10一元二次方程的解
10道公式法解一元二次方程练习题及答案
10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。
一元二次方程的几种解法
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
x2 4x 1 0.
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
6x2 x 5 0.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2.
二、一元二次方程的解法
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
除以二次项系数，得
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一次项 x2 4x 4 1 4.
系数一半的平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
开平方，得
x 2 5.
x1 2 5, x2 2 5.
2xx 3 2x2 1 （不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
一元二次方程的意义及解法
一元二次方程的解法探究目标链接：1、 掌握用直接开平方法、因式分解法、配方法、求根法等方法解一元二次方程。
2、 通过对一元二次方程的解法，体会数学中有简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想。
知识要点：知识点1：直接开方法形式：形如（x+h ）2=k 2（k 是常数）的方程知识点2：配方法配方法是一元二次方程的重要方法，熟练地掌握完全平方式是配方法解题的基础。
对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。
若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后配方比较简便。
知识点3：一元二次方程的球根公式形如ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- b 2-4ac ＜0时，原方程无解知识点4：用公式法解一元二次方程的一般步骤（1） 化为一般式（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求出b 2-4ac 的值（4）代入公式求解。
知识点5：一元二次方程的根的判别式。
代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。
知识点6：因式分解法这种方法的依据是，若a-b=0，则a=0或b=0其形式就是把已知方程通过因式分解把它们化成A-B=0的形式。
例如（x-2）（x+1）=0可用此法解之，其步骤：（1）将方程右边化为零（2）将左边分解因式（3）令每个因式为零（4）解每一个一元一次方程，它的解就是原方程的解。
典型例题：例1 用直接开平方法解下列方程（1）x 2-9=0 (2)4(x-2)2-36=0 (3)21(x+3)2=4例2 用配方法解下列方程（1）x 2-4x-3=0 (2)x 2+3x-1=0例3 用公式法解下列方程（1）2x 2+7x=4 (2) 21x 2+ 21x=81 (3)x 2+3=22x例4 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）x 2+9=6x (2)x 2+3x=-1 (3)3x 2+3=26x例5 已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等实数根，求k 的值并解这个方程。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
用公式法求解一元二次方程
用公式法求解一元二次方程 一、公式法公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是：2b x a-±=．上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用．(2)应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．(3)b 2－4ac ≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．一元二次方程的求根公式的推导：一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程． ∵a ≠0，∴方程的两边同除以a 得20b cxx a a++=． 配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵a ≠0，∴a 2＞0，∴4a 2＞0．∴当b 2－4ac ≥时，2244b ac a-是一个非负数．此时两边开平方得22b x a a+=，∴2b x a-±=【知识拓展】(1)被开方数b2－－4ac有意义．(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可以代入公式求一元二次方程的根．【新课导读·点拨】因为a ＝1，b ＝－1，c ＝－90，所以()()2114190119212x ±--⨯⨯-±==⨯．故x 1＝10，x 2＝－9(不符合实际，舍去)．所以全校有10个队参赛．【例1】解下列方程．(1)x 2－2x ＝0； (2)3x 2＋4x ＝－1； (3)2x 2－4x ＋5＝0． 分析：解：(1)x 2－2x －2＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，∴21222322x ±±==，∴113x =+，113x =- (2)原方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，∵a ＝3，b ＝4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝42－4×3×1＝4＞0， (3)2x 2－4x ＋5＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝5，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0， ∴该方程没有实数根．二、一元二次方程根的判别式定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定.我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，读作：“delta(德尔塔)”．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． 反之亦成立．【知识拓展】(1)根的判别式是△＝b 2－4ac ，而不是24b ac =-(2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．(3)如果一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0．探究交流已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．分析：根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．【例2】一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C．##整理归纳##$$练习$$##题型##单选##题干##(2013·珠海中考)已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是( )A．99帮有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解##答案##B##解析##方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.