2020年12月安徽省池州市东至县普通高中2021届高三毕业班大联考数学(理)试题
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
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18.（本题12分）
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19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
安徽省池州市东至二中2020-2021学年高二上学期12月份阶段考试数学(理)答案
参考答案一、选择题二、填空题13．[)01,,000<++∞∈∃ax x 14．2515．10716．分）分）3(5,2(1422=+y x 【详解】（1）由已知，31,122c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===，∴椭圆的方程为2214x y +=。
(2)设(),0Em 、()11,M x y 、()22,N x y ，当直线n 不为x 轴时的方程为x ty m =+，联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2224240t y tmy m ⇒+++-=212122224,44tm m y y y y t t -∴+=-=++()()()()212122222222221212211111||||111y y y y EA EB y y t y t y t+-+=+=⋅+++()()()22222232828114m m tt m -++=⋅+-∴当且仅当2232828m m -=+即5m =±时22115||||EA EB +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211||||EA EB +为定值5题号123456789101112答案A C B BADCACACA点E的坐标为,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
经检验，当直线AB 为x 轴时上面求出的点E 也符合题意。
三、解答题17.p 为真命题时，()40,04m m m -<<<，q 为真命题时，24m >，2m >或2m <-，∵p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，∴p 与q —真一假，当p 真，q 假时，02m <≤，当p 假，q 真时，2m <-或4m ≥，∴()(][),20,24,m ∈-∞-⋃⋃+∞.18.解：（1）由已知，DA⊥AE,BA⊥AE,得到AE⊥面ABCD，故AE⊥BD，又AC⊥BD,故BD ⊥平面AEC；(5分）（2）连接EO，由（1）知BD⊥AO,BD⊥EO,∠AOE 为二面角A-BD-E 的平面角，即∠AOE=60°.不妨设AE=3,则在Rt△AOE 中，AO=1，AC=2,又由（1）知AE⊥面ABCD，∠ACE 为直线EC 在平面ABCD 所成的角，即∠ACE=θ.在Rt△ACE 中，722=+=AC AE EC 故721sin ==EC AE θ19.（1）两圆相减可得2x +y +1=0，圆C 1的圆心为（–1，0），半径为1，圆心到直线的距离d，∴圆C 1和圆C 2的公共弦长455=；（5分）（2）圆C 2的圆心为（1，1），半径为2，圆心到直线l2=，设直线l 的方程为y =k （x +1），即kx –y +k =022=，∴k =1或17，∴直线l 的方程为y =x +1，或y =17（x +1）．20.（Ⅰ）将点4,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程得22271612525a b +=，由短轴长为2，知1b =，故23a =，则椭圆的方程为2213x y +=.（4分）（Ⅱ）由题意可得PA的斜率为，即PA 的倾斜角为60︒，当PA 与直线l 所成夹角为30°时，易知直线l 的倾斜角为30°或90︒.①当直线l 的倾斜角为90︒时，85PB =，5PA ==，则1123sin 30225PAB S PA PB =⋅︒=△；②当直线l 的倾斜角为30°时，直线l的方程为4535y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即135y x =+，联立方程2213513y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2237220525x x +-=，则5B P x x +=-，故5B x =-.145BP P B x =-=，1sin 30225PAB S PA PB =⋅︒=△，综上可得PAB △的面积为12325或21325.21.（1）证明：取AB 中点F，连接MF、NF，∵M 为AD 中点，∴MF∥BD，∵BD ⊂平面BDE，MF ⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N 为BC 中点，∴NF∥AC，又D、E 分别为AP、PC 的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE ⊂平面BDE，NF ⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F，且MF，NF ⊂平面MFN，∴平面MFN∥平面BDE，又MN ⊂平面MFN，则MN∥平面BDE；（5分）(2)二面角的正弦值为2110522.1）因为圆22(1)1x y -+=的圆心是(1,0)，所以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，∴椭圆的离心率是22，22c a ∴=222,1a b ∴==，所以椭圆方程为2212x y +=。
2020-2021学年安徽省池州市普通高中高二上学期期末联考理数试卷
2020-2021学年安徽省池州市普通高中高二上学期期末联考理数试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题p ： x R ∀∈， 2210x x --≥，则p ⌝是（ ）A ．x R ∃∈， 2210x x --≥B ．x R ∀∈， 2210x x --<C ．x R ∃∈， 2210x x --<D ．x R ∀∈， 2210x x --≤2． 异面直线是指 ( )A ．空间中两条不相交的直线B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．平面内的一条直线与平面外的一条直线D ．不同在任何一个平面内的两条直线3．ABC ∆中，()4,0B -，0(4)C ，，10AB AC +=，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．221(3)259x y x +=≠± B ．221(5)259x y x +=≠± C ．221(3)2516x y x +=≠± D ．221(5)2516x y x +=≠± 4．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++=5．设,,αβγ表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是( )A ．如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于βB ．如果αγ⊥， βγ⊥， l αβ⋂=，那么l γ⊥C ．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD ．如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β6．