2019 2020新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册
2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用课件新人教A版必修第一册

答案
核心素养形成
题型一 三角函数在物理中的应用 例 1 交流电的电压 E(单位:V)与时间 t(单位:s)的关系可用 E=220 3 sin100πt+π6来表示,求: (1)开始时的电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
答案
金版点睛
解三角函数应用问题的基本步骤
[跟踪训练2] 某地昆虫种群数量在七月份 1~13 日的变化如图所示,且 满足 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).
(1)根据图中数据求函数解析式; (2)从 7 月 1 日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?
解 (1)由图象可知 ymax=900,ymin=700, 且 A+b=ymax,-A+b=ymin, 所以 A=ymax-2 ymin=900-2 700=100,b=ymax+2 ymin=800, 且 T=12=2ωπ,所以 ω=π6. 将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点,得π6×7+φ=π2.所以 φ=-23π. 因此所求的函数解析式为 y=100sinπ6x-23π+800.
答案
从而所求的函数关系式是 x=3sin23πt+π2=3cos23πt. (2)令 t=5,得 x=3cos103π=-1.5, 故 t=5 s 时,该物体在 O 点左侧且距 O 点 1.5 cm 处.
答案
题型二 三角函数模型的简单实际应用 例 2 在美国波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数 D(t)的表达式是 D(t)=3sin326π5t-79+12,其中 t 表示某天的序号,t=0 表示 1 月 1 日,以 此类推. (1)问哪一天白昼最长?哪一天最短? (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过 10.5 小时?
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换教师用书新人教A版必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换问题导学预习教材P225-P228,并思考以下问题: 1.如何用cos α表示sin2α2,cos 2α2和tan 2α2? 2.半角公式的符号是由哪些因素决定的?1.半角公式2.辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +θ)(其中tan θ=ba).判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用.( ) (2)cos α2=1+cos α2.( ) (3)对于任意α∈R ,sin α2=12sin α都不成立.( )答案:(1)× (2)× (3)×若cos α=13,且α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.63 B .-63 C .±63D .±33答案:A已知cos α=45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π,则sin α2等于( ) A .-1010B.1010C.3310 D .-35答案:B已知cos θ=-35,且180°<θ<270°,则tan θ2=________.答案:-2应用半角公式求值已知α为钝角,β为锐角,且sin α=45,sin β=1213,求cos α-β2 的值.【解】 因为α为钝角,β为锐角,sin α=45,sin β=1213,所以cos α=-35,cos β=513.所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×513+45×1213=3365.因为π2<α<π且0<β<π2,所以0<α-β<π,即0<α-β2<π2. 所以cos α-β2=1+cos (α-β)2=1+33652=76565.利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin 2α2=1-cos α2,cos 2 α2=1+cos α2计算.1.已知sin α=-45且π<α<3π2,则sin α2=________.解析:因为sin α=-45,π<α<3π2,所以cos α=-35.又π2<α2<3π4,所以sin α2=1-cos α2= 1+352=255. 答案:2552.已知cos 2θ=-2325,π2<θ<π,求tan θ2的值.解:因为cos 2θ=-2325,π2<θ<π,依半角公式得sin θ=1-cos 2θ2= 1+23252=265, cos θ=-1+cos 2θ2=-1-23252=-15, 所以tan θ2=1-cos θsin θ=1+15265=62.三角函数式的化简化简(1-sin α-cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2+cos α22-2cos α(-π<α<0).【解】 原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2-2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2+cos α22×2sin2α2=2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2-cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2+cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2-cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=-sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为-π<α<0, 所以-π2<α2<0,所以sin α2<0,所以原式=-sin α2cos α-sinα2=cos α.(变条件)若本例中式子变为(1+sin θ+cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2-cos θ22+2cos θ(0<θ<π),则化简后的结果是什么?解:原式=⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2+2cos 2 θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2-cos θ24cos 2θ2=cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 θ2-cos 2 θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2=-cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π,所以0<θ2<π2,所以cos θ2>0,所以原式=-cos θ.三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角公式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.(2)化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂等.化简:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α-tan α2·(1+cos α)1-cos α(0<α<π).解:因为tan α2=sin α1+cos α,所以(1+cos α)tan α2=sin α,又因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-α=-sin α,且1-cos α=2sin 2 α2,所以原式=-sin α-sin α2sin 2α2=-2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=-22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为0<α<π,所以0<α2<π2.所以sin α2>0.所以原式=-22cos α2.与三角函数性质有关的问题已知函数f (x )=cos(π+x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π-x -3cos 2x +32.(1)求f (x )的最小正周期和最大值;(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,2π3上的单调递增区间.【解】 f (x )=(-cos x )·(-sin x )-3·1+cos 2x 2+32=12sin 2x -32cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.(1)f (x )的最小正周期为π,最大值为1. (2)令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2(k ∈Z ),即k π-π12≤x ≤k π+512π(k ∈Z ),所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,5π12上单调递增,即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,2π3上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,5π12.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f (x )=a sin ωx +b cos ωx +k 的形式↓利用辅助角公式化为f (x )=A sin (ωx +φ)+k的形式,研究其性质1.已知函数f (x )=cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π12-1,则f (x )( ) A .是奇函数 B .是偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数解析:选A.f (x )=1+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π62+1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π62-1=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6-cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6=12sin 2x,是奇函数.故选A.2.已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin x+3cos x- 3=2sin⎝⎛⎭⎪⎫x+π3-3,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3,所以π3≤x+π3≤π.当x+π3=π,即x=2π3时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3上的最小值为f⎝⎛⎭⎪⎫2π3=- 3.1.若sin(π-α)=-53且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π,3π2,则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2+α2等于( ) A.-63B.-66C.66D.63解析:选B.由题意知sin α=-53,α∈⎝⎛⎭⎪⎫π,3π2,所以cos α=-23.因为α2∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,3π4,所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2+α2=cosα2=-1+cos α2=-66.故选B.2.化简: 1+cos (3π-θ)2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π=________.解析:原式=1-cos θ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2,因为3π2<θ<2π,所以3π4<θ2<π,所以sin θ2>0,故原式=sin θ2.答案:sin θ23.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,cos β=-13,sin(α+β)=79.(1)求tan β2的值;(2)求sin α的值.解:(1)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,cos β=-13,则sin β=223, tan β2=sin β1+cos β=2231-13= 2.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,故α+β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,从而cos(α+β)=-1-sin 2(α+β)= -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫792=-429, 所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =79×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13-⎝ ⎛⎭⎪⎫-429×223=13. [A 基础达标]1.已知sin 2α=13,则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=( )A .-13B .-23C.13D.23解析:选D.cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α-π4 =1+cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π22=1+sin 2α2=23.2.若cos 2α=-45,且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π,则sin α=( )A.31010B.1010C.35D .-1010解析:选A.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π,所以sin α≥0,由半角公式可得sin α=1-cos 2α2=31010. 3.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45解析:选B.设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cos α=725.又β=π2-α2,所以cos β=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α2=sin α2=1-7252=35,故选B. 4.若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π,则1+cos 2α2- 1-cos 2α2等于( ) A .cos α-sin α B .cos α+sin α C .-cos α+sin αD .-cos α-sin α解析:选D.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π, 所以sin α≥0,cos α≤0, 则1+cos 2α2- 1-cos 2α2=cos 2α-sin 2α =|cos α|-|sin α|=-cos α-sin α.5.(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f (x )=cos 2x -2cos 2x2(x ∈[0,π])的最小值为( )A .1B .-1 C.54D .-54解析:选D.由题意,得f (x )=cos 2x -2cos 2x2=cos 2x -(1+cos x )=cos 2x -cos x -1,设t =cos x (x ∈[0,π]),y =f (x ),则t ∈[-1,1],y =t 2-t -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122-54,所以当t=12,即x =π3时,y 取得最小值,为-54,所以函数f (x )的最小值为-54,故选D. 6.已知sin θ2-cos θ2=63,则cos 2θ=________.