方法转为分析和几何方法的有机结合，由函数作为对象的研究转到曲线作为对象的研究，由个别解的研究转到解的集体的研究，由解的解析性质的研究转到解所定义的积分曲线的几何拓扑性质的定性研究，由应用等式转到应用不等式，由局部研究转向全局研究。
常微分方程定性理论另一位主要创始人是挪威数学家Bendixson, 从1900年起，他开始从事Poincare所开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作, 1901年发表了著名论文《由微分方程定义的曲线》。
1926年至1927年Birkhoff G以三体问题为背景继承和发展了Poincare的工作, 创立了动力系统理论. 到了20世纪30年代, 由于新的物理、力学以及工程技术和自动控制等问题的推动, 使微分方程定性理论中的概念、问题和方法又在新的条件下得到发展.1937年, Andronov A和Pontryagin L提出了结构稳定性概念, 并严格证明了其充要条件, 使动力系统的研究向大范围发展.由于天体力学，特别是"三体问题"的需要，庞加莱总结了天文学家A.林斯泰特等人的方法，系统地整理在《天体力学的新方法》一书中，并加以发展成为摄动理论或小参数理论。