直角ABC ∆的三个顶点在半径为R 的球面上，两直角边的长分别为6和8，球心到平面ABC 的距离是12，则R =（ ）A ．26B ．20C ．13D ．107．设抛物线24y x =的焦点为F ， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若OP PF =，则OPF 的面积为（ ）A B C D ．8．如图，在三棱锥C DAB -中，E F 、分别是AC BD 、的中点，若EF AB ⊥，且向量EF 与CD 的夹角为30，则棱CD 与棱AB 的关系是（ ）A ．2CD AB = B ．CD AB =C ．2AB CD = D ．无法确定9．在空间四面体EFGH 中，点I 是面FGH 的重心，则=EI （ ）A ．111222EF EG EH ++B ．C ．111444EF EG EH ++ D ．111555EF EG EH ++ 10．“a ≤0”是“函数f(x)=(|x(ax +1)|)在区间(−∞，0)内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件11．一个几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．92+B ．5+C ．6+D ．132+12．设12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过点()1,0F c -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．12BC ．2D ．2二、填空题13．若直线20x y m -+=与圆224680x y x y +-++=相切，则实数m =__________．14．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>，点12F F 是其左右焦点，点0(5,)P y 与点Q 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形12FQF P 的面积为__________．15．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ， 1AC =， 12AA =， 90BAC ∠=，若直线1AB 与直线1A C 的夹角的余弦值是45，则棱AB 的长度是__________． 16．过点()4,6P 引直线l 分别交,x y 轴正半轴于A B 、两点，当OAB 面积最小时，直线l 的方程是__________．三、解答题17．设l R ∈，已知P ：函数()21f x x x =-+有零点， 2:,12q x R x t ∀∈-≥- （Ⅰ）若q 为真命题，求t 的取值范围；（Ⅱ）若p q ∨为假命题，求t 的取值范围.18．如图，正八面体P ABCD Q --由两个棱长都为的正四棱锥拼接而成.（Ⅰ）求PQ 的长；（Ⅱ）证明：四边形PAQC 是正方形；（Ⅲ）求三棱锥A PBC -的体积.19．已知圆2211:(1)2C x y -+=与圆2C 的公切线是直线y x =和y x =-，且两圆的圆心距是3，求圆2C 的方程.20．已知平面上动点M 到直线2y =-的距离比它到点()0,1F 的距离多1.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动点M 形成的曲线为E ，过点()0,1P -的直线l 交曲线E 于AB 两点，若直线OA 和直线OB 的斜率之和为2（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程.21．如图，在几何体ABCDEFG 中，面ABCD 是正方形，其对角线AC 与BD 相交于N ， DE ⊥平面ABCD ， ////DE AF BG ， H 是DE 的中点， 22DE AF BG ==.（Ⅰ）若点R 是FH 的中点，证明： //NR 平面EFC ；（Ⅱ）若正方形ABCD 的边长为2， 2DE =，求二面角E FC G --的余弦值.22．如图，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点，圆()2216:(0)3A x t y t -+=<与椭圆C 的一个公共点为()0,2B ，且直线FB 与圆A 相切于点B .（Ⅰ）求t 的值和椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若F '是椭圆C 的左焦点，点P 是椭圆C 上除长轴上两个顶点外的任意一点，且F PF θ∠'=，求θ的最大值.参考答案1．C【解析】根据定义可得2:,210p x R x x ⌝∃∈--< ，故选C.2．D【解析】A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行；B 不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交；C 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交；D 正确，这就是异面直线的定义，故选 D.3．B【解析】 由题意可得108AB AC BC +=>=⇒ 顶点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为22222221()5,49x y x a a c b a c a b+=≠±⇒==⇒=-=⇒ 所求轨迹方程为：221(5)259x y x +=≠±，故选B. 【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型.先利用椭圆的定义判定：A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为22221()x y x a a b +=≠±，再利用待定系数法求得轨迹方程为：221(5)259x y x +=≠±. 4．A【解析】2222460{3060x y x y x y x y x +-+=⇒+=+-= ，故选A. 5．D【解析】由上图可得选项A 中： α 内存在直线1CC β ,故A 正确；选项B 中：直线l 即为直线1BB ,故B 正确；选项C 中：可用反证法假设存在直线,a a αβαβ∃⊂⊥⇒⊥ ，与已知矛盾，故C 正确；选项D 中: 11,CC CC αβ∃⊂ ,故D 错误.综上应选D.6．C【解析】ABC ∆ 的外接圆半径52r ==⇒ 球半径13R == ,故选C. 7．B【解析】由抛物线的性质可得11,122OPF P S ∆⎛⇒=⨯=⎝，故选 B. 8．A【详解】如图G 为所在边的中点，30,22FEG EF AB EG FG CD AB ∠=⊥⇒=⇒= ,故选A. 9．B【解析】()()()21113233EI EF FH FG EF EH EF EG EF EF EG EH =+⨯+=+-+-=++ ,故选B.10．C【解析】试题分析：令t=（ax-1）x=ax 2-x,则t′=2ax −1，设t′=2ax −1=0，解得x=12a ，所以，当a≥0时，函数t=（ax-1）x 在（－∞，12a ）上是减函数，在（12a ，+∞）上是增函数，即极小值为－14a ，当x<0时，t>0,所以a≥0时，函数f(x)=|(ax −1)x|在区间（－∞，0）内单调递减；若函数f(x)=|(ax −1)x|在区间（－∞，0）内单调递减，则x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0,即2ax −1<0成立,所以2a ≥0，故选A.考点：1.导数的应用；2.充分必要条件的判断.11．B【解析】由上图可得其表面积为(11112212121112222⎛⎫⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭5=+ ,故选B.【点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握求面积技巧.12．