解析:因为sin θ2-cos θ2=63,所以1-sin θ=23,即sin θ=13,所以cos 2θ=1-2sin 2θ=1-29=79.答案:797.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=23,则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α2=________.解析:因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3-α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=23,所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α2=1+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α2=1+232=56.答案:568.若3sin x -3cos x =23sin(x +φ),φ∈(-π,π),则φ=________. 解析:因为3sin x -3cos x =23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x -12cos x=23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6, 因为φ∈(-π,π),所以φ=-π6. 答案:-π69.已知180°<α<270°,且sin(270°+α)=45,求tan α2的值. 解:因为sin(270°+α)=45, 所以cos α=-45. 又180°<α<270°,所以90°<α2<135°. 所以tan α2=-1-cos α1+cos α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-451+⎝ ⎛⎭⎪⎫-45=-3. 10.化简:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α-tan α2·(1+cos α)1-cos α(0<α<π). 解:因为tan α2=sin α1+cos α, 所以(1+cos α)tan α2=sin α. 又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α=-sin α, 且1-cos α=2sin 2α2, 所以原式=-sin α-sin α2sin 2α2=-2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 =-22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为0<α<π,所以0<α2<π2.所以sin α2>0. 所以原式=-22cos α2. [B 能力提升]11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θ=34,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,π,则sin θ+cos θ的值是( ) A.62B .-62C .-22 D.22 解析:选C.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θ =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θ =12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2θ =12cos 2θ=34. 所以cos 2θ=32. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,π, 所以2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2,2π, 所以sin 2θ=-12,且sin θ+cos θ<0. 所以(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1-12=12. 所以sin θ+cos θ=-22. 12.已知sin 2θ=35,0<2θ<π2,则2cos 2θ2-sin θ-12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=________.解析:2cos 2θ2-sin θ-12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4 =⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 θ2-1-sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4+cos θsin π4 =cos θ-sin θsin θ+cos θ=1-sin θcos θsin θcos θ+1=1-tan θtan θ+1. 因为sin 2θ=35,0<2θ<π2, 所以cos 2θ=45, 所以tan θ=sin 2θ1+cos 2θ=351+45=13, 所以1-tan θtan θ+1=1-1313+1=12, 即2cos 2 θ2-sin θ-12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=12. 答案:1213.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4-22sin 2x . (1)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标;(2)当0≤x ≤π2时,求函数f (x )的最大、最小值. 解:f (x )=22sin 2x -22cos 2x -22·1-cos 2x 2=22sin 2x +22cos 2x - 2 =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4- 2. (1)令2x +π4=k π+π2(k ∈Z ),得x =12k π+π8(k ∈Z ), 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x =12k π+π8(k ∈Z ). 令2x +π4=k π(k ∈Z ),得x =12k π-π8(k ∈Z ). 所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π-π8,-2(k ∈Z ). (2)当0≤x ≤π2时,π4≤2x +π4≤5π4,-22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4≤1, 所以当x =π2时,f (x )取最小值-322,当x =π8时,f (x )取最大值1- 2. [C 拓展探究]14.点P 在直径AB =1的半圆上移动,过点P 作切线PT ,且PT =1,∠PAB =α,则当α为何值时,四边形ABTP 的面积最大?解:如图所示.因为AB 为半圆的直径,所以∠APB =π2,又AB =1, 所以PA =cos α,PB =sin α.又PT 切半圆于P 点,所以∠TPB =∠PAB =α,所以S 四边形ABTP =S △PAB +S △TPB =12PA ·PB +12PT ·PB ·sin α=12sin αcos α+12sin 2α =14sin 2α+14(1-cos 2α) =24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π4+14. 因为0<α<π2, 所以-π4<2α-π4<3π4, 所以当2α-π4=π2,即α=3π8时, S 四边形ABTP 取得最大值24+14.。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第五章 三角函数 课时练习题及章末测验 精选习题含解析

第五章三角函数1.任意角 .......................................................................................................................... - 1 -2.弧度制 .......................................................................................................................... - 6 -3.三角函数的概念......................................................................................................... - 12 -4.同角三角函数的基本关系......................................................................................... - 17 -5.公式二、公式三和公式四......................................................................................... - 23 -6.公式五和公式六......................................................................................................... - 29 -7.周期性与奇偶性......................................................................................................... - 34 -8.单调性与最值............................................................................................................. - 39 -9.正切函数的性质与图象............................................................................................. - 46 -10.两角差的余弦公式................................................................................................... - 52 -11.两角和与差的正弦、余弦公式............................................................................... - 58 -12.两角和与差的正切公式........................................................................................... - 66 -13.二倍角的正弦、余弦、正切公式........................................................................... - 73 -14.简单的三角恒等变换............................................................................................... - 79 -15.函数y=A sin(x+φ) .................................................................................................. - 87 -16.三角函数的应用....................................................................................................... - 95 -章末综合测验.............................................................................................................. - 102 -1.任意角一、选择题1.角-870°的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C[-870°=-3×360°+210°,∴-870°是第三象限,故选C.]2.在-360°~0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )A.170° B.190°C.-190° D.-170°C[与1 250°角的终边相同的角α=1 250°+k·360°,k∈Z,因为-360°<α<0°,所以-16136<k<-12536,因为k∈Z,所以k=-4,所以α=-190°.]3.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( ) A.90°-αB.90°+αC.360°-αD.180°+αC[因为α是第一象限角,所以-α为第四象限角,所以360°-α为第四象限角.]4.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α所在象限是( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限A[当k=0时,α=45°为第一象限角,当k=1时,α=225°为第三象限角.]5.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( )A.第一象限角B.第一、二象限角C.第一、三象限角D.第一、四象限角C[由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角.]二、填空题6.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么α∈________.{α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}[在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.所以α∈{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.]7.(一题两空)与2 019°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________.219°-141°[与 2 019°角的终边相同的角为 2 019°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,219°为最小正角;当k=-6时,-141°为绝对值最小的角.]8.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=________.k·360°+60°(k∈Z)[在0°~360°范围内与α=-120°的终边互为反向延长线的角是60°,所以β=k·360°+60°(k∈Z).]三、解答题9.在与530°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)-720°到-360°的角.[解]与530°终边相同的角为k·360°+530°,k∈Z.(1)由-360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可得k=-2,故所求的最大负角为-190°.(2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1,故所求的最小正角为170°.(3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°且k∈Z,可得k=-3,故所求的角为-550°.10.已知集合A={α|k·180°+45°<α<k·180°+60°,k∈Z},集合B={β|k·360°-55°<β<k·360°+55°,k∈Z}.(1)在平面直角坐标系中,表示出角α终边所在区域;(2)在平面直角坐标系中,表示出角β终边所在区域;(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图(1)所示.(2)角β终边所在区域如图(2)所示.图(1) 图(2)(3)由(1)(2)知A∩B={γ|k·360°+45°<γ<k·360°+55°,k∈Z} .11.已知θ为第二象限角,那么θ3是( )A.第一或第二象限角B.第一或第四象限角C.第二或第四象限角D.第一、二或第四象限角D[∵θ为第二象限角,∴90°+k·360°<θ<180°+k·360°,k∈Z,∴30°+k·120°<θ3<60°+k·120°,k∈Z,当k=0时,30°<θ3<60°,属于第一象限,当k=1时,150°<θ3<180°,属于第二象限,当k=-1时,-90°<θ3<-60°,属于第四象限,∴θ3是第一、二或第四象限角.]12.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )A.α+β=k·360°,k∈ZB.α+β=k·360°+180°,k∈ZC.α-β=k·360°+180°,k∈ZD.