$$更多练习$$##题型##主观填空题##题干##(2011·上海中考)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是______． ##答案## c ＞9##解析##∵关于xx 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，∴△＝(－6)2－4c ＜0，即36－4c ＜0，c ＞9##题型## 主观题 ##题干##(2012·珠海中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0． (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝3时，求方程的根． ##答案##解：(1)当m ＝3时，△＝b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根. (2)当m ＝－3时，原方程变形为x 2＋2x －3＝0.∵b 2－4ac ＝4＋12＝16，216122x -±==-±，∴x 1＝1，x 2＝－3.##题型## 主观题 ##题干##(2013·乐山中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0． (1)求证方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．##答案##(1)证明：∵△＝(2k ＋1)2－4(k 2+k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实根.(2)解：一元二次方程x 2－(2k+1)x ＋k 2＋k ＝0的解为2112k x +±=，即x 1＝k ，x 2＝k＋1，不妨设AB ＝k ，AC ＝k ＋1，当AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解的k ＝4.所以k 的值为5或4.$$典型$$ ##典例精析##类型一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程． （1）x 2＋2x －2＝0；(2) 23x+=；（3）21028n n -+=分析：方程(1)(3)可直接确定a ，b ，c 的值，方程(2)需先化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－2)＝12＞0，∴212x -±==-±11x =-+，11x =--(2)将方程化为一般形式，得230x -+=．∵a ＝1，b =-，c ＝3，∴(22441340b ac -=--⨯⨯=-<∴原方程没有实数根．（3）∵a ＝1，b =-，18c =，∴221441028b ac ⎛⎫-=--⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴224n ±==，∴124n n ==.规律方法小结：(1)用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．(2)b 2－4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分，b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．(3)当b2－4ac ＝0时，应把方程的根写成122bx x a==-，的形式，用以说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．类型二 不解方程判定根的情况【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x 2－x －1＝0； (2)2x 2＋3x ＝－2； (3)－2x 2－3x ＋4＝0． 解：(1)∵a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，∴△＝b 2－4ac ＝1＋4＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可变形为2x 2＋3x ＋2＝0， ∵a ＝2，b ＝3，c ＝2，∴△＝b 2－4ac ＝9－16＝－7＜0， ∴原方程没有实数根．(3)原方程可变形为2x 2＋3x －4＝0，∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．类型三 几何图形中的方案设计问题【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2．(所备材料全部用完)分析：设未知数，将矩形的长和宽表示出来，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．解：设AB ＝x m ，则BC ＝(50－2x)m ．根据题意可得x(50－2x)＝300，解得x 1＝10，x 2＝15．当x ＝10时，BC ＝50－2×10＝30＞25，不符合题意，舍去， 当x ＝15时，BC ＝50－2×15＝20＜25，符合题意， 故AB ＝15 m ，BC ＝20 m.答：可以围成AB 的长为15 m ，BC 的长为20 m 的矩形．【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解，注意围墙MN 最长可利用25 m ，舍掉不符合题意的数据．类型四 用公式法解含字母系数的一元二次方程【例4】解关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－2＝0． 解：∵a ＝1，b ＝－2m ，c ＝m 2－2， ∴()228422222212m b b ac m x m a --±-±-±====±⨯∴1x m =+2x m =- 【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解，准确确定a ，b ，c 的值是解题的关键．类型五 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．【例5】k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－12x ＋9＝0． (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?分析：(1)当△＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△＝b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．分别求出是的取值范围即可．解题时注意二次项系数k ≠0． 解：方程是一元二次方程，则k ≠0． (1)若方程有两个不相等的实数根，则△＝ b 2－4ac ＝144－36k ＞0，解得k ＜4．所以k ＜4且k ≠0． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＝144—36k ＝0，解得k ＝4． (3)若方程没有实数根，则△＝b 2－4ac ＝144－36k ＜0，解得k ＞4．类型六 设计方案解决几何图形面积问题【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．”他的说法对吗?请说明理由．分析：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段长优咖，则较长的一段长(40－m)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确． 解：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ， 由题意，得22405844x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x 1＝12，x 2＝28．当x ＝12时，40－x ＝40－12＝28，当x ＝28时，40－x ＝40－28＝12＜28(舍去)． ∴较短的一段长12 cm ，较长的一段长28 cm.