D【解析】 设1122(0)3,423,|2FB k k AF k AB k AF a k BF a k =⇒==⇒=-=- ，再由22222212||||3BF AF AB AF k AF F =+⇒=⇒∆ 是等腰直角三角形22c a e ⇒=⇒= ，故选D,【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合程度高，属于较难题型. 设1|(0)FB k k = ，进而求得223,AF a k =- 22BF a k =-， 代入22222212||||3BF AF AB AF k AF F =+⇒=⇒∆ 是等腰直角三角形，从而求得离心率. 13．133--或【解析】圆方程可化为()()22235x y -++=⇒ 圆心()2,3C - ,半径d m ==13=- 或3- .14．【解析】 由已知可得22222124533161(5,),(5,),(416422a x y e a P Q F a +==⇒=⇒-=⇒---113333(525,),(5)(5()(52222F P FQ S ⇒=+=-+-⇒=+⨯---+⨯=.15．1【解析】如图建立坐标系设AB a = ，则 ()()()()1110,0,0,,0,2,0,0,2,0,1,0A B a A C AB ⇒ ()()1114,0,2,0,1,2cos ,115a A C AB A C a AB ==-⇒==⇒=⇒= 16．32240x y +-=【解析】设直线l 方程为4611(0,0)196x y a b ab S a b a b +=>>⇒=+≥⇒≥⇒= 112192ab ≥ (当且仅当46a b =即8{12a b == 时取等号 ) :32240l x y ⇒+-= .【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.17．(Ⅰ) (),-∞⋃+∞ ;(Ⅱ) ( 【解析】(Ⅰ) 为真命题的充要条件是所以或.即的取值范围是.(Ⅱ) 当为假命题时，. 为假命题, 则假假.假时，有所以与取交集得，.故的取值范围是.18．(Ⅰ); (Ⅱ)见解析；（Ⅲ）312a . 【解析】(Ⅰ) 连结，交平面于，则O 为正方形的中心.取的中点, 连结.在直角三角形中，于是(Ⅱ) 连结,因为所以四边形是菱形.又因为，所以四边形是矩形.故四边形是正方形.（Ⅲ）19．()()((22222222482244x y x y x y x y -+=++=+-=++=或或或【解析】由题意知, 圆的圆心在轴上或轴上. （1）设.因为两圆的圆心距是,所以解得或到直线的距离是直线的距离是此时圆的方程是或（2）设.因为两圆的圆心距是,所以，解得.到直线的距离是此时圆的方程是或故圆的方程是或或或20．（Ⅰ）24x y =;（Ⅱ）21y x =-. 【解析】（Ⅰ）由题意知，动点到定点的距离等于它到定直线的距离，所以动点的轨迹是以定点为焦点、定直线为准线的抛物线因为，所以动点的轨迹方程是（Ⅱ）曲线是设点直线的方程为.联立得.因为当时，有不等实数根，满足条件.故直线的方程是【点睛】本题考查抛物线的定义及其方程、抛物线的简单几何性质和直线与抛物线，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型. 第一小题紧扣抛物线定义再利用待定系数法求得轨迹方程；第二小题 利用设而不求法和韦达定理求得2k =，进而求得直线方程.21．(Ⅰ)略；(Ⅱ) 5-. 【解析】(Ⅰ)分别取、的中点、，连结、、， 则∥∥∥，且∴四边形为平行四边形 ， ∴∥.又平面，平面，∥平面.(Ⅱ)分别以直线、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则所以设平面的法向量为，由， ，令得,. 同理可得到平面的法向量为.于是<,>,所以二面角的余弦值为.22．（Ⅰ）3-,221164x y +=;（Ⅱ）120︒. 【解析】（Ⅰ）由题意可知. 又. 因为 所以.在中，，.故椭圆的标准方程为（Ⅱ）设则由余弦定理得，，所以即当且仅当时取等号，最小值是，的最大值是【点睛】本题考查椭圆其方程、椭圆的简单几何性质、直线与圆和解三角形，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型. 第一小题先利用勾股定理求得t值，再利切线性质求得c值，进而求得椭圆方程；第二小题利用余弦定理求得22cos1bmnθ=-，再利用重要不等式工具进行求解.。
2021年池州市高三教学质量统一监测理科数学试卷及答案
2 7
期望为 ( ) = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = ………………...5 分
注：如果写成 = 1,2,3,4,5,6,7,而当 = 1,2,3,4,5,时的概率算对了，则给 1 分 （Ⅱ）方案二中化验次数 可能取值为 2,3,4,5 ．
( = 2) = ∙ + = , ………………………………………………………………...6 分
22． 【 选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xoy 中，直线 的参数方程为
= = √3 + √ （t 为参数），以坐标原点 O 为极
点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = 2．
（Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点 （0，√3），若直线 与曲线 C 相交于不同的两点 、 ，求| | + | |的值．
B． 3 2
C． 7 2
2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
D． 4 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 若实数 x ， y 满足约束条件
≤ + − 2 ≤ 0，则 = 2 + 的取值范围是_______．
+2≥0
高三（理科）数学 第 2 页（共 4 页）
14． 已知点 是抛物线 = 8 上动点， 是抛物线的焦点，点 的坐标为(4,1)，则| | + | |的
方案一：逐个检测，直到能确定阳性拭子为止； 方案二：采用“5 合 1 混”检测技术，若检测为阴性，则在另外 2 支拭子中任取 1 支检测。
安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期12月联考理科数学试题
安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期12月联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、未知 1．设复数132iz i+=-，则||z =（ ） A ．3B．2C ．2D2．设全集U =R ，集合{}{|(1)(3)0},|24xA x x xB x =--≤=<，则集合(),UA B ⋂等于（ ）A ．(1,2)B ．(2.3]C ．(1,3)D ．(2,3)3．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|0x x +->；命题q ：“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．已知单位向量a ，b 满足|2||2|a b a b +=-，则(4)()a b a b +⋅-=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．定义在R 上的偶函数()1()22x m f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设31211log ,,()33a f b f c f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<6．