高中数学 211 曲线与方程课时作业 新人教A版选修21(1)
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2
2.4.2 抛物线的简单几何性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x 1＋x 2＋______.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172 B ．3 C . 5 D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x≥0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)pp 22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.] 3．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4＝a 2， |QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a.]7．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0， 解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)． 设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，所以，|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.1.2 求曲线的方程(1) 含解析
第二章 2.1课时作业11一、选择题1．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1D．|x±y|＝1解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.由题意知||x|－|y||＝1.答案：C2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16.整理得，x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2.∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D3．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，∴y2＝4x(x>0，y>0)，即y＝2x(x>0)．答案：A4．[2014·河南省实验中学月考]动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A. y 2＝4xB. y 2＝－12(x －4)C. 若x ≥3，则y 2＝4x ；若x <3，则y 2＝－12(x －4)D. 若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)解析：本题主要考查求曲线的方程．设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.答案：D二、填空题5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则动点P 的轨迹方程是________．解析：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，半径r ＝1，则|PB |2＝|P A |2＋r 2.∴|PB |2＝2.∴P 的轨迹方程为：(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝26．如右图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4，即x 24－y 22＝1. 答案：x 24－y 22＝1 7．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程是__________．解析：设M (x ，y )，A (m,0)，B (0，n )，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(m,0)＋25(0，n )，∴m ＝53x ，n ＝52y .又由|AB |＝5，得m 2＋n 2＝25，即(53x )2＋(52y )2＝25，于是，所求点M 的轨迹方程是4x 2＋9y 2＝36.答案：4x 2＋9y 2＝36三、解答题8．[2012·江西高考]已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.求曲线C 的方程．解：由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y . 根据题意，得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y .9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：如图，设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别是(2,0)、(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.。
高中数学人教A版选修21课时作业：2.1.1 曲线与方程
第二章 2.1 课时作业10一、选择题1．[2014·广东省中山一中期中考试]方程(2x －y ＋2)x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )A ．一个点与一条直线B ．两条射线或一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆解析：本题主要考查曲线与方程的关系．原方程等价于x 2＋y 2－1＝0即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B. 答案：B2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在圆(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析：依题意得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，化简得cos α＝12， ∵0≤α<2π，∴α的值为π3或5π3. 答案：C3．方程x 2＋6xy ＋9y 2＋3x ＋9y －4＝0表示的图形是( )A ．两条重合的直线B ．两条互相平行的直线C ．两条相交的直线D ．两条互相垂直的直线解析：方程可化为(x ＋3y ＋4)(x ＋3y －1)＝0，即x ＋3y ＋4＝0或x ＋3y －1＝0，所以原方程表示的图形是直线x ＋3y ＋4＝0和x ＋3y －1＝0，这是两条互相平行的直线．故选B.答案：B4．已知曲线ax 2＋by 2＝2经过点A (0,2)和B (1,1)，则a 、b 的值为( )A. 12，32B. 32，12C. －32，32D. 12，－32解析：∵A (0,2)和B (1,1)都在曲线ax 2＋by 2＝2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·0＋4b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.答案：B二、填空题5．点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，则a 的值是__________．解析：∵点P 在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，∴a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，解之得a ＝－1或a ＝－5.答案：－1或－56．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1. 答案：17．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：数形结合如右图：当a >1时，两条曲线有两个交点．答案：a >1三、解答题8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上？(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， ∴(m 2)2＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185. 故m 的值为2或－185.9．已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π.。