α-β=k·360°,k∈ZB[法一:(特殊值法)令α=30°,β=150°,则α+β=180°.故α与β的关系为α+β=k·360°+180°,k∈Z.法二:(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z.]13.终边落在直线y=3x上的角的集合为________.{α|α=60°+n·180°,n∈Z} [如图所示终边落在射线y=3x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在射线y=3x(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是终边落在直线y=3 x上的角的集合是S={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.]14.(一题两空)已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,则α=________,β=________.15°65°[由题意可知:α+β=-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β为锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°,①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β为锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°,②由①②得:α=15°,β=65°.]15.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.[解]根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m ·360°,m ∈Z,14β=n ·360°,n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,进而知2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°,即45°<α<β<90°,所以45°<α=m 7·180°<90°,45°<β=n7·180°<90°,所以74<m <72,74<n <72.因为α<β,所以m <n ,又m ,n ∈Z , 所以m =2,n =3,所以α=⎝ ⎛⎭⎪⎫3607°,β=⎝ ⎛⎭⎪⎫5407°.2.弧度制一、选择题1.1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B .323C.16π3D .32π3D [1 920°=5×360°+120°=⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π+2π3 rad =32π3 rad.]2.在0到2π范围内,与角-4π3终边相同的角是( )A.π6B.π3C.2π3D .4π3C [与角-4π3终边相同的角是2k π+⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π3,k ∈Z ,令k =1,可得与角-4π3终边相同的角是2π3,故选C.] 3.下列表示中不正确的是( )A .终边在x 轴上角的集合是{α|α=k π,k ∈Z }B .终边在y轴上角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α=π2+k π,k ∈ZC .终边在坐标轴上角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α=k ·π2,k ∈ZD .终边在直线y =x 上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π4+2k π,k ∈ZD [对于A ,终边在x 轴上角的集合是{α|α=k π,k ∈Z },故A 正确; 对于B ,终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π2+k π,k ∈Z ,故B 正确;对于C ,终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α=k π,k ∈Z ,终边在y 轴上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α=π2+k π,k ∈Z ,故合在一起即为{ α|}α=k π,k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π2+k π,k ∈Z =⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α=k π2,k ∈Z ,故C 正确;对于D ,终边在直线y =x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π4+k π,k ∈Z ,故D 不正确.]4.若θ=-5,则角θ的终边所在的象限是( ) A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限D .第一象限D [因为-2π<-5<-3π2,所以α是第一象限角.]5.已知扇形的弧长是4 cm ,面积是2 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是( ) A .1 B .2 C .4D .1或4C [因为扇形的弧长为4,面积为2, 所以扇形的面积为12×4×r =2,解得r =1,则扇形的圆心角的弧度数为41=4.故选C.]二、填空题6.在△ABC 中,若A ∶B ∶C =3∶5∶7,则角A ,B ,C 的弧度数分别为______________.A =π5,B =π3,C =7π15 [因为A +B +C =π,又A ∶B ∶C =3∶5∶7, 所以A =3π3+5+7=π5,B =5π3+5+7=π3,C =7π15.]7.用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪ -π2+2k π<θ<π2+2k π,k ∈Z[y 轴对应的角可用-π2,π2表示,所以y 轴右侧角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪-π2+2k π<θ<π2+2k π,k ∈Z.] 8.已知扇形OAB 的圆心角为57π,周长为5π+14,则扇形OAB 的面积为________.35π2 [设扇形的半径为r ,圆心角为57π, ∴弧长l =57πr ,∵扇形的周长为5π+14,∴57πr +2r =5π+14,解得r =7,由扇形的面积公式得=12×57π×r 2=12×57π×49=35π2.]三、解答题9.已知角α=2 010°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角.[解](1)2 010°=2 010×π180=67π6=5×2π+7π6,又π<7π6<3π2,∴α与7π6终边相同,是第三象限的角.(2)与α终边相同的角可以写成γ=7π6+2kπ(k∈Z),又-5π≤γ<0,∴当k=-3时,γ=-296π;当k=-2时,γ=-176π;当k=-1时,γ=-56π.10.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. [解](1)由⊙O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,∴α=∠AOB=60°=π3rad.(2)由(1)可知α=π3rad,r=10,∴弧长l=α·r=π3×10=10π3,∴S扇形=12lr=12×10π3×10=50π3,而S △AOB =12·AB ·53=12×10×53=253,∴S =S 扇形-S △AOB =25⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-3. 11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( )A .2B .sin 2C .2sin 1D .2sin 1D [设圆的半径为R ,则sin 1=1R,∴R =1sin 1,故所求弧长为l =α·R =2·1sin 1=2sin 1.] 12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为2π3,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)( )A .6平方米B .9平方米C .12平方米D .15平方米B [如图,由题意可得:∠AOB =2π3,OA =4,在Rt△AOD 中,可得∠AOD =π3,∠DAO =π6,OD =12AO =12×4=2,可得,矢=4-2=2,由AD =AO ·sin π3=4×32=23,可得:弦=2AD =2×23=43,所以,弧田面积=12(弦×矢+矢2)=12(43×2+22)=43+2≈9(平方米).]13.已知集合A ={x |2k π≤x ≤2k π+π,k ∈Z },集合B ={x |-4≤x ≤4},则A ∩B =________.[-4,-π]∪[0,π] [如图所示,∴A ∩B =[-4,-π]∪[0,π].] 14.若角α与角8π5终边相同,则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________.2π5,9π10,7π5,19π10 [由题意得α=8π5+2k π(k ∈Z ),α4=2π5+k π2(k ∈Z ),又α4∈[0,2π],所以k =0,1,2,3, 此时α4=2π5,9π10,7π5,19π10.]15.如图所示,已知一长为 3 dm ,宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.[解] AA 1︵所在的圆半径是2 dm ,圆心角为π2;A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ,圆心角为π2;A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ,圆心角为π3,所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和,即2×π2+1×π2+3×π3=9+23π6(dm).三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2+12×π2×1+12×3π3×3=7π4(dm2).3.三角函数的概念一、选择题1.sin(-1 380°)的值为( )A.-12B.12C.-32D.32D[sin(-1 380°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°=32 .]2.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|=r,则点P的坐标为( ) A.P(sin α,cos α) B.P(cos α,sin α)C.P(r sin α,r cos α) D.P(r cos α,r sin α)D[设P(x,y),则sin α=yr,∴y=r sin α,又cos α=xr,∴x=r cos α,∴P(r cos α,r sin α),故选D.]3.若cos α与tan α同号,那么α在( )A.第一、三象限B.第一、二象限C.第三、四象限D.第二、四象限B[因为cos α与tan α同号,所以α在第一、二象限.] 4.有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数的值相等;②终边不同的角的同名三角函数的值不等;③若sin α>0,则α是第一、二象限的角;④若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α=-xx2+y2,其中正确的个数为( )A.0 B.1C .2D .3 B [①正确;②错误,如sin π6=sin 5π6; ③错误,如sinπ2=1>0; ④错误,cos α=x x 2+y 2.所以B 选项是正确的.]5.设△ABC 的三个内角为A ,B ,C ,则下列各组数中有意义且均为正值的是( )A .tan A 与cosB B .cos B 与sinC C .sin C 与tan AD .tan A2与sin CD [∵0<A <π,∴0<A 2<π2, ∴tan A2>0;又∵0<C <π,∴sin C >0.]二、填空题6.在平面直角坐标系中,以x 轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513,1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,45,那么sin α·tan β= .-1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α=1213,tan β=45-35=-43, 所以sin α·tan β=1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=-1613.] 7.点P (tan 2 020°,cos 2 020°)位于第 象限. 四 [因为2 020°=5×360°+220°, 所以2 020°与220°终边相同,是第三象限角, 所以tan 2 020°>0,cos 2 020°<0,所以点P 位于第四象限.]8.已知角α的终边经过点P (x ,-6)且cos α=-45,则x = .-8 [因为|OP |=x 2+-62=x 2+36,所以cos α=xx 2+36,又cos α=-45,所以xx 2+36=-45,整理得x =-8.] 三、解答题 9.化简下列各式:(1)sin 72π+cos 52π+cos(-5π)+tan π4;(2)a 2sin 810°-b 2cos 900°+2ab tan 1 125°. [解] (1)原式=sin 32π+cos π2+cos π+1=-1+0-1+1=-1.(2)原式=a 2sin 90°-b 2cos 180°+2ab tan 45°=a 2+b 2+2ab =(a +b )2. 10.已知1|sin α|=-1sin α,且lg cos α有意义.(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m ,且|OM |=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.[解] (1)由1|sin α|=-1sin α,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0, ∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM |=1,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352+m 2=1,解得m =±45.又α是第四象限角,故m <0,从而m =-45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m |OM |=-451=-45.11.点P 从(1,0)出发,沿单位圆按逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点,则Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12 A [点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点,所以点Q 是角26π3与单位圆的交点,所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 26π3,sin 26π3,又cos 26π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+2π3=cos 2π3=-12,sin 26π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+2π3=sin 2π3=32,所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32.] 12.(多选题)|cos x |cos x +tan x|tan x |=( )A .0B .1C .2D .-2ACD [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2,k ∈Z ,角x 的终边不能落在坐标轴上,当x 是第一象限角时,cos x >0,tan x >0,y =cos x cos x +tan xtan x=1+1=2; 当x 是第二象限角时,cos x <0,tan x <0,y =-cos x cos x +-tan xtan x=-1-1=-2;当x 是第三象限角时,cos x <0,tan x >0,y =-cos x cos x +tan xtan x=-1+1=0;当x 是第四象限角时,cos x >0,tan x <0,y =cos x cos x +-tan xtan x=1-1=0. 综上知原函数的值域是{-2,0,2}.]13.(一题两空)已知角α的终边过点P (5,a ),且tan α=-125,则a = ,sin α+cos α的值为 .