两千多年前，古希腊著名数学家欧几里得把素数（即质数）看作数学中的原子．长期以来，人们在研究素数的过程中取得了及其丰硕的成果，如哥德巴赫猜想、梅森素数等．对于如何判断一个大于1的自然数0n 是否为素数，某数学爱好者设计了如图所示的程序框图，则空白的判断框内应填入的最优判断条件为（ ）A ．?i k ≤B ．1?i k ≤-C ．?i k ≥D ．1?i k ≥-7．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞8．已知0>ω，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11C D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．40πB ．41πC ．42πD ．48π10．已知函数12()ln x e f x x a x x-=+，当1x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞eB ．)22,e ⎡-+∞⎣C ．[),e +∞D ．[2,)+∞11．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(3,4)P -在角α的终边上，则sin 2α=_________．12．已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -=的最大值为_________．13．已知函数()f x 的图象经过点(0,2)-，若函数(1)1009y f x =+-为奇函数，则(2)f =___________．14．已知ABC 中，,3,62A AB AC π∠===．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =___________时，B C '取到最小值___________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,25a S ==，且11211n n n S S S n n n -+=+-+，（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求n S ，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设12231111n n n T a a a a a a +=+++，求2021T 的值． 16．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos cos cos sin cos B A C B C +=． （1）求角C 的大小；（2）若6c =，且AB 边上的中线4CD =，求ABC 的面积．17．如图，在棱柱ABCD EFGH -中，AE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形且222,3AB AD AE BAD π===∠=．（1）证明：平面BDH ⊥平面BCH ； （2）求二面角C AH D --的余弦值． 18．已知函数()1xx xf x ae e=--（其中0a >，e 是自然对数的底数）． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 恰好有两个零点，求实数a 的取值范围． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，3BAD π∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（1）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使得//PA 平面MQB ； （2）在（1）的条件下，若3PB =，求直线PD 和平面МQB 所成角的正弦值． 20．已知函数ln ()1xf x x =-． （1）求()f x 的单调区间； （2）证明：2()x xf x e>（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅）二、单选题21．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知368,7S S ==，则789a a a ++等于( )A ． 18B ．18-C ．578D ．55822．函数2()(2)e x f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C．D．。
安徽省池州市2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题
安徽省池州市2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题安徽省池州市2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，且复数z 满足13i z i ?=-，则z 的共轭复数（） A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数0.862r =，则下列判断正确的是（）A ．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B ．商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C ．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D ．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系3．2021年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下22?列联表，经计算2 3.030K ≈，则下列结论正确的是（）附：A ．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B ．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C ．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D ．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关4．8122x ??+的展开式中二项式系数最大的项是（） A ．235xB ．220xC ．470xD ．435x5．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都.某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街”、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（） A ．10B ．16C ．24D ．326．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（） A ．113B ．117C ．417D ．12217．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（） A ．44B ．54C ．65D ．778．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A ，B ，C 三人两两不相邻，A 和D 是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）A ．288B ．144C ．96D ．729．