高中数学 2.1.2求曲线的方程课时作业 新人教A版选修21
高中数学 2.1.2求曲线的方程课时作业新人教A版选修21(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是( )A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选B.设P(x,y),由题设得=3,所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点【解析】选B.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.注意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉.3.(2014·临沂高二检测)在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点轨迹方程是( )A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)【解析】选C.易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.所以选C.【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为.【解析】设动点为P(x,y),则由条件得:=|x|+2,平方得y2=4x+4|x|,当x≥0时,y2=8x;当x<0时,y=0.所以动点的轨迹方程为y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).答案:y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即可得出点C的轨迹方程或根据=α+β及α+β=1,用α表示出的坐标,再消去α即可得出点C的轨迹方程.【解析】选D.设C(x,y),因为=α+β,所以(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),所以(x,y)=(3α-β,α+3β),得即因为α+β=1,所以+=1,整理得x+2y-5=0.【一题多解】选D.由=α+β=α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)=(4α-1,3-2α),设C点的坐标为(x,y),得=(x,y),所以消去α得x+2y-5=0.5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为( )A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4【解析】选B.由=,知R,A,P三点共线,且A为RP的中点.设P(x,y),R(x1,y1),由=,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),得即x1=2-x,y1=-y代入直线y=2x-4中,得y=2x,故选B.6.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且·=1,则P点的轨迹方程是( )A.3x2+y2=1(x>0,y>0)B.3x2-y2=1(x>0,y>0)C.x2-3y2=1(x>0,y>0)D.x2+3y2=1(x>0,y>0)【解析】选D.设A(x0,0),B(0,y0),则=(x,y-y0),=(x0-x,-y),因为=2,所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以得因此A点坐标为,B点坐标为(0,3y),又因为点Q与点P关于y轴对称,所以Q(-x,y),由·=1,得(-x,y)·=1,即x2+3y2=1,又P点在第一象限,所以x>0,y>0.故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·温州高二检测)已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数,设点M 的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是.【解析】设点M(x,y),则据题意有=,则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以+=1,故曲线C的方程为+=1.答案:+=18.(2014·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-,则动点P 的轨迹方程为.【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±,k AP=,k BP=,由条件知k AP·k BP=-,所以×=-,整理得x2+2y2-2=0(x≠±).答案:x2+2y2-2=0(x≠±)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x≠±”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.9.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.则∠OPB=30°.因为|OB|=1.所以|PO|=2.所以P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且=,求点M的轨迹C的方程.【解析】设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).由=(x0-x,-y),=(0,-y0),且=,得(x0-x,-y)=(0,-y0),所以于是又+=4,所以x2+y2=4,所以,点M的轨迹C的方程为+=1.【变式训练】若长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足=2,求动点C 的轨迹方程.【解析】设A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b),则=(x-a,y),=(-x,b-y),因为=2,所以即又因为|AB|=3,所以a2+b2=9,即9x2+y2=9,即x2+=1.故动点C的轨迹方程为x2+=1.11.(2013·陕西高考改编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程.【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.【解析】A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·长沙高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.依题意可得,4+4(x-2)=0,整理可得y2=-8x.2.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为( )A.f(x-3,y)=0B.f(y+3,x)=0C.f(y-3,x+3)=0D.f(y+3,x-3)=0【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x′,y′),又(x′,y′)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.【解析】选 D.设P′为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x′,y′),依题意有⇒又(x′,y′)适合方程f(x,y)=0,故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选D.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q 点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=,y=,所以x0=2x+1,y0=2y-2.因为点P在直线2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.4.