-12 -713 [根据三角函数的定义,tan α=a 5=-125,∴a =-12,∴P (5,-12). 这时r =13,∴sin α=-1213,cos α=513, 从而sin α+cos α=-713.] 14.已知角α的终边过点(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则cos α= .35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,所以cos θ<0, r =-3cos θ2+4cos θ2=5|cos θ|=-5cos θ,所以cos α=-3cos θ-5cos θ=35.]15.已知sin θ<0,tan θ>0. (1)求角θ的集合; (2)求θ2的终边所在的象限;(3)试判断sinθ2cosθ2tanθ2的符号.[解] (1)因为sin θ<0,所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上, 因为tan θ>0,所以θ为第一、三象限角, 所以θ为第三象限角,θ角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π+π<θ<2k π+3π2,k ∈Z .(2)由(1)可得,k π+π2<θ2<k π+3π4,k ∈Z . 当k 是偶数时,θ2终边在第二象限; 当k 是奇数时,θ2终边在第四象限.(3)由(2)可得 当k 是偶数时,sin θ2>0,cos θ2<0,tanθ2<0,所以sinθ2cosθ2tanθ2>0;当k 是奇数时sin θ2<0,cosθ2>0,tanθ2<0,所以sinθ2cosθ2tanθ2>0.综上知,sin θ2cos θ2tan θ2>0.4.同角三角函数的基本关系一、选择题1.已知α是第三象限角,且sin α=-13,则3cos α+4tan α=( )A .- 2B . 2C .- 3D . 3A [因为α是第三象限角,且sin α=-13,所以cos α=-1-sin 2α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-132=-223,所以tan α=sin αcos α=122=24,所以3cos α+4tan α=-22+2=- 2.]2.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14 B .12 C .1D .32C [原式=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α) =sin 2α+cos 2α=1.] 3.已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α的值为( ) A .-15B .-35C.15D .35B [sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α=2sin 2α-1=-35.]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x +1tan x cos 2x 等于( ) A .tan x B .sin x C .cos xD .1tan xD [原式=⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x +cos x sin x ·cos 2x =sin 2x +cos 2x sin x cos x ·cos 2x =1sin x cos x ·cos 2x =cos x sin x =1tan x.]5.已知sin θ+cos θ=43⎝⎛⎭⎪⎫0<θ≤π4,则sin θ-cos θ=( ) A.23B .-23C.13 D .-13B [由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=169,得2sin θcos θ=79,则(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=29,由0<θ≤π4,知sin θ-cos θ≤0,所以sin θ-cos θ=-23.] 二、填空题6.化简11+tan 220°的结果是 .cos 20° [11+tan 220°=11+sin 220°cos 220°=1cos 220°+sin 220°cos 220° =11cos 220°=|cos 20°|=cos 20°.]7.已知cos α+2sin α=-5,则tan α= . 2 [由⎩⎨⎧cos α+2sin α=-5,sin 2α+cos 2α=1,得(5sin α+2)2=0,∴sin α=-255,cos α=-55,∴tan α=2.] 8.已知tan α=2,则4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α= . 1 [4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2αsin 2α+cos 2α =4tan 2α-3tan α-5tan 2α+1=4×4-3×2-54+1=55=1.]三、解答题 9.化简下列各式:(1)sin α1+sin α-sin α1-sin α;(2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α+1tan α(1-cos α). [解] (1)原式=sin α1-sin α-sin α1+sin α1+sin α1-sin α=-2sin 2α1-sin 2α=-2sin 2αcos 2α=-2tan 2α. (2)原式=⎝⎛⎭⎪⎫1sin α+cos αsin α(1-cos α) =1+cos αsin α(1-cos α)=sin 2αsin α=sin α.10.若3π2<α<2π,求证: 1-cos α1+cos α+1+cos α1-cos α=-2sin α.[证明] ∵3π2<α<2π,∴sin α<0.左边=1-cos α21+cos α1-cos α+1+cos α21-cos α1+cos α = 1-cos α2sin 2α+ 1+cos α2sin 2α=|1-cos α||sin α|+|1+cos α||sin α|=-1-cos αsin α-1+cos αsin α=-2sin α=右边.∴原等式成立.11.(多选题)若sin α=45,且α为锐角,则下列选项中正确的有( )A .tan α=43B .cos α=35C .sin α+cos α=85D .sin α-cos α=-15AB [∵sin α=45,且α为锐角,∴cos α=1-sin 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=35,故B 正确, ∴tan α=sin αcos α=4535=43,故A 正确,∴sin α+cos α=45+35=75≠85,故C 错误,∴sin α-cos α=45-35=15≠-15,故D 错误.故选AB.] 12.1-2sin 10°cos 10°sin 10°-1-sin 210°的值为( )A .1B .-1C .sin 10°D .cos 10°B [1-2sin 10°cos 10°sin 10°-1-sin 210°=cos 10°-sin 10°2sin 10°-cos 210°=|cos 10°-sin 10°|sin 10°-cos 10°=cos 10°-sin 10°sin 10°-cos 10°=-1.]13.(一题两空)已知sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2mm +5,则m 的值为 ,tan θ= .0或8 -34或-512 [因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以⎝⎛⎭⎪⎫m -3m +52+⎝ ⎛⎭⎪⎫4-2m m +52=1. 整理得m 2-8m =0, 解得m =0或8.又tan θ=sin θcos θ=m -34-2m当m =0时,tan θ=-34;当m =8时,tan θ=-512.] 14.已知sin θ,cos θ是方程2x 2-mx +1=0的两根,则sin θ1-1tan θ+cos θ1-tan θ= .±2 [sin θ1-1tan θ+cos θ1-tan θ=sin θ1-cos θsin θ+cos θ1-sin θcos θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ=sin 2θ-cos 2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ,又因为sin θ,cos θ是方程2x 2-mx +1=0的两根,所以由根与系数的关系得sin θcos θ=12,则(sinθ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2,所以sin θ+cos θ=± 2.]15.(1)分别计算cos 4π6-sin 4π6和cos 2π6-sin 2π6,cos π3的值,你有什么发现?(2)计算cos 4π4-sin 4π4,cos 2π4-sin 2π4,cos π2的值,你有什么发现.(3)证明:∀x ∈R ,cos 2x -sin 2x =cos 4x -sin 4x .(4)推测∀x ∈R ,cos 2x -sin 2x 与cos 2x 的关系,不需证明. [解] (1)cos 4π6-sin 4π6=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π6+sin 2π6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π6-sin 2π6=cos 2π6-sin 2π6=34-14=12=cos π3. (2)cos 4π4-sin 4π4=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π4+sin 2π4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π4-sin 2π4=cos 2π4-sin 2π4=12-12=0=cos π2. (3)证明:cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos 2x -sin 2x . (4)推测cos 2x -sin 2x =cos 2x .5.公式二、公式三和公式四一、选择题1.sin 2150°+sin 2135°+2sin 210°+cos 2225°的值是( ) A.14 B .34 C.114D .94A [因为sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=12,sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°=22, sin 210°=sin (180°+30°)=-sin 30°=-12,cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-22,所以原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫222+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-222=14+12-1+12=14.]2.sin 2(2π-α)+cos(π+α)cos(π-α)+1的值是( ) A .1 B .2 C .0D .-1B [原式=sin 2α+(-cos α)·(-cos α)+1 =sin 2α+cos 2α+1=1+1=2.]3.已知600°角的终边上有一点P (a ,-3),则a 的值为( )A. 3 B .- 3 C.33D .-33B [由题意得tan 600°=-3a,又因为tan 600°=tan(360°+240°) =tan 240°=tan(180°+60°) =tan 60°=3,所以-3a=3,所以a =- 3.]4.设sin 160°=a ,则cos 340°的值是( ) A .1-a 2 B.1-a 2 C .-1-a 2D .±1-a 2B [因为sin 160°=a ,所以sin(180°-20°)=sin 20°=a ,而cos 340°=cos(360°-20°)=cos 20°=1-a 2.]5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=32,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4-α的值为( ) A.12 B .-12C.32D .-32C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π4-α =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=32.]二、填空题 6.2+2sin2π-θ-cos 2π+θ可化简为 .1-sin θ [原式=2-2sin θ-cos 2θ= 2-2sin θ-1-sin 2θ=sin θ-12=1-sin θ.]7.已知co s(508°-α)=1213,则cos(212°+α)= .1213[由于cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=12 13,所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=1213.]8.已知sin(α+π)=45,且sin αcos α<0,则2sinα-π+3tan3π-α4cosα-3π= .-73[因为sin(α+π)=-sin α=45,且sin αcos α<0,所以sin α=-45,cos α=35,tan α=-43,所以2sinα-π+3tan3π-α4cosα-3π=-2sin α-3tan α-4cos α=85+4-4×35=-73.]三、解答题9.已知tan(7π+α)=2,求2cosπ-α-3sin3π+α4cos-α+sin2π-α的值.[解]∵tan(7π+α)=2,∴tan α=2,∴2cosπ-α-3sin3π+α4cos-α+sin2π-α=-2cos α+3sin α4cos α-sin α=-2+3tan α4-tan α=-2+3×24-2=2.10.已知f (α)=sinπ+αcos 2π-αtan -αtan -π-αsin -π-α.(1)化简f (α);(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=15,求f (α)的值;(3)若α=-31π3,求f (α)的值. [解] (1)f (α)=-sin αcos α-tan α-tan αsin α=-cos α.(2)∵sin(α-π)=-sin α=15,∴sin α=-15.又α是第三象限角, ∴cos α=-265,∴f (α)=265. (3)∵-31π3=-6×2π+5π3, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-31π3=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-6×2π+5π3 =-cos5π3=-cos π3=-12. 11.(多选题)在△ABC 中,下列结论正确的是( ) A .sin(A +B )+sin C =0 B .cos(A +B )+cos C =0 C .sin(2A +2B )+sin 2C =0 D .cos(2A +2B )+cos 2C =0BC [A.sin(A +B )+sin C =2sin C ; B .cos(A +B )+cos C =-cos C +cos C =0;C .sin(2A +2B )+sin 2C =sin[2(A +B )]+sin 2C =sin[2(π-C )]+sin 2C =sin(2π-2C )+sin 2C =-sin 2C +sin 2C =0;D .cos(2A +2B )+cos 2C =cos[2(A +B )]+cos 2C =cos[2(π-C )]+cos 2C =cos(2π-2C )+cos 2C =cos 2C +cos 2C =2cos 2C .]12.已知a =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π6,b =cos 23π4,c =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-33π4,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >a >cC .b >c >aD .c >a >bB [a =-tan 7π6=-tan π6=-33,b =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π-π4=cos π4=22, c =-sin33π4=-sin π4=-22, ∴b >a >c .]13.设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)+7,α,β均为实数,若f (2 018)=8,则f (2 019)的值为 .6 [因为f (2 018)=a sin(2 018π+α)+b cos(2 018π+β)+7=a sin α+b cos β+7,所以a sin α+b cos β+7=8, 所以a sin α+b cos β=1,又f (2 019)=a sin(2 019π+α)+b cos(2 019 π+β)+7=-a sin α-b cosβ+7=-1+7=6.