已知函数()xf x e =，其中e 为自然对数的底数，导函数()f x '，设()()22f e f m e -=-，则下列判断正确的是（）A ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，且()()2m f f e ''<<B ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，且()()2f m f e ''<<C ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =-，且()()2f e f m ''<<D ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =-，且()()2f f e m ''<<10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（） A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:111．2021年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.现从年龄在[)50,60、[)60,70的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[)50,60的人数，则()3P X ==（）A ．49B ．59C ．23D ．82112．已知不等式232ln 31x ax x x e --对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．[),e +∞C ．(]0,1D ．(]0,e二、填空题13．a R ∈，且01a <<，复数z =在复平面上对应的点(),P x y ，复平面上的动点P 的集合所对应区域的面积为______.14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布()()260,0N σσ>，若()800.2P ξ>=，则()6080P ξ≤≤=________.15．设e11d m x x=，其中e 为自然对数的底数，若()52501252m x a a x a x a x -=++++，则4a =________.16．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意0x >都有()()3f x f x x '<，且()44f =，则不等式()31016f x x -<的解集为________.三、解答题17．某县教研室联合本县A ，B 两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面22?列联表：（1）估计A 校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．已知函数()325f x x x ax =--+，其中a 为常数.（1）当5a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.19．某湿地公园占地约44万2m ，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身.当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队.组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x 表示跑步队成立的天数，y 表示当天跑步队的人数，给出部分数据如下表所示：经研究发现，可以用y c =+作为y 关于x 的回归方程类型. （1）根据表中的数据，建立y 关于x 的回归方程；（2）请预测第36天跑步队的人数. 参考数据：其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑，i t =5115i i t t ==∑.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，a v u β=-.20．某企业生产的某种产品尺寸在[)72.8,97.2（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元，现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为85x =，求这100件产品的尺寸的方差2s ；（2）若该产品的尺寸服从正态分布( )2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；②设该企业每生产一件该产品的利润为X ，求X 的分布列.6.1≈，若随机变量()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<+=，()220.9545P Z μσμσ-<+=，()330.9973P Z μσμσ-<+=.21．已知函数()()ln 1f x x x m x m =+-+，其中m Z ∈. （1）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（2）若对任意1x >，()0f x >恒成立，求m 的最大值.22．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现A ，B 双方参加比赛，A 方在每一场获胜的概率为()01p p <<，假设每场比赛的结果相互独立. （1）当1 3p =时，求A 方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B 方在每一场获胜的概率为q ，设比赛场数为ξ. （i ）试求ξ的分布列及数学期望()E ξ；（用P ，q 表示）（ⅱ）求()E ξ的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.参考答案1．A 【分析】首先化简复数z 得到3z i =--，再求其共轭复数即可. 【详解】由题意可得()13133iz i i i i-==--=--，所以z 的共轭复数是3i -+. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的共轭复数，属于简单题. 2．B 【分析】根据相关系数的值，判断是正相关，且具有较强的相关关系【详解】因为0.8620r =>，所以商品销售额与利润率正相关，又0.8620.75r =>，所以具有较强的相关关系. 故选：B 【点睛】此题考查线性回归分析中相关系数与其相关程度的判断问题，属于基础题 3．B 【分析】根据2 3.030 2.706K ≈>，直接判断选项. 【详解】依据2 3.030 2.706K ≈>，故有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关. 故选：B 【点睛】本题考查独立性检验中2K 的理解与意义，属于基础题型. 4．C 【分析】根据二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，再根据通项公式可求得结果. 【详解】由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ??==.故选：C. 【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题. 5．A 【分析】分两类：第一类，最后游玩“镇淮楼古街”，第二类，不在最后游玩“镇淮楼古街”，从而根据排列组合可得解. 【详解】分两类：第一类，最后游玩“镇淮楼古街”，则有33A 种游玩线路；第二类，不在最后游玩“镇淮楼古街”，则有1 222C A 种游玩线路.所以该同学不同的游玩线路数为31232210A C A +=种游玩线路. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用，解题的关键是分好类，属于基础题. 