(2)设剪成的较短的一段长m cm ，则较长的一段长(40－m)cm ，由题意，得22404844m m -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得m 2－40m ＋416＝0，∵△＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．类型七 分类讨论求方程的根【例7】解关于x 的方程(k －1)x 2＋(k －2)x －2k ＝0．(23k >)分析：解含有字母系数的方程，往往要按字母的取值分类讨论．此题有两种情况，k ＝1和k ≠1，当且仅当k ≠1时，二次项系数不为零，才能用一元二次方程的求根公式来解．解：当k ＝1时，原方程为－x －2＝0，∴x ＝－2． 当k ≠1时，∵a ＝k －1，b ＝k －2，c ＝－2k ，∴b 2－4ac ＝(k －2)2－4(k －1)(－2k)＝9k 2－12k ＋4＝(3k －2)2≥0， ∴x=11kx k =-，22x =-【解题策略】当二次项系数中含有参数时，要讨论；次项系数是否为零．类型八 应用根的判别式判断三角形的形状【例8】已知a ，b ，c 分别是伽c 的三边长，当m ＞0时，关于x 的一元二次方程()()220cx m b x m ++--=有两个相等的实数根，则△ABC 是什么形状的三角形?分析：由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到与m 有关的等式，由m ＞0得a ，b ，c之间的关系，从而判定三角形的形状． 解：将方程化为一般形式()()20b c x c b m +-+-=．因为原方程有两个相等的实数根， 所以()()()240b c c b m ∆=--+-=，即4m(a 2＋b 2－c 2)＝0，又因为m ＞0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2．根据勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形．类型九 探索含字母系数的一元二次方程的根的情况【例9】已知关于z 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)．(1)当a ，c 异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出一个a ，c 同号，且有实数根的一元二次方程，并解这个方程．分析：(1)只需说明b 2－4ac ＞0即可．(2)是一个开放性问题，写出的方程满足a ，c 同号，且b 2－4ac ≥0即可．解：(1)因为a ，c 异号，所以ac ＜O ，所以－4ac ＞0，所以b 2－4ac ＞0， 所以，当a ，c 异号时，该方程必有两个不相等的实数根．(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b 2－4ac ≥0． 例如方程x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1．【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它满足的条件是a ，c 同号且b 2－4ac ≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程的重难点及题型
一元二次方程的重难点及题型【重难点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【思路点拨】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【题型】①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x+3＝1/x属于分式方程，故错误；⑤√x+1＝x﹣1属于无理方程，故错误；故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
【重难点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【题型】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，得m²﹣9＝0，解得m＝﹣3或3，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念【重难点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤【思路点拨】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【重难点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．【题型】（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；（2）由题意知a＝3，则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac的关系是解答此题的关键．【重难点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂。
十字相乘解一元二次方程方法
十字相乘解一元二次方程方法【原创版3篇】篇1 目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤3.示例：用十字相乘法解一元二次方程4.总结与拓展篇1正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种求解一元二次方程的简便方法，它是一种基于因式分解的解法。
这种方法之所以被称为“十字相乘”，是因为在分解因式的过程中，需要将常数项和一次项分别写在十字的两边，并通过交叉相乘得到二次项的系数。
【2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤】1) 确定一元二次方程的标准形式：ax + bx + c = 02) 计算判别式：Δ = b - 4ac3) 根据判别式的值判断方程的根的情况：- Δ > 0：方程有两个不相等的实根- Δ = 0：方程有两个相等的实根- Δ < 0：方程无实根4) 根据一元二次方程的求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (-b ±√Δ) / (2a)5) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到一个关于 a、b、c 的因式分解式6) 根据因式分解式，得出方程的两个根【3.示例：用十字相乘法解一元二次方程】示例：求解方程 2x - 3x - 2 = 01) 确定方程的标准形式：2x - 3x - 2 = 0，a = 2, b = -3, c = -22) 计算判别式：Δ = (-3) - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 253) 根据判别式的值判断方程的根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根4) 根据求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (3 ±√25) / (2* 2) = (3 ± 5) / 4，x1 = 1, x2 = -2/2 = -15) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到 2(x - 1)(x+ 2) = 06) 根据因式分解式，得出方程的两个根：x1 = 1, x2 = -2【4.总结与拓展】十字相乘法作为一种解一元二次方程的简便方法，在实际应用中具有较高的价值。
10道公式法解一元二次方程练习题及答案
10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。
10道公式法解一元二次方程练习题
10道公式法解一元二次方程练习题公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。