所以f (2 019)=6.] 14.已知f (x )=⎩⎨⎧sin πxx <0,f x -1-1x >0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-116+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为 .-2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-116=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-11π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π+π6 =sin π6=12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116-1-1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56-1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56-1-2 =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-16-2 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-2=-sin π6-2=-12-2=-52,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-116+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116=12-52=-2.]15.在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三个内角.[解] 由条件得sin A =2sin B ,3cos A =2cos B , 平方相加得2cos 2A =1,cos A =±22, 又A ∈(0,π),∴A =π4或34π. 当A =34π时,cos B =-32<0,∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴A ,B 均为钝角,不合题意,舍去. ∴A =π4,cos B =32,∴B =π6,∴C =712π. 综上所述,A =π4,B =π6,C =712π.6.公式五和公式六一、选择题1.若sin(3π+α)=-12,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2-α等于( ) A .-12B .12 C.32D .-32A [∵sin(3π+α)=-sin α=-12,∴sin α=12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2-α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α =-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=-sin α=-12.]2.已知sin 10°=k ,则cos 620°的值为( ) A .k B .-k C .±kD .不确定B [cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260° =cos(270°-10°)=-sin 10°=-k .]3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α等于( )A .-13B.13C.223D .-223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4+π2=-sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=-13.故选A.]4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a ,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是( )A .-2a 3B .-3a 2C.2a 3 D .3a 2B [由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a , 得-sin α-sin α=-a , 即sin α=a2,cos(270°-α)+2sin(360°-α) =-sin α-2sin α=-3sin α=-32a .]5.化简:sinθ-5πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2-θcos 8π-θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-3π2sin -θ-4π=( )A .-sin θB .sin θC .cos θD .-cos θA [原式=sinθ-πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θcos θcos θsin -θ=-sin θ-sin θcos θcos θ-sin θ=-sin θ.]二、填空题6.化简sin(π+α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αcos(π+α)= . -1 [原式=(-sin α)·sin α+cos α·(-cos α) =-sin 2α-cos 2α=-1.]7.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ=32,且|φ|<π2,则tan φ= .-3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ=-sin φ=32,sin φ=-32,又∵|φ|<π2,∴cos φ=12,故tan φ=- 3.]8.已知α是第四象限角,且cos(5°+α)=45,则cos(α-85°)= .-35 [因为α是第四象限角,且cos(5°+α)=45>0,所以5°+α是第四象限角,所以sin(5°+α)=-1-cos 25°+α=-35,所以cos(α-85°)=cos(5°+α-90°) =sin(5°+α)=-35.]三、解答题9.已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45,-35.(1)求sin α的值;(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αtan α-πsin α+πcos 3π-α的值.[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45,-35,所以|OP |=1,sin α=-35.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αtan α-πsin α+πcos 3π-α=cos αtan α-sin α-cos α=1cos α, 由三角函数定义知cos α=45,故所求式子的值为54.10.求证:2sin⎝⎛⎭⎪⎫θ-3π2cos⎝⎛⎭⎪⎫θ+π2-11-2sin2θ=tan9π+θ+1tanπ+θ-1.[证明]左边=-2cos θ·sin θ-1 sin2θ+cos2θ-2sin2θ=-sin θ+cos θ2cos θ+sin θcos θ-sin θ=sin θ+cos θsin θ-cos θ,右边=tan8π+π+θ+1 tanπ+θ-1=tanπ+θ+1tanπ+θ-1=tan θ+1tan θ-1=sin θcos θ+1sin θcos θ-1=sin θ+cos θsin θ-cos θ,所以等式成立.11.若f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)的值为( )A.-32B.32C.-12D.12A[因为f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=-32 .]12.计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=( ) A.89 B.90C.892D.45C[原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+12=892.]13.已知sin θ+cos θsin θ-cos θ=2,则sin(θ-5π)sin⎝⎛⎭⎪⎫32π-θ= .310 [∵sin θ+cos θsin θ-cos θ=2, sin θ=3cos θ, ∴tan θ=3.sin(θ-5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π-θ=sin θcos θ=sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan 2θ+1=310.] 14.(一题两空)已知f (α)=tanπ-αcos 2π-αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αcos-α-π.(1)化简f (α)= .(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=-35,且α是第二象限角,则tan α= .(1)sin α (2)-43 [(1)f (α)=tan π-αcos 2π-αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αcos-α-π=-tan α·cos α·cos α-cos α=sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=-35,得cos α=-35,又α是第二象限角,所以sin α=1-cos 2 α=45,则tan α=sin αcos α=-43.]15.是否存在角α,β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.[解] 由条件,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=2sin β,①3cos α=2cos β,②①2+②2,得sin 2α+3cos 2α=2, 所以sin 2α=12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,所以α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cos β=32. 又β∈(0,π),所以β=π6,代入①可知符合. 将α=-π4代入②得cos β=32, 又β∈(0,π),所以β=π6,代入①可知不符合. 综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.7.周期性与奇偶性一、选择题1.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A .y =sin x2B .y =cos x2C .y =cos xD .y =cos 2xD [A 中函数是奇函数,B 、C 中函数的周期不是π,只有D 符合题目要求.] 2.设函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=f (x ),f (x +2)=f (x ),则函数y =f (x )的图象是( )。
2024-2025学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角教案新人教A版必修第一册

2. 利用多媒体手段,直观展示任意角的形象,帮助学生理解。
3. 实例分析,让学生通过实际问题体会任意角的应用。
教学过程:
1. 导入:回顾角度的基本概念,引出任意角的概念。
2. 新课讲解:讲解任意角的定义,引导学生掌握用弧度制表示角的方法。
3. 课堂互动:进行角度转换练习,让学生巩固所学知识。
4. 应用拓展:通过实例分析,让学生了解任意角在实际问题中的应用。
5. 总结:回顾本节课的主要内容,强调任意角的概念及表示方法。
6. 作业布置:布置相关练习题,巩固所学知识。
教学反思:
本节课结束后,教师应认真反思教学效果,针对学生的掌握情况,调整教学策略,以提高学生的学习兴趣和效果。同时,关注学生在学习过程中的问题,及时进行解答,确保学生能够熟练掌握任意角的概念及表示方法。
教学目标:
1. 理解任意角的概念,掌握用弧度制表示角的方法。
2. 了解任意角与标准角的关系,能进行简单的角度转换。
3. 培养学生的空间想象力,提高学生的数学思维能力。
教学重点:
1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角与标准角的关系。
教学难点:
1. 任意角的概念的理解。
2. 弧度制的应用。
教学方法:
2024-2025学年高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角教案 新人教A版必修第一册
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本节课为人教A版必修第一册第五章《三角函数》的5.1.1节“任意角”。本节内容主要介绍任意角的概念及其表示方法,是学习三角函数的基础。通过本节课的学习,学生应掌握任意角的定义,了解用弧度制表示角的方法,并理解任意角与标准角的关系。
2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案 新人教A版

2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案 新人教A 版一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导1、角的概念的推广。
从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。
这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x 轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。
为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k ·3600+α的形式,特例,终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800,k ∈Z},终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900,k ∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900,k ∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。
在弧度制下,扇形弧长公式=|α|R ,扇形面积公式,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。
三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。
重视用数学定义解题。
设P(x ,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记,则,,,。
利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即与α之间函数值关系(k ∈Z ),其规律是“奇变偶不变,符号看象限”;(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。
如倍角公式:cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,变形后得22c o s 1s i n ,22c o s 1c o s 22α-=αα-=α,可以作为降幂公式使用。
新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11