6．C 【分析】先判断第1次抽到黑桃的前提下，还剩下12张黑桃，共剩51张扑克牌，再求此时抽到黑桃的概率即可解题. 【详解】在不放回地抽取且第1次抽到黑桃的前提下，还剩下12张黑桃，共剩51张扑克牌，故第2次也抽到黑桃的概率为1245117=. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率，是基础题.7．B 【分析】求出凸六边形、七边形的对角线条数，即可通过观察推理出凸十二边形的对角线条数. 【详解】通过列表归纳可得故凸十二边形的对角线条数为234567891054++++++++=. 故选：B 【点睛】本题考查数与式中的逻辑推理，属于基础题. 8．D 【分析】先将除A ，B ，C 三人的其余三人排序，再安排D ，最后将B ，C 插入剩余三个空位即可. 【详解】分三步：先将除A ，B ，C 三人的其余三人进行排序，有33A 种方法，因为A 和D 必须相邻，所以A 只能插入与D 相邻的两个空位，有2种方法，最后将B ，C 插入剩余三个空位，有2 3A 种方法故共有3233272A A ??=种方法.故选：D 【点睛】本题考查采用“插空法”，“捆绑法”排序，考查学生分析问题和解决问题的能力. 9．B 【分析】根据导数的几何意义可求得曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，根据指数函数()x f x e =的增长速度越来越快，故曲线的切线斜率越来越大，根据m 的几何意义可得结果.【详解】因为()xf x e =，所以()xf x e '=，0(0)1f e '==，所以曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，由指数函数()xf x e =的图象可知，函数的增长速度越来越快，故曲线的切线斜率越来越大，()()22f e f m e -=-表示两点()()22f ,，()(),e f e 连线所在直线的斜率，易知其在点()()22f ,处的切线斜率与点()(),e f e 处的切线斜率之间，故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了指数函数的增长速度，属于基础题. 10．C 【分析】根据线段和三角形的重心的定义与性质，来类推四面体重心的性质．【详解】解：线段的重心分线段的比为1:1，三角形的重心到顶点的距离与到对边的距离之比为2:1，所以可类比得到四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为3:1．故选：C ．【点睛】本题考查类比推理、重心的定义与性质，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于基础题． 11．D 【分析】本题先求出参数0.020a =，再根据题意求得年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[)60,70的抽取4人，最后求()3P X =. 【详解】由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++?=，解得0.020a =，年龄在[)50,60的人数为0.0301010030??=，年龄在[)60,70的人数为0.021010020??=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[)60,70的抽取4人.所以()31644108321C C P X C ===.故选：D. 【点睛】本题考查补全频率分布直方图、分层抽样、求离散型随机变量的概率，是基础题. 12．A 【分析】本题先参变分离得到2ln 32ln 31x x x x e a +++≥，再换元法得到1t t a e +≥，令()1tt f t e +=，并求出()t tf t e'=-，利用导函数求出()max 1f t =，最后得到答案. 【详解】解：由232ln 31x ax x x e --≥得232ln 32ln 312ln 31x x xx x x x x e a e +++++≥=，令2ln 3t x x =+，则t R ∈，于是等价转化为1t t a e +≥对于一切实数恒成立，设()1t t f t e+=，则()t t f t e '=-，所以当0t <时，()0f t '>，()f t 单调递增，当0t >时，()0f t '<，()f t 单调递减，所以()()max 01f t f ==，所以1a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导函数研究不等式的恒成立问题，利用导函数研究函数的最值，是偏难题. 13．4π【分析】由复数与复平面的关系，可确定复平面的点在第一象限的单位圆上，再结合面积公式即可求解. 【详解】设x =y =221x y +=，且0x >，0y >，故所对应的区域为14个单位圆，面积为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查复数与复平面的关系，复数的几何意义，属于基础题14．0.3 【分析】由正态分布的对称性可知()()128060802P P ξξ->≤≤=.【详解】由()()2~60,0N ξσσ>，得60μ=，故()()128060800.32P P ξξ->≤≤==.故答案为：0.3 【点睛】本题考查服从正态分布的随机变量的概率，属于基础题. 15．80 【分析】利用定积分求出m ，根据二项展开式的通项公式可得结果. 【详解】因为ee 111d ln 1m x x x ===?，所以条件等式即为()525012512x a a x a x a x -=++++,由二项展开式的通项公式可得()441451280a C =??-=.故答案为：80. 【点睛】本题考查了定积分，考查了展开式的通项公式，属于基础题. 16．()4,+∞ 【分析】设函数()()3f xg x x=，利用导数结合()()3f x f x x '<可得()g x 在()0,∞+上单调递减，将()31016f x x -<化为()()4g x g <可解得结果. 【详解】()()3f x f x x '<即为()()30xf x f x '-<，设函数()()3f x g x x=，则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''?-?-'==<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又因为()44f =，所以()()3414416f g ==，不等式()31016f x x -<可化为()3116f x x <，即()()4g x g <，所以4x >，故解集为()4,+∞. 故答案为：()4,+∞. 【点睛】本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题. 17．（1）45；（2）有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关. 【分析】（1）A 校数学成绩优秀学生的人数为48，代入概率公式即可得到答案；（2）计算216.667K ≈，由于16.66710.828>，从而得出结论. 【详解】（1）由抽取数据，A 校数学成绩优秀学生的人数为48，所以估计A 校学生数学成绩为优秀的概率估计值为484605= （2）()221004824161216.66764366040K ??-?=≈，由于16.66710.828>，故有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关. 【点睛】本题考查的是独立性检验的知识点，考查计算能力，属于简单题型.18．（1）()f x 单调递增区间为(),1-∞-，5,3??+∞ ；单调递减区间为51,3??-；（2）1,3??-∞-. 