(2014·哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,则动点P的轨迹方程为( ) A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=-2(x≠±1)C.x2-3y2=2D.x2-3y2=2(x≠±1)【解析】选B.设P(x,y),由于点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以B(1,-1).k PA=(x≠-1),k PB=(x≠1),因为k PA·k PB=,所以·=.整理得x2-3y2=-2(x≠±1).【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则AB中点M的轨迹方程是( ) A.x2+y2=9 B.x+y=6C.2x2+y2=12D.x2+2y2=12【解析】选A.设M点坐标为(x,y),A(0,y0),B(x0,0),因为M为AB中点,所以得因为|AB|=6,所以=6,整理得:x2+y2=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·成都高二检测)如图,动点M和两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为.【解析】设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0,当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3),当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,将tan∠MBA=,tan∠MAB=代入上式,化简可得3x2-y2-3=0,而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).答案:3x2-y2-3=0(x>1)6.已知sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,则点P(a,b)的轨迹方程为.【解题指南】根据sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sinθ,cosθ的关系,再通过消参,消去sinθ,cosθ得到a,b的关系式.【解析】由根与系数的关系知由①2-②×2得a2-2b=1.因为a=sinθ+cosθ=sin,所以-≤a≤,b=sin2θ,所以-≤b≤.所以点P的轨迹方程为:a2=2(-≤a≤).答案:a2=2(-≤x≤)【知识拓展】参数法的定义及消参的方法(1)参数法的定义求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常用方法①代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;②加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;③平方法:通过平方,整体代入消去参数.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·南京高二检测)△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.【解析】设A的坐标为(x,y),AB的中点D的坐标为(x1,y1).由中点坐标公式可知因为AB边上的中线CD=3,所以(x1-4)2+=9,化简整理得(x-8)2+y2=36.所以点A的轨迹方程为(x-8)2+y2=36(y≠0).8.(2014·大庆高二检测)已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A 在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y)是曲线上任意一点,并设Q(a,0),A(0,b),则=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),·=3a-b2=0 ①,因为=2,所以所以②把②代入①,得y2=4x,所以,动点M的轨迹方程为y2=4x.。
2.1曲线方程-人教A版高中数学选修2-1课时练习
高二年级（数学）学科习题卷曲线方程 一、选择题：1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( ) A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 ( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为 ( )A ．22610x y x +++＝B ．22610x y x +-+＝C ．2210103x y x +-+= D ．2210103x y x +++=5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )6．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( ) A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤- D ．0(||1)y x =≥7．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线二、填空题：8．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为______________．10．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2215x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足5NP NM =，则点P 的轨迹方程为______________．三、解答题：11．已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．12.已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．13.两个定点(2,2),(0,2)P Q -，长为2的线段AB 在直线y x =上移动，求直线PA ，QB 的交点M 的轨迹方程。
高中数学人教A版选修2-1数学：2.1.1《曲线和方程》测试(新人教A版选修2-1).docx
曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。
中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。
四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是 （ ）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。
3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 。
（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件 。
4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ； （2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 。
人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。
(完整版)【全程复习方略】2014-2015学年高中数学2.1.1曲线与方程课时作业新人教A版选修2-1