新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A 版必修第一册11章末复习提升课同角三角函数基本关系式和诱导公式已知cos(π+α)=-12,且角α在第四象限,计算:(1)sin(2π-α);(2)sin[α+(2n +1)π]+sin (π+α)sin (π-α)cos (α+2n π)(n ∈Z ).【解】 因为cos(π+α)=-12,所以-cos α=-12,cos α=12.又角α在第四象限,所以sin α=-1-cos 2α=-32. (1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α) =-sin α=32. (2)sin[α+(2n +1)π]+sin (π+α)sin (π-α)cos (α+2n π)=sin (α+2n π+π)-sin αsin αcos α=sin (π+α)-sin αsin αcos α=-2sin αsin αcos α=-2cos α=-4.(1)同角三角函数基本关系的应用①已知一个三角函数求另外两个:利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解. ②已知正切,求含正弦、余弦的齐次式;(i)齐次式为分式时,分子分母同除以cos α或cos 2α,化成正切后代入.(ii)齐次式为整式时,分母看成1,利用1=sin 2α+cos 2α代入,再通过分子分母同除以cos α或cos 2α化切.(2)用诱导公式化简求值的方法①对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出角的特点,将角化成2k π±α,π±α,π2±α,32π±α(或k ·π2±α,k ∈Z )的形式,再用“奇变偶不变,符号看象限”来化简.②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,理清条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.1.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于( )A .-π6B .-π3C.π6D.π3解析:选D.因为sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),所以-sin θ=-3cos θ,所以tan θ= 3.因为|θ|<π2,所以θ=π3.2.已知3sin (π+α)+cos (-α)4sin (-α)-cos (9π+α)=2,则tan α=________.解析:由已知得-3sin α+cos α-4sin α+cos α=2,则5sin α=cos α,所以tan α=15.答案:153.已知-π2<x <0,sin x +cos x =15,则sin x -cos x 的值为________.解析:由sin x +cos x =15,平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125,即2sin x cos x =-2425,所以(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925.又因为-π2<x <0,所以sin x <0,cos x >0,sin x -cos x <0, 故sin x -cos x =-75.答案:-75三角函数的图象及变换已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3,-2,周期为π.(1)求f (x )的解析式;(2)将y =f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数y =g (x )的图象,写出函数y =g (x )的解析式.【解】 (1)由题可知T =2πω=π,所以ω=2.又f (x )min =-2, 所以A =2.由f (x )的最低点为M , 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3+φ=-1.因为0<φ<π2,所以4π3<4π3+φ<11π6.所以4π3+φ=3π2.所以φ=π6.所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6.(2)y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6――→横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x +π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6――→沿x 轴向右平移π6个单位y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x -π6+π6=2sin x ,所以g (x )=2sin x .(1)由图象或部分图象确定解析式y =A sin(ωx +φ)中的参数 ①A :由最大值、最小值来确定A . ②ω:通过求周期T 来确定ω. ③φ:利用已知点列方程求出.(2)函数y =sin x 的图象变换到y =A sin(ωx +φ),(A >0,ω>0)x ∈R 图象的两种方法1.函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π上的简图是( )解析:选A.令x =0,得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=-32,排除B ,D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0,排除C.2.要得到函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象,只需将函数y =cos 2x 的图象( )A .向左平移π3个单位B .向左平移π6个单位C .向右平移π6个单位D .向右平移π3个单位解析:选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,所以只需把函数y =cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象,故选B.3.如图是函数y =A sin(ωx +φ)+2(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,则它的振幅、周期、初相分别是( )A .A =3,T =4π3,φ=-π6B .A =3,T =4π3,φ=-3π4C .A =1,T =4π3,φ=-π6D .A =1,T =4π3,φ=-3π4解析:选D.由题图知函数的最大值为A +2=3,则A =1, 函数的周期T =2×⎝⎛⎭⎪⎫5π6-π6=4π3=2πω,则ω=32,则y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x +φ+2,则当x =5π6时,y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×32+φ+2=3, 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4+φ=1,即5π4+φ=π2+2k π,则φ=-3π4+2k π, 因为|φ|<π,所以当k =0时,φ=-3π4,故A =1,T =4π3,φ=-3π4.三角函数的性质已知函数f (x )=4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3- 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期;(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的单调性.【解】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2+k π,k ∈Z . f (x )=4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3- 3 =4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3- 3=4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x +32sin x - 3=2sin x cos x +23sin 2x - 3 =sin 2x +3(1-cos 2x )- 3=sin 2x -3cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3. 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)令z =2x -π3,则函数y =2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z . 由-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z .设A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4, B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z , 易知A ∩B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π4上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,-π12上单调递减.(1)三角函数的两条性质①周期性:函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2π|ω|,y =tan(ωx+φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为y =A sin ωx 或y =A tan ωx ,而偶函数一般可化为y =A cos ωx +B 的形式.(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用sin x ,cos x 的有界性.②从y =A sin(ωx +φ)+k 的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.③换元法:把sin x 或cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.1.下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上为减函数的是( )A .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2 B .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2。
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象教师用书新人教A版必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象问题导学预习教材P209-P212,并思考以下问题: 1.如何借助单位圆画正切函数图象? 2.正切函数的性质与正弦函数性质有何不同? 3.正切函数在定义域内是不是单调函数?函数y =tan x 的图象与性质(1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2+k π,π2+k π(k ∈Z )内是增函数.不能说函数在其定义域内是单调递增函数,无单调递减区间.(2)画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指(-π4,-1),(0,0),(π4,1),“两线”是指x =-π2和x =π2,大致画出正切函数在(-π2,π2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数.( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.( ) (4)存在某个区间,使正切函数为减函数.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×函数f (x )=tan ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ,x ≠k π-π2,k ∈ZB .{x |x ∈R ,x ≠k π,k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ,x ≠k π+π6,k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ,x ≠k π+π3,k ∈Z答案:D函数y =tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x +π4的最小正周期为( ) A.π2B .πC .2πD .3π答案:A函数f (x )=tan x 在[-π3,π4]上的最小值为________.答案:- 3函数y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4的单调递增区间是________.答案:(-π4+k π,3π4+k π),k ∈Z正切函数的定义域、值域(1)函数 y =tan(2x -π4)的定义域是________.(2)函数y =tan 2x +4tan x -1的值域是________. 【解析】 (1)因为 2x -π4≠π2+k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8+k π2(k ∈Z ),所以定义域为{x ⎪⎪⎪x ≠k π2+3π8,k ∈Z }. (2)令t =tan x ,则t ∈R ,故y =t 2+4t -1=(t +2)2-5≥-5,所求的值域为[-5,+∞).【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2+3π8,k ∈Z (2)[-5,+∞)求正切函数定义域的方法(1)①求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y =tan x 有意义,即x ≠π2+k π,k ∈Z .②求正切型函数y =A tan(ωx +φ)(A ≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx +φ”视为一个“整体”.令ωx +φ≠k π+π2,k ∈Z ,解得x .(2)求正切函数值域的方法①对于y =A tan(ωx +φ)的值域,可以把ωx +φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域.②对于与y =tan x 相关的二次函数,可以把tan x 看成整体,利用配方法求值域.1.函数y =3tan(π+x ),-π4<x ≤π6的值域为________.解析:函数y =3tan(π+x )=3tan x ,因为正切函数在(-π4,π6]上是增函数,所以-3<y ≤3,所以值域为(-3,3].答案:(-3,3]2.函数y =lg(3-tan x )的定义域为________. 解析:因为3-tan x >0,所以tan x < 3. 又因为tan x =3时,x =π3+k π(k ∈Z ),根据正切函数图象,得k π-π2<x <k π+π3(k ∈Z ).答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π-π2<x <k π+π3,k ∈Z正切函数的单调性及其应用(1)求y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π4的单调区间.(2)比较tan 65π与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-137π的大小.【解】 (1)由题意,k π-π2<12x +π4<k π+π2,k ∈Z , 即k π-3π4<12x <k π+π4,k ∈Z ,所以2k π-3π2<x <2k π+π2,k ∈Z ,故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π-3π2,2k π+π2(k ∈Z ).(2)tan 65π=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π5=tan π5,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-137π=-tan 137π =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π-π7 =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π7=tan π7,因为-π2<π7<π5<π2,y =tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫-π2,π2上单调递增, 所以tan π7<tan π5,即tan 65π>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-137π.(变条件)本例(1)中函数变为y =tan(-12x +π4),求该函数的单调区间.解:y =tan(-12x +π4)=-tan(12x -π4),由k π-π2<12x -π4<k π+π2,k ∈Z ,得2k π-π2<x <2k π+32π,k ∈Z ,所以函数y =tan(-12x +π4)的单调递减区间是(2k π-π2,2k π+32π),k ∈Z .(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系.(2)求函数y =A tan(ωx +φ)(A ,ω,φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0,由于y =tan x 在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令k π-π2<ωx +φ<k π+π2,k ∈Z ,解得x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把y =A tan(ωx +φ)转化为y =A tan[-(-ωx -φ)]=-A tan(-ωx -φ),即把x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x 的范围即可.1.