【分析】（1）求导后，利用导数的符号可得结果；（2）转化为对一切实数x ∈R ，()2320x x a f x =--≥'恒成立，利用判别式可得结果.【详解】（1）当5a =时，()3255f x x x x =--+，求导可得()()()2325351x x f x x x =--=-+'，令()0f x '=，得1x =-，或53x =. 当1x <-或53x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当315x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以()f x 单调递增区间为(),1-∞-，5,3+∞；()f x 单调递减区间为51,3??- ??. （2）因为()325f x x x ax =--+，所以()232x x a f x '=--，因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以对一切实数x ∈R ，()2320x x a f x =--≥'恒成立，所以()()22430a ?=--??-≤，解得13a ≤-，故实数a 的取值范围是1,3??-∞-. 【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了由函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.19．（1）18y =+（2）198人. 【分析】（1）令t =y c d t =+?，计算得3t =，511920i i i t y ==∑，52155i i t ==∑，30d =，把样本点的中心()3,108代入108303c =+?，得18c =，可得1830y t =+，所以18y =+（2）将36x =代入18y =+中，可得结果. 【详解】（1）∵y c =+t =，∴y c d t =+?，∵1234535t ++++==，108y =，511920i i i t y ==∑，52155i i t ==∑，∴515222151920531083055535i ii i i t y t yd t t==--??===-?-∑∑，把样本点的中心()3,108代入108303c =+?，得18c =，∴1830y t =+，∴y 关于x的回归方程式：18y =+；（2）将36x =代入18y =+中，得18198y =+=，故预测第36天跑步队的人数为198人. 【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了利用最小二乘法求回归直线方程，考查了利用回归方程对总体进行预测，属于中档题.20．（1）37.5；（2）①0.9545；②分布列见解析. 【分析】（1）根据方差公式可得结果；（2）①根据85x μ==，6.1σ=≈，以及()220.9545P Z μσμσ-<+=可得结果；②依题意得200X =，80-，由①知()2000.9545P X ==，则()8010.95450.0455P X =-=-=，由此可得分布列.（1）这100件产品的尺寸的方差22267.572.5272.577.59(85)(85)21002100s ++=-?+-?277.582.522(85)2100++-?282.587.533(85)2100++-?22287.592.52492.597.5897.5102.52(85)(85)(85)210021002100++++-?+-?+-?所以22250.021000.09250.2200.33250.241000.082250.0237.5s =?+?+?+?+?+?+?=；（2）①因为该产品的尺寸符合正态分布()2,N μσ，85x μ==，6.1σ=≈，所以2852 6.172.8μσ-=-?=，2852 6.197.2μσ+=+?=由正态分布可知，每生产一件该产品，尺寸在[)72.8,97.2内的概率0.9545P ≈，即每生产一件该产品，该产品是正品的概率为0.9545. ②依题意得200X =，80-，由①知()2000.9545P X ==，则()8010.95450.0455P X =-=-=，故X 的分布列为：【点睛】本题考查了方差公式，考查了正态分布的三个特殊概率，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题. 21．（1）11e-；（2）3. 【分析】（1）求导后，利用导数的符号得到单调区间，根据极值的定义可得结果；（2）求出导数，分类讨论m ，当2m ≤时，符合题意，当2m >时，利用导数求出()f x 的最小值2m m e --，解不等式20m m e -->可得结果.（1）函数定义域为()0,∞+，当1m =时，()ln 1f x x x =+，故()ln 1f x x '=+，所以当10x e<<时，()0f x '<，所以()f x 单调递减；所以当1x e>时，()0f x '>，所以()f x 单调递增故()f x 在1=x e 处取得极小值，极小值为111f e e ??=-；（2）由()()()ln 11f x x x m x m x =+-+>，得()()ln 11ln 2f x x m x m '=++-=+-，当2m ≤时，易知()0f x '>在()1,+∞时恒成立，故()f x 在区间()1,+∞上单调递增，故()()110f x f >=>，符合题意，当2m >时，令()0f x '=，得2m x e -=.列表如下：故()f x 的最小值20m m e -->，设()()22m g x m em -=->，则()210m g m e -'=-<，故()g m 在()2,+∞上单调递减，而()330g e =->，()2440g e =-<，所以不等式20m m e -->的解为：02m m <<，其中()03,4m ∈，所以m 的最大值为3.本题考查了利用导数求函数的极值，考查了分类讨论思想，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了零点存在性定理，属于中档题. 22．（1）227；（2）（i ）分布列见解析，22633p q pq ++；（ⅱ）338，建议A ，B 双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数. 【分析】（1）根据A 方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，可得结果；（2）（i ）ξ取值为3，4，5.求出ξ取各个值的概率即可得分布列；（ⅱ）根据()222121633648E p q pq pq ξ??=++=++ ??和104pq <≤可得结果，【详解】（1）A 方恰在比赛四场后赢得比赛，则A 方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，所以A 方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为223121233327C =；建议A ，B 双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数. （2）（i ）易知1p q +=，ξ取值为3，4，5.()333P p q ξ==+，()22223333433P C p q p C q p q p q pq ξ==?+?=+，()222222322344566P C p q p C q p q p q p q ξ==?+?=+，故ξ的概率分布列为：所以点的数学期望为()()()()333332233433566E p q p q pq p q p q ξ=+++++. ()()()()22222231230p q p pq q pq p q p q p q =+-+++++ ()()22313121230pq pq pq p q =-+-+22633p q pq =++.（ⅱ）()222121633648E p q pq pq ξ??=++=++，因为1p q +=，01p <<，所以104pq <≤，所以()E ξ在14pq =，即12p q ==时，取得最大值，最大值为211213364488??++=.由数学期望的表达式可知当10,4pq ??∈ ??时，()E ξ单调递增，所以pq 接近0时，即当p ，q 相差较大时，也就是0p →，1q →或者1p →，0q →时，比赛场数的数学期望相对较小，故建议A ，B 双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数. 【点睛】本题考查了独立重复试验的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，考查了离散型随机变量的数学期望，属于中档题.。