、选择题（每小题3分，共18分）1.f(x o ,y o )=O 是点 P(x o ,y o )在曲线 f(x,y)=0 上的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件,若点 P(x o ,y o )在曲线 f(x,y)=0 上,则必有f(x o ,y o )=O;又当f(x o ,y o )=o 时，点 P(x o ,y o )也一定在方程 f(x,y)=o 2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 （ ）A. y 2=x 与 y= ..B. y=lgx 2与 y=2lgx 卩+1C. ==1 与 lg(y+1)=lg(x-2)D. x 2+y 2=1 与|y|= \ I 一【解析】选D.主要考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y € R,而y=.…中y 》o,B 中y=lgx 2中X M o,而y=2lgx y+1中 x>o ；C 中 - =1 中 y € R,x 工 2,而 lg （y+1）=lg （x-2） 中 y>-1,x>2,故只有 D 正确.-安阳高二检测）曲线y=… .-一和y=-x+ I —公共点的个数为 （ ）曲线与方程基础巩固训练」（30分钟 50分）【解析】 选C.由曲线与方程的概念可知对应的曲线上，故选C.【解析】 4.(2014 A.3B.2C.1D.03.(2oi4选C.方程x 2+y 2=1（xy<o ）表示以原点为圆心为半径的圆在第二、四象限的部分,1【解析】选C.由得-x+•詁炀=』二「:好，ly = -盖 + VX两边平方并整理得-X-1) 2=0, 所以x== 这时 耳,故公共点只有一 •个(呂 V ).尸・_ .厂中X 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而导致出 5.如果曲线C 上点的坐标满足方程 F(x,y)=O,则有( )A. 方程F(x,y)=O 表示的曲线是CB. 曲线C 的方程是F(x,y)=OC. 点集{P|P € C}? {(x,y)|F(x,y)=O}D. 点集{P|P € C} u {(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B 错，因为以方程F(x,y)=O 的解为坐标的点不一定在曲线 C 上，若以方程F(x,y)=O 坐标的点都在曲线 C 上,则点集{P|P € C}={(x,y)|F(x,y)=0}, 故D 错，选C.2 26. (2014 •青岛高二检测)方程(x-y) +(xy-1) =0表示的是 ( )A. 两条直线B. —条直线和一双曲线C.两个点D.圆fx - y = 0,【解析】选C.由题意，.Uy 二 4所以 x=1,y=1 或 x=-1,y=-1,所以方程(x-y) 2+(xy-1) 2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1). 二、填空题(每小题4分,共12分)一 2 27. (2014 •天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x -ay =1上,则a= ____________ .1【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a —.答案：y【变式训练】 已知点A(a,2)既是曲线y=mf 上的点，也是直线x-y=0上的一点，则m ____________ . 【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上， 得 a=2,即 A(2,2).1又点A 在曲线y=mx 上,所以2=m- 22,得m=.【误区警示】解题中易忽略 的解为答案:-8.(2014 •重庆高二检测 )如果直线I :x+y-b=0 与曲线 C:y=「_ ，-有公共点，那么b 的取值范围是【解题指南】 本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=. L —的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=，I — 表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(土 1,0)),如图,当答案：[-1,、_] 9.方程y=... __________________________ —…-【所表示的曲线是 .rx - 2P x > 2,I —x + 2T x < 2所以方程表示的是射线 x-y-2=0(x > 2)及x+y-2=0( x<2). 答案:两条射线【误区警示】 本题易忽视方程自身的条件对 y 的约束，即y > 0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0, 从而得 出方程表示的曲线是两条直线. 三、解答题(每小题10分，共20分) 10.方程—x _ y 表示的曲线是什么图形 ？(1 - y = 1 - [4 fy = |x|,【解析】原方程可化为[―図*,即klWl, 所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1 < x w 0)和y=x(0 < x < 1).如图：【解析】 原方程可化为：y=|x-2|=2 2 i - i11.曲线x +(y-1) =4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,若有一个交点、无交点呢【解析】由y = kO -2)+4, / + (y — i)2 - %得(1+k 2)x 2+2k(3-2k)x+(3-2k) 2-4=0, △ =4k 2(3-2k) 2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4] =48k-20.所以△ >0,即k>—时,直线与曲线有两个不同的交点 12 △ =0,即k= 时,直线与曲线有一个交点； △ <0,即k< 时,直线与曲线没有交点.112【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方法曲线与直线交点的个数就是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数 判别式进行判断.本题是判断直线和圆的交点问题，用的是代数法.也可用几何法，即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出 k 的范围.有些题目，在判断交点个数时，也可用数形结合法.能力提升训练歹(30分钟 50分)、选择题(每小题4分，共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2经过点A(0,2)和B(1,1),则a,b 的值分别为 (1 33 1 代工B：，7 3 3 1 3C.-工D ：，- 72 2【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax +by =2上，所以A. 一条直线B. 两条平行线段,而方程组解的组数可利用根的2.(2014临沂高二检测)方程〔 =1表示的图形是 ( )C. 一个正方形D. —个正方形(除去四个顶点)【解析】选D.由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且X M 0,y工0,当x>0,y>0时，方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两端点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).3. 已知圆C:(x-2) +(y+1) =4 及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1) ( )A. 不在圆C上,但在直线I上B. 在圆C上，但不在直线I上C. 既在圆C上,也在直线I上D. 既不在圆C上,也不在直线I上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标分别代入圆C及直线I的方程，均满足.4. (2014 •成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.0<a<1 或a>1D.a €【解题指南】分别作出y=a|X|和y=x+a所表示的曲线.再根据图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图，要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大，所以a>1.【变式训练】如图所示,定圆半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=O与直线x-y+1=0的交点在()b+c a+b a-c a+b '因为 a+b<0,a-c>0,b+c<0,所以 x<0,y<0,所以交点在第三象限，选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5. _____________________________________________________________________________ (2014 •济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2 的图象与x 轴所围成的三角形的面积是 _________________________________ 【解析】当x-2<0时，原方程可化为y=-x; 当x-2 > 0时,原方程可化为y=x-4. 