函数 f (x )=13tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x +π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2k -32,2k +12,k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k -12,2k +12,k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫4k -12,4k +12,k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫4k -32,4k +12,k ∈Z解析:选 A .由 k π-π2<π2x +π4<k π+π2(k ∈Z )得 2k -32<x <2k +12(k ∈Z ).故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k -32,2k +12(k ∈Z ). 2.函数y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π6的值域是________.解析:因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π6,所以x 2+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π3,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4∈(1,3). 答案:(1,3)正切函数奇偶性和周期性的应用画出函数y =|tan x |的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 【解】 由y =|tan x |,得y =⎩⎪⎨⎪⎧tan x ,k π≤x <k π+π2(k ∈Z ),-tan x ,-π2+k π<x <k π(k ∈Z ),其图象如图所示.由图象可知,函数y =|tan x |是偶函数,单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π,k π+π2(k ∈Z ),单调递减区间为(-π2+k π,k π](k ∈Z ),周期为π.正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地,函数y =A tan(ωx +φ)的最小正周期为T =π|ω|,常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f (-x )与f (x )的关系.已知函数y =tan(ωx +π4)(ω<0)的周期为π2,求该函数的定义域、值域,并判断奇偶性.解:y =tan(ωx +π4)(ω<0)的周期为π|ω|=π2,解得ω=2或ω=-2.因为ω<0,所以ω=-2,故y =tan(-2x +π4)=-tan(2x -π4).由2x -π4≠k π+π2(k ∈Z ),解得x ≠k π2+3π8(k ∈Z ),所以该函数的定义域为{x |x ≠k π2+3π8,k ∈Z },值域为R . 由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.1.函数f (x )=|tan 2x |是( ) A .周期为π的奇函数 B .周期为π的偶函数 C .周期为π2的奇函数D .周期为π2的偶函数解析:选D.f (-x )=|tan(-2x )|=|tan 2x |=f (x )为偶函数,T =π2.2.比较大小:tan 13π4________tan 17π5.解析:因为tan 13π4=tan π4,tan 17π5=tan 2π5,又 0<π4<2π5<π2,y =tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2内单调递增,所以 tan π4<tan 2π5,即 tan 13π4<tan 17π5.答案:<3.求函数y =tan(3x -π3)的定义域、周期,并指出它的单调区间.解:要使函数有意义,自变量x 的取值应满足3x -π3≠k π+π2(k ∈Z ),得x ≠k π3+5π18(k ∈Z ),所以函数的定义域为{x |x ≠k π3+5π18,k ∈Z }. 函数的周期T =π3.令k π-π2<3x -π3<k π+π2(k ∈Z ),即k π3-π18<x <k π3+5π18(k ∈Z ), 所以函数的单调递增区间为(k π3-π18,k π3+5π18)(k ∈Z ),不存在单调递减区间.[A 基础达标]1.当x ∈(-π2,π2)时,函数y =tan |x |的图象( )A .关于原点对称B .关于y 轴对称C .关于x 轴对称D .无法确定解析:选B.函数y =tan |x |,x ∈(-π2,π2)是偶函数,其图象关于y 轴对称.故选B.2.与函数y =tan(2x -π4)的图象不相交的一条直线是( )A .x =π2B .x =-π2C .x =π4D .x =-π8解析:选D.当x =-π8时,2x -π4=-π2,而-π2的正切值不存在,所以直线x =-π8与函数的图象不相交.3.函数y =1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4<x <π4的值域是( ) A .(-1,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-∞,1)D .(-1,+∞)解析:选B.因为-π4<x <π4,所以-1<tan x <1,所以1tan x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.4.函数y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π3在一个周期内的图象是下图中的 ()解析:选A.由函数周期T =π12=2π, 排除选项B 、D.将x =23π代入函数解析式中,得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π-π3=tan 0=0,故函数图象与x 轴的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π,0.5.在(0,2π)内,使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4,π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54π,32πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2∩⎝ ⎛⎭⎪⎫54π,32πD.⎝⎛⎭⎪⎫π4,π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π,32π 解析:选 D .因为 x ∈(0,2π),由正切函数的图象,可得使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π,32π.6.函数y =tan(π4+6x )的定义域为________.解析:由π4+6x ≠k π+π2(k ∈Z ),得x ≠k π6+π24(k ∈Z ).答案:{x |x ≠k π6+π24,k ∈Z } 7.函数y =tan(x 2+π4),x ∈(0,π6)的值域是________.解析:因为0<x <π6,则π4<x 2+π4<π3,所以1<tan(x 2+π4)< 3.答案:(1,3)8.函数 f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x 的单调减区间为________. 解析:因为 f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4,所以原题即求函数 y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4的单调增区间.由 k π-π2<x - π4<k π+π2,k ∈Z ,得 k π-π4<x <k π+3π4,k ∈Z ,即函数 f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π-π4,k π+3π4,k ∈Z .答案:⎝⎛⎭⎪⎫k π-π4,k π+3π4,k ∈Z9.求函数y =tan 2x 的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间. 解:设t =2x ,(1)定义域:y =tan 2x =tan t ,要使函数y =tan t 有意义,必须且只需t ≠k π+π2,k∈Z ,即2x ≠k π+π2,k ∈Z ,所以x ≠k π2+π4,k ∈Z .所以函数y =tan 2x 的定义域为{x |x ≠k π2+π4,k ∈Z }. (2)值域:由t ≠k π+π2,k ∈Z 知y =tan t 的值域为(-∞,+∞),即y =tan 2x 的值域为(-∞,+∞).(3)周期:(定义法)由tan 2(x +π2)=tan(2x +π)=tan 2x ,所以y =tan 2x 的周期为π2.(公式法)正切函数y =tan 2x 的周期T =π|ω|=π2.(4)奇偶性:定义域关于原点对称.令y =f (x )=tan 2x ,则f (x )满足:f (-x )=tan(-2x )=-tan 2x =-f (x ),所以y =tan 2x 为奇函数.(5)单调区间:y =tan t 的单调递增区间为(k π-π2,k π+π2),k ∈Z , 所以y =tan 2x 的单调递增区间为(k π2-π4,k π2+π4),k ∈Z . 10.比较下列两个正切值的大小:(1)tan 167°,tan 173°; (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-11π4,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13π5. 解:(1)因为90°<167°<173°<180°,y =tan x 在(90°,180°)上为增函数, 所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-11π4=tan π4, tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13π5=tan 2π5, 且0<π4<2π5<π2,y =tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上为增函数, 所以tan π4<tan 2π5, 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-11π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13π5. [B 能力提升]11.已知函数y =tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2内是减函数,则 ( ) A .0<ω≤1B .-1≤ω<0C .ω≥1D .ω≤-1解析:选B.因为y =tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2内是减函数, 所以ω<0且T =π|ω|≥π. 所以|ω|≤1,即-1≤ω<0.12.函数y =tan x 2满足下列哪些条件________(填序号). ①在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上单调递增; ②为奇函数;③以π为最小正周期;④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π2,k ∈Z . 解析:令x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2, 则x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π4, 所以y =tan x 2在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上单调递增正确; tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2=-tan x 2,故y =tan x 2为奇函数; T =πω=2π,所以③不正确;由x 2≠π2+k π,k ∈Z ,得x ≠π+2k π,k ∈Z , 所以④不正确.答案:①②13.画出函数y =|tan x |+tan x 的图象,并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期.解:因为y =|tan x |+tan x=⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ,x ∈[k π,π2+k π),k ∈Z ,0,x ∈(-π2+k π,k π),k ∈Z ,所以画出函数y =|tan x |+tan x 的图象,如图所示:则该函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2+k π,k ∈Z , 值域是[0,+∞),单调递增区间是[k π,k π+π2),k ∈Z , 最小正周期是π.14.设函数 f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间.(2)求不等式 f (x )≤ 3 的解集.解:(1)根据函数 f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3,可得x 2-π3≠k π+π2,k ∈Z ,得 x ≠2k π+5π3,k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π+5π3,k ∈Z . 它的最小正周期为π12=2π. 令 k π-π2<x 2-π3<k π+π2,k ∈Z , 得 2k π-π3<x <2k π+5π3,k ∈Z . 故函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π-π3,2k π+5π3,k ∈Z . (2)求不等式 f (x )≤ 3,即 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3≤ 3, 所以 k π-π2<x 2-π3≤k π+π3,k ∈Z , 求得 2k π-π3<x ≤2k π+4π3,k ∈Z , 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤2k π-π3,2k π+4π3,k ∈Z . [C 拓展探究]15.设函数y =10tan[(2k -1)·x 5],k ∈N *.当x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义,求k 的最小正整数值.解:由题意可得,当x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少包含函数的2个周期,故函数的最小正周期T 满足T ≤12,即π2k -15≤12,求得k ≥10π+12,故k 的最小正整数值为17.。
第5章 三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)

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变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
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标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
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象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
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解题方法(三角函数的图象及变换注意事项)
=14.
解法3:令M=sin 220°+cos 280°+ 3sin 20°cos 80°,
则其对偶式N=cos 220°+sin 280°+ 3cos 20°sin 80°.
因为M+N
=(sin 220°+cos 220°)+(cos 280°+sin 280°)+ 3(sin 20°cos 80°+cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长 度,得到函数 y=g(x)的图象,写出函数 y=g(x)的解析式.
[解] (1)由题可知 T=2ωπ=π,所以 ω=2. 又 f(x)min=-2,所以 A=2. 由 f(x)的最低点为 M, 得 sin43π+φ=-1. 因为 0<φ<π2,所以43π<43π+φ<116π. 所以43π+φ=32π.所以 φ=π6. 所以 f(x)=2sin2x+π6.
知识梳理
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
二倍角公式sin2α=2sinαcosα
三
tan2α=1-2tatannα2α
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章末复习提升课同角三角函数基本关系式和诱导公式1已知cos(π+α)=,且角α在第四象限,计算:2(1)sin(2π-α);n+1)π]+sin(sin[α+(2π+α)n∈Z)(. (2)n)2π(α)cosα+-sin(π1【解】因为cos(π+α)=-,211所以-cos α=-,cos α=.22 在第四象限,α又角.32. sin 所以α=-=-1-cosα2) α=sin(-)=sin[2π+(-α)]-(1)sin(2πα3. α==-sin 2n)(π+2α+1)π]+sinsin[α+( (2)n)π)π-αcos(α+2sin(nαsin πsin (α+2)-π+=αcos αsinα-2sin πsin(+α)-sin α==αsin ααcos αsin cos24.=-=-αcos(1)同角三角函数基本关系的应用求解.①已知一个三角函数求另外两个:利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组) ②已知正切,求含正弦、余弦的齐次式;2cos α或cosα,化成正切后代入.(i)齐次式为分式时,分子分母同除以22代入,再通过分子分母同除+cosα(ii)齐次式为整式时,分母看成1,利用1=sinα2化切.α以cos 或cosα用诱导公式化简求值的方法(2)k±①对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出角的特点,将角化成2ππ±α,ππ3kk的形式,再用“奇变偶不变,符号看象限”来化Z)±α,或±α,α,π±α(∈·222 简.②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,理清条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.π)等于( θ=-)3cos(2π-θ),||<,则+1.已知sin(πθθ2ππ B .- A.-36ππ C. D.36,所以θθ=-3cos )θ+3cos(2)=-π-θ,所以-sin π因为解析:选D.sin(ππθ=3.因为|θ|<tan ,所以θ=.32.3sin(π+α)+cos(-α)2.已知=2,则tan α=________.)απ+α)-cos(94sin(--3sin α+cos α解析:由已知得=2,αcos α+-4sin1则5sin α=cos α,所以tan α=.51答案:5π1xxxxx的值为________.-sin cos +cos =,则3.已知-<sin <0,251xx=,+cos 解析:由sin 5122xxxx=,平方得sin++2sin coscos 2524xx=-,cos 即2sin 25492xxxx=2sin .cos )=1-所以(sin cos -25πx<0,又因为-< 2xxxx<0,cos >0,sin 所以sin <0,cos -7xx=-.-故sin cos 57答案:-5三角函数的图象及变换πAAxfx)的图象上的一个最低点为0<,φ)(<>0,已知函数ω()=>0sin(ωφ+22π????M2,-.π,周期为??3fx)的解析式;((1)求yfx)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍((2)将纵坐标不变=)(,然后再将所πxygxygx)的解析式.)的图象,写出函数(得的图象沿个单位,得到函数轴向右平移==( 62πT==π,【解】 (1)由题可知ωfx) ,2.ω所以=又(2=-minAfxM, 2.由)(所以的最低点为=4π????φ+1.得sin=-??3π4π4π11π因为0<φ<,所以<+φ<.23364π3ππ所以+φ=.所以φ=.326π??x??xf+2.(2sin所以)=??6π横坐标伸长到原来??x??y+2―(2)―=2sin→倍(纵坐标不变)的2??6π1πx沿轴向右????πxx????y+×2+―=2sin=2sin―→个单位平移????6626ππ????x??-??xy+ 2sin2sin ,==??6??6gxx.=(2sin 所以)yAx+φ)中的参数(1)由图象或部分图象确定解析式= sin(ωAA. ①:由最大值、最小值来确定T来确定ω:通过求周期. ω②③φ:利用已知点列方程求出.yxyAxAx∈R>0)图象的两种方),(ω>0(2)函数=sin 的图象变换到,=sin(ωφ+法ππ????x????yπ2--,上的简图是.函数1=sin( 在区间) ????23.πππ3????????????ffyx--,排sin0=0=-,排除B,D.由,解析:选A.令==0,得=??????6332除C.π??x??yyx+2的图象( cos 22.要得到函数=cos的图象,只需将函数)=??3ππB.向左平移个单位 A.向左平移个单位63ππD.向右平移C.向右平移个单位个单位36ππ??????xx??????yx++2的图象向左=coscos 22解析:选B.因为cos=,所以只需把函数??????63ππ??x??y+2的图象,故选cos平移个单位即可得到B.=??36AAxy的图象的π)|φ2(|<>0,ω3.如图是函数=>0sin(ω,+φ)+)( 一部分,则它的振幅、周期、初相分别是π4πTA=-=,A.=3,φ63π34πTA =-=,=3,φB.43ππ4TA=-,=1,φC.=63π34πTAφ=-1,,D.==43AA13,则,解析:选D.由题图知函数的最大值为=+2=π5πππ24????T -函数的周期,=2×==??66ω333??x??yφ+ 2ω则=,则,=sin+??223π5π5????yxφ×+ 3,则当时,=sin=+2=??266π5????φ+,=1即sin??4.π3ππ5kk,+φ=+2ππ,则φ即=-+2424π3k=-因为|φ|<π,所以当,=0时,φ4ππ34TA.故=-=1,=,φ43三角函数的性质ππ????xx????xxf---·)=4tan cossin 已知函数3. ( ????23xf (求的定义域与最小正周期;)(1)ππ????xf,- (上的单调性.)在区间(2)讨论??44π???kkx?xfx Z,≠+∈π.(1))(的定义域为【解】???2??π??x??xxfx-3coscos )=4tan (-??3π??x??x-3-cos=4sin ??3??13??x3=-4sin xx sin +cos ??222xxx3 +23sin=2sin -cosxx3 +3(1-cos 2)=sin 2-π??x??xx-2.==sin 22sin-3cos 2??3π2Tfx. =的最小正周期所以=(π)2πππ??kk??kzxzy ππ,+-+22∈(2)=2Z-,则函数=2sin 令. 的单调递增区间是,??223πππkxkπ,+2π≤2 -由-+2≤232π5πkxkk∈Z+≤.得-+ππ≤,1212ππ????A,-,设=??44π5π???kxkk?xB∈,πZ+-π≤≤+,=???1212??ππ????BA,-. 易知=∩??412ππππππ????????????xxf,-,--,-上单时,所以当在区间∈(上单调递增,在区间)??????41244412调递减.(1)三角函数的两条性质2πyAxyAxyxωtan(=+φ+φ)和)=的最小正周期为①周期性:函数cos(=ωsin(ω,|ω|π+φ)的最小正周期为.|ω|yAxyAx,而偶函数一般可ω或②奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为tan ==sin ωyAxB 的形式.+cos ω化为=(2)求三角函数值域(最值)的方法xx的有界性.cos ①利用sin ,yAxkx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出的形式逐步分析ωsin(ω+φ)②从+=函数的值域.xx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.③换元法:把sin 或cosππ????,上为减函数的是( 1.下列函数中,周期为π,且在)??24ππ????xx????yy++22 A.=sin.cos=B????22ππ????xx????yy++=D.C =sin.cos????22 A.因为函数的周期为π,解析:选D. ,所以排除Cππ??,因为函数在上是减函数,??24所以排除B,故选A.3π??x??xfx-2∈=)sin R)(,下列说法错误2.(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数( ??2的是( )fx)的最小正周期是πA.函数 (fx)是偶函数.函数( Bπ????xf0,中心对称.函数C()的图象关于点??4.π????xf,0 (上是增函数)在D.函数??2ππ33????xx????xxxff22--是偶函=-sin=sin,所以函数)=解析:选D.因为cos 2(()????22kππ2ππkxTxkk,+()∈π+(Z∈Z),得数,且最小正周期正确;==π,故A,B由2==42ω2πππ????????xfxkx,0,0∈中心对称,故()当的图象关于点=0时,C=,所以函数正确;当????424ππ33????xxf,0D.)在,所以函数上是减函数,故(D时,2不正确.故选-π∈[-π,-]??2222三角恒等变换54.=-β)为锐角,tan α=,cos(α+ (2018·高考江苏卷)已知α,β53 求cos 2α的值;(1) β)的值.(2)求tan(α-α4sin α=,因为tan α=,tan 【解】 (1)α3cos4.cos α所以sin α=39222=,=1,所以cosα因为sinα+cosα2572.=-2cos α-1因此,cos 2α=25 .β∈(0,π)因为(2)α,β为锐角,所以α+5 =-),+又因为cos(αβ5522)=,α+β)=1-cos(β所以sin(α+5因此tan(α+β)=-2.42tan α24因为tan α=,所以tan 2α==-,231-tan α7tan 2α-tan(α+β)2因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.β)11tan(αtan 21+α+三角恒等变换的“4大策略”tan 45=θcos+θsin=1常值代换:特别是“1”的代换,(1).22°等;β(α-=(2)项的分拆与角的配凑:如sinα+2cosα(sinα+cosα)+cosα,α=+β22222)等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦. ] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用. [提醒π4tan12)( 1.计算:=π23-3tan 123322 .-A.B333232C..-D 99π2tan 122 ·解析:选D.原式=-π32-tan11232π223.=-=-tan =-×93363CAABCABB 1,则.+4cos 的大小为=6,4sin 3cos +________2.在△=中,3sin1BA+)=,解析:两式左右两边分别平方相加,得sin(21BCA)]=则sin ,=sin[π-(+2ππ5CC.==所以或6612ABA >-4cos >2,得sin ,又3sin >=623π5ππCCA.<,故>,所以所以=666π答案:6ππ5????????α,π+ sin 的值.sin α3.已知α∈=,求,????425π5????π,∈解:因为αα=,,sin ??25522=-α-=-cos 所以α1sin.5.π??1022π5π52??????α+.+sin cos αsinsin故=cos +·α=××=--??42442105??5。