安徽省2020-2021学年高二12月联考试题 数学(理) Word版含答案
名校联盟2020～2021学年高二12月联考数学试卷(理科)考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：人教版必修5，选修2－1。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题p ：∃x 0>0，12x 02＋32x 0－44<0的否定是A.∃x 0>0，12x 02＋32x 0－44≥0B.∀x>0，12x 2＋32x －44≥0C.∀x ≤0，12x 2＋32x －44≥0D.∃x 0≤0，12x 02＋32x 0－44≥02.在△ABC 中，AC ＝6，cosB ＝45，C ＝4π，则AB 的长为D.53.“x ≤3”是“x 2－7x ＋12≥0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 9＝10，则S 11＝A.110B.65C.55D.455.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，若线段OF 的垂直平分线与抛物线C 的一个交点为M ，且|MF|＝3，则p ＝A.2B.4C.5D.86.在底面是正方形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝3π，则|1AC |＝C.37.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则20202a a ＝A.2019B.－1C.1D.－20198.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是7，则P 到F 2的距离是A.13B.1C.1或13D.2或149.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 是棱AA 1的中点，AA 1＝AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝3π，则直线CD 与直线BC 1所成角的余弦值为A.14B.7C.7D.710.已知a>0，b>0，c ∈R 则下列结论正确的是①若a>b ，则ac 2>bc 2；②若a>b>c>0，则a a cb b c+>+； ③若a>b ，c>0，则c a >c b ；④若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12。
安徽省池州市东至县胜利中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析
安徽省池州市东至县胜利中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线的顶点坐标是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A本题主要考查抛物线方程、直线的斜率、直线与抛物线、直线与圆的相切问题，同时考查分析和解决问题的逻辑思维能力、运算能力，难度中等．设平行于割线的直线与抛物线切于点，斜率为k，则切线方程为，又，所以①，因为切线与过点、的割线平行，所以有，即②，代入抛物线方程得③。
切线与圆相切，所以④，由①②③④可得a=4,所以顶点为（-2，-9），选择A。
2. 执行下列程序框图运行的结果是672，则下列控制条件正确的是A. B.C. D.参考答案：D3. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝（）A. B. C. 0 D. 4参考答案：C4. 函数y=的最大值是( )A．1B．3C．D．2﹣5参考答案：A考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；从而可得故y=﹣=，从而确定最值．解答：解：y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；故y=﹣=，故易知当t=0时有最大值1，故选A．点评：本题考查了函数表达式的化简与最值的求法5. 已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则A. B. C. D.参考答案：B由可得，又在第四象限，则，故选B.6. 若是夹角为的单位向量，且，，则=A. B. 1 C -4 D.参考答案：A7. 设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值为(A)10 (B) 8 (C) 7 ( D)2参考答案：B8. 已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．9. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：B解析：依次排除A、C、D【高考考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【易错点】：不能很好地找出反例【备考提示】：此类题采用排除法解题10. 已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】解：∵S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+2a n﹣（1+2a n﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比与首项都为2．∴S20==221﹣2．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为虚数单位，则=___．参考答案：112. 已知平面向量、，||=1，||=，且|2+|=，则向量与向量+的夹角为．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得⊥，由平行四边形法则结合图象可得．【解答】解：∵||=1，||=，且|2+|=，∴|2+|2=7，∴4+4+=7，∴4×1+4+3=7，∴=0，∴⊥，设向量与向量+的夹角为θ结合平行四边形法则可得tanθ=，∴θ=故答案为：【点评】本题考查数量积和向量的夹角，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13. 已知，，则的值为________．参考答案：14. 已知、是双曲线的左右两个焦点，若双曲线上存在点满足，，则双曲线的离心率为.参考答案：15. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.参考答案：10【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.16. 设复数z满足，则z= ．参考答案：17. 若实数x，y满足条件，则的最大值为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。