故原方程表示两条共顶点的射线 ,易得顶点为 B(2,-2),与x 轴的交点为0(0,0),A(4,0),所以曲线1y=|x-2|-2 与x 轴围成的三角形面积为&AO = -|OA| • |y B |=4.得-|ax|=_ I _",即 a 2x 2=1-x 22 2所以(a +1)x =1,代入 y=-|ax|, 得 y=-. 一， ¥ iH-a 1所以它们有2个交点. 答案:2A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】选C.由m览%以:6.(2014-石家庄咼— :检测)曲线y=- \ 1【解析J fy 二 —y/1 — x 2( 由ax| — O f:一-与曲线y+|ax|=0(a € R)的交点个数为答案：4【一题多解】由y=-"「一、•，得x2+y2=1(y < 0)表示半圆如图由y+|ax|=O,得y=-|a||x|, 表示过原点的两条射线,如图.所以由图象可知，它们有两个交点•答案:2三、解答题(每小题12分，共24分)7. 已知点P(x o,y o)是曲线f(x,y)=0 和曲线g(x,y)=0 的交点,求证：点P在曲线f(x,y)+ 入g(x,y)=0(入€ R) 上.【证明】因为P是曲线f(x,y)=0 和曲线g(x,y)=0的交点，所以P在曲线f(x,y)=0 上，即f(x o,y o)=O,P在曲线g(x,y)=0 上,即g(x o,y o)=O,所以f(x o,y o)+ 入g(x o,y o)=o+ 入0=0, 故点P在曲线f(x,y)+入g(x,y)=0(入€ R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技巧解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念，明确两条原则，即若点的坐标适合方程，则该点必在方程的曲线上；若点在曲线上，则该点的坐标必适合曲线的方程•另外，要证明方程是曲线的方程，根据定义需完成两步：①曲线上任意一点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8. 当曲线y=1 + >.- 二与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，求实数k的取值范围.【解析】曲线y=1 + :二一■「是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆，如图.直线y=k(x-2)+4 是过定点(2,4)的直线.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径 2,£ 3 所以k o =,直线PA 的斜率k i =—,12 4 弓 3所以实数k 的取值范围是 一<k<-.12 4设切线PC 的斜率为k o ,切线PC 的方程为y=k o (x-2)+4.即一亠二=2,。
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课时作业8 曲线与方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．方程(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝0表示的图形是( )
A ．圆
B ．两条直线
C ．一个点
D ．两个点
解析：由已知得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2＝0，
y ＋2＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2.
所以方程表示点(2，－2)． 答案：C
2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2
＋(y －2)2
＝2，则点M(2,1)满足( )
A ．在直线l 上，但不在曲线C 上
B ．既在直线l 上，也在曲线
C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上
D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可． 答案：B
3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )
A ．两条线段
B ．两条直线
C ．两条射线
D ．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y ＝|x|(y≤1)． 答案：A
4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )
A ．x ＋y ＝5
B ．x ＋y ＝5(x≥0)
C ．x ＋y ＝5(y≥0)
D ．x ＋y ＝5(0≤x≤5)
答案：D
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )
解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．
答案：D
6．若曲线y ＝x 2
－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则( )
A ．m ∈R
B ．m ∈(－∞，1)
C ．m ＝1
D ．m ∈(1，＋∞)
解析：联立y ＝x 2
－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2
－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1. 答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若P (2，－3)在曲线x 2
－ay 2
＝1上，则a 的值为________． 解析：由22－a (－3)2
＝1，得a ＝13.
答案：13
8．方程x 2
－y 2
＝0表示的图形是________．
解析：由x 2
－y 2
＝0得y ＝±x ，所以方程x 2
－y 2
＝0表示的图形是两条直线． 答案：两条直线
9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．
解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与
x 轴围成的图形的面积为12
×2×1＝1.
答案：1
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知方程x 2
＋(y －1)2
＝10.
(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解：(1)因为12
＋(－2－1)2
＝10，而(2)2
＋(3－1)2
≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．
(2)因为点M (m
2，－m )在方程x 2＋(y －1)2
＝10表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22
＋(－m －1)2
＝10，解得m ＝2或m ＝－18
5
.
11．(15分)求曲线x 2
－xy －y 2
－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标．
解：在方程x 2
－xy －y 2
－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2
－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1.
∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．
12．(15分)求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2
＋y 2
＝4恒有交点．
证明：联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
mx －y －m ＋1＝0 ①x －22＋y 2
＝4 ②
由①得y ＝mx －m ＋1.
代入②得，(x －2)2
＋[mx －(m －1)]2
＝4， ∴(m 2
＋1)x 2
－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2
＝0，
Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2－2m ＋3)＝4[3(m －1
3)2＋83
]>0，对任意m ∈R
成立，所以两曲线对